（预习课）2024年高中数学高二暑假讲义12 圆的方程（2份打包，原卷版+教师版）

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学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程. 2.会用待定系数法求圆的标准方程， 能准确判断点与圆的位置关系．
知识点一 圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.
知识点二 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( × )
2．确定一个圆的几何要素是圆心和半径．( √ )
3．圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.( × )
4．(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．( × )
一、求圆的标准方程
例1 (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．
答案 (x＋5)2＋(y＋3)2＝25
解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(2)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是__________________．
答案 (x－1)2＋(y－2)2＝25
解析 ∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)eq \r(5＋32＋5＋12)＝5为半径，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
反思感悟 直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．
跟踪训练1 求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．
解 (1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)，又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
二、点与圆的位置关系
例2 (1)点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．点P在圆内 B．点P在圆外
C．点P在圆上 D．不确定
答案 B
解析 由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得点P在圆外．
(2)已知点M(5eq \r(a)＋1，eq \r(a))在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________________．
答案 [0,1)
解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0，,5\r(a)＋1－12＋\r(a)2<26，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0，,26a<26，))解得0≤a<1.
反思感悟 判断点与圆位置关系的两种方法
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．
跟踪训练2 已知点A(1,2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围：
(1)点A在圆的内部；
(2)点A在圆上；
(3)点A在圆的外部．
解 (1)因为点A在圆的内部，所以(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，且a不为0，解得a<－2.5.
(2)因为点A在圆上，所以(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2，解得a＝－2.5.
(3)因为点A在圆的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2>2a2，
且a不为0，解得a>－2.5且a≠0.
待定系数法与几何法求圆的标准方程
典例 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程．
解 方法一 (待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝r2，,1－a2＋1－b2＝r2，,2a＋3b＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝－3，,r＝5.))
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
方法二 (几何法)
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x＋y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－3，))即圆心坐标为(4，－3)，
半径为r＝eq \r(42＋－32)＝5.∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
[素养提升] (1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
(2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程．
(3)像本例，理解运算对象，探究运算思路，求得运算结果．充分体现数学运算的数学核心素养．
1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为( )
A．(－1,5)，eq \r(3) B．(1，－5)，eq \r(3)
C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3
答案 B
2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
答案 D
解析 由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
3．点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定
答案 B
4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
答案 A
解析 方法一 (直接法)
设圆的圆心为C(0，b)，则eq \r(0－12＋b－22)＝1，
∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
方法二 (数形结合法)
作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，
故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
5．若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为__________．
答案 a>eq \f(1,13)或a<－eq \f(1,13)
解析 ∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1，169a2>1，a2>eq \f(1,169)，∴a>eq \f(1,13)或a＜－eq \f(1,13).
1．知识清单：
(1)圆的标准方程．
(2)点和圆的位置关系．
2．方法归纳：直接法、几何法、待定系数法．
3．常见误区：几何法求圆的方程出现漏解情况．
1．圆心为(3,1)，半径为5的圆的标准方程是( )
A．(x＋3)2＋(y＋1)2＝5 B．(x＋3)2＋(y＋1)2＝25
C．(x－3)2＋(y－1)2＝5 D．(x－3)2＋(y－1)2＝25
答案 D
2．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周长是( )
A.eq \r(13)π B．2eq \r(13)π C．2π D．2eq \r(3)π
答案 B
解析 由圆的标准方程可知，其半径为eq \r(13)，周长为2eq \r(13)π.
3．已知点A(3，－2)，B(－5,4)，以线段AB为直径的圆的标准方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100
答案 B
解析 由题意得圆心坐标为(－1,1)，半径r＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)eq \r(3＋52＋－2－42)＝5，
所以圆的标准方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝25.故选B.
4．若点A(a＋1,3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，5)
C．(0,5) D．[0,5]
答案 C
解析 由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2>m，即m<5，又易知m>0，所以05．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
答案 B
解析 如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，
圆的半径为r＝eq \r(2－02＋－3－02)＝eq \r(13).故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
6．若点P(－1，eq \r(3))在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________.
