2022-2023学年广东省广州科技职业技术大学高三（下）第一次月考数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省广州科技职业技术大学高三（下）第一次月考数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣4）＝0}，集合B＝{1，3，则A∩B等于（ ）
A．{﹣4，﹣3，1，3，4}B．{1，3，4}
C．{3，4}D．{1}
2．（5分）cs405°的值是（ ）
A．﹣B．C．D．
3．（5分）若函数f（x）＝则f[f（﹣3）]等于（ ）
A．﹣8B．0C．2D．4
4．（5分）函数的最小正周期是（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
5．（5分）在等差数列{an}中，a1＝2，S3＝15，则公差d等于（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．（5分）已知a＞0且a≠1，下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．（a3）4＝a7
C．lga3+lga4＝lga7D．lga3+lga4＝lga12
7．（5分）“x（x+3）＝0”是“x＝﹣3”的（ ）
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分条件
D．必要条件
8．（5分）已知函数y＝x2+4x+2，则该函数的最值为（ ）
A．最大值﹣2B．最大值2C．最小值﹣2D．最小值2
9．（5分）已知a＝0.47，b＝40.7，c＝lg40.7，则（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．a＞c＞b
10．（5分）不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣3，1）C．[﹣1，3]D．[﹣3，1]
11．（5分）函数f（x）＝sin3xcsx+sinxcs3x的最大值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
12．（5分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，f（x﹣3）（2x+4），则x的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣2，+∞）D．（﹣7，+∞）
13．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an＝﹣2an﹣1，则a4等于（ ）
A．﹣2B．4C．﹣8D．16
14．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≤0时，f（x）x﹣1，则f（1）等于（ ）
A．B．C．2D．4
15．（5分）在等差数列{an}中，a3+a5＝14，则前7项和S7等于（ ）
A．14B．28C．42D．49
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）
16．（5分）计算：＝ ．
17．（5分）若函数f（x）＝5x2+bx+3是偶函数，则f（﹣2）＝ ．
18．（5分）已知函数y＝f（x）与函数y＝ax的图像关于直线y＝x对称，若f（16）＝4 ．
19．（5分）在等比数列{an}中，若a1a2a3a4a5＝243，则a2a4＝ ．
20．（5分）已知，且，则sin2α＝ ．
三、解答题（本大题共4小题，第21，22，23题各12分，第24题14分，满分50分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
21．（12分）已知函数的图像过点．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（3）若csθ＝，，求的值．
22．（12分）物业公司为提高居民参与垃圾分类投放的积极性，在小区开展垃圾分类积分激励活动，以垃圾分类正确投放次数x来兑换月积分 f（x）2﹣600x（0≤x≤20）到卡．
（1）求业主每月至少正确投放多少次垃圾才能有积分到卡；
（2）若某业主建立了每月至少7200分的积分目标，请问他至少要完成多少次正确垃圾投放？
23．（12分）在△ABC中，角A＝60°，BC＝2，且．
（1）求csB的值；
（2）求AC的长．
24．（14分）已知等差数列{an}满足a2＝1，a1+a5＝6．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设时，求数列{bn}的前n项和Tn．
2022-2023学年广东省广州科技职业技术大学高三（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣4）＝0}，集合B＝{1，3，则A∩B等于（ ）
A．{﹣4，﹣3，1，3，4}B．{1，3，4}
C．{3，4}D．{1}
【答案】C
【分析】根据交集的定义即可求解．
【解答】解：∵集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣4）＝3}＝{3，4}，8，4}，
∴A∩B＝{3，8}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，难度不大．
2．（5分）cs405°的值是（ ）
A．﹣B．C．D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可．
【解答】解：cs405°＝cs（405°﹣360°）＝cs45°＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查诱导公式和特殊角的三角函数值，属于基础题．
3．（5分）若函数f（x）＝则f[f（﹣3）]等于（ ）
A．﹣8B．0C．2D．4
【答案】D
【分析】根据f（x）＝计算求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝，
