2024届安徽省芜湖市鸠江区部分学校中考一模数学试题及参考答案

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1. 计算的值为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先代入特殊角的函数值、化简即可．
【详解】解：，
故选C．
2. 已知四个数a，b，c，d成比例，且，，，那么d的值为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，利用成比例线段的定义得到，然后根据比例的性质求d的值．
【详解】解：根据题意得，
即，
解得．
故选：D．
3. 如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键．
【详解】解：几何体的俯视图是：
故选C．
4. 若一元二次方程的一个根是3，则m的值为（ ）
A. 1B. C. 1或D. 1或0
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，设方程的另一个根为x，则，据此求解即可．
【详解】解：设方程的另一个根为x，
∵一元二次方程的两个根是3和x，
∴，
∴,
∴,
故选：C。
5. 如果点，在反比例函数的图象上，且满足当时，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围．
【详解】解：∵点，为反比例函数图象上两点，当时，，
∴，
解得，
故选：B．
6. 如图，点A，B，C在上，且，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角，圆的性质，过A、O作的直径，分别在等腰、等腰中，根据三角形外角的性质求出．
【详解】解：过A作的直径，交于D．
在中，，则，
同理可得：，
∴．
故选：A．
7. 寒假期间，学校准备从甲、乙、丙、丁四位老师中随机选择两位老师参加培训，则选择的两位老师中恰好有甲老师的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
【详解】画树状图得：
∵共有种等可能的结果，选中甲老师的有种情况，
∴选择的两位老师中恰好有甲老师的概率为：．
故选C．
8. 如图，点A是上一点，点B是外一点，且，与相切于点C，连接交于点D，若，，则弦的长为（ ）
A. B. C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，根据切线的性质和垂直的定义得到，即得到，然后根据勾股定理得到、的长，然后根据解题即可．
【详解】解：∵与相切于点C，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
过点O作于点E，
则，，
∴，即，
解得：，
∴，
故选A．
9. 已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，依据题意，由一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，从而函数的图象开口向下，对称轴为直线，从而排除A、D，C，故可得解．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，
∴函数的图象开口向下，对称轴为直线．
∴综上，可得B正确．
故选：B．
10. 如图，在矩形中，，点E，F分别在上，且，连接，，连接交于点M，交于点N，则下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，由矩形的性质得到，进而得到，再由，可得，即可判断A；证明，得到，进而可得，即，即可判断B；在中，由勾股定理得，证明，可得，即，即可判断C；设，则，，，证明是等腰直角三角形，得到，则，则，证明，得到，即可判断D．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故A正确，不符合题意；
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，故B正确；
在中，，
∵，
∴，
∴，即，故C正确；
设，则，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故D错误；
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 二次函数的对称轴为直线______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据对称轴方程解答即可是解题的关键．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，
故答案为：．
12. 已知扇形的圆心角为，扇形的面积，则这个扇形的半径______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积公式，熟练运用扇形的面积公式进行计算是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，
解得：或（舍去），
故答案为：．
13. 若点在反比例函数的图像上，则当时，x的取值范围为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的增减性，先利用待定系数法求出k的值，再判断出反比例函数图象经过的象限和增减性即可得到答案．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∴当时，x的取值范围为或，
故答案为：或．
14. 如图，在中，，，，点D为上一点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P对应点为点Q，连接，．
（1）当点D是的中点时，的最小值为______；
（2）当，且点Q在直线上时，的长为______．

【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，旋转的性质，分两种情况进行讨论是解题的关键．
（1）根据勾股定理得到长，当点Q在上时，最小，计算即可；
（2）现根据三角形的面积求出长，然后利用勾勾股定理求出长，分两种情况：当点在上，当点在的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
【详解】（1）解：当点D是的中点时，如图所示，以为圆心，以长为半径作圆C，交于点Q，则为最小值，
∵，，，
∴，
又∵D是的中点，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：；

（2）如图：

∵，
∴
，
∴，
∴点在同一条直线上，由旋转得：
，
分两种情况：
当点在上,
在 中，，
；
当点在的延长线上，在 中,

综上所述：当时, 的长为或 ，
故答案为：或 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算等知识点，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
先根据特殊角的三角函数值化简、然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：