答案 ±2
解析 ∵P点在圆x2＋y2＝m2上，∴(－1)2＋(eq \r(3))2＝4＝m2，∴m＝±2.
7．圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是________________．
答案 (x－4)2＋y2＝1
解析 设圆心A(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为(a，b)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b＋1,a－3)·－1＝－1，,\f(a＋3,2)＋\f(b－1,2)－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝0，))故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1.
8．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以点C为圆心，eq \r(5)为半径的圆的标准方程是________________．
答案 (x＋1)2＋(y－2)2＝5
解析 将直线方程整理为(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，可知直线恒过点(－1,2)，
从而所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
9．已知圆C过点A(3,1)，B(5,3)，圆心在直线y＝x上，求圆C的标准方程．
解 设圆心C(a，a)，半径为r，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－32＋a－12＝r2，,a－52＋a－32＝r2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,r＝2，))∴圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
10．已知点A(－1,2)和B(3,4)．求：
(1)线段AB的垂直平分线l的方程；
(2)以线段AB为直径的圆的标准方程．
解 由题意得线段AB的中点C的坐标为(1,3)．
(1)∵A(－1,2)，B(3,4)，∴直线AB的斜率kAB＝eq \f(4－2,3－－1)＝eq \f(1,2).
∵直线l垂直于直线AB，∴直线l的斜率kl＝－eq \f(1,kAB)＝－2，
∴直线l的方程为y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0.
(2)∵A(－1,2)，B(3,4)，∴|AB|＝eq \r(3＋12＋4－22)＝eq \r(20)＝2eq \r(5)，
∴以线段AB为直径的圆的半径r＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \r(5).
又圆心为C(1,3)，∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
11．已知圆心在x轴上的圆C经过A(3,1)，B(1,5)两点，则C的标准方程为( )
A．(x＋4)2＋y2＝50 B．(x＋4)2＋y2＝25
C．(x－4)2＋y2＝50 D．(x－4)2＋y2＝25
答案 A
解析 根据题意，设圆的圆心C的坐标为(m，0)，
若圆C经过A(3,1)，B(1,5)两点，则有(3－m)2＋1＝(m－1)2＋25，
解得m＝－4，即圆心C为(－4,0)，则圆的半径r＝|CA|＝eq \r(3＋42＋1)＝eq \r(50)，
则圆C的标准方程为(x＋4)2＋y2＝50，故选A.
12．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
答案 D
解析 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为(0,3)．
因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.
由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.
13．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
答案 B
解析 由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y－1＝0，,3x－2y＋5＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1，))即P(－1,1)．
∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，∴|PC|＝eq \r(－1－22＋1＋32)＝5，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，故选B.
14．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则eq \r(x－12＋y－12)的最大值为__________．
答案 1＋eq \r(2)
解析 eq \r(x－12＋y－12)的几何意义是圆上的点P(x，y)到点(1,1)的距离，因此最大值为eq \r(2)＋1.
15．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的标准方程为______________．
答案 x2＋(y＋1)2＝1
解析 由已知圆(x－1)2＋y2＝1，设其圆心为C1，则圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1.
设圆心C1(1,0)关于直线y＝－x对称的点的坐标为(a，b)，即圆心C的坐标为(a，b)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a－1)·－1＝－1，,－\f(a＋1,2)＝\f(b,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝－1.))所以圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝1.
16．已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4，直线l：14x＋8y－31＝0，求圆C1关于直线l对称的圆C2的标准方程．
解 设圆C2的圆心坐标为(m，n)．
因为直线l的斜率k＝－eq \f(7,4)，圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r＝2，
所以，由对称性知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－1,m＋3)＝\f(4,7)，,14×\f(－3＋m,2)＋8×\f(1＋n,2)－31＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝4，,n＝5.))
所以圆C2的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝4.
