2024一轮题型分类细讲精练19：直线和圆

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1．直线方程的五种形式
2．两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
3．几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
4圆的定义与方程
5．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．(最重要)
dr⇔相离．
(2)代数法：eq \(――――→,\s\up7(判别式),\s\d5(Δ＝b2－4ac))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(>0⇔相交,＝0⇔相切,0)，
O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2>0)
【方法技巧】
处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.
【核心题型】
题型一：待定系数法求直线方程
1．（2022·北京·统考模拟预测）已知圆，直线l过点且倾斜角为，则“直线l与圆C相切”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先化简“直线l与圆C相切”得到或者，再利用充分条件必要条件的定义判断得解.
【详解】当直线l没有斜率时，,与圆不相切.
当直线l有斜率时，设直线方程为，
由题得或者.
所以或者.
所以“直线l与圆C相切”成立，则“”不一定成立；“”成立，则“直线l与圆C相切”成立.
所以“直线l与圆C相切”是“”的必要不充分条件.
故选：B
2．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知直线与圆交于A，B两点，则线段的垂直平分线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据互相垂直两直线斜率之间的关系、圆的几何性质进行求解即可.
【详解】由，圆心坐标为，
由，所以直线的斜率为，
因此直线的垂直垂直平分线的斜率为，
所以直线的垂直垂直平分线方程为：，
故选：A
3．（2022·广东中山·中山纪念中学校考模拟预测）已知直线l经过点，且被圆截得的弦长为4，则直线l的方程是 （ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【分析】考虑直线斜率不存在和存在两种情况，验证后得到满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线距离公式列出方程，求出，得到答案.
【详解】圆的标准方程为：，
由题意圆心到直线l的距离
（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离，符合题意，
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得，则直线方程为，
综上，直线 l的方程为或．
故选：B．
题型二：已知两直线位置求参数或者范围
4．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知当时，原点到直线的距离最大，利用两直线垂直斜率的关系可求得实数的值.
【详解】直线方程可化为，
由可得，
所以，直线过定点，
当时，原点到直线的距离最大，且，
又因为直线的斜率为，解得.
故选：B.
5．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用已知弦长先求圆心坐标，然后可求过圆心与直线L垂直的直线的方程.
【详解】由题意，设所求的直线方程为，并设圆心坐标为，
则由题意知： 解得或，
又因为圆心在轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为，
∵圆心在所求的直线上，所以有，即，
故所求的直线方程为．
故选∶A．
6．（2023·吉林·统考二模）已知，若直线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A．1B．3C．8D．9
【答案】D
【分析】根据两直线方程表达式及其位置关系可得，在利用基本不等式即可求得的最小值.
【详解】由题可知，两条直线斜率一定存在，
又因为两直线垂直，所以斜率乘积为，即，即，
整理可得，
所以，当且仅当时，等号成立；
因此的最小值为.
故选：D
题型三：直线的定点问题
7．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设出点坐标，由进行化简，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】对于直线，
即，所以在直线上，
设，其中，
由两边平方得，
即，
整理得，
由于，所以
，其中，
根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值，
且最大值为，则，解得.
故选：A
8．（2023·贵州毕节·统考一模）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据题意，设为直线上的一点，由圆的切线的性质得点在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆C的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点，由点到直线的距离分析可得答案．
【详解】由题意可得的圆心到直线的距离为，
即与圆相离；
设为直线上的一点，则，
过点P作圆的切线，切点分别为，则有，
则点在以为直径的圆上，
以为直径的圆的圆心为 ，半径为，
则其方程为，变形可得 ，
联立，可得：，
又由，则有 ，
变形可得 ，
则有，可得，故直线恒过定点，
设，由于，故点在内，
则时，C到直线的距离最大，
其最大值为,
故选∶B
题型四：直线有关的对称问题
9．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）若为圆上的动点，当到直线的距离取得最大值时，直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知当为射线与圆的交点且时，点到直线的距离最大，求出直线的斜率，可得出直线的斜率.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，
将直线的方程变形为，
由得，故直线过定点，如下图所示：
当为射线与圆的交点且时，点到直线的距离最大，
因为，则直线的斜率为.
故选：B.
10．（2023·北京平谷·统考模拟预测）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（ ）
A．最大值为B．最小值为C．最小值为D．最大值为
【答案】C
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径的表达式，利用已知条件，得到圆心在直线上，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由，得，
所以圆心为，半径为，
由题意可得直线经过圆心，
故有，即，
所以半径为，
当时，圆C的半径的最小值为.
故选：C.
11．（2023·陕西西安·校考模拟预测），，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先根据题意求得关于直线对称的点为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，再数形结合得到点的变动范围，从而得到，由此得解.
【详解】设直线方程为，则，解得，即，即，
设关于直线对称的点为，则，解得，即，，
同理可得：
点关于直线的对称点为，
点关于直线的对称点为，
如图所示：
利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；
所以点之间为点的变动范围，
因为，，所以直线，即直线斜率不存在，而，
所以，即.
故选：D
12．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知点，，若直线关于的对称直线与圆：交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出直线关于直线的对称直线，由于直线恒过点，当且仅当时，圆心到直线的距离最大，取最小值可得答案.
