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2022-2023学年广东省广州市番禺区高一（上）开学数学试卷
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这是一份2022-2023学年广东省广州市番禺区高一（上）开学数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市番禺区高一（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，14}，则A∩B中的元素个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（5分）已知角α的终边与单位圆交点坐标为，则cosα的值为（ ）
A．﹣2 B． C． D．
3．（5分）一元二次方程x2+2x+m＝0有实数解的一个必要不充分条件为（ ）
A．m＜1 B．m≤1 C．m≥1 D．m＜2
4．（5分）若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|﹣2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5分）已知，且，则sin2θ＝（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）下列函数的最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（ ）
A．（﹣2，2）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（2，+∞）
8．（5分）设a＝log34，b＝log45，c＝log56，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）若a，b，c，为实数，且0＜a＜b，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C．a﹣c＜b﹣c D．ac2≤bc2
（多选）10．（5分）已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．周期为π
B．直线x＝π是f（x）图像的一条对称轴
C．点是f（x）图像的一个对称中心
D．将f（x）的图像向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图像
（多选）11．（5分）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at，关于下列说法正确的是（ ）
A．a的值为3
B．浮萍每月的增长面积相同
C．第3个月时，浮萍面积超过25m2
D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3
12．（5分）若定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足：f（xy）＝f（x）+f（y），且f（2）＝1，则下列结论中错误的是（ ）
A．f（1）＝0 B．f（4）＝2
C．f（x）+f（﹣x）＝0 D．f（x）﹣f（﹣x）＝0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）tan30°的值是 ．
14．（5分）已知函数，则f（4）＝ ；f（﹣1）＝ ．
15．（5分）命题“∀x∈R，x2+3x﹣1≥0”的否定是 ．
16．（5分）设x1满足2x+lnx＝3，x2满足ln（1﹣x）﹣2x＝1，则x1+x2＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知，且_____，求cosβ的值．请从下列①②③中任选两个补充在空格上，并给予解答．三个条件分别是：
①；
②；
③．
注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．
18．（12分）已知幂函数f（x）＝xα经过．
（1）求α的值；
（2）若，试判断g（x）在（0，+∞）的单调性并用定义法证明．
19．（12分）已知函数，．
（1）求φ的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求函数f（x）在区间上的最小值．
20．（12分）若函数f（x）＝|x|（x﹣a）（a＞0）．
（1）写出当x≥0时，f（x）的解析式；
（2）在给定的坐标轴上，画出f（x）的图像；
（3）试讨论函数y＝f（x）的图像与直线y＝﹣1的交点个数．
21．（12分）已知函数．
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）若不等式a•f（x）﹣f（2x）＞0对任意x＞0都成立，求实数a的取值范围．
22．（12分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．已知目前疫情在该地区发生第53天，累计确诊病例数达最大确诊病例数的一半．
（1）求b的值；
（2）为了切实保障人民群众的基本生活需要，目前政府需要根据疫情发展部署进一步强化生活必需品市场供应保障的工作．请你根据上述Logistic模型预测：
①第54天单日新增确诊病例数；（结果用含K的代数式表示）
②约多少天后累计确诊病例数为最大确诊病例数的99%？请说明理由．
参考数据：e﹣0.23≈0.8，ln99≈4.6．
2022-2023学年广东省广州市番禺区高一（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，14}，则A∩B中的元素个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先列举出集合A的元素，再根据交集定义求得结果．
【解答】解：由集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}得：A＝{2，5，8，11，14，...}，
又B＝{6，8，10，14}，
