2023-2024学年江苏省盐城市大丰区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市大丰区八年级（上）期中数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．对称的形式被公认为是和谐、美丽且真实的，在图案设计中被广泛运用．以下手机应用的标志（lg）是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13B．7，9，11
C．6，9，12D．0.3，0.4，0.5
3．已知△ABC≌△DEF，则下列说法错误的是（ ）
A．∠A＝∠DB．AC＝DFC．AB＝EFD．∠B＝∠E
4．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）
5．已知等腰三角形的一边长为3，周长为12，那么它的腰长为（ ）
A．4.5B．6C．4.5或6D．不能确定
6．与△ABC的三个顶点距离相等的点是（ ）
A．△ABC三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高线的交点
D．△ABC三条边的垂直平分线的交点
7．如图，点P是∠ACB的平分线CD上一点，PE⊥BC于点E，点F为射线CA上一点．若PE＝6，则PF长的最小值是（ ）
A．4B．5.5C．6D．8
8．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于E，交AB于D，若BC＝15，AC＝9，则△ACD的周长为（ ）
A．16B．21C．24D．26
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．如图，镜子中号码的实际号码是 ．
10．勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为6，“股”为8，则“弦”是 ．
11．图中的两个三角形全等，则∠α等于 ．
12．已知△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，若CD＝6，则AB长为 ．
13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的面积分别足4、6、2、4，则正方形E的边长是 ．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70°，则顶角的度数是 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝34°，D为BC边上一点，连接AD，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B恰好落在AC边上的点E处，且满足AB+BD＝AC，那么∠AED的度数为 °．
16．数学兴趣小组的小华同学某天在家观察到这样一个问题：如图一个棱长为8cm的无盖正方体铁盒不计铁盒厚度，有一只蚂蚁在铁盒上爬行．已知蚂蚁从点C出发，沿着外壁面正方形ABCD爬行，爬到边AB上再在边AB上爬行3cm，最后再沿着内壁正方形ABCD爬行，最终到达内壁的中点P，蚂蚁所走的最短路程是 cm．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE．
18．如图，已知∠1＝∠3，BC＝CE，CA＝CD，求证：△ABC≌△DEC．
19．如图所示，已知CD＝BD，点E、F分别是CD、BD的中点，∠CAE＝∠BAF，∠B＝∠C．求证：
（1）AE＝AF；
（2）△ACD≌△ABD．
20．如图，点C在线段BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．
（1）求证：△ABC≌△CDE；
（2）请写出线段AB、DE、BD之间的数量关系，并说明理由．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠A＝30°，BC＝2．
（1）求CD的长．
（2）请直接写出线段BC与线段AB之间的数量关系．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，P是AD上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
求证：
（1）PE＝PF；
（2）PD平分∠BPC．
23．大丰施耐庵公园是许多青少年喜爱的场所．如图是公园内一个滑梯的示意图，左边是楼梯，中间是过道，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝3m，BE＝1m．
（1）要想求AC的长度，我们可以设AC为x，则AB＝ ；
（2）请求出滑梯AC的长度．
24．有一款线上军事游戏，我们可以把游戏地图模拟为一个边长为1的小正方形所组成的10×10网格（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），此地图以直线l为分界线．我方玩家根据地可模拟为格点△ABC，请利用网格线和无刻度的直尺画图．
（1）对方玩家根据地△A′B′C′与△ABC关于直线l成轴对称，请画出△A′B′C′；
（2）为使得我方资源更加平衡，现需要在图中找一个能量补给站，使其到A、B、C三点距离相等，请在图中用点O表示，并指出O点是否越过分界线l；
（3）在界线l上安插一名侦察兵，并使其到点A、点B的距离之和最小，请找出侦察兵的位置P．
25．如图，在△BAC中，AD⊥BC，BE是AC边上的中线，DF⊥BE于F，BD＝AE．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若BE⊥AC，求∠CAD的度数．
26．我们对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．
（1）用不同的方法计算图1的面积，我们能得到等式： ；
