2022-2023学年广东省广州科技职业技术大学高三（上）第二次月考数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省广州科技职业技术大学高三（上）第二次月考数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2＝1}，则A∩B等于（ ）
A．{1}B．{﹣1，1}C．{1，2，3}D．{﹣1，1，2，3}
2．（5分）函数y＝lg2（1﹣x）的定义域是（ ）
A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）
3．（5分）不等式x2+3x﹣28＜0的解集是（ ）
A．（﹣4，7）B．（﹣7，4）
C．（﹣∞，﹣7）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（7，+∞）
4．（5分）“a＝﹣3”是“a2﹣9＝0”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知点P（x，3）是角θ终边上一点，且csθ＝﹣（ ）
A．5B．﹣5C．4D．﹣4
6．（5分）已知向量＝（2，﹣3），＝（1，﹣1），则|﹣|等于（ ）
A．B．4C．7D．2
7．（5分）下列函数在（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．y＝﹣x2+2B．y＝lgxC．y＝2xD．
8．（5分）已知，且，则2α等于（ ）
A．B．C．D．
9．（5分）已知{an}为等差数列，a2+a8＝12，则a5等于（ ）
A．8B．5C．6D．7
10．（5分）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．2π
11．（5分）已知两点A（k，﹣1），B（3，1），向量＝（1，﹣2），若，则k等于（ ）
A．﹣1B．2C．7D．4
12．（5分）已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝3，a5＝27，则lg3a4等于（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x），则f（7）等于（ ）
A．﹣8B．﹣6C．6D．8
14．（5分）已知a＝lg0.10.4，b＝lg0.11.1，c＝40.1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜a＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b
15．（5分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，且f（2）＝0（x）＜0的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，2）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）
16．（5分）已知向量和的夹角为，且|，||＝，则•＝ ．
17．（5分）已知函数f（x）＝，则f（1）+f（﹣1）＝ ．
18．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn＝1﹣2an，则a1＝ ．
19．（5分）已知函数f（x）＝3x﹣b的反函数为f﹣1（x），若函数y＝f﹣1（x）的图像经过点Q（5，2），则b＝ ．
20．（5分）已知，且，则tanα＝ ．
三、解答题（本大题共4小题，第21，22，23题各12分，第24题14分，满分50分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
21．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，B＝C．求：
（1）△ABC的周长；
（2）sin2C．
22．（12分）如图所示，在四边形OABC中，CB∥OA，OC＝4，∠OAB＝45°
（1）点A，B，C的坐标；
（2）△ABC的面积．
23．（12分）在等差数列{an}中，已知a1+a3＝2，a4﹣a2＝4．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）求数列{an}的前n项和Sn；
（3）设bn＝23+an，求数列{bn}的前n项和Tn．
24．（14分）已知函数f（x）＝Acs（ωx﹣φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的最大值为1
（1）求A，ω的值；
（2）若，
①求sinφ；
②求．
2022-2023学年广东省3+证书高三（上）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2＝1}，则A∩B等于（ ）
A．{1}B．{﹣1，1}C．{1，2，3}D．{﹣1，1，2，3}
【答案】A
【分析】根据交集的定义即可求解．
【解答】解：∵集合A＝{1，2，4}2＝1}＝{﹣7，1}，
∴A∩B＝{1}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，难度不大．
2．（5分）函数y＝lg2（1﹣x）的定义域是（ ）
A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）
【答案】D
【分析】根据题干信息和函数的基本性质得到并求解1﹣x＞0即可．
【解答】解：∵函数y＝lg2（1﹣x）有意义，
∴8﹣x＞0，
∴x＜1，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的定义域，解题的关键在于数值运算，为基础题．
3．（5分）不等式x2+3x﹣28＜0的解集是（ ）
A．（﹣4，7）B．（﹣7，4）
C．（﹣∞，﹣7）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（7，+∞）
【答案】B
【分析】转化为（x+7）（x﹣4）＜0求解即可．
【解答】解：由x2+3x﹣28＜3，可得（x+7）（x﹣4）＜2，
解得﹣7＜x＜4，
故选：B．
【点评】本题考查不等式的解法，属于基础题．
