2021年广东省中国科技大学强基计划数学试卷

这是一份2021年广东省中国科技大学强基计划数学试卷，共18页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省中国科技大学强基计划数学试卷
一、填空题
1．（2021•广东自主招生）求＝　 　．
2．（2021•广东自主招生）设抛物线y＝x2与x＝ay2+1相切，则a＝　 　．
3．（2021•广东自主招生）写出一个函数f（x）＝　 　，使得f（x﹣f（y））＝f（f（y））+2xf（y）+f（x）﹣1对于任意的x，y∈R恒成立．
4．（2021•广东自主招生）设空间区域{（x，y，x）|x2+y2+z2≤1，z≥0}中存在四个点两两距离都是d，则d的最大值为 　 　．
5．（2021•广东自主招生）设k个人进行互相传球游戏，每个拿球的人等可能地把球传给其他人中的任何一位，k≥3．若初始时球彺甲手中，则第n次传球之后，球又回到甲手中的概率为 　 　．
二、解答题
6．（2021•广东自主招生）求函数的取值范围．
7．（2021•广东自主招生）设a，b，c是正整数，p是素数，p≥5且p整除，证明：p整除abc．
8．（2021•广东自主招生）设数列{an}满足a1＝3，且对任意正整数m，n均有．求an的通项公式．
9．（2021•广东自主招生）设f（x）是n次实系数多项式，其中n≥1，g（x）＝f（x）﹣f'（x）．证明：若f（x）的n个根都是实数，则g（x）的n个根也都是实数．