2．4.2 圆的一般方程
学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．
知识点 圆的一般方程
1．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
1．方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆．( × )
2．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．( × )
3．若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.( √ )
4．任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．( √ )
一、圆的一般方程的辨析
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．
(1)求实数m的取值范围；(2)写出圆心坐标和半径．
解 (1)由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得m(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝eq \r(1－5m).
反思感悟 圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
跟踪训练1 (1)圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为( )
A．r＝1，(－2,1) B．r＝2，(－2,1)
C．r＝2，(2，－1) D．r＝1，(2，－1)
答案 D
解析 x2＋y2－4x＋2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，
所以半径和圆心分别为r＝1，(2，－1)．
(2)若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是( )
A．meq \f(1,2) C．m<0 D．m≤eq \f(1,2)
答案 A
解析 因为x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则1＋1－4m>0，所以m二、求圆的一般方程
例2 已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4eq \r(3)，求圆的方程．
解 方法一 (待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q的坐标分别代入上式，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4D－2E＋F＋20＝0， ①,D－3E－F－10＝0. ②))
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0， ③
由已知得|y1－y2|＝4eq \r(3)，其中y1，y2是方程③的根，
∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④
联立①②④解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝0，,F＝－12))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－10，,E＝－8，,F＝4.))
故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
方法二 (几何法)
由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0，
∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1)．
又圆C的半径长r＝|CP|＝eq \r(a－42＋a＋12).(*)
由已知得圆C截y轴所得的线段长为4eq \r(3)，而圆心C到y轴的距离为|a|，
∴r2＝a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),2)))2，代入(*)式整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，
∴r1＝eq \r(13)，r2＝eq \r(37).故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
反思感悟 求圆的方程的策略
(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程；
(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程．
跟踪训练2 (1)圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程是____________________．
答案 x2＋y2－4x－4y－2＝0
解析 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
由题意知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)＝－\f(E,2)，,2－D＋E＋F＝0，,10＋3D－E＋F＝0，))解得D＝E＝－4，F＝－2，
即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.
(2)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，则△ABC的外接圆的方程是__________________．
答案 x2＋y2－8x－2y＋12＝0
解析 设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2D＋2E＋F＋8＝0，,5D＋3E＋F＋34＝0，,3D－E＋F＋10＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12，))
即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
三、求动点的轨迹方程
例3 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，点B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解 (1)设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)，
∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2＋x0,2)，,y＝\f(0＋y0,2)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－2，,y0＝2y.))
又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
反思感悟 求与圆有关的轨迹问题的方程
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
跟踪训练3 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
解 以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，
则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2＋x,2)＝x0，,\f(0＋y,2)＝y0.))①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋yeq \\al(2,0)＝9.②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为( )
A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4
C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，16
答案 C
2．将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是( )
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
答案 C
解析 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C.
3．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为( )
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
答案 D
解析 原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋a＝0，,y＋b＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－a，,y＝－b.))∴方程表示点(－a，－b)．
4．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)
解析 方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1时才能表示圆．
5．若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是__________．
答案 2x－y－6＝0
解析 圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长．
由k＝eq \f(2－0,4－3)＝2，得直线方程为y＝2(x－3)，即2x－y－6＝0.
1．知识清单：
(1)圆的一般方程．
(2)求动点的轨迹方程．
2．方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法．
3．常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件．
1．已知圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，则点P(3,1)在( )
A．圆内 B．圆上
C．圆外 D．无法确定
答案 C
2．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为( )
A．(1，－1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1))
C．(－1,2) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1))
答案 D
解析 将圆的方程化为标准方程，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋(y＋1)2＝eq \f(45,4)，所以圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1)).
3．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是( )
A．m<1 B．m>1
C．m答案 A
解析 方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，表示圆的条件是42＋(－2)2－4×5m>0，解得m<1.
4．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )
A．2 B.eq \f(\r(2),2) C．1 D.eq \r(2)
答案 D
解析 因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝eq \f(|1＋2－1|,\r(2))＝eq \r(2).