所以A∩B＝{8，14}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的运算，属于基础题．
2．（5分）已知角α的终边与单位圆交点坐标为，则cosα的值为（ ）
A．﹣2 B． C． D．
【分析】根据三角函数的定义可得答案．
【解答】解：三角函数的定义，角的终边与单位圆交点的横坐标为该角的余弦值，即，
故选：D．
【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3．（5分）一元二次方程x2+2x+m＝0有实数解的一个必要不充分条件为（ ）
A．m＜1 B．m≤1 C．m≥1 D．m＜2
【分析】方程x2+2x+m＝0有实数解⇔Δ＝4﹣4m≥0，解得m范围即可判断出．
【解答】解：方程x2+2x+m＝0有实数解⇔Δ＝4﹣4m≥0，解得m≤1．
∴方程x2+2x+m＝0有实数解的一个必要不充分条件为m＜2．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程有实数根的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．（5分）若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|﹣2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】通过函数的定义域以及函数的值域，结合函数的定义判断选项的正误即可．
【解答】解：函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|﹣2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，
可知A图象定义域不满足条件；
B图象不满足函数的值域；
C图象满足题目要求；
D图象，不是函数的图象；
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象与函数的对应关系，函数的定义域，值域的应用，是基础题．
5．（5分）已知，且，则sin2θ＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】把两边平方，根据二倍角公式整理得到到结果．
【解答】解：由两边平方，得，
即，所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
6．（5分）下列函数的最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】均值不等式使用的条件是“一正二定三相等”，判断各选项时注意验证这些条件．
【解答】解：选项A，当x＜0时，y＜0，所以函数的最小值为2错误，故A错误；
选项B，由x＞﹣3得x+3＞0，根据均值不等式，，当x＝﹣2时，y取最小值2，故B正确；
选项C，由x＞2得x﹣2＞0，，而当x＝2时，y才能取最小值，所以取不到最小值，故C错误；
选项D，sinx∈[﹣1，1]，当sinx＜0时，y＜0，所以函数的最小值为2错误，故D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式应用条件的检验，属于中档题．
7．（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（ ）
A．（﹣2，2）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（2，+∞）
【分析】根据奇函数可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（﹣2）＝0，然后可得答案．
【解答】解：因为定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，
所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（﹣2）＝0，
所以由f（x）＜0可得x∈（﹣2，0）∪（2，+∞），
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
8．（5分）设a＝log34，b＝log45，c＝log56，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【分析】构造函数，然后根据对数函数的性质，得到构造函数的单调性，即可得出结论．
【解答】解：由题意，在中，y＝lg（x+1）的图象在函数y＝lgx图象的上方，且随着x的增大，两条曲线越来越接近，
这说明，随着x的增大，两个函数的值越来越接近，
∵lg（x+1）＞lgx＞0，所以随着x的增大，比值越来越小，且趋向1，
∴f（x）＝logx（x+1）是（﹣1，+∞）上的减函数，
∴f（3）＞f（4）＞f（5），
即a＞b＞c．
故选：B．
【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，属于基础题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）若a，b，c，为实数，且0＜a＜b，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C．a﹣c＜b﹣c D．ac2≤bc2
【分析】利用不等式的性质逐一判断即可．
【解答】解：对于选项A：因为0＜a＜b，由不等式性质可知，，故A错误；
对于选项B：因为0＜a＜b，由不等式性质可知：a2＜b2，，故B正确；
对于选项C：因为0＜a＜b，由不等式性质可知，a﹣c＜b﹣c，故C正确；
对于选项D：因为0＜a＜b，显然c2≥0，由不等式可知，ac2≤bc2，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．周期为π
B．直线x＝π是f（x）图像的一条对称轴
C．点是f（x）图像的一个对称中心
D．将f（x）的图像向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图像
