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2023-2024学年江苏省无锡市梁溪区七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省无锡市梁溪区七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图案中，可以看作由“基本图案”通过平移得到的是( )
A. B. C. D.
2.中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的懒22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米=0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为
( )
A. 2.2×10−7B. 2.2×10−8C. 22×10−7D. 0.22×10−9
3.下列各式正确的是( )
A. a4⋅a5=a20B. a2+2a3=2a5C. (−a2b3)2=a4b9D. a4÷a=a3
4.如图，下列结论不成立的是( )
A. 如果∠1=∠3，那么AB//CD
B. 如果∠2=∠4，那么AC//BD
C. 如果∠1+∠2+∠C=180°，那么AB//CD
D. 如果∠4=∠5，那么AC//BD
5.下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是( )
A. a−1a−1=a2−1B. a2−16a+64=a−82
C. a2−2a+4=a−22D. ab+ac+1=ab+c+1
6.下列说法：
①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线；
②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；
④同旁内角相等，两直线平行．
正确的个数有个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.如图，直线a//b，点B在a上，且AB⊥BC.若∠1=35∘，那么∠2等于
( )
A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°
8.如图，AB//CD，CE平分∠BCD，∠DCE=18∘，则∠B等于
A. 18∘B. 36∘C. 45∘D. 54∘
9.一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如27=62−32，63=82−12，故27，63都是“创新数”，下列各数中，不是“创新数”的是( )
A. 31B. 41C. 16D. 54
10.如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG//BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠ADC=∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB=12∠CGE.其中正确的结论是
( )
A. ②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.某种流感病毒的直径大约为0.00000085米，用科学记数法表示为_______米．
12.已知x+y=2，x−y=4，x2−y2=______．
13.已知am=6，an=2，则am−n=______．
14.一个多边形的内角和是外角和的2倍多180∘，则这个多边形是_____边形．
15.若关于x的二次三项式x2+ax+4是完全平方式，则a的值是______．
16.若x+mx−4去括号后不含x 的 一次项，则m的值为______．
17.如图，在▵ABC中，∠B=45∘，∠C=30∘，点D在边BC上，若▵ACD是直角三角形，则∠BDA的度数为____________．
18.如图所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30∘的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动．若要使AC//DE.则∠CAE0∘<∠CAE<180∘度数为________．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.计算
(1)(−3a2)3+2a2⋅a4−a8÷a2
(2)(π−3.14)0−(12) −3−12022
(3)(2x−3)(x+1)−x(x+4)
(4)(m+1)2(m−1)2
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
先化简，再求值：(x+y)2−2x(x+3y)+(x+2y)(x−2y) ，其中x=−1，y=2．
21.(本小题8分)
已知4m+n=40,2m−3n=5，求(m+2n)2−(3m−n)2的值．
22.(本小题8分)
如图，网格中每个小正方形边长为1，▵ABC的顶点都在格点(网格线的交点)上．将▵ABC向上平移5格，得到▵A1B1C1，利用网格画图．
(1)请在图中画出平移后的▵A1B1C1；
(2)作出AB边上的高CE；
(3)BC边在平移的过程中扫过的面积等于__．
23.(本小题8分)
如图，有一块长3a+b米，宽2a+b米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为b米的正方形．
(1)计算广场上需要硬化部分的面积；
(2)若a=30，b=10，求硬化部分的面积．
24.(本小题8分)
我们知道，同底数幂的乘法法则为am·an=am+n(其中a≠0，m、n为正整数)，类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f(m)·f=f(m+n) (其中m、n为正整数)；例如，若f(3)=2，则f(6)=f(3+3)=f(3)·f(3)=2×2=4．( )
(1)若f(2)=5，则：
①计算f(6)；
②当f(2n)=25，求n的值；
(2)若f(a)=3，化简：f(a)·f(2a)·f(3a)·····f(10a) .