（2）如图2所示，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形可以拼成一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： ；（结果为最简）
（3）根据上面两个结论，解决下面问题：
①在直角△ABC中，∠C＝90°，三边长分别为a、b、c，已知ab＝10，c＝4，求a+b的值；
②如图3，四边形ABCD中，对角线AC，BD互相垂直，垂足为O，AC＝BD＝4，在直角△AOD中，OA＝x，OD＝y，若△AOD的周长为4，则△BOC的面积＝ ．
27．【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如图4，△ABC中，AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决办法：延长AD到点E，使DE＝AD．请根据小聪的方法解决以下问题：
（1）求得AD的取值范围是 ；
【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题：
如图，已知∠BAC+∠CDE＝180°，AB＝AC，DC＝DE，P为BE的中点．
（2）如图1，若A，C，D共线，AC：CD＝3：5，S△ABP＝6，求四边形ABED的面积；
（3）如图2，若A，C，D不共线，AP＝PD，求证：AB⊥AC；
（4）如图3，若点C在BE上，记锐角∠BAC＝α，且AB＝AC＝CD＝DE，则∠PDC的度数是 ．（用含α的代数式表示）
参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．对称的形式被公认为是和谐、美丽且真实的，在图案设计中被广泛运用．以下手机应用的标志（lg）是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13B．7，9，11
C．6，9，12D．0.3，0.4，0.5
【分析】根据勾股数的定义对各选项进行逐一分析即可．
解：A、∵52+122＝132，∴是勾股数，符合题意；
B、∵72+92≠112，∴不是勾股数，不符合题意；
C、∵62+92≠122，∴不是勾股数，不符合题意
D、∵0.3，0.4，0.5不是整数、，∴不是勾股数，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
3．已知△ABC≌△DEF，则下列说法错误的是（ ）
A．∠A＝∠DB．AC＝DFC．AB＝EFD．∠B＝∠E
【分析】根据全等三角形的性质对各选项进行判断．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠E，AC＝DF，AB＝DE，
∴A选项、B选项和D选项符合题意，C选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
4．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）
【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点D、C；
②任意作一点O′，作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′A′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
作图完毕．
在△OCD与△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
5．已知等腰三角形的一边长为3，周长为12，那么它的腰长为（ ）
A．4.5B．6C．4.5或6D．不能确定
【分析】分3是腰长与底边两种，根据等腰三角形两腰相等列式求解即可．
解：①3是腰长时，三边分别为3、3、6，不能组成三角形；
②3是底边时，腰长为（12﹣3）＝4.5，三边分别为4.5、4.5、3，能组成三角形．
综上所述，腰长为4.5．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形两腰相等的性质，是基础题，注意分情况讨论即可．
6．与△ABC的三个顶点距离相等的点是（ ）
A．△ABC三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高线的交点
D．△ABC三条边的垂直平分线的交点
【分析】利用三角形重心的性质、角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质进行判断．
解：与△ABC的三个顶点距离相等的点为三角形三边的垂直平分线的交点．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了线段垂直平分线的性质和角平分线的性质．
7．如图，点P是∠ACB的平分线CD上一点，PE⊥BC于点E，点F为射线CA上一点．若PE＝6，则PF长的最小值是（ ）
A．4B．5.5C．6D．8
【分析】根据垂线段最短和角平分线的性质即可得出结论．
解：∵点P是∠ACB的平分线CD上一点，PE⊥BC于点E，PE＝6，
∴当PF⊥AC时，PF最短＝PE＝6．
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于E，交AB于D，若BC＝15，AC＝9，则△ACD的周长为（ ）
A．16B．21C．24D．26
【分析】根据勾股定理求出AB，根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，根据三角形的周长公式计算即可．
解：由勾股定理得，AB＝＝＝12，
∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC＝DB，
∴△ACD的周长＝AC+AD+DC＝AC+AD+DB＝AC+AB＝21，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．如图，镜子中号码的实际号码是 3265 ．