【分析】根据图像最高点得到A，由周期得到ω，再将点代入函数解析式中求得φ，再根据正弦型函数的图像性质，对选项逐一判断即可得到结果．
【解答】解：由函数图像可知，A＝2，最小正周期为，
∴，将点代入函数解析式中，得：，
又，∴，故．
对于选项A：函数的最小正周期为T＝π，故A正确；
对于选项B：令，即，
因此其对称轴为，k∈Z，无论k取何值，x≠π，故B不正确；
对于选项C：令，所以，
即f（x）的对称中心为，
点是f（x）图像的一个对称中心，故C正确；
对于选项D：将f（x）的图像向左平移个单位长度后，
得到的图像，该函数不是偶函数，故D不正确．
故选：AC．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at，关于下列说法正确的是（ ）
A．a的值为3
B．浮萍每月的增长面积相同
C．第3个月时，浮萍面积超过25m2
D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3
【分析】根据函数图像过点（1，3）可求出a的值，即可判断A，根据指数函数的知识可判断B，求出t＝3时的函数值可判断C，t1＝log32，t2＝log34，t3＝log38，然后根据对数的运算可判断D．
【解答】解：对于A选项，由图像可知，函数过点（1，3），∴a＝3，
∴函数解析式为y＝3t，选项A正确；
对于B选项，∵函数y＝3t是指数函数，是曲线型函数，∴浮萍每月增加的面积不相等，选项B错误，
对于C选项，当t＝3时，y＝33＝27＞25，故选项C正确，
对于D选项，∵，，，∴t1＝log32，t2＝log34，t3＝log38，
又∵2log34＝log316＝log32+log38，∴2t2＝t1+t3，选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，属于基础题．
12．（5分）若定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足：f（xy）＝f（x）+f（y），且f（2）＝1，则下列结论中错误的是（ ）
A．f（1）＝0 B．f（4）＝2
C．f（x）+f（﹣x）＝0 D．f（x）﹣f（﹣x）＝0
【分析】利用赋值法，对x、y灵活赋值，对四个选项逐一分析判断即可．
【解答】解：（1）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足：f（xy）＝f（x）+f（y），
令x＝y＝1，得f（1×1）＝f（1）+f（1），
解得f（1）＝0，故A正确；
令x＝y＝﹣1，得f[（﹣1）×（﹣1）]＝f（﹣1）+f（﹣1）＝2f（﹣1），即f（1）＝2f（﹣1）＝0，
故f（﹣1）＝0；
再令y＝﹣1，得f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1）＝f（x），即f（x）﹣f（﹣x）＝0，故D正确；
又f（2）＝1，
所以f（4）＝f（2×2）＝f（2）+f（2）＝2，故B正确；
由上面的分析知，f（x）＝f（﹣x），又f（2）＝1，
所以f（2）+f（﹣2）＝2f（2）＝2≠0，即C错误，
综上所述，以上结论中错误的是C，
故选：C．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法的运用，考查函数与方程思想与运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）tan30°的值是 ．
【分析】直接根据特殊角的三角函数值解答．
【解答】解：tan30°．
故答案为：．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义以及特殊角的三角函数值．特殊角三角函数值计算在考试中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
14．（5分）已知函数，则f（4）＝ 2 ；f（﹣1）＝ ．
【分析】根据函数解析式直接求函数值即可．
【解答】解：由，
得f（4）＝log24＝2，．
故答案为：2；．
【点评】本题主要考查函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．
15．（5分）命题“∀x∈R，x2+3x﹣1≥0”的否定是 ∃x0∈R， ．
【分析】根据全称命题的否定可得答案．
【解答】解：命题“∀x∈R，x2+3x﹣1≥0”的否定是“∃x0∈R，”，
故答案为：∃x0∈R，．
【点评】本题主要考查了命题的否定，属于基础题．
16．（5分）设x1满足2x+lnx＝3，x2满足ln（1﹣x）﹣2x＝1，则x1+x2＝ 1 ．
【分析】根据题意可得出2x1+lnx1＝3，ln（1﹣x2）﹣2x2＝1，可令1﹣x2＝t，从而得出2t+lnt＝3，并可判断f（x）＝2x+lnx是单调函数，从而得出t＝x1，进而可求出x1+x2的值．
【解答】解：根据题意，2x1+lnx1＝3，ln（1﹣x2）﹣2x2＝1，
令1﹣x2＝t，则2t+lnt＝3，
∵f（x）＝2x+lnx在（0，+∞）上单调递增，
∴t＝x1，
∴x1+x2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了对数的运算性质，对数函数的单调性，单调函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知，且_____，求cosβ的值．请从下列①②③中任选两个补充在空格上，并给予解答．三个条件分别是：
①；
②；
③．
注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．
【分析】选择①②，先由所给余弦值结合角的范围，分别求出正弦值，cosβ＝cos[（α+β）﹣α]展开求值即可；
选择①③，先由所给余弦值结合角的范围，分别求出正弦值，cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]展开求值即可；
选择②③，先由所给余弦值结合角的范围，分别求出正弦值，先求出cos（2β）＝cos[（α+β）﹣（α﹣β）]，再根据二倍角公式求得结果；
【解答】解：若选择①②，