25.(本小题8分)
在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．
(1)用不同的方法计算图1的面积得到等式：___________________．
(2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式：________________(结果为最简)
(3)根据上面两个结论，解决下面问题：
①在直角▵ABC中，∠C=90∘，三边长分别为a、b、c，已知ab=12，c=5，求a+b的值．
②如图3，四边形ABCD中，对角线AC，BD互相垂直，垂足为O，AC=BD=2，在直角▵BOC中，OB=x，OC=y，若▵BOC的周长为2，则▵AOD的面积=___________．
26.(本小题8分)
已知射线AB//CD，连接AC．
(1)如图1，若AE、CE分别平分∠BAC、∠DCA，AE、CE交于点E，求∠E的度数，并说明理由．
(2)如图2，在(1)的条件下，延长CE到F、若点G满足∠GEF=13∠AEF，∠GCF=13∠ACF，试探求∠G与∠EAC的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在(2)的条件下，延长AC到M，若∠ECH=13∠ECM，CH交GE延长线于点H.求∠G与∠H的度数之和．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据平移的定义可得答案．
【详解】解：A、能通过基本图形平移得到，故此选项符合题意；
B、可以由一个“基本图案”旋转得到，故本选项不符合题意；
C、可以由一个“基本图案”旋转得到，故本选项不符合题意；
D、不能通过基本图形平移得到，故本选项不符合题意．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10−8，
故选：B．
3.【答案】D
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，系数相加，积的乘方，同底数幂的除法运算即可求解．
【详解】解：A、a4⋅a5=a9，故选项 A错误；
B、a2与2a3不是同类项，不能合并成一项，故选项 B错误；
C、(−a2b3)2=a4b6，故选项 C错误；
D、a4÷a=a3，故选项 D正确．
故选：D．
4.【答案】D
【解析】【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【详解】A.如果∠1=∠3，那么能得到AB//CD，故本选项结论成立，不符合题意．
B.如果∠2=∠4，那么能得到AC//BD，故本选项结论成立，不符合题意．
C.如果∠1+∠2+∠C=180°，能得到AB//CD，故本选项结论成立，不符合题意．
D.如果∠4=∠5，那么不能得到AC//BD，故本选项结论不成立，符合题意．
故选：D．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据因式分解的定义和因式分解的方法进行逐一判断即可．
【详解】解：A．a+1a−1=a2−1，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.a2−16a+64=a−82，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C.a2−2a+4≠a−22，因式分解错误，故本选项不符合题意；
D.ab+ac+1=ab+c+1，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：B．
6.【答案】A
【解析】【分析】分别根据平行线的判定以及平行线定义和平行公理分析得出即可．
【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原说法错误；
②过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故原说法错误；
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原说法正确；
④同旁内角互补，两直线平行，故原说法错误．
∴正确的个数有1个，
故选：A．
7.【答案】C
【解析】【分析】先根据平行线的性质求出∠BAC的度数，再根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，即可利用对顶角相等得到∠2的度数．
【详解】解∵a//b，
∴∠BAC=∠1=35∘，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90∘，
∴∠ACB=180∘−∠BAC−∠ABC=55∘，
∴∠2=∠ACB=55∘，
故选C．
8.【答案】B
【解析】【分析】利用角平分线上定义可求∠BCD的度数，然后利用平行线的性质即可求出∠B的度数．
【详解】解：∵CE平分∠BCD，∠DCE=18∘，
∴∠BCD=2∠DCE=2×18∘=36∘．
∵AB//CD，
∴∠B=∠BCD=36∘．
故选：B．
9.【答案】D
【解析】【分析】根据数字的特点，分别将31、41和16写成两个正整数的平方差的形式，而54不能写成两个正整数数的平方差的形式，则问题得解．
【详解】解：∵31=(16+15)(16−15)=162−152，