【分析】注意镜面反射与特点与实际问题的结合．
解：根据镜面对称的性质，在镜子中的真实数字应该是：3265．
故答案为：3265
【点评】本题考查了图形的对称变换，学生在解题时可以再借用镜子看一下即可，也可以在卷子的反面看．
10．勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为6，“股”为8，则“弦”是 10 ．
【分析】根据勾股定理计算可求解．
解：由题意得“弦”是＝10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查勾股定理，理解题意是解题的关键．
11．图中的两个三角形全等，则∠α等于 55° ．
【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠α是a、c边的夹角，然后写出即可．
解：∵两个三角形全等，
∴∠α的度数是180°﹣60°﹣65°＝55°．
故答案为：55°．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键．
12．已知△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，若CD＝6，则AB长为 12 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴AB＝2CD＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的面积分别足4、6、2、4，则正方形E的边长是 4 ．
【分析】根据勾股定理及正方形的面积公式求解．
解：设另两个正方形为F，H，
由勾股定理得：F的面积为4+6＝10，H的面积为2+4＝6，
∴E的面积为10+6＝16，
∴E的边长为：＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的意义及正方形的面积公式是解题的关键．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70°，则顶角的度数是 20°或160° ．
【分析】分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
解：①当为锐角三角形时，如图1，
∵∠ABD＝70°，BD⊥AC，
∴∠A＝90°﹣70°＝20°，
∴三角形的顶角为20°；
②当为钝角三角形时，如图2，
∵∠ABD＝70°，BD⊥AC，
∴∠BAD＝90°﹣70°＝20°，
∵∠BAD+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝160°
∴三角形的顶角为160°，
故答案为：20°或160°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
15．如图，在△ABC中，∠C＝34°，D为BC边上一点，连接AD，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B恰好落在AC边上的点E处，且满足AB+BD＝AC，那么∠AED的度数为 68 °．
【分析】根据折叠的性质可得BD＝DE，AB＝AE，由AB+BD＝AC，AE+EC＝AC可推出DE＝EC，最后根据三角形外角的性质即可求解．
解：根据折叠的性质可得BD＝DE，AB＝AE，
∵AB+BD＝AC，AE+EC＝AC，
∴AB+BD＝AE+DE＝AC，
∴AE+DE＝AE+EC，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C＝34°，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝68°．
故答案为：68．
【点评】本题主要考查翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意证明DE＝EC是解题关键．
16．数学兴趣小组的小华同学某天在家观察到这样一个问题：如图一个棱长为8cm的无盖正方体铁盒不计铁盒厚度，有一只蚂蚁在铁盒上爬行．已知蚂蚁从点C出发，沿着外壁面正方形ABCD爬行，爬到边AB上再在边AB上爬行3cm，最后再沿着内壁正方形ABCD爬行，最终到达内壁的中点P，蚂蚁所走的最短路程是 16 cm．
【分析】将正方形ABCD沿着AB翻折得到正方形 ABD'C'，过点P在正方形ABCD内部作MP⊥BD，使MP＝3cm，连接PQ，过M作MN⊥CD于点N，则四边形PMND是矩形，四边形PQEM是平行四边形；此时，CE+EQ+QP＝CE+EQ+EM＝C'M+EQ最小，运用勾股定理求解即可．
解：如图，将正方形ABCD沿着AB翻折得到正方形ABDC，过点P在正方形ABCD内部作MP⊥BD，使MP＝3cm，连接PQ，过M作MN⊥CD于点N，则四边形PMND是矩形，四边形POEM是平行四边形，
∴MN＝PD'，EM＝QP，D'N＝MP，∠C'NM＝90°，
此时CE+EQ+QP＝C'E+EQ+EM＝C'M+EQ最小，
∵点P是BD中点，
∴，
∴MN＝PD'＝12cm，C'N＝C'D'﹣D'N＝5cm，
在Rt△C'MN中，，
∴C'M+EQ＝13+3＝16（cm），
故答案为：16．
【点评】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE．
【分析】根据ASA判定定理直接判定两个三角形全等．
【解答】证明：∵点B为线段AC的中点，
∴AB＝BC，
∵AD∥BE，
∴∠A＝∠EBC，
∵BD∥CE，
∴∠C＝∠DBA，
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE．（ASA）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
18．如图，已知∠1＝∠3，BC＝CE，CA＝CD，求证：△ABC≌△DEC．