4．（5分）“a＝﹣3”是“a2﹣9＝0”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求解a2﹣9＝0，即可求解结论．
【解答】解：解a2﹣9＝8，可得a＝±3．
故“a＝﹣3”是“a4﹣9＝0”的充分不必要条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分与必要条件的判断，属于基础题．
5．（5分）已知点P（x，3）是角θ终边上一点，且csθ＝﹣（ ）
A．5B．﹣5C．4D．﹣4
【答案】D
【分析】由P（x，3）是角θ终边上一点，且csθ＝﹣，利用任意角的三角函数的定义可得csθ＝＝﹣，即可求出x的值．
【解答】解：∵P（x，3）是角θ终边上一点，
∴csθ＝＝﹣，
∴x＝﹣4．
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
6．（5分）已知向量＝（2，﹣3），＝（1，﹣1），则|﹣|等于（ ）
A．B．4C．7D．2
【答案】A
【分析】先求得﹣＝（1，﹣2），再计算模长即可．
【解答】解：∵向量＝（2，＝（1，
∴﹣＝（4，
∴|﹣|＝＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量的模长计算，属于基础题．
7．（5分）下列函数在（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．y＝﹣x2+2B．y＝lgxC．y＝2xD．
【答案】C
【分析】根据函数的基本性质逐项判断求解即可．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2的二次项系数为负，对称轴为x＝8，
∴y＝﹣x2+2在（6，+∞）上为减函数，
∵＜4，
∴y＝lgx在（3，
∵2＞1，
∴y＝8x在（0，+∞）上为增函数，
y＝+2在（0，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的单调性，解题的关键在于掌握函数的基本性质，为基础题．
8．（5分）已知，且，则2α等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，且求解即可．
【解答】解：∵，且，
∴α＝，
∴5α＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查特殊角的三角函数的值，解题的关键在于数值运算，为基础题．
9．（5分）已知{an}为等差数列，a2+a8＝12，则a5等于（ ）
A．8B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】将a2+a8用a1和d表示，再将a5用a1和d表示，从中寻找关系解决，或结合已知，根据等差数列的性质a2+a8＝2a5求解．
【解答】解：解法1：∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a4+a8＝a1+d+a3+7d＝2a6+8d＝12；
∴a1+6d＝6；
∴a5＝a7+4d＝6．
解法8：∵a2+a8＝6a5，a2+a5＝12，
∴2a5＝12，
∴a7＝6，
故选：C．
【点评】解法1用到了基本量a1与d，还用到了整体代入思想；
解法2应用了等差数列的性质：{an}为等差数列，当m+n＝p+q（m，n，p，q∈N+）时，am+an＝ap+aq．
特例：若m+n＝2p（m，n，p∈N+），则am+an＝2ap．
10．（5分）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．2π
【答案】B
【分析】根据题干信息计算求解函数的周期即可．
【解答】解：函数的最小正周期是，
故选：B．
【点评】本题主要考查正弦函数的周期，解题的关键在于数值运算，为基础题．
11．（5分）已知两点A（k，﹣1），B（3，1），向量＝（1，﹣2），若，则k等于（ ）
A．﹣1B．2C．7D．4
【答案】D
【分析】先求出，再根据向量共线即可求解k．
【解答】解：∵A（k，﹣1），1）＝（4，，
∴＝（3﹣k，
∴（3﹣k）×（﹣2）﹣1×2＝7，解得k＝4．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量共线，属于基础题．
12．（5分）已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝3，a5＝27，则lg3a4等于（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据a3＝3，a5＝27和对数函数和等比数列的基本性质求解即可．
【解答】解：∵在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝3，a2＝27，
∴q2＝9，q＝4，
∴a4＝3a8＝9，
∴，lg3a3＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查对数函数和等比数列的基本性质，解题的关键在于数值运算，为基础题．
13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x），则f（7）等于（ ）
A．﹣8B．﹣6C．6D．8
【答案】A
【分析】根据f（7）＝﹣f（﹣7）即可求解．
【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，
∴f（7）＝﹣f（﹣7）＝﹣（5+7）＝﹣8．
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性，难度不大．
14．（5分）已知a＝lg0.10.4，b＝lg0.11.1，c＝40.1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜a＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b
【答案】A
【分析】将a＝lg0.10.4，b＝lg0.11.1，c＝40.1与0或1进行比较即可求解．
【解答】解：∵0＜a＝lg0.50.4＜7，b＝lg0.18.1＜0，c＝80.1＞3，
∴b＜a＜c．
故选：A．
【点评】本题考查指对式比较大小，难度不大．