．
16. 如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）将绕点O按逆时针方向旋转，得到，画出；
（2）以点O为位似中心，将放大2倍得到，画出；
（3）若在内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了位似变换与旋转变换，解决问题的关键是先作出图形各顶点的对应顶点，再连接各顶点得到新的图形．在画位似图形时需要注意，位似图形的位似中心可能在两个图形之间，也可能在两个图形的同侧．
（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点，然后连接即可得到；
（2）先根据位似中心的位置以及放大的倍数，画出原三角形各顶点的对应顶点D、E、F，再顺次连接各顶点，得到，
（3）根据结合位似的性质即可得点P放大后的对应点的坐标．
【小问1详解】
如图，即为所作；
【小问2详解】
如图，即为所作；
【小问3详解】
在内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是，
故答案为：．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图像，直接写出满足的x的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数解析式为
（2）或
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质、一次函数以及待定系数法求函数的关系式等知识:
（1）把代入求出，再把代入求出，得，再把，代入，求出的值即可；
（2）根据图象和A，B两点坐标可得出不等式的x的取值范围．
【小问1详解】
解：∵在反比例函数的图像上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
又在反比例函数的图像上，
∴，
解得，，
∴，
把，代入得：
，
解得，，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：∵，
∴由图象得，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上或上方，
∴不等式的x的取值范围为或．
18. 如图，在中，，于点．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【小问1详解】
证明：，，
，，
，
，
，
，
即．
【小问2详解】
解：，，
，，，
，，
，
，
即，
，，
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，小明晚上散步，当他走到D处时看到路灯的顶部A的仰角为．他继续向前走了到达F处，此时看到路灯的顶部A的仰角为，若小明的身高m，请你计算路灯的高度．（参考数据：，，结果精确到）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
连接并延长交于点G，设，在中，，然后根据在中，列方程解题即可．
详解】解：连接并延长交于点G，设，
则，，，
在中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，即，
解得：，
∴路灯的高度为．
20. 如图，在中，，点D是上一点，且，设，，，．
（1）分别计算和；
（2）根据（1）中的结果，用含的式子表示出．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】题目主要考查正切函数的定义及勾股定理解三角形，熟练掌握正切函数的定义是解题关键．
（1）根据正切的定义解题即可；
（2）根据勾股定理可得，根据可得，代入（1）中，整理化简即可解题．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴；
；
【小问2详解】
解：，
∴，
又∵，
∴，
∴
六、（本题满分12分）
21. 四边形ABCD内接于，．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2．连接交于点E．
①求证：；
②若，，，求的长．
【答案】（1）
（2）①见详解②
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及圆的内接四边形的性质即可；
（2）①先证明，得，再根据即可得出结论；②设，则，先证明，再根据勾股定理求出的长，由①知，求出的长，再根据勾股定理即可．
【小问1详解】
解： ，若．
四边形ABCD内接于，
；
【小问2详解】
证明①，
，
，
，
，
，
，
；
②设，则，
，
中，
，
，
，
，
，
由①知，，
【点睛】本题考查了圆的有关性质定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是本题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 已知抛物线经过点和点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若该抛物线与y轴交于点C，求的面积；
（3）当自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，求的最小值，并求出对应的m的值．
【答案】（1）
（2）
（3）时，有最小值为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，
（1）根据待定系数法求抛物线的解析式；
（2）求出点的坐标，再求的面积即可；
（3）分两种情况当时，当时讨论即可．
【小问1详解】
解：已知抛物线经过点和点,
,
解得：，
该抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：时，
，
，
；
【小问3详解】
解：当时，
时，此函数最大值为，
时，此函数的最小值为，
，
时，的最小值为，
当时，
时，此函数的最大值为，
时，此函数的最小值为，
，
时，的最小值为，
综上所述：
，
时，有最小值为．
八、（本题满分14分）
23. 已知在正方形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，．
（1）如图1，连接交于点G，若，求证：；
（2）如图2，连接，，若，求的长；
（3）如图3，连接，过点E作，垂足为M，交于点N，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质证明即可解题；
（2）根据正方形的性质得到，然后推导出，根据三角函数得到，进而求出的长；
（3）连接交于点H，推导，即可得到，即，根据和等量代换即可解题．
【小问1详解】
证明：∵是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
【小问2详解】
解：∵正方形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
连接交于点H，
由（2）可知，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．