41=(21+20)(21−20)=212−202，
16=(5+3)(5−3)=52−32，
54不能表示成两个正整数的平方差．
∴31、41和16是“创新数”，而54不是“创新数”．
故选：D．
10.【答案】B
【解析】【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【详解】①∵EG // BC，
∴∠CEG=∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；
②∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°．
∵EG // BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，故正确；
③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；
④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC=90°+12(∠ABC+∠ACB)=135°，
∴∠DFE=360°−135°−90°=135°，
∴∠DFB=45°=12∠CGE，故正确．
故选B．
11.【答案】8.5×10−7
【解析】【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤a<10，n为整数，据此判断即可．
【详解】解：0.00000085=8.5×10−7．
故答案为 ：8.5×10−7．
12.【答案】8
【解析】【分析】利用平方差公式直接求解即可．
【详解】解：∵x+yx−y=x2−y2
∴x2−y2=2×4=8，
故答案为：8．
13.【答案】3
【解析】【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可，同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【详解】解：∵am=6，an=2，
∴am−n=am÷an=6÷2=3．
故答案为：3．
14.【答案】七
【解析】【分析】本题考查多边形的内角和和外角和．根据多边形的内角和公式以及外角和为360∘，列出方程求解即可．
【详解】解：设多边形的边数为n，由题意，得：n−2⋅180∘=2×360∘+180∘，
解得：n=7；
所以这个多边形为七边形；
故答案为：七．
15.【答案】±4
【解析】【分析】根据完全平方公式求解即可．
【详解】因x2+ax+4=x2+ax+22是完全平方式，则这个完全平方式是：(x+2)2或(x−2)2
即x2+ax+4=(x+2)2=x2+4x+4或x2+ax+4=(x−2)2=x2−4x+4
解得：a=4或a=−4
故a的值是±4．
16.【答案】4
【解析】【分析】先计算多项式乘以多项式，再根据积去括号后不含x的一次项，再建立方程解题即可．
【详解】解：x+mx−4=x2+m−4x−4m．
∵积去括号后不含x的一次项，
∴m−4=0．
∴m=4．
故答案为：4．
17.【答案】90∘或120∘
【解析】【分析】分∠ADC=90∘、∠D′AC=90∘两种情况，根据三角形的外角性质计算，得到答案
【详解】解：如图所示，当∠ADC=90°时，∠BDA=90∘
当∠D′AC=90∘时，
则∠BD′A=∠CAD′+∠C=120∘
故答案为：90∘或120∘．
18.【答案】135∘
【解析】【分析】根据题意画出图形，利用平行线性质可得到∠CAE的度数．
【详解】如图，
当DE//AC，
∠EDA=∠CAD=90∘，
∴∠CAE=∠DAE+∠CAD=45∘+90∘=135∘．
故答案为：135∘
19.【答案】【小问1详解】
解：(−3a2)3+2a2⋅a4−a8÷a2
=−27a6+2a6−a6
=−26a6；
【小问2详解】
解：(π−3.14)0−(12) −3−12022
=1−8−1
=−8；
【小问3详解】
解：(2x−3)(x+1)−x(x+4)
=2x2+2x−3x−3−x2−4x
=x2−5x−3；
【小问4详解】
解：(m+1)2(m−1)2
=(m2−1)2
=m4−2m2+1．
【解析】【分析】(1)分别计算积的乘方，同底数幂的乘法、除法，然后进行加减运算即可；
(2)先分别计算零指数幂，负整数指数幂，乘方，然后进行减法运算即可；
(3)分别计算多项式乘多项式，单项式乘多项式，然后进行加减运算；
(4)利用平方差公式，完全平方公式进行计算求解即可．
20.【答案】原式=x2+2xy+y2−2x2−6xy+x2−4y2=−3y2−4xy
当x= −1，y=2时，原式= −12+8=−4
【解析】【分析】先完全平分公式，平方差公式和整数的乘法计算方法计算，再进一步合并化简后代入求得数值即可．
21.【答案】解：(m+2n)2−(3m−n)2
=(m+2n+3m−n)(m+2n−3m+n)
=(4m+n)(3n−2m)
=−(4m+n)(2m−3n)．
当4m+n=40,2m−3n=5时，原式=−40×5=−200．
【解析】【分析】通过观察要求的式子，将m+2n+3m−n可得4m+n，将m+2n−3m−n可得−2m+3n，故可想到利用平方差公式因式分解，由2m−3n=5可得−2m+3n=−5，代入即可解决本题．
22.【答案】【小问1详解】
如图所示．
【小问2详解】
如图所示．
【小问3详解】
根据题意可知BC扫过的图形是平行四边形BCC1B1，即面积=5×2=10．