∵，∴，
∵，∴α+β∈（0，π），
∴，
∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα；
若选择①③，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∴cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）；
若选择②③，
∵，∴0＜α+β＜π，，
∴，，
∴cos（2β）＝cos[（α+β）﹣（α﹣β）]＝cos（α+β）cos（α﹣β）+sin（α+β）sin（α﹣β）．
∴，
∵cosβ＞0，∴．
【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．
18．（12分）已知幂函数f（x）＝xα经过．
（1）求α的值；
（2）若，试判断g（x）在（0，+∞）的单调性并用定义法证明．
【分析】（1）把图像上的点代入函数解析式，解出α；
（2）利用函数单调性的定义，判断并证明．
【解答】解：（1）∵幂函数f（x）＝xα经过，
∴，
解得α＝2；
（2）由f（x）＝x2，得，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），
g（x）在（0，+∞）上单调递增，证明如下：
任取0＜x1＜x2，则，
∵x1﹣x2＜0，x1⋅x2＞0，x1x2+2＞0，
∴g（x1）﹣g（x2）＜0，
即g（x1）＜g（x2），
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义，考查了函数的单调性的定义，属于基础题．
19．（12分）已知函数，．
（1）求φ的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求函数f（x）在区间上的最小值．
【分析】（1）根据，结合诱导公式即可得解；
（2）根据正弦函数的单调性结合整体思想求解即可；
（3）根据正弦函数的性质结合整体思想求解即可．
【解答】解：（1）∵，∴，
∴，∵，∴；
（2），令，k∈Z，
得，k∈Z，即，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为，k∈Z；
（3）∵，∴，
∴当，即时，f（x）min＝﹣1．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于基础题．
20．（12分）若函数f（x）＝|x|（x﹣a）（a＞0）．
（1）写出当x≥0时，f（x）的解析式；
（2）在给定的坐标轴上，画出f（x）的图像；
（3）试讨论函数y＝f（x）的图像与直线y＝﹣1的交点个数．
【分析】（1）直接可得答案；
（2）当x∈R时，，然后根据二次函数的知识画出图像即可；
（3）讨论与﹣1的大小即可．
【解答】解：（1）当x≥0时，f（x）的解析式为f（x）＝x（x﹣a）．
（2）由（1）知，当x∈R时，，
如图所示，为所求函数图像．
（3）由（2）可得，当x≥0时，．
结合（2）所画图像，函数y＝f（x）图像与直线y＝﹣1的交点个数情况如下：
①当0＜a＜2时，，函数y＝f（x）图像与直线y＝﹣1有1个交点；
②当a＝2时，，函数y＝f（x）图像与直线y＝﹣1有2个交点；
③当a＞2时，，函数y＝f（x）图像与直线y＝﹣1有3个交点．
综上所述，函数y＝f（x）图像与直线y＝﹣1的交点个数情况是：
当0＜a＜2时，两个图像有1个交点；当a＝2时，两个图像有2个交点；当a＞2时，两个图像有3个交点．
【点评】本题主要考查函数解析式的求法，函数图像的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数．
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）若不等式a•f（x）﹣f（2x）＞0对任意x＞0都成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据奇函数的定义判断即可；
（2）把函数f（x）代入不等式，进行参变分离，根据均值不等式求得函数的最值，从而得到结果．
【解答】解：（1）证明：函数f（x）定义域为（﹣∞，+∞），
又，
则f（﹣x）＝﹣f（x），
所以函数f（x）为奇函数．
（2）由题知：当x∈（0，+∞），恒成立，
则，
令t＝3x，t∈（1，+∞），
所以，
即，
又，当且仅当t＝1时等号成立，
而t＞1，
所以，
则a≥2，
即实数a的取值范围为[2，+∞）．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（12分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．已知目前疫情在该地区发生第53天，累计确诊病例数达最大确诊病例数的一半．
（1）求b的值；
（2）为了切实保障人民群众的基本生活需要，目前政府需要根据疫情发展部署进一步强化生活必需品市场供应保障的工作．请你根据上述Logistic模型预测：
①第54天单日新增确诊病例数；（结果用含K的代数式表示）
②约多少天后累计确诊病例数为最大确诊病例数的99%？请说明理由．
参考数据：e﹣0.23≈0.8，ln99≈4.6．
【分析】（1）根据疫情在该地区发生第53天时累计确诊病例数和最大确诊病例数的关系，即可求出b的值；
（2）由（1）中的b的值，求出该地区新冠肺炎累计确诊病例数的解析式，即可求出第54天单日新增确诊病例数，以及累计确诊病例数为最大确诊病例数的99%需要的天数．
【解答】解：（1）由题意，t≥0且为整数，
在中，，
∴e﹣0.23（53﹣b）＝1，解得：b＝53．
（2）①由题意及（1）得，t≥0且为整数，
在中，b＝53，
∴，
∵，，
∴，
∴第54天单日新增确诊病例数为．
②由题意，（1）及（2）①得，t≥0且为整数，
在中，
当累计确诊病例数为最大确诊病例数的99%时，，
∴，
∴e0.23（t﹣53）＝99，
∴0.23（t﹣53）＝ln99，
∴0.23（t﹣53）＝4.6，
∴t﹣53＝20，
