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初中数学苏科版九年级下册6.5 相似三角形的性质习题
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这是一份初中数学苏科版九年级下册6.5 相似三角形的性质习题，文件包含专题03相似三角形的性质四大类型题型专练原卷版docx、专题03相似三角形的性质四大类型题型专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
【题型1 相似三角形的性质】
【题型2相似三角形的性质与判定综合应用】
【题型3 作图-相似变换】
【题型4 射影定理】
【题型1 相似三角形的性质】
1．（2022秋•常州期末）如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（ ）
A．B．C．2D．3
2．（2023•陇南模拟）两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（ ）
A．2：3B．4：9C．9：4D．16：81
3．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，AB＝4，则CD的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2022秋•鼓楼区期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为 ．
5．（2023•惠城区校级一模）若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB＝12cm，则DE＝ cm．
6．（2022秋•于洪区期末）两个相似三角形的周长比是3：4，其中较小三角形的面积为18cm2，则较大三角形的面积为 cm2．
7．（2022秋•鸡西期末）如果两个相似三角形的周长比为1：6，那么这两个三角形的面积比为 ．
8．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是 ．
9．（2022秋•内乡县期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AD＝6，BD＝3，DE＝4，则BC＝ ．
10．（2022秋•零陵区期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为 cm2．
【题型2相似三角形的性质与判定综合应用】
11．（2022秋•代县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，过点E作ED⊥AB于点D，求AD的长．
12．（2023•灞桥区校级开学）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF．
（1）当，BF＝6cm时，求BE的长；
（2）求证：BE2＝BF•BC．
13．（2022秋•泰兴市期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的延长线上一点，连接BE交边CD于点F，交对角线AC于点G．
（1）求证：△BGC∽△EGA；
（2）若，求的值．
14．（2023春•朝阳区校级期末）如图，在△ABC和△DEC中，．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC：S△DEC＝9：16，BC＝6，求EC的长．
15．（2023春•仓山区校级期末）如图，D、E分别是AC、AB上的点，连接DE，且∠ADE＝∠B，若DE＝8，AB＝18，AD＝6，求BC的长．
16．（2022秋•内江期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝∠B．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若AB＝5，BC＝6，BD＝2，求点E到BC的距离．
17．（2023春•烟台期末）如图，在△ABC中，BC＝12，高AD＝6，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，求AN的长．
18．（2023•松原一模）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，DF⊥AE于点F．
（1）求证：△ADF∽△EAB．
（2）已知AB＝4，BC＝6，求EF的长．
【题型3 作图-相似变换】
19．在△ABC中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△ABD∽△BCD，如下四个尺规作图，正确的是（ ）
A．（作一个角的平分线）
B．（作线段的垂直平分线）
C．（作高）
D．（作等腰三角形）
20．尺规作图：如图，在△ABC中，AB＝AC，请你利用尺规在BC边上求一点P，使得△ABC∽△PAC．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
21．在4×6的网格中，格点△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：△ABC的面积为 ．
（2）请利用网格再画一个格点△DEF∽△ABC且面积最小，并将此三角形涂上阴影．（注：标上字母）
22．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudxus，约前408年﹣﹣前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．
采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点．任务：
（1）求证：C是线段AB的黄金分割点．
（2）若BD＝1，则BC的长为 ．
23．（1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，请用无刻度的直尺和圆规在AB上确定一点P，使得△ACP∽△ABC．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，若AC＝6，AB＝8，则AP的长为 ；
（3）在如图2的正方形网格中，△DEF的三个顶点均为格点，请用无刻度的直尺，在边DF上确定一点M，使得DE2＝DM⋅DF．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【题型4 射影定理】
24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，下列结论错误的是（ ）
A．AB2＝BD•BCB．AC2＝DC•BCC．AD2＝BD•DCD．BC2＝AB•AC
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC交CD于F，EH⊥CD于H，则下列结论：①CD2＝AD•BD；②AC2+BD2＝BC2+AD2；③；④若F为BE中点，则AD＝3BD，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
26．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，M均为格点，点A，B，M均在以格点O为圆心的圆上．
（1）线段AB的长等于 ．
（2）请你只用无刻度的直尺，在线段AB上画点P，使AM2＝AP•AB，并简要说明P点是如何找到的（不要求证明） ．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝3，BD＝1，则AC的长是 ．
28．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AC＝9，CD＝6，则BC的长为 ．
29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BC＝5，BD＝3，求AB的长．
30．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AD＝6，BD＝3．
（1）求证△DAC∽△DCB；
（2）求DC的长．
31．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，且CD⊥AB．