故答案为：10．
【解析】【分析】(1)将三个顶点向上平移5个单位，再连接三个顶点即可；
(2)过点C作CE⊥AB，交AB延长线于点E；
(3)先确定平移扫过的图形是平行四边形，再求出面积即可．
23.【答案】【小问1详解】
解：根据题意，广场上需要硬化部分的面积是：
2a+b3a+b−b2
=6a2+2ab+3ab+b2−b2
=6a2+5ab，
答：广场上需要硬化部分的面积是6a2+5abm2．
【小问2详解】
解：把a=30，b=10代入，
6a2+5ab=6×302+5×30×10=6900m2，
答：广场上需要硬化部分的面积是6900m2．
【解析】【分析】(1)由题意可知空白部分的面积=长方形的面积−阴影部分的面积．长方形的面积是长×宽，即3a+b2a+b；阴影部分是正方形，其面积是b2，所以空白部分的面积是2a+b3a+b−b2；
(2)将a，b的数值代入(1)题中的代数式求值即可．
24.【答案】【小问1详解】
解：①∵f(2)=5，
∴f(6)=f(2+2+2)
=f(2)⋅f(2)⋅f(2)
=5×5×5
=125；
②∵25=5×5=f(2)⋅f(2)=f(2+2)，
又∵f(2n)=25，
∴f(2n)=f(2+2)．
∴2n=4．
∴n=2．
【小问2详解】
∵f(2a)=f(a+a)=f(a)⋅f(a)=3×3=32，
f(3a)=f(a+a+a)=f(a)⋅f(a)⋅f(a)=3×3×3=33，
·····
f(10a)=310，
∴f(a)⋅f(2a)⋅f(3a)·····f(10a)
=3×32×33×·····×310
=31+2+3+·····+10
=355．
【解析】【分析】(1)①利用新运算的规定进行运算即可；
②将25变换为5×5=f(2)⋅f(2)，再利用新运算的规定解答即可；
(2)将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出3的幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可．
25.【答案】【小问1详解】
解：图1的面积为大正方形的面积，即a+b2，
图1的面积也可以看作是2个不同的正方形的面积加上2个相同的长方形的面积，即a2+b2+2ab，
故可得等式：a+b2=a2+b2+2ab，
故答案为：a+b2=a2+b2+2ab；
【小问2详解】
图2的面积为直角梯形的面积，即12a+ba+b=12a+b2，
图2的面积也可以看作是3个直角三角形的面积和，即12ab+12c2+12ab=ab+12c2，
故可得等式：12a+b2=ab+12c2，
∴a+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2，
故答案为：a2+b2=c2；
【小问3详解】
①∵在直角▵ABC中，∠C=90∘，三边长分别为a、b、c，ab=12，c=5，
由(2)可得a+b2=2ab+c2，即a+b2=2×12+52=49，
∴a+b=7；
②∵在直角▵BOC中，OB=x，OC=y，▵BOC 的 周长为2，
∴BC=2−x−y，
∵在直角▵BOC中，BC2=OB2+OC2，
∴2−x−y2=x2+y2，
∴xy=2x+2y−2，
∵AC=BD=2，
∴OA=2−y，OD=2−x，
∴S▵AOD=12OD⋅OA
=122−x2−y
=124−2x−2y+xy
=2−x−y+12xy
=2−x−y+122x+2y−2
=2−x−y+x+y−1
=1．
故答案为：1．
【解析】【分析】(1)根据图1的面积为大正方形的面积，也可以看作是2个不同的正方形的面积加上2个相同的长方形的面积，分别列出代数式即可得到答案；
(2)图2的面积为直角梯形的面积，也可以看作是3个直角三角形的面积和，分别列出代数式即可得到答案；
(3)①利用(2)中的结论，代入数据直接计算即可；
②根据▵BOC的周长先求出BC=2−x−y，然后利用勾股定理列式整理得到xy=2x+2y−2，求出OA=2−y，OD=2−x，根据三角形的面积公式列式计算即可．
26.【答案】【小问1详解】
解：∵AB//CD，
∴∠CAB+∠ACD=180∘，
∵AE，CE分别平分∠CAB和∠ACD，
∴∠CAE=12∠CAB，∠ACE=12∠ACD，
∴∠E=180−∠CAE+∠ACE=180−12×180=90∘；
【小问2详解】
在▵GEC中，∠GEF=∠G+∠GCE，
∴∠G=∠GEF−∠GCE=13∠AEF−13∠ACF=13∠CAE，
∴∠EAC=3∠G；
【小问3详解】
由(2)可得：∠GCE=13∠ACE，
∵∠ECH=13∠ECM，
∴∠GCE+∠ECH=13∠ACE+∠ECM=13×180∘=60∘，
在▵GCE中，
∠G+∠H=180∘−∠GCE+∠ECH=180∘−60∘=120∘．
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得到∠CAB+∠ACD=180∘，再根据角平分线的定义得到∠CAE=12∠CAB，∠ACE=12∠ACD，最后∠E=180−∠CAE+∠ACE求出结果；
(2)首先得到∠GEF=∠G+∠GCE，再根据外角的 性质推出∠G=∠GEF−∠GCE=13∠AEF−13∠ACF=13∠CAE即可；
(3)由(2)得到∠GCE=13∠ACE，求出∠GCE+∠ECH=13∠ACE+∠ECM=60∘，从而计算可得．
1.下列图案中，可以看作由“基本图案”通过平移得到的是( )