【分析】根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB＝∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC．
【解答】证明：∵∠1＝∠3，
∴∠1+∠2＝∠3+∠2，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．结合图形做题，由∠1＝∠3得∠ACB＝∠DCE是解决本题的关键．
19．如图所示，已知CD＝BD，点E、F分别是CD、BD的中点，∠CAE＝∠BAF，∠B＝∠C．求证：
（1）AE＝AF；
（2）△ACD≌△ABD．
【分析】（1）利用AAS证明△ACE≌△ABF，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）利用SSS证明△ACD≌△ABD即可．
【解答】证明：（1）∵CD＝BD，点E、F分别是CD、BD的中点，
∴CE＝BF，
在△ACE和△ABF中，
，
∴△ACE≌△ABF（AAS），
∴AE＝AF；
（2）∵△ACE≌△ABF，
∴AB＝AC，
在△ACD和△ABD中，
，
∴△ACD≌△ABD（SSS）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．如图，点C在线段BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．
（1）求证：△ABC≌△CDE；
（2）请写出线段AB、DE、BD之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据ASA可证明△ABC≌△CDE；
（2）由全等三角形的性质得出AB＝CD，BC＝DE，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°＝∠BCA+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）；
（2）解：线段AB、DE、BD之间的数量关系为BD＝AB+DE，
理由：由（1）可知，△ABC≌△CDE，
∴AB＝CD，BC＝DE，
∴BD＝BC+CD＝AB+DE．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据ASA证明△ABC≌△CDE解答．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠A＝30°，BC＝2．
（1）求CD的长．
（2）请直接写出线段BC与线段AB之间的数量关系．
【分析】（1）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可；
（2）先判定等边三角形，然后得出BC＝AB即可．
解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AD＝BD，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴△BDC为等边三角形，
∴CD＝BC＝2；
（2）∵CD＝AD＝BD，
∴CD＝AB，
∴BC＝AB．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，P是AD上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
求证：
（1）PE＝PF；
（2）PD平分∠BPC．
【分析】（1）首先根据等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线相互重合，得出AD平分∠BAC，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可证出PE＝PF；
（2）首先根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AD是BC的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质即可证出PB＝PC．
【解答】证明：（1）∵AD是BC边的中点，AB＝AC，
∴AD平分∠BAC，
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴PE＝PF；
（2）∵D是BC边的中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC
∴线段PD在BC的垂直平分线上，
∴PB＝PC
∴PD平分∠BPC．
【点评】本题主要考查了等腰三角形“三线合一”的性质、角平分线的性质及线段垂直平分线的性质．属于基础知识，学生应熟练掌握．本题如果运用全等三角形的判定和性质做，就稍显麻烦．
23．大丰施耐庵公园是许多青少年喜爱的场所．如图是公园内一个滑梯的示意图，左边是楼梯，中间是过道，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝3m，BE＝1m．
（1）要想求AC的长度，我们可以设AC为x，则AB＝ （x﹣1）m ；
（2）请求出滑梯AC的长度．
【分析】（1）设AC＝x m，于是得到AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m；
（2）在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，解方程即可求得答案．
解：（1）根据题意得，（x﹣1）m；
故答案为：（x﹣1）m；
（2）由题意得：∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即（x﹣1）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴AC＝5m．
答：滑道AC的长度为5cm．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，从实际问题中抽象出Rt△ABC是解决问题的关键．
24．有一款线上军事游戏，我们可以把游戏地图模拟为一个边长为1的小正方形所组成的10×10网格（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），此地图以直线l为分界线．我方玩家根据地可模拟为格点△ABC，请利用网格线和无刻度的直尺画图．
（1）对方玩家根据地△A′B′C′与△ABC关于直线l成轴对称，请画出△A′B′C′；
（2）为使得我方资源更加平衡，现需要在图中找一个能量补给站，使其到A、B、C三点距离相等，请在图中用点O表示，并指出O点是否越过分界线l；
（3）在界线l上安插一名侦察兵，并使其到点A、点B的距离之和最小，请找出侦察兵的位置P．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）分别作线段AB，BC的垂直平分线，交于点O，即可得出答案．
（3）连接A'B，与直线l的交点P即为所求．
解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）如图，分别作线段AB和BC的垂直平分线，交于点O，
此时点O到A、B、C三点距离相等，
则点O即为所求．
由图可知，O点越过分界线l．
（3）如图，连接A'B，与直线l的交点P，
则点P即为侦察兵的位置．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、线段垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
25．如图，在△BAC中，AD⊥BC，BE是AC边上的中线，DF⊥BE于F，BD＝AE．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若BE⊥AC，求∠CAD的度数．
【分析】（1）连接DE，根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，根据线段中点的定义得到DE＝AC＝BD，根据线段垂直平分线的性质得到结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到AB＝CB，同理可证，AB＝AC，得AD平分∠BAC，根据等边三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接DE，
∵AD是边BC上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵点E是AC的中点，
∴DE＝AC＝BD，
∵BD＝AE，
∴BD＝DE，
∵DF⊥BE．
∴BF＝EF；
（2）解：∵BE⊥AC，BE为AC边上的中线，
∴线段BE在AC的垂直平分线上，
∴AB＝CB，
同理可证，AB＝AC，得AD平分∠BAC，
∴AB＝AC＝CB，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键思想好添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
26．我们对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．
（1）用不同的方法计算图1的面积，我们能得到等式： （a+b）2＝a2+b2+2ab ；
（2）如图2所示，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形可以拼成一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： a2+b2＝c2 ；（结果为最简）
（3）根据上面两个结论，解决下面问题：
①在直角△ABC中，∠C＝90°，三边长分别为a、b、c，已知ab＝10，c＝4，求a+b的值；
②如图3，四边形ABCD中，对角线AC，BD互相垂直，垂足为O，AC＝BD＝4，在直角△AOD中，OA＝x，OD＝y，若△AOD的周长为4，则△BOC的面积＝ 4 ．
【分析】（1）根据图1的面积为大正方形的面积，也可以看作是2个不同的正方形的面积加上2个相同的长方形的面积，分别列出代数式即可得到答案；
（2）图2的面积为直角梯形的面积，也可以看作是3个直角三角形的面积和，分别列出代数式即可得到答案；
（3）①利用（2）中的结论，代入数据直接计算即可；
②根据△BOC的周长先求出BC＝4﹣x﹣y，然后利用勾股定理列式整理得到xy＝4x+4y﹣8，求出OA＝4﹣y，OD＝4﹣x，根据三角形的面积公式列式计算即可．
解：图1的面积为大正方形的面积，即（a+b）2，
图1的面积也可以看作是2个不同的正方形的面积加上2个相同的长方形的面积，即a2+b2+2ab，
故可得等式：（a+b）2＝a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（2）图2的面积为直角梯形的面积，即（a+b）（a+b）＝（a+b）2，
图2的面积也可以看作是3个直角三角形的面积和，即＝ab+，
故可得等式：＝，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，
故答案为：a2+b2＝c2；
（3）①∵在直角△ABC中，∠C＝90°，三边长分别为a、b、c，ab＝10，c＝4，
由（2）可得（a+b）2＝2ab+c2，即（a+b）2＝2×10+42＝36，
∴a+b＝6；
②在直角△AOD中，OA＝x，OD＝y，△AOD的周长为4，
∴AD＝4﹣x﹣y，
在直角△AOD中，AD2＝OA2+OD2，
∴（4﹣x﹣y）2＝x2+y2，
∴xy＝4x+4y﹣8，
∵AC＝BD＝4，
∴OA＝4﹣y，OD＝4﹣x，
∴S△BOC＝OB•OC
＝（4﹣x）（4﹣y）
＝（16﹣4x﹣4y+xy）
＝（16﹣4x﹣4y+4x+4y﹣8）