∴f[f（﹣3）]＝f（9）＝4，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的值，解题的关键在于数值运算，为基础题．
4．（5分）函数的最小正周期是（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【答案】A
【分析】根据题干信息和三角函数的和角公式计算求解即可．
【解答】解：∵函数＝3sin（3x+φ），
∴函数的最小正周期是，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的和角公式，解题的关键在于数值运算，为基础题．
5．（5分）在等差数列{an}中，a1＝2，S3＝15，则公差d等于（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式即可求出公差d．
【解答】解：已知a1＝2，S6＝15＝3a1+d，
可得d＝4．
故选：B．
【点评】本题考查数列的通项公式，属于基础题．
6．（5分）已知a＞0且a≠1，下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．（a3）4＝a7
C．lga3+lga4＝lga7D．lga3+lga4＝lga12
【答案】D
【分析】根据指数幂和对数函数的性质求解即可．
【解答】解：对于A：a3•a4＝a7，A错；
对于B：（a3）4＝a12，B错；
对于C：lga7+lga4＝lga12，C错．
故选：D．
【点评】本题主要考查实数幂和对数函数的运算性质，考查计算能力，属于基础题．
7．（5分）“x（x+3）＝0”是“x＝﹣3”的（ ）
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分条件
D．必要条件
【答案】D
【分析】根据充分必要条件即可求解．
【解答】解：∵“x（x+3）＝0”推不出“x＝﹣2”，比如x＝0，
∴“x（x+3）＝3”是“x＝﹣3”的必要不充分条件．
故选：D．
【点评】本题考查充分必要条件，难度不大．
8．（5分）已知函数y＝x2+4x+2，则该函数的最值为（ ）
A．最大值﹣2B．最大值2C．最小值﹣2D．最小值2
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质即可得解．
【解答】解：y＝x2+4x+5＝（x+2）2﹣8≥﹣2，
则函数的最小值为﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数，属于基础题．
9．（5分）已知a＝0.47，b＝40.7，c＝lg40.7，则（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．a＞c＞b
【答案】B
【分析】由0＜a＜1，b＞1，c＜0即可得出答案．
【解答】解：0＜0.87＜0.80＝1，60.7＞80＝1，lg40.7＜lg51＝0，
则c＜a＜b，
故选：B．
【点评】本题考查指对式比较大小，属于基础题．
10．（5分）不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣3，1）C．[﹣1，3]D．[﹣3，1]
【答案】C
【分析】根据不等式﹣x2+2x+3≥0的解法即可求解．
【解答】解：∵不等式﹣x2+2x+4≥0，
∴x2﹣2x﹣3≤0，
∴（x﹣4）（x+1）≤0，
∴﹣8≤x≤3，
∴不等式的解集为[﹣1，4]．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，难度不大．
11．（5分）函数f（x）＝sin3xcsx+sinxcs3x的最大值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
【答案】B
【分析】根据题干信息和三角函数的和角公式计算求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝sin3xcsx+sinxcs3x＝sin6x，
∴函数f（x）＝sin3xcsx+sinxcs3x的最大值是6，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的和角公式，解题的关键在于数值运算，为基础题．
12．（5分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，f（x﹣3）（2x+4），则x的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣2，+∞）D．（﹣7，+∞）
【答案】B
【分析】根据函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，f（x﹣3）＞f（2x+4）计算求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴0＜x﹣6＜2x+4，
∴x＞6，
故选：B．
【点评】本题主要考查减函数的基本性质，解题的关键在于数值运算，为基础题．
13．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an＝﹣2an﹣1，则a4等于（ ）
A．﹣2B．4C．﹣8D．16
【答案】C
【分析】根据题意分别令n＝2，3，4，即可得出答案．
【解答】解：由于a1＝1，an＝﹣8an﹣1，
则当n＝2时，a7＝﹣2a1＝﹣8，
当n＝3时，a3＝﹣8a2＝4，
当n＝6时，a4＝﹣2a3＝﹣8，
故选：C．
【点评】本题考查递推关系的应用，属于基础题．
14．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≤0时，f（x）x﹣1，则f（1）等于（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】根据题干信息和奇函数的性质计算求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≤0时x﹣1，