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）若△ABC为任意三角形，试问：在AB边上（不包括A、B两个顶点）是否仍存在一点D，使AC2＝AB•AD，若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．
【题型1 相似三角形的性质】
【题型2相似三角形的性质与判定综合应用】
【题型3 作图-相似变换】
【题型4 射影定理】
【题型1 相似三角形的性质】
1．（2022秋•常州期末）如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（ ）
A．B．C．2D．3
2．（2023•陇南模拟）两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（ ）
A．2：3B．4：9C．9：4D．16：81
3．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，AB＝4，则CD的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2022秋•鼓楼区期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为 ．
5．（2023•惠城区校级一模）若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB＝12cm，则DE＝ cm．
6．（2022秋•于洪区期末）两个相似三角形的周长比是3：4，其中较小三角形的面积为18cm2，则较大三角形的面积为 cm2．
7．（2022秋•鸡西期末）如果两个相似三角形的周长比为1：6，那么这两个三角形的面积比为 ．
8．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是 ．
9．（2022秋•内乡县期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AD＝6，BD＝3，DE＝4，则BC＝ ．
10．（2022秋•零陵区期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为 cm2．
【题型2相似三角形的性质与判定综合应用】
11．（2022秋•代县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，过点E作ED⊥AB于点D，求AD的长．
12．（2023•灞桥区校级开学）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF．
（1）当，BF＝6cm时，求BE的长；
（2）求证：BE2＝BF•BC．
13．（2022秋•泰兴市期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的延长线上一点，连接BE交边CD于点F，交对角线AC于点G．
（1）求证：△BGC∽△EGA；
（2）若，求的值．
14．（2023春•朝阳区校级期末）如图，在△ABC和△DEC中，．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC：S△DEC＝9：16，BC＝6，求EC的长．
15．（2023春•仓山区校级期末）如图，D、E分别是AC、AB上的点，连接DE，且∠ADE＝∠B，若DE＝8，AB＝18，AD＝6，求BC的长．
16．（2022秋•内江期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝∠B．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若AB＝5，BC＝6，BD＝2，求点E到BC的距离．
17．（2023春•烟台期末）如图，在△ABC中，BC＝12，高AD＝6，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，求AN的长．
18．（2023•松原一模）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，DF⊥AE于点F．
（1）求证：△ADF∽△EAB．
（2）已知AB＝4，BC＝6，求EF的长．
【题型3 作图-相似变换】
19．在△ABC中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△ABD∽△BCD，如下四个尺规作图，正确的是（ ）
A．（作一个角的平分线）
B．（作线段的垂直平分线）
C．（作高）
D．（作等腰三角形）
20．尺规作图：如图，在△ABC中，AB＝AC，请你利用尺规在BC边上求一点P，使得△ABC∽△PAC．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
21．在4×6的网格中，格点△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：△ABC的面积为 ．
（2）请利用网格再画一个格点△DEF∽△ABC且面积最小，并将此三角形涂上阴影．（注：标上字母）
22．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudxus，约前408年﹣﹣前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．
采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点．任务：
（1）求证：C是线段AB的黄金分割点．
（2）若BD＝1，则BC的长为 ．
23．（1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，请用无刻度的直尺和圆规在AB上确定一点P，使得△ACP∽△ABC．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，若AC＝6，AB＝8，则AP的长为 ；
（3）在如图2的正方形网格中，△DEF的三个顶点均为格点，请用无刻度的直尺，在边DF上确定一点M，使得DE2＝DM⋅DF．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【题型4 射影定理】
24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，下列结论错误的是（ ）
A．AB2＝BD•BCB．AC2＝DC•BCC．AD2＝BD•DCD．BC2＝AB•AC
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC交CD于F，EH⊥CD于H，则下列结论：①CD2＝AD•BD；②AC2+BD2＝BC2+AD2；③；④若F为BE中点，则AD＝3BD，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
26．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，M均为格点，点A，B，M均在以格点O为圆心的圆上．
（1）线段AB的长等于 ．
（2）请你只用无刻度的直尺，在线段AB上画点P，使AM2＝AP•AB，并简要说明P点是如何找到的（不要求证明） ．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝3，BD＝1，则AC的长是 ．
28．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AC＝9，CD＝6，则BC的长为 ．
29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BC＝5，BD＝3，求AB的长．
30．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AD＝6，BD＝3．
（1）求证△DAC∽△DCB；
（2）求DC的长．
31．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，且CD⊥AB．
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）若△ABC为任意三角形，试问：在AB边上（不包括A、B两个顶点）是否仍存在一点D，使AC2＝AB•AD，若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．
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