A. B. C. D.
2.中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的懒22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米=0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为
( )
A. 2.2×10−7B. 2.2×10−8C. 22×10−7D. 0.22×10−9
3.下列各式正确的是( )
A. a4⋅a5=a20B. a2+2a3=2a5C. (−a2b3)2=a4b9D. a4÷a=a3
4.如图，下列结论不成立的是( )
A. 如果∠1=∠3，那么AB//CD
B. 如果∠2=∠4，那么AC//BD
C. 如果∠1+∠2+∠C=180°，那么AB//CD
D. 如果∠4=∠5，那么AC//BD
5.下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是( )
A. a−1a−1=a2−1B. a2−16a+64=a−82
C. a2−2a+4=a−22D. ab+ac+1=ab+c+1
6.下列说法：
①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线；
②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；
④同旁内角相等，两直线平行．
正确的个数有个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.如图，直线a//b，点B在a上，且AB⊥BC.若∠1=35∘，那么∠2等于
( )
A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°
8.如图，AB//CD，CE平分∠BCD，∠DCE=18∘，则∠B等于
A. 18∘B. 36∘C. 45∘D. 54∘
9.一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如27=62−32，63=82−12，故27，63都是“创新数”，下列各数中，不是“创新数”的是( )
A. 31B. 41C. 16D. 54
10.如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG//BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠ADC=∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB=12∠CGE.其中正确的结论是
( )
A. ②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.某种流感病毒的直径大约为0.00000085米，用科学记数法表示为_______米．
12.已知x+y=2，x−y=4，x2−y2=______．
13.已知am=6，an=2，则am−n=______．
14.一个多边形的内角和是外角和的2倍多180∘，则这个多边形是_____边形．
15.若关于x的二次三项式x2+ax+4是完全平方式，则a的值是______．
16.若x+mx−4去括号后不含x 的 一次项，则m的值为______．
17.如图，在▵ABC中，∠B=45∘，∠C=30∘，点D在边BC上，若▵ACD是直角三角形，则∠BDA的度数为____________．
18.如图所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30∘的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动．若要使AC//DE.则∠CAE0∘<∠CAE<180∘度数为________．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.计算
(1)(−3a2)3+2a2⋅a4−a8÷a2
(2)(π−3.14)0−(12) −3−12022
(3)(2x−3)(x+1)−x(x+4)
(4)(m+1)2(m−1)2
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
先化简，再求值：(x+y)2−2x(x+3y)+(x+2y)(x−2y) ，其中x=−1，y=2．
21.(本小题8分)
已知4m+n=40,2m−3n=5，求(m+2n)2−(3m−n)2的值．
22.(本小题8分)
如图，网格中每个小正方形边长为1，▵ABC的顶点都在格点(网格线的交点)上．将▵ABC向上平移5格，得到▵A1B1C1，利用网格画图．
(1)请在图中画出平移后的▵A1B1C1；
(2)作出AB边上的高CE；
(3)BC边在平移的过程中扫过的面积等于__．
23.(本小题8分)
如图，有一块长3a+b米，宽2a+b米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为b米的正方形．
(1)计算广场上需要硬化部分的面积；
(2)若a=30，b=10，求硬化部分的面积．
24.(本小题8分)
我们知道，同底数幂的乘法法则为am·an=am+n(其中a≠0，m、n为正整数)，类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f(m)·f=f(m+n) (其中m、n为正整数)；例如，若f(3)=2，则f(6)=f(3+3)=f(3)·f(3)=2×2=4．( )
(1)若f(2)=5，则：
①计算f(6)；
②当f(2n)=25，求n的值；
(2)若f(a)=3，化简：f(a)·f(2a)·f(3a)·····f(10a) .