5．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则有( )
A．D＋E＝0 B．D＝E
C．D＝F D．E＝F
答案 B
解析 由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，故有－eq \f(E,2)＝－eq \f(D,2)，即D＝E.
6．如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,4)))
解析 由(－2)2＋12－4k>0得k7．若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，1)
解析 点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部且不包括边界，
则(a＋1)2＋(a－1)2－2a(a－1)－4<0，解得a<1.
8．已知直线与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<5)相交于A，B两点，且弦AB的中点Q的坐标为(0,1)，则直线AB的方程为________________．
答案 x－y＋1＝0
解析 易知圆心P的坐标为(－1,2)．∵AB的中点Q的坐标为(0,1)，
∴直线PQ的斜率kPQ＝eq \f(2－1,－1－0)＝－1，∴直线AB的斜率k＝1，
故直线AB的方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.
9．已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(－6,3)，C(3,0)，求这个三角形外接圆的一般方程．
解 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C三点都在圆上，∴A，B，C三点的坐标都满足所设方程，
把A(4,1)，B(－6,3)，C(3,0)的坐标依次代入所设方程，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4D＋E＋F＋17＝0，,－6D＋3E＋F＋45＝0，,3D＋F＋9＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝1，,E＝－9，,F＝－12，))
∴所求圆的方程为x2＋y2＋x－9y－12＝0.
10.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程．
解 设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，所以4＝eq \f(x0＋x,2)，3＝eq \f(y0＋y,2)，于是有x0＝8－x ，y0＝6－y.①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
即(x0＋1)2＋yeq \\al(2,0)＝4，②把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，
整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.
11．方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，
又方程可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))2＋(y－a)2＝－eq \f(3,4)a2－3a，故圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，a))，r2＝－eq \f(3,4)a2－3a.
又r2>0，即－eq \f(3,4)a2－3a>0，解得－412．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1
答案 C
解析 设P(x1，y1)，PQ的中点M的坐标为(x，y)，
∵Q(3,0)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋3,2)，,y＝\f(y1＋0,2)，))∴x1＝2x－3，y1＝2y.
又点P在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1，故选C.
13．已知圆x2＋y2＋4x－6y＋a＝0关于直线y＝x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．
答案 (－∞，8)
解析 由题意知，直线y＝x＋b过圆心，而圆心坐标为(－2,3)，代入直线方程，得b＝5，
所以圆的方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝13－a，所以a<13，由此得a－b<8.
14．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．
答案 (0，－1)
解析 ∵r＝eq \f(1,2)eq \r(k2＋4－4k2)＝eq \f(1,2)eq \r(4－3k2)，∴当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．
15．已知定点P1(－1,0)，P2(1,0)，动点M满足|MP1|＝eq \r(2)|MP2|，则构成△MP1P2面积的最大值是( )
A.eq \r(2) B．2eq \r(2) C.eq \f(2\r(3),3) D．2eq \r(3)
答案 B
解析 设M(x，y)，由|MP1|＝eq \r(2)|MP2|，可得eq \r(x＋12＋y2)＝eq \r(2)eq \r(x－12＋y2)，
化简得(x－3)2＋y2＝8，即M在以(3,0)为圆心，2eq \r(2)为半径的圆上运动，
又＝eq \f(1,2)·|P1P2|·|yM|＝|yM|≤2eq \r(2).故选B.
16．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解 如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y,2)))，
线段MN的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).由于平行四边形的对角线互相平分，
故eq \f(x,2)＝eq \f(x0－3,2)，eq \f(y,2)＝eq \f(y0＋4,2)，从而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝x＋3，,y0＝y－4.))
又点N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
当点P在直线OM上时，有x＝－eq \f(9,5)，y＝eq \f(12,5)或x＝－eq \f(21,5)，y＝eq \f(28,5).
因此所求轨迹为以(－3,4)为圆心，半径为2的圆，除去点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21,5)，\f(28,5))).
位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点M在圆上
|CM|＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外
|CM|>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内
|CM|(x0－a)2＋(y0－b)2条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
D2＋E2－4F>0
表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，以eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