∴f（﹣3）＝﹣7＝﹣，
∴f（1）＝﹣f（﹣4）＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查奇函数的性质，解题的关键在于数值运算，为基础题．
15．（5分）在等差数列{an}中，a3+a5＝14，则前7项和S7等于（ ）
A．14B．28C．42D．49
【答案】D
【分析】根据等差数列的前n项和公式即可求解．
【解答】解：∵a3+a5＝114，
∴S2＝（a5+a7）＝×（a3+a5）＝×14＝49．
故选：D．
【点评】本题考查等差数列的前n项和以及性质，难度不大．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）
16．（5分）计算：＝ ﹣5 ．
【答案】﹣5．
【分析】根据题干信息和对数的运算法则计算求解即可．
【解答】解：＝﹣2，
故答案为：﹣5．
【点评】本题主要考查对数的运算法则，解题的关键在于数值运算，为基础题．
17．（5分）若函数f（x）＝5x2+bx+3是偶函数，则f（﹣2）＝ 23 ．
【答案】23．
【分析】根据偶函数的定义求得b，进而求解结论．
【解答】解：因为函数f（x）＝5x2+bx+4为偶函数，
所以f（﹣x）＝f（x），
所以5x2﹣bx+6＝5x2+bx+3，
所以b＝0，
故f（x）＝5x8+3，可得f（﹣2）＝4×（﹣2）2+2＝23．
故答案为：23．
【点评】本题考查函数的奇偶性，属于基础题．
18．（5分）已知函数y＝f（x）与函数y＝ax的图像关于直线y＝x对称，若f（16）＝4 2 ．
【答案】2．
【分析】根据题意可得f（x）＝lgax，再结合f（16）＝4，即可得解．
【解答】解：依题意，函数y＝f（x）是函数y＝ax的反函数，
则f（x）＝lgax，
又f（16）＝4，
则lga16＝4，
解得a＝7．
故答案为：2．
【点评】本题考查指数函数与对数函数的应用，属于基础题．
19．（5分）在等比数列{an}中，若a1a2a3a4a5＝243，则a2a4＝ 9 ．
【答案】9．
【分析】根据等比数列的性质求解即可．
【解答】解：等比数列{an}中，a1a2a2a4a5＝243，
又a3a4＝a1a4＝，
即（a5）5＝243＝32，
可得a3＝3．
故a7a4＝＝9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
20．（5分）已知，且，则sin2α＝ ﹣ ．
【答案】﹣．
【分析】根据，且和三角函数的和角公式和倍角公式计算求解即可．
【解答】解：∵，且，
∴（sinα﹣csα）＝，
∴sinα﹣csα＝，
∴1﹣5sinαcsα＝，
∴sin2α＝2sinαcsα＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查三角函数的和角公式和倍角公式，解题的关键在于数值运算，为基础题．
三、解答题（本大题共4小题，第21，22，23题各12分，第24题14分，满分50分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
21．（12分）已知函数的图像过点．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（3）若csθ＝，，求的值．
【答案】（1）；
（2）最小正周期为π，最大值为；
（3）．
【分析】（1）代入点的坐标，即可得到a的值；
（2）利用正弦型函数的性质即可得解；
（3）先求得sinθ的值，再化简求解即可．
【解答】解：（1）依题意，，
解得；
（2）由（1）可知，，
则函数f（x）的最小正周期为，最大值为；
（3）由于csθ＝，，
则，
故＝．
【点评】本题考查正弦型函数的图像及性质，属于基础题．
22．（12分）物业公司为提高居民参与垃圾分类投放的积极性，在小区开展垃圾分类积分激励活动，以垃圾分类正确投放次数x来兑换月积分 f（x）2﹣600x（0≤x≤20）到卡．
（1）求业主每月至少正确投放多少次垃圾才能有积分到卡；
（2）若某业主建立了每月至少7200分的积分目标，请问他至少要完成多少次正确垃圾投放？
【答案】（1）业主每月至少正确投放7次垃圾才能有积分到卡；（2）至少要完成12次正确垃圾投放．
【分析】（1）根据f（x）＞0即可求解；
（2）根据f（x）≥7200即可求解．
【解答】解：（1）∵f（x）＝100x2﹣600x＞0，
∴100x（x﹣5）＞0，
∴x＞6或x＜4，
∵0≤x≤20，
∴业主每月至少正确投放7次垃圾才能有积分到卡；
（2）∵f（x）＝100x2﹣600x≥7200，
∴x2﹣6x﹣72≥5，
∴（x﹣12）（x+6）≥0，
∴x≥12或x≤﹣5，
∵0≤x≤20，
∴至少要完成12次正确垃圾投放．
【点评】本题考查从实际问题中抽象出函数模型，难度不大．
23．（12分）在△ABC中，角A＝60°，BC＝2，且．
（1）求csB的值；
（2）求AC的长．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由余弦定理即可得解；
（2）先由平方关系可得sinB的值，再由正弦定理即可得解．
【解答】解：（1）在△BCD中，由余弦定理可得，；
（2）由于B为三角形的内角，
则，
在△ABC中，由正弦定理可得，，
则．
【点评】本题考查解三角形，属于基础题．
24．（14分）已知等差数列{an}满足a2＝1，a1+a5＝6．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设时，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）an＝2n﹣3；（2）．
【分析】（1）先根据题意求得公差d，由此可得通项公式；
（2）利用（1）可得数列{bn}的通项公式，再由等比数列的求和公式得解．
【解答】解：（1）设公差为d，
则a1+a5＝a3﹣d+a2+3d＝8+2d＝6，
解得d＝6，
则an＝a2+（n﹣2）d＝6+2n﹣4＝6n﹣3；
（2）由（1）得，，
则．
【点评】本题考查等差数列的通项公式以及等比数列的求和，属于基础题．