25.(本小题8分)
在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．
(1)用不同的方法计算图1的面积得到等式：___________________．
(2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式：________________(结果为最简)
(3)根据上面两个结论，解决下面问题：
①在直角▵ABC中，∠C=90∘，三边长分别为a、b、c，已知ab=12，c=5，求a+b的值．
②如图3，四边形ABCD中，对角线AC，BD互相垂直，垂足为O，AC=BD=2，在直角▵BOC中，OB=x，OC=y，若▵BOC的周长为2，则▵AOD的面积=___________．
26.(本小题8分)
已知射线AB//CD，连接AC．
(1)如图1，若AE、CE分别平分∠BAC、∠DCA，AE、CE交于点E，求∠E的度数，并说明理由．
(2)如图2，在(1)的条件下，延长CE到F、若点G满足∠GEF=13∠AEF，∠GCF=13∠ACF，试探求∠G与∠EAC的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在(2)的条件下，延长AC到M，若∠ECH=13∠ECM，CH交GE延长线于点H.求∠G与∠H的度数之和．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据平移的定义可得答案．
【详解】解：A、能通过基本图形平移得到，故此选项符合题意；
B、可以由一个“基本图案”旋转得到，故本选项不符合题意；
C、可以由一个“基本图案”旋转得到，故本选项不符合题意；
D、不能通过基本图形平移得到，故本选项不符合题意．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10−8，
故选：B．
3.【答案】D
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，系数相加，积的乘方，同底数幂的除法运算即可求解．
【详解】解：A、a4⋅a5=a9，故选项 A错误；
B、a2与2a3不是同类项，不能合并成一项，故选项 B错误；
C、(−a2b3)2=a4b6，故选项 C错误；
D、a4÷a=a3，故选项 D正确．
故选：D．
4.【答案】D
【解析】【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【详解】A.如果∠1=∠3，那么能得到AB//CD，故本选项结论成立，不符合题意．
B.如果∠2=∠4，那么能得到AC//BD，故本选项结论成立，不符合题意．
C.如果∠1+∠2+∠C=180°，能得到AB//CD，故本选项结论成立，不符合题意．
D.如果∠4=∠5，那么不能得到AC//BD，故本选项结论不成立，符合题意．
故选：D．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据因式分解的定义和因式分解的方法进行逐一判断即可．
【详解】解：A．a+1a−1=a2−1，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.a2−16a+64=a−82，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C.a2−2a+4≠a−22，因式分解错误，故本选项不符合题意；
D.ab+ac+1=ab+c+1，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：B．
6.【答案】A
【解析】【分析】分别根据平行线的判定以及平行线定义和平行公理分析得出即可．
【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原说法错误；
②过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故原说法错误；
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原说法正确；
④同旁内角互补，两直线平行，故原说法错误．
∴正确的个数有1个，
故选：A．
7.【答案】C
【解析】【分析】先根据平行线的性质求出∠BAC的度数，再根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，即可利用对顶角相等得到∠2的度数．
【详解】解∵a//b，
∴∠BAC=∠1=35∘，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90∘，
∴∠ACB=180∘−∠BAC−∠ABC=55∘，
∴∠2=∠ACB=55∘，
故选C．
8.【答案】B
【解析】【分析】利用角平分线上定义可求∠BCD的度数，然后利用平行线的性质即可求出∠B的度数．
【详解】解：∵CE平分∠BCD，∠DCE=18∘，
∴∠BCD=2∠DCE=2×18∘=36∘．
∵AB//CD，
∴∠B=∠BCD=36∘．
故选：B．
9.【答案】D
【解析】【分析】根据数字的特点，分别将31、41和16写成两个正整数的平方差的形式，而54不能写成两个正整数数的平方差的形式，则问题得解．
【详解】解：∵31=(16+15)(16−15)=162−152，
41=(21+20)(21−20)=212−202，