15．（5分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，且f（2）＝0（x）＜0的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，2）
【答案】D
【分析】根据题意，作出函数f（x）的大致图像，即可得出答案．
【解答】解：因为函数f（x）定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，
又f（2）＝0，
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，
作出函数f（x）的大致图像，如下：
所以f（x）＜7的解集为﹣2＜x＜0或8＜x＜2，
所以不等式的解集为（﹣2，8），
故选：D．
【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性，解题中需要理清思路，属于基础题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）
16．（5分）已知向量和的夹角为，且|，||＝，则•＝ 1 ．
【答案】1．
【分析】直接代入求解即可．
【解答】解：∵向量和的夹角为|＝6，|，
∴•＝||×cs×（﹣．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查向量的数量积，属于基础题．
17．（5分）已知函数f（x）＝，则f（1）+f（﹣1）＝ ．
【答案】．
【分析】根据f（x）＝求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝，
∴f（1）+f（﹣3）＝2﹣1+＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数的值，解题的关键在于数值运算，为基础题．
18．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn＝1﹣2an，则a1＝ ．
【答案】．
【分析】根据数列{an}的前n项和为Sn＝1﹣2an求解即可．
【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn＝1﹣2an，
∴S7＝a1＝1﹣3a1，
∴a1＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查an和Sn的关系，解题的关键在于数值运算，为基础题．
19．（5分）已知函数f（x）＝3x﹣b的反函数为f﹣1（x），若函数y＝f﹣1（x）的图像经过点Q（5，2），则b＝ 4 ．
【答案】4．
【分析】根据反函数的定义即可求解．
【解答】解：∵函数y＝f﹣1（x）的图像经过点Q（5，6），
∴函数f（x）＝3x﹣b过（2，7），
∴5＝37﹣b，
∴b＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查反函数，难度不大．
20．（5分）已知，且，则tanα＝ ﹣ ．
【答案】﹣．
【分析】根据诱导公式和同角三角函数基本关系式即可求解结论．
【解答】解：因为，且，
可得csα＝﹣，
所以sinα＝＝，
故tanα＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查诱导公式和同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．
三、解答题（本大题共4小题，第21，22，23题各12分，第24题14分，满分50分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
21．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，B＝C．求：
（1）△ABC的周长；
（2）sin2C．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）依题意可得，进而求得周长；
（2）由余弦定理可得csC，进而得到sinC，再由二倍角公式得解．
【解答】解：（1）由于B＝C，
则，
故△ABC的周长为；
（2）由余弦定理可得，，
又C为△ABC的内角，则，
故．
【点评】本题考查解三角形，属于基础题．
22．（12分）如图所示，在四边形OABC中，CB∥OA，OC＝4，∠OAB＝45°
（1）点A，B，C的坐标；
（2）△ABC的面积．
【答案】（1）A（7，0），B（3，4），C（0，4）；（2）6．
【分析】（1）根据题意直接得出答案；
（2）由S△ABC＝S梯形OABC﹣S△AOC，即可得出答案．
【解答】解：（1）依题意，可得B（3，C（0，
由于∠OAB＝45°，
则点A的坐标为（4，0）；
（2）S△ABC＝S梯形OABC﹣S△AOC＝．
【点评】本题考查解三角形，属于基础题．
23．（12分）在等差数列{an}中，已知a1+a3＝2，a4﹣a2＝4．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）求数列{an}的前n项和Sn；
（3）设bn＝23+an，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】．
【分析】（1）根据题意建立关于a1，d的方程组，解出后即可得到通项公式；
（2）利用等差数列的求和公式求解即可；
（3）求得，再由等比数列的求和公式求解即可．
【解答】解：（1）设公差为d，
则，解得，
故an＝a2+（n﹣1）d＝﹣1+5（n﹣1）＝2n﹣6；
（2）；
（3），
则．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，前n项和，等比数列的前n项和，属于基础题．
24．（14分）已知函数f（x）＝Acs（ωx﹣φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的最大值为1
（1）求A，ω的值；
（2）若，
①求sinφ；
②求．
【答案】（1）A＝1，ω＝2；
（2）①；②．
【分析】（1）根据f（x）的最大值为1，最小正周期为π即可得解；
（2）①由（1）结合可得，再由平方关系得解；
②由和差角公式即可得解．
【解答】解：（1）依题意，A＝1，，
解得ω＝8；
（2）①由（1）可得，f（x）＝cs（2x﹣φ），
则，
可得，
又0＜φ＜π，
则；
②＝．
【点评】本题考查余弦型函数的性质以及和差角公式，属于基础题．