∴约20天后，累计确诊病例数为最大确诊病例数的99%．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查运算求解能力，属于中档题．
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2022-2023学年广东省广州市番禺区高一（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，14}，则A∩B中的元素个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（5分）已知角α的终边与单位圆交点坐标为，则cosα的值为（ ）
A．﹣2 B． C． D．
3．（5分）一元二次方程x2+2x+m＝0有实数解的一个必要不充分条件为（ ）
A．m＜1 B．m≤1 C．m≥1 D．m＜2
4．（5分）若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|﹣2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5分）已知，且，则sin2θ＝（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）下列函数的最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（ ）
A．（﹣2，2）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（2，+∞）
8．（5分）设a＝log34，b＝log45，c＝log56，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）若a，b，c，为实数，且0＜a＜b，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C．a﹣c＜b﹣c D．ac2≤bc2
（多选）10．（5分）已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．周期为π
B．直线x＝π是f（x）图像的一条对称轴
C．点是f（x）图像的一个对称中心
D．将f（x）的图像向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图像
（多选）11．（5分）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at，关于下列说法正确的是（ ）
A．a的值为3
B．浮萍每月的增长面积相同
C．第3个月时，浮萍面积超过25m2
D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3
12．（5分）若定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足：f（xy）＝f（x）+f（y），且f（2）＝1，则下列结论中错误的是（ ）
A．f（1）＝0 B．f（4）＝2
C．f（x）+f（﹣x）＝0 D．f（x）﹣f（﹣x）＝0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）tan30°的值是 ．
14．（5分）已知函数，则f（4）＝ ；f（﹣1）＝ ．
15．（5分）命题“∀x∈R，x2+3x﹣1≥0”的否定是 ．
16．（5分）设x1满足2x+lnx＝3，x2满足ln（1﹣x）﹣2x＝1，则x1+x2＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知，且_____，求cosβ的值．请从下列①②③中任选两个补充在空格上，并给予解答．三个条件分别是：
①；
②；
③．
注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．
18．（12分）已知幂函数f（x）＝xα经过．
（1）求α的值；
（2）若，试判断g（x）在（0，+∞）的单调性并用定义法证明．
19．（12分）已知函数，．
（1）求φ的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求函数f（x）在区间上的最小值．
20．（12分）若函数f（x）＝|x|（x﹣a）（a＞0）．
（1）写出当x≥0时，f（x）的解析式；
（2）在给定的坐标轴上，画出f（x）的图像；
（3）试讨论函数y＝f（x）的图像与直线y＝﹣1的交点个数．
21．（12分）已知函数．
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）若不等式a•f（x）﹣f（2x）＞0对任意x＞0都成立，求实数a的取值范围．
22．（12分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．已知目前疫情在该地区发生第53天，累计确诊病例数达最大确诊病例数的一半．
（1）求b的值；
（2）为了切实保障人民群众的基本生活需要，目前政府需要根据疫情发展部署进一步强化生活必需品市场供应保障的工作．请你根据上述Logistic模型预测：
①第54天单日新增确诊病例数；（结果用含K的代数式表示）
②约多少天后累计确诊病例数为最大确诊病例数的99%？请说明理由．
参考数据：e﹣0.23≈0.8，ln99≈4.6．
2022-2023学年广东省广州市番禺区高一（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，14}，则A∩B中的元素个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先列举出集合A的元素，再根据交集定义求得结果．
【解答】解：由集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}得：A＝{2，5，8，11，14，...}，
又B＝{6，8，10，14}，
所以A∩B＝{8，14}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的运算，属于基础题．
2．（5分）已知角α的终边与单位圆交点坐标为，则cosα的值为（ ）