16=(5+3)(5−3)=52−32，
54不能表示成两个正整数的平方差．
∴31、41和16是“创新数”，而54不是“创新数”．
故选：D．
10.【答案】B
【解析】【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【详解】①∵EG // BC，
∴∠CEG=∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；
②∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°．
∵EG // BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，故正确；
③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；
④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC=90°+12(∠ABC+∠ACB)=135°，
∴∠DFE=360°−135°−90°=135°，
∴∠DFB=45°=12∠CGE，故正确．
故选B．
11.【答案】8.5×10−7
【解析】【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤a<10，n为整数，据此判断即可．
【详解】解：0.00000085=8.5×10−7．
故答案为 ：8.5×10−7．
12.【答案】8
【解析】【分析】利用平方差公式直接求解即可．
【详解】解：∵x+yx−y=x2−y2
∴x2−y2=2×4=8，
故答案为：8．
13.【答案】3
【解析】【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可，同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【详解】解：∵am=6，an=2，
∴am−n=am÷an=6÷2=3．
故答案为：3．
14.【答案】七
【解析】【分析】本题考查多边形的内角和和外角和．根据多边形的内角和公式以及外角和为360∘，列出方程求解即可．
【详解】解：设多边形的边数为n，由题意，得：n−2⋅180∘=2×360∘+180∘，
解得：n=7；
所以这个多边形为七边形；
故答案为：七．
15.【答案】±4
【解析】【分析】根据完全平方公式求解即可．
【详解】因x2+ax+4=x2+ax+22是完全平方式，则这个完全平方式是：(x+2)2或(x−2)2
即x2+ax+4=(x+2)2=x2+4x+4或x2+ax+4=(x−2)2=x2−4x+4
解得：a=4或a=−4
故a的值是±4．
16.【答案】4
【解析】【分析】先计算多项式乘以多项式，再根据积去括号后不含x的一次项，再建立方程解题即可．
【详解】解：x+mx−4=x2+m−4x−4m．
∵积去括号后不含x的一次项，
∴m−4=0．
∴m=4．
故答案为：4．
17.【答案】90∘或120∘
【解析】【分析】分∠ADC=90∘、∠D′AC=90∘两种情况，根据三角形的外角性质计算，得到答案
【详解】解：如图所示，当∠ADC=90°时，∠BDA=90∘
当∠D′AC=90∘时，
则∠BD′A=∠CAD′+∠C=120∘
故答案为：90∘或120∘．
18.【答案】135∘
【解析】【分析】根据题意画出图形，利用平行线性质可得到∠CAE的度数．
【详解】如图，
当DE//AC，
∠EDA=∠CAD=90∘，
∴∠CAE=∠DAE+∠CAD=45∘+90∘=135∘．
故答案为：135∘
19.【答案】【小问1详解】
解：(−3a2)3+2a2⋅a4−a8÷a2
=−27a6+2a6−a6
=−26a6；
【小问2详解】
解：(π−3.14)0−(12) −3−12022
=1−8−1
=−8；
【小问3详解】
解：(2x−3)(x+1)−x(x+4)
=2x2+2x−3x−3−x2−4x
=x2−5x−3；
【小问4详解】
解：(m+1)2(m−1)2
=(m2−1)2
=m4−2m2+1．
【解析】【分析】(1)分别计算积的乘方，同底数幂的乘法、除法，然后进行加减运算即可；
(2)先分别计算零指数幂，负整数指数幂，乘方，然后进行减法运算即可；
(3)分别计算多项式乘多项式，单项式乘多项式，然后进行加减运算；
(4)利用平方差公式，完全平方公式进行计算求解即可．
20.【答案】原式=x2+2xy+y2−2x2−6xy+x2−4y2=−3y2−4xy
当x= −1，y=2时，原式= −12+8=−4
【解析】【分析】先完全平分公式，平方差公式和整数的乘法计算方法计算，再进一步合并化简后代入求得数值即可．
21.【答案】解：(m+2n)2−(3m−n)2
=(m+2n+3m−n)(m+2n−3m+n)
=(4m+n)(3n−2m)
=−(4m+n)(2m−3n)．
当4m+n=40,2m−3n=5时，原式=−40×5=−200．
【解析】【分析】通过观察要求的式子，将m+2n+3m−n可得4m+n，将m+2n−3m−n可得−2m+3n，故可想到利用平方差公式因式分解，由2m−3n=5可得−2m+3n=−5，代入即可解决本题．
22.【答案】【小问1详解】
如图所示．
【小问2详解】
如图所示．
【小问3详解】
根据题意可知BC扫过的图形是平行四边形BCC1B1，即面积=5×2=10．
故答案为：10．