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了列代数式，整式的混合运算，勾股定理等知识，掌握常见几何图形的面积公式及整式的运算法则是解题的关键．
27．【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如图4，△ABC中，AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决办法：延长AD到点E，使DE＝AD．请根据小聪的方法解决以下问题：
（1）求得AD的取值范围是 1＜AD＜5 ；
【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题：
如图，已知∠BAC+∠CDE＝180°，AB＝AC，DC＝DE，P为BE的中点．
（2）如图1，若A，C，D共线，AC：CD＝3：5，S△ABP＝6，求四边形ABED的面积；
（3）如图2，若A，C，D不共线，AP＝PD，求证：AB⊥AC；
（4）如图3，若点C在BE上，记锐角∠BAC＝α，且AB＝AC＝CD＝DE，则∠PDC的度数是 45°﹣ ．（用含α的代数式表示）
【分析】（1）延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，利用全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系定理解答即可；
（2）延长DP交AB延长线于点F，利用平行线的判定与性质和全等三角形的判定与性质得到：BF＝DE，PD＝PF，S△PBF＝S△PDE，利用等高的三角形的面积比等于底的比的性质求得S△BPF＝10，则S△APF＝16，再利用S四边形ABED＝S△ADF＝2S△APF解答即可；
（3）延长DP至点F，使得PF＝PD，连接BF、AF、AD，通过证明△ABF≌△ACD和△APF≌△APD，利用全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可得出结论；
（4）延长DP到点F，使PF＝DP，连接BF，AD，利用已知条件和（2）的解答方法得到：∠ACD＝∠APD＝90°，过点C作CG⊥BC交AP于点G，证明△ACG≌DCP，得到△GCP为等腰直角三角形，再利用三角形的外角的性质解答即可得出结论．
【解答】（1）解：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，如图，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝4．
∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5．
故答案为：1＜AD＜5；
（2）解：如下图，延长DP交AB延长线于点F，
∠BAC+∠CDE＝180°，
∴AF∥DE（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠PFB＝∠PDE，∠PBF＝∠PED，
∵P为BE的中点，
∴BP＝PE，
在△BPF和△EPD中，
，
∴△BPF≌△EPD（AAS），
∴BF＝DE，PD＝PF，S△PBF＝S△PDE，
∴S四边形ABED＝S△ADF，
∵DC＝DE，
∴DC＝BF，
∵AB＝AC，AC：CD＝3：5，
∴AB：BF＝3：5，
∴S△ABP：S△BPF＝AB：BF＝3：5，
∵S△ABP＝6，
∴S△BPF＝10，
则S△APF＝16．
∵PF＝PD，
∴S△ADP＝S△AFP，
∴S四边形ABED＝S△ADF＝2S△APF＝32；
（3）证明：延长DP至点F，使得PF＝PD，连接BF、AF、AD，如图，
由（1）同理易证：△DPE≌△FBP（SAS），
∴BF＝DE＝CD，∠E＝∠FBP，
∵∠BAC+∠CDE＝180°，且∠BAC+∠CAD+∠ADC+∠CDE+∠E＝360°，
∴∠CAD+∠C+∠ADC＝180°，
∴∠ABF＝∠ACD，
在△ABF和△ACD中，
，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF＝AD，∠BAF＝∠CAD，
在△APF和△APD中，
，
∴△APF≌△APD（SSS），
∴∠APD＝∠APF＝180°÷2＝90°，
∵AP＝PD，
∴∠PAD＝45°，
同理可得，∠PAF＝45°，
∴∠FAD＝90°，
∴∠BAC＝90°
∴AB⊥AC．
（4）解：延长DP到点F，使PF＝DP，连接BF，AD，如图，
由（2）的证明过程可知：△PDE≌△PFB，
∴BF＝DE，∠FBP＝∠E．
∵∠BAC＝α，且AB＝AC＝CD＝DE，∠BAC+∠CDE＝180°，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣α，∠DCE＝∠E＝α．
∴∠FBC＝α．
∴∠ABC+∠FBC＝90°，∠ACB+∠DCE＝90°，
∴∠ABF＝∠ACD＝90°．
在△ABF和△ACD中，
，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF＝AD，
∵FP＝PD，
∴AP⊥DF．
∴∠APD＝90°．
∴∠PMD+∠CPD＝90°，
∵∠CAM+∠CMA＝90°，∠CMA＝∠PMD，
∴∠CAP＝∠CDP．
过点C作CG⊥BC交AP于点G，
∴∠GCP＝90°，
∴∠ACG＝∠DCP．
在△ACG和DCP中，
，
∴△ACG≌DCP（ASA），
∴CG＝CP，
∴△CGP为等腰直角三角形，
∴∠CGP＝∠CPG＝45°，
∴∠DPE＝45°，
∴∠PDC＝∠DPE﹣∠DCE＝45°﹣．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形的中线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，本题是阅读型题目，掌握倍长中线的方法，恰当的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．