A．﹣2 B． C． D．
【分析】根据三角函数的定义可得答案．
【解答】解：三角函数的定义，角的终边与单位圆交点的横坐标为该角的余弦值，即，
故选：D．
【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3．（5分）一元二次方程x2+2x+m＝0有实数解的一个必要不充分条件为（ ）
A．m＜1 B．m≤1 C．m≥1 D．m＜2
【分析】方程x2+2x+m＝0有实数解⇔Δ＝4﹣4m≥0，解得m范围即可判断出．
【解答】解：方程x2+2x+m＝0有实数解⇔Δ＝4﹣4m≥0，解得m≤1．
∴方程x2+2x+m＝0有实数解的一个必要不充分条件为m＜2．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程有实数根的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．（5分）若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|﹣2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】通过函数的定义域以及函数的值域，结合函数的定义判断选项的正误即可．
【解答】解：函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|﹣2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，
可知A图象定义域不满足条件；
B图象不满足函数的值域；
C图象满足题目要求；
D图象，不是函数的图象；
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象与函数的对应关系，函数的定义域，值域的应用，是基础题．
5．（5分）已知，且，则sin2θ＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】把两边平方，根据二倍角公式整理得到到结果．
【解答】解：由两边平方，得，
即，所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
6．（5分）下列函数的最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】均值不等式使用的条件是“一正二定三相等”，判断各选项时注意验证这些条件．
【解答】解：选项A，当x＜0时，y＜0，所以函数的最小值为2错误，故A错误；
选项B，由x＞﹣3得x+3＞0，根据均值不等式，，当x＝﹣2时，y取最小值2，故B正确；
选项C，由x＞2得x﹣2＞0，，而当x＝2时，y才能取最小值，所以取不到最小值，故C错误；
选项D，sinx∈[﹣1，1]，当sinx＜0时，y＜0，所以函数的最小值为2错误，故D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式应用条件的检验，属于中档题．
7．（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（ ）
A．（﹣2，2）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（2，+∞）
【分析】根据奇函数可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（﹣2）＝0，然后可得答案．
【解答】解：因为定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，
所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（﹣2）＝0，
所以由f（x）＜0可得x∈（﹣2，0）∪（2，+∞），
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
8．（5分）设a＝log34，b＝log45，c＝log56，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【分析】构造函数，然后根据对数函数的性质，得到构造函数的单调性，即可得出结论．
【解答】解：由题意，在中，y＝lg（x+1）的图象在函数y＝lgx图象的上方，且随着x的增大，两条曲线越来越接近，
这说明，随着x的增大，两个函数的值越来越接近，
∵lg（x+1）＞lgx＞0，所以随着x的增大，比值越来越小，且趋向1，
∴f（x）＝logx（x+1）是（﹣1，+∞）上的减函数，
∴f（3）＞f（4）＞f（5），
即a＞b＞c．
故选：B．
【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，属于基础题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）若a，b，c，为实数，且0＜a＜b，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C．a﹣c＜b﹣c D．ac2≤bc2
【分析】利用不等式的性质逐一判断即可．
【解答】解：对于选项A：因为0＜a＜b，由不等式性质可知，，故A错误；
对于选项B：因为0＜a＜b，由不等式性质可知：a2＜b2，，故B正确；
对于选项C：因为0＜a＜b，由不等式性质可知，a﹣c＜b﹣c，故C正确；
对于选项D：因为0＜a＜b，显然c2≥0，由不等式可知，ac2≤bc2，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．周期为π
B．直线x＝π是f（x）图像的一条对称轴
C．点是f（x）图像的一个对称中心
D．将f（x）的图像向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图像
【分析】根据图像最高点得到A，由周期得到ω，再将点代入函数解析式中求得φ，再根据正弦型函数的图像性质，对选项逐一判断即可得到结果．
【解答】解：由函数图像可知，A＝2，最小正周期为，
∴，将点代入函数解析式中，得：，
又，∴，故．