【解析】【分析】(1)将三个顶点向上平移5个单位，再连接三个顶点即可；
(2)过点C作CE⊥AB，交AB延长线于点E；
(3)先确定平移扫过的图形是平行四边形，再求出面积即可．
23.【答案】【小问1详解】
解：根据题意，广场上需要硬化部分的面积是：
2a+b3a+b−b2
=6a2+2ab+3ab+b2−b2
=6a2+5ab，
答：广场上需要硬化部分的面积是6a2+5abm2．
【小问2详解】
解：把a=30，b=10代入，
6a2+5ab=6×302+5×30×10=6900m2，
答：广场上需要硬化部分的面积是6900m2．
【解析】【分析】(1)由题意可知空白部分的面积=长方形的面积−阴影部分的面积．长方形的面积是长×宽，即3a+b2a+b；阴影部分是正方形，其面积是b2，所以空白部分的面积是2a+b3a+b−b2；
(2)将a，b的数值代入(1)题中的代数式求值即可．
24.【答案】【小问1详解】
解：①∵f(2)=5，
∴f(6)=f(2+2+2)
=f(2)⋅f(2)⋅f(2)
=5×5×5
=125；
②∵25=5×5=f(2)⋅f(2)=f(2+2)，
又∵f(2n)=25，
∴f(2n)=f(2+2)．
∴2n=4．
∴n=2．
【小问2详解】
∵f(2a)=f(a+a)=f(a)⋅f(a)=3×3=32，
f(3a)=f(a+a+a)=f(a)⋅f(a)⋅f(a)=3×3×3=33，
·····
f(10a)=310，
∴f(a)⋅f(2a)⋅f(3a)·····f(10a)
=3×32×33×·····×310
=31+2+3+·····+10
=355．
【解析】【分析】(1)①利用新运算的规定进行运算即可；
②将25变换为5×5=f(2)⋅f(2)，再利用新运算的规定解答即可；
(2)将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出3的幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可．
25.【答案】【小问1详解】
解：图1的面积为大正方形的面积，即a+b2，
图1的面积也可以看作是2个不同的正方形的面积加上2个相同的长方形的面积，即a2+b2+2ab，
故可得等式：a+b2=a2+b2+2ab，
故答案为：a+b2=a2+b2+2ab；
【小问2详解】
图2的面积为直角梯形的面积，即12a+ba+b=12a+b2，
图2的面积也可以看作是3个直角三角形的面积和，即12ab+12c2+12ab=ab+12c2，
故可得等式：12a+b2=ab+12c2，
∴a+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2，
故答案为：a2+b2=c2；
【小问3详解】
①∵在直角▵ABC中，∠C=90∘，三边长分别为a、b、c，ab=12，c=5，
由(2)可得a+b2=2ab+c2，即a+b2=2×12+52=49，
∴a+b=7；
②∵在直角▵BOC中，OB=x，OC=y，▵BOC 的 周长为2，
∴BC=2−x−y，
∵在直角▵BOC中，BC2=OB2+OC2，
∴2−x−y2=x2+y2，
∴xy=2x+2y−2，
∵AC=BD=2，
∴OA=2−y，OD=2−x，
∴S▵AOD=12OD⋅OA
=122−x2−y
=124−2x−2y+xy
=2−x−y+12xy
=2−x−y+122x+2y−2
=2−x−y+x+y−1
=1．
故答案为：1．
【解析】【分析】(1)根据图1的面积为大正方形的面积，也可以看作是2个不同的正方形的面积加上2个相同的长方形的面积，分别列出代数式即可得到答案；
(2)图2的面积为直角梯形的面积，也可以看作是3个直角三角形的面积和，分别列出代数式即可得到答案；
(3)①利用(2)中的结论，代入数据直接计算即可；
②根据▵BOC的周长先求出BC=2−x−y，然后利用勾股定理列式整理得到xy=2x+2y−2，求出OA=2−y，OD=2−x，根据三角形的面积公式列式计算即可．
26.【答案】【小问1详解】
解：∵AB//CD，
∴∠CAB+∠ACD=180∘，
∵AE，CE分别平分∠CAB和∠ACD，
∴∠CAE=12∠CAB，∠ACE=12∠ACD，
∴∠E=180−∠CAE+∠ACE=180−12×180=90∘；
【小问2详解】
在▵GEC中，∠GEF=∠G+∠GCE，
∴∠G=∠GEF−∠GCE=13∠AEF−13∠ACF=13∠CAE，
∴∠EAC=3∠G；
【小问3详解】
由(2)可得：∠GCE=13∠ACE，
∵∠ECH=13∠ECM，
∴∠GCE+∠ECH=13∠ACE+∠ECM=13×180∘=60∘，
在▵GCE中，
∠G+∠H=180∘−∠GCE+∠ECH=180∘−60∘=120∘．
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得到∠CAB+∠ACD=180∘，再根据角平分线的定义得到∠CAE=12∠CAB，∠ACE=12∠ACD，最后∠E=180−∠CAE+∠ACE求出结果；
(2)首先得到∠GEF=∠G+∠GCE，再根据外角的 性质推出∠G=∠GEF−∠GCE=13∠AEF−13∠ACF=13∠CAE即可；
(3)由(2)得到∠GCE=13∠ACE，求出∠GCE+∠ECH=13∠ACE+∠ECM=60∘，从而计算可得．
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