2021年广东省中国科技大学强基计划数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．（2021•广东自主招生）求＝　　．
【考点】数列的求和．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【答案】．
【分析】注意到，整理求解即可．
【解答】解：注意到，
而我们易得，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了数列的求和，属于中档题．
2．（2021•广东自主招生）设抛物线y＝x2与x＝ay2+1相切，则a＝　　．
【考点】抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】．
【分析】设两抛物线在x＝x0处相切，显然a＞0，由题意可得，求解即可．
【解答】解：设两抛物线在x＝x0处相切，显然a＞0，
问题等价于由线y＝x2与y＝在x＝x0相切，
所以，两式相除得＝2（x0﹣1），
解得x0＝，从而可得a＝．
故答案为：．
【点评】本题考覃曲线相切的问题，考查转化思想，属中档题．
3．（2021•广东自主招生）写出一个函数f（x）＝　﹣x2+1　，使得f（x﹣f（y））＝f（f（y））+2xf（y）+f（x）﹣1对于任意的x，y∈R恒成立．
【考点】抽象函数及其应用．菁优网版权所有
【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【答案】f（x）＝﹣x2+1．
【分析】利用迭代和换元的思想方法解决问题．
【解答】解：用f2（x）表示两次迭代即f2（x）＝f（f（x）），则令f（x）→x，x→y有
f（0）＝⇒f2（x）＝﹣，
令f（x）→x，y→y有f（x﹣f（y））＝f2（y））+2f（x）f（y）+[﹣]﹣1
＝﹣[f（x）﹣f（y）]2+f（0），
再令→x，u→y有
f（﹣f（u））﹣f（）+1＝x，
这说明任意的x都能用f（s）﹣f（t）+1的形式表示，所以有
f（x）＝﹣x2+f（0），代回原式得到f（0）＝1，
故答案为：f（x）＝﹣x2+1．
【点评】本题考查抽象函数的性质，属于中档题．
4．（2021•广东自主招生）设空间区域{（x，y，x）|x2+y2+z2≤1，z≥0}中存在四个点两两距离都是d，则d的最大值为 　　．
【考点】空间中的点的坐标．菁优网版权所有
【专题】综合题；转化思想；数学模型法；空间位置关系与距离；数学运算．
【答案】
【分析】问题等价于求能放进单位半球内的正四面体的棱长最大值，设正四面体的顶点A为z坐标最大的顶点，依次考虑底面△BCD在平面xoy上和不在平面xoy上的情形，比较可得最大值．
【解答】解：问题等价于求能放进单位半球内的正四面体的棱长最大值，不妨设正四面体的顶点A为z坐标最大的顶点，
我们首先考虑底面△BCD在平面xoy上的情形，此时易得正四面体A﹣BCD的最大边长为，高为1．
当底面ΔBCD不在平面xoy上时，此时显然有正四面体A﹣BCD的高h＜1，进而棱长小于，
故d的最大值为，
故答案为：．
【点评】本题考查空间区域两点间距离的最值问题，属于中档题．
5．（2021•广东自主招生）设k个人进行互相传球游戏，每个拿球的人等可能地把球传给其他人中的任何一位，k≥3．若初始时球彺甲手中，则第n次传球之后，球又回到甲手中的概率为 　Pn＝　．
【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】对应思想；转化法；概率与统计；逻辑推理．
【答案】Pn＝．
【分析】根据题意，不妨记初始时球在甲手中，则第n次传球之后，球又回到甲手中的概率为Pn，则P0＝0且，n次传球传不到甲手上的概率为1﹣Pn，同时球在第n+1次传回甲手中只可能是第n次球传到了其余的k﹣1个人手中然后在传给了甲，从而我们有Pn+1＝（1﹣Pn），P0＝0，根据递推公式，求解Pn即可．
【解答】解：不妨记初始时球在甲手中，则第n次传球之后，球又回到甲手中的概率为Pn，则P0＝0且n次传球传不到甲手上的概率为1﹣Pn，同时球在第n+1次传回甲手中只可能是第n次球传到了其余的k﹣1个人手中然后在传给了甲，从而我们有Pn+1＝（1﹣Pn），P0＝0，解得Pn＝，
故答案为：Pn＝．
【点评】本题考查古典概型概率公式与简单的合情推理，属于中档题．
二、解答题
6．（2021•广东自主招生）求函数的取值范围．
【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】．
【分析】考虑函数g（x）＝6x﹣3x2﹣4x3（﹣1⩽x⩽1）的单调性和取值情况，得到6cosx﹣3cos2x﹣4cos3的最值情况，进一步观察可发现同样在x＝π和x＝时取得最小值和最大值，由此求出f（x）的最大值和最小值，即可得到取值范围．
【解答】解：令g（x）＝6x﹣3x2﹣4x3（﹣1⩽x⩽1），则g′（x）＝﹣6（2x2+x﹣1）＝﹣6（2x﹣1）（x+1），
当x∈[﹣1，）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
x∈（，1]时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
则，
则6cosx﹣3cos2x﹣4cos3在x＝π时取最小值﹣5，在时取最大值．
另一方面，我们注意到在x＝π时取最小值，在时取最大值．
这说明，
所以．
【点评】本题考查了三角函数的最值问题，构造合适的函数是解题的关键，属于中档题．
7．（2021•广东自主招生）设a，b，c是正整数，p是素数，p≥5且p整除，证明：p整除abc．
【考点】整除的概念和性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；反证法；二项式定理；逻辑推理．
【答案】证明过程见解答．
【分析】利用反证法证明即可．
【解答】证明：假设p不整除abc，则p不整除a，p不整除b且p不整除c，
由二次剩余类的欧拉准则，若x不整除p，
则≡，
得到在模p意义下有∈{﹣3，﹣1，1，3}，
而p＞3，显然有p不能整除，与假设矛盾，
故p整除abc．
【点评】本题考查整除的概念，反证法是解题关键，属于基础题．
8．（2021•广东自主招生）设数列{an}满足a1＝3，且对任意正整数m，n均有．求an的通项公式．
【考点】数列递推式．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【答案】an＝n（n+2）．
【分析】利用数列的递推公式，求得a1，a2，a3，a4，a5，再利用数学归纳法进行证明即可．
【解答】解：注意到，
，
同时 ，故a2＝8．
而进一步，我们有，
于是我们观察到a1＝1×3，a2＝2×4，a3＝3×5，a4＝4×6，a5＝5×7，
我们猜测 an＝n（n+2），下面用数学归纳法证明：
当n⩽2时，显然成立；我们假设当n⩽k+1 时，有an＝n（n+2），其中k＞1．
接下来考虑n＝k+2的情况，ak+2＝a2×1+k＝2a1+ak+2×1+4k
＝k（k+2）+4k+8＝（k+2）（k+4）结论成立．
从而由数学归纳法知an＝n（n+2）．
【点评】本题考查数列的递推公式求通项公式，考查学生的运算能力，属于难题．
9．（2021•广东自主招生）设f（x）是n次实系数多项式，其中n≥1，g（x）＝f（x）﹣f'（x）．证明：若f（x）的n个根都是实数，则g（x）的n个根也都是实数．
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】证明题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】证明见解析．
【分析】首先证明两个引理：引理1：若F（x）＝e﹣xf（x）有两个根a与b，其中f（x）为实系数多项式且a＜b，则存在c∈（a，b）使得c是其导函数F′（x）的根；引理2：设a是实系数多项式f（x）的k重根，k⩾2，则a也是其导函数f′（x）的k﹣1重根；由题不妨令a1，a2，⋯，as为f（x）互不相等的单根，b1，b2，⋯，bt为f（x）互不相等的重根（重数分别为β1，β2，⋯，βt），令F（x）＝e﹣xf（x），则F′（x）＝﹣e﹣x[f（x）﹣f′（x）]＝﹣e﹣xg（x），则f（x）＝0⇔F（x）＝0，g（x）＝0⇔F′（x）＝0，根据引理1知g（x）在任意f（x）的两个相邻根之间存在一个实根，另一方面，由引理2知：b1，b2，⋯，bt也是f′（x）的根，且重数分别为β1﹣1，β2﹣1，⋯，βt﹣1，整理即可．
【解答】我们首先证明两个引理．
引理1：若F（x）＝e﹣xf（x）有两个根a与b，其中f（x）为实系数多项式且a＜b，则存在c∈（a，b）使得c是其导函数F′（x）的根；
证明：若F′（x）在区间（a，b）有正有负，则由零点存在定理知结论成立；
若不然，F（x）在区间（a，b）恒正或恒负，则f（x）在区间（a，b）上单调，这与F（a）＝F（b）＝0矛盾；
引理2：设a是实系数多项式f（x）的k重根，k⩾2，则a也是其导函数f′（x）的k﹣1重根；
证明：不妨设f（x）＝（x﹣a）kg（x），其中g（x）为不以a为根的多项式，
则f′（x）＝k（x﹣a）k﹣1g（x）+（x﹣a）kg′（x）
＝（x﹣a）k﹣1[ky（x）+（x﹣a）g′（x）]
＝（x﹣a）k﹣1h（x），
由于h（a）＝kg（a）≠0，所以a是f′（x）的k﹣1重根；
证明：由题不妨令a1，a2，⋯，as为f（x）互不相等的单根，b1，b2，⋯，bt为f（x）互不相等的重根（重数分别为β1，β2，⋯，βt），
则，
其中，
令F（x）＝e﹣xf（x），则F′（x）＝﹣e﹣x[f（x）﹣f′（x）]＝﹣e﹣xg（x），
则f（x）＝0⇔F（x）＝0，g（x）＝0⇔F′（x）＝0，
从而由引理1知g（x）在任意f（x）的两个相邻根之间存在一个实根，共有s+t﹣1个，记为ci，1⩽i⩽s+t﹣1；
另一方面，由引理2知：b1，b2，⋯，bt也是f′（x）的根，且重数分别为β1﹣1，β2﹣1，⋯，βt﹣1，
于是可设，
从而有b1，b2，⋯，bt也是g（x）＝f（x）﹣f′（x）的根，且重数分别为β1﹣1，β2﹣1，⋯，βt﹣1，
于是有
，
注意到 degg（x）＝n且，从而degg1（x）＝1，
故g1（x）存在实根，记为cs+t，
故，
这足以说明g（x）的n个根也是实根．
【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，属于难题．