对于选项A：函数的最小正周期为T＝π，故A正确；
对于选项B：令，即，
因此其对称轴为，k∈Z，无论k取何值，x≠π，故B不正确；
对于选项C：令，所以，
即f（x）的对称中心为，
点是f（x）图像的一个对称中心，故C正确；
对于选项D：将f（x）的图像向左平移个单位长度后，
得到的图像，该函数不是偶函数，故D不正确．
故选：AC．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at，关于下列说法正确的是（ ）
A．a的值为3
B．浮萍每月的增长面积相同
C．第3个月时，浮萍面积超过25m2
D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3
【分析】根据函数图像过点（1，3）可求出a的值，即可判断A，根据指数函数的知识可判断B，求出t＝3时的函数值可判断C，t1＝log32，t2＝log34，t3＝log38，然后根据对数的运算可判断D．
【解答】解：对于A选项，由图像可知，函数过点（1，3），∴a＝3，
∴函数解析式为y＝3t，选项A正确；
对于B选项，∵函数y＝3t是指数函数，是曲线型函数，∴浮萍每月增加的面积不相等，选项B错误，
对于C选项，当t＝3时，y＝33＝27＞25，故选项C正确，
对于D选项，∵，，，∴t1＝log32，t2＝log34，t3＝log38，
又∵2log34＝log316＝log32+log38，∴2t2＝t1+t3，选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，属于基础题．
12．（5分）若定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足：f（xy）＝f（x）+f（y），且f（2）＝1，则下列结论中错误的是（ ）
A．f（1）＝0 B．f（4）＝2
C．f（x）+f（﹣x）＝0 D．f（x）﹣f（﹣x）＝0
【分析】利用赋值法，对x、y灵活赋值，对四个选项逐一分析判断即可．
【解答】解：（1）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足：f（xy）＝f（x）+f（y），
令x＝y＝1，得f（1×1）＝f（1）+f（1），
解得f（1）＝0，故A正确；
令x＝y＝﹣1，得f[（﹣1）×（﹣1）]＝f（﹣1）+f（﹣1）＝2f（﹣1），即f（1）＝2f（﹣1）＝0，
故f（﹣1）＝0；
再令y＝﹣1，得f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1）＝f（x），即f（x）﹣f（﹣x）＝0，故D正确；
又f（2）＝1，
所以f（4）＝f（2×2）＝f（2）+f（2）＝2，故B正确；
由上面的分析知，f（x）＝f（﹣x），又f（2）＝1，
所以f（2）+f（﹣2）＝2f（2）＝2≠0，即C错误，
综上所述，以上结论中错误的是C，
故选：C．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法的运用，考查函数与方程思想与运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）tan30°的值是 ．
【分析】直接根据特殊角的三角函数值解答．
【解答】解：tan30°．
故答案为：．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义以及特殊角的三角函数值．特殊角三角函数值计算在考试中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
14．（5分）已知函数，则f（4）＝ 2 ；f（﹣1）＝ ．
【分析】根据函数解析式直接求函数值即可．
【解答】解：由，
得f（4）＝log24＝2，．
故答案为：2；．
【点评】本题主要考查函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．
15．（5分）命题“∀x∈R，x2+3x﹣1≥0”的否定是 ∃x0∈R， ．
【分析】根据全称命题的否定可得答案．
【解答】解：命题“∀x∈R，x2+3x﹣1≥0”的否定是“∃x0∈R，”，
故答案为：∃x0∈R，．
【点评】本题主要考查了命题的否定，属于基础题．
16．（5分）设x1满足2x+lnx＝3，x2满足ln（1﹣x）﹣2x＝1，则x1+x2＝ 1 ．
【分析】根据题意可得出2x1+lnx1＝3，ln（1﹣x2）﹣2x2＝1，可令1﹣x2＝t，从而得出2t+lnt＝3，并可判断f（x）＝2x+lnx是单调函数，从而得出t＝x1，进而可求出x1+x2的值．
【解答】解：根据题意，2x1+lnx1＝3，ln（1﹣x2）﹣2x2＝1，
令1﹣x2＝t，则2t+lnt＝3，
∵f（x）＝2x+lnx在（0，+∞）上单调递增，
∴t＝x1，
∴x1+x2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了对数的运算性质，对数函数的单调性，单调函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知，且_____，求cosβ的值．请从下列①②③中任选两个补充在空格上，并给予解答．三个条件分别是：
①；
②；
③．
注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．
【分析】选择①②，先由所给余弦值结合角的范围，分别求出正弦值，cosβ＝cos[（α+β）﹣α]展开求值即可；
选择①③，先由所给余弦值结合角的范围，分别求出正弦值，cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]展开求值即可；
选择②③，先由所给余弦值结合角的范围，分别求出正弦值，先求出cos（2β）＝cos[（α+β）﹣（α﹣β）]，再根据二倍角公式求得结果；
【解答】解：若选择①②，
∵，∴，
∵，∴α+β∈（0，π），
∴，
∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα；
若选择①③，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∴cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）；
若选择②③，
∵，∴0＜α+β＜π，，
∴，，
∴cos（2β）＝cos[（α+β）﹣（α﹣β）]＝cos（α+β）cos（α﹣β）+sin（α+β）sin（α﹣β）．
∴，
∵cosβ＞0，∴．
【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．
18．（12分）已知幂函数f（x）＝xα经过．
（1）求α的值；
（2）若，试判断g（x）在（0，+∞）的单调性并用定义法证明．
【分析】（1）把图像上的点代入函数解析式，解出α；
（2）利用函数单调性的定义，判断并证明．
【解答】解：（1）∵幂函数f（x）＝xα经过，
∴，
解得α＝2；
（2）由f（x）＝x2，得，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），
g（x）在（0，+∞）上单调递增，证明如下：
任取0＜x1＜x2，则，
∵x1﹣x2＜0，x1⋅x2＞0，x1x2+2＞0，
∴g（x1）﹣g（x2）＜0，
即g（x1）＜g（x2），
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义，考查了函数的单调性的定义，属于基础题．
19．（12分）已知函数，．
（1）求φ的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求函数f（x）在区间上的最小值．
【分析】（1）根据，结合诱导公式即可得解；
（2）根据正弦函数的单调性结合整体思想求解即可；
（3）根据正弦函数的性质结合整体思想求解即可．
【解答】解：（1）∵，∴，
∴，∵，∴；
（2），令，k∈Z，
得，k∈Z，即，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为，k∈Z；
（3）∵，∴，
∴当，即时，f（x）min＝﹣1．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于基础题．
20．（12分）若函数f（x）＝|x|（x﹣a）（a＞0）．
（1）写出当x≥0时，f（x）的解析式；
（2）在给定的坐标轴上，画出f（x）的图像；
（3）试讨论函数y＝f（x）的图像与直线y＝﹣1的交点个数．
【分析】（1）直接可得答案；
（2）当x∈R时，，然后根据二次函数的知识画出图像即可；
（3）讨论与﹣1的大小即可．
【解答】解：（1）当x≥0时，f（x）的解析式为f（x）＝x（x﹣a）．
（2）由（1）知，当x∈R时，，
如图所示，为所求函数图像．
（3）由（2）可得，当x≥0时，．
结合（2）所画图像，函数y＝f（x）图像与直线y＝﹣1的交点个数情况如下：
①当0＜a＜2时，，函数y＝f（x）图像与直线y＝﹣1有1个交点；
②当a＝2时，，函数y＝f（x）图像与直线y＝﹣1有2个交点；
③当a＞2时，，函数y＝f（x）图像与直线y＝﹣1有3个交点．
综上所述，函数y＝f（x）图像与直线y＝﹣1的交点个数情况是：
当0＜a＜2时，两个图像有1个交点；当a＝2时，两个图像有2个交点；当a＞2时，两个图像有3个交点．
【点评】本题主要考查函数解析式的求法，函数图像的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数．
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）若不等式a•f（x）﹣f（2x）＞0对任意x＞0都成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据奇函数的定义判断即可；
（2）把函数f（x）代入不等式，进行参变分离，根据均值不等式求得函数的最值，从而得到结果．
【解答】解：（1）证明：函数f（x）定义域为（﹣∞，+∞），
又，
则f（﹣x）＝﹣f（x），
所以函数f（x）为奇函数．
（2）由题知：当x∈（0，+∞），恒成立，
则，
令t＝3x，t∈（1，+∞），
所以，
即，
又，当且仅当t＝1时等号成立，
而t＞1，
所以，
则a≥2，
即实数a的取值范围为[2，+∞）．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（12分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．已知目前疫情在该地区发生第53天，累计确诊病例数达最大确诊病例数的一半．
（1）求b的值；
（2）为了切实保障人民群众的基本生活需要，目前政府需要根据疫情发展部署进一步强化生活必需品市场供应保障的工作．请你根据上述Logistic模型预测：
①第54天单日新增确诊病例数；（结果用含K的代数式表示）
②约多少天后累计确诊病例数为最大确诊病例数的99%？请说明理由．
参考数据：e﹣0.23≈0.8，ln99≈4.6．
【分析】（1）根据疫情在该地区发生第53天时累计确诊病例数和最大确诊病例数的关系，即可求出b的值；
（2）由（1）中的b的值，求出该地区新冠肺炎累计确诊病例数的解析式，即可求出第54天单日新增确诊病例数，以及累计确诊病例数为最大确诊病例数的99%需要的天数．
【解答】解：（1）由题意，t≥0且为整数，
在中，，
∴e﹣0.23（53﹣b）＝1，解得：b＝53．
（2）①由题意及（1）得，t≥0且为整数，
在中，b＝53，
∴，
∵，，
∴，
∴第54天单日新增确诊病例数为．
②由题意，（1）及（2）①得，t≥0且为整数，
在中，
当累计确诊病例数为最大确诊病例数的99%时，，
∴，
∴e0.23（t﹣53）＝99，
∴0.23（t﹣53）＝ln99，
∴0.23（t﹣53）＝4.6，
∴t﹣53＝20，
∴约20天后，累计确诊病例数为最大确诊病例数的99%．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查运算求解能力，属于中档题．
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