考点卡片
1．抽象函数及其应用
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
2．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【例题解析】
例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝　+cos（2x+）　．
解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝﹣+2•＝+（cos2x﹣sin2x）
＝+cos（2x+）．
故答案为：+cos（2x+）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是　　．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝
∴当t＝时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【考点点评】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
3．三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sin α，tan（﹣α）＝cotα．
公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
4．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
5．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝
②等比数列前n项和公式：

③几个常用数列的求和公式：

（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．

（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．

【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：

＝
＝．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn＝＝n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn＝＝＝＝，
∴Tn＝＝＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．

【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
6．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
7．空间中的点的坐标
【知识点的知识】
1、在x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），
在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．

2、点P（a，b，c）关于x轴的对称点的坐标为（a，﹣b，﹣c，）
点P（a，b，c）关于y轴的对称点的坐标为（﹣a，b，﹣c，）；
点P（a，b，c）关于z轴的对称点的坐标为（﹣a，﹣b，c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，﹣c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面xOz的对称点为（a，﹣b，c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面yOz的对称点为（﹣a，b，c，）；
点P（a，b，c）关于原点的对称点（﹣a，﹣b，﹣c，）．

3、已知空间两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）则线段P1P2的中点坐标为（）
8．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

9．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝＝．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
10．整除的概念和性质
【知识点的认识】
整除的性质和概念
定义：设a，b为整数，且b≠0．如果存在整数q，使得a＝bq，那么称b整除a，或者a能被b整除，记作b|a，并且称b是a的因数，a是b的倍数．如果这样的整数q不存在，就称b不整除a，记作ba．
性质：
若a≠0，b≠0，则
（1）若a|b，b|a，则a＝b或a＝﹣b；
（2）若a|b，b|c，则a|c；
（3）若a|b，b|c，则对任意整数x，y，恒有a|bx+cy；
（4）若a|b，a|c，且a，b互质，则ab|c；
（5）若p为质数，p|ab，则p|a或p|b，特别地，若p|an，n∈N，则p|a．
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