【详解】∵，∴直线关于直线的对称直线为，
可得，即直线恒过点，
由得点在圆内，
圆：的圆心，圆的半径为，
当且仅当时，圆心到直线的距离最大，取最小值，
由，得，
所以：，圆心到直线的距离，.
故选：C.
题型五：几何法求圆的方程
13．（2022秋·河南·高三信阳高中校联考期末）已知点是圆上的任意一点，点，分别为圆上的两个不同的动点，且，点为线段的中点，则的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】A
【分析】由圆内的弦长求得圆心O到弦中点Q的长即得点Q的轨迹方程，从而转化成求两圆上任意两点间距离的最小值.
【详解】因为点为线段的中点，且，所以.
所以点在以原点为圆心，1为半径的圆上，即：方程为，
所以.所以.
故选：A.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知是圆上两点，且．若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据直线与圆相交弦长可得的中点的轨迹方程为圆，又根据直线的方程可确定，交点的轨迹，若恰为的中点，即圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系即可得实数的取值范围.
【详解】解：圆，半径，
因为恰为的中点，直线与圆相交弦长，所以，
的轨迹方程是．
又直线过定点，直线过定点，且，
则点是两垂线的交点，所以在以为直径的圆上，则圆心，半径为
的轨迹方程是由于的斜率存在，所以点的轨迹要除去点，
由已知得圆与圆有公共点，
，即，又，所以，解得.
∴实数的取值范围为.
故选：B.
15．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与直线相切，则面积最大的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】据题意分析可知直线经过定点；圆的圆心到直线距离的最大时，圆的半径最大，即可得到面积最大的圆的标准方程.
【详解】直线方程为：可化为，
直线经过定点,
易知：圆的半径最大时，圆的面积最大，圆心到直线的距离最大时圆的面积最大，
又动圆,圆心为，半径为，
当与已知直线垂直时圆的半径最大，，
面积最大的圆的标准方程为：.
故选：B
题型六：待定系数法求圆的方程
16．（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】B
【分析】先根据题意求得，从而得到两圆的圆心和半径，进而求得圆心距等于两半径的差，得知两圆内切，即可知道公切线只有1条.
【详解】圆：的圆心为，半径为a，
所以圆心到直线的距离为，解得或．
因为，所以.
所以圆：的圆心为，半径为．
圆：的标准方程为，
圆心坐标为，半径，
圆心距，所以两圆相内切．
所以两圆的公切线只有1条.
故选：B．
17．（2023·全国·高三专题练习）与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出过圆心与直线垂直的直线方程，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离可得所求圆的半径，设所求圆的圆心为，且圆心在直线的左上方，利用、 可得答案.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
过圆心与直线垂直的直线方程为，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离为，则所求圆的半径为，
设所求圆的圆心为，且圆心在直线的上，
所以，且，解得（不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为.
故选：C．
18．（2023·全国·高三专题练习）如图，点A，B，D在圆Γ上，点C在圆Γ内，，若，且与共线，则圆Γ的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，用待定系数法求出圆的方程，然后可解.
【详解】以C为原点，BC和CD坐在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，
则，
设圆的一般方程为
则，解得，所以
所以圆的周长为
故选：B
题型七：几何法求弦长
19．（2023·全国·模拟预测）若直线与直线被圆截得的弦长之比为，则圆C的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出圆心分别到两条直线的距离，根据勾股定理求出两条直线被圆截得的弦长，根据弦长之比为列式求出，可得圆的半径，从而可得圆的面积.
【详解】圆C的标准方程为，
所以圆心到直线的距离为，
到直线的距离分别为，
所以直线被圆截得的弦长为，
直线被圆截得的弦长为，
由题意可得，解得，满足，
所以圆C的半径为，面积为.
故选：B．
20．（2023秋·河南·高三校联考期末）在平面直角坐标系中，已知圆被轴截得的弦长为2，且与直线相切，则实数的值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【分析】由已知求出圆心.根据圆与轴的关系可得，进而由直线与圆相切可得，解方程即可得出答案.
【详解】由已知可得，圆心，半径为.
圆心到轴的距离为，则由已知可得，
所以，.
又圆与直线相切，则圆心到直线的距离，整理可得，又，所以.
故选：D.
21．（2022秋·四川广安·高三四川省邻水县第二中学校考阶段练习）已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为，则正实数的值为（ ）
A．8B．4C．1D．
【答案】A
【分析】求出圆心到一条渐近线的距离，利用弦心距、半径、半弦长的关系求解即可.
【详解】由可得，即圆心为，半径为，
由双曲线的对称性，取双曲线的一条渐近线，即，
所以圆心到渐近线的距离为，依题意得，解得.
故选：A
题型八：圆或者直线上的点的距离问题
22．（2023·福建福州·统考二模）已知，关于直线对称的圆记为，点E，F分别为，上的动点，EF长度的最小值为4，则（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【分析】画出图形，当过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时，长度最小，此时圆心到对称轴的距离为4，根据点到直线的的公式建立方程即可求解.
【详解】
由题易知两圆不可能相交或相切，则如图，当过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时，长度最小，
此时圆心到对称轴的距离为4，
所以，解得或.
故选：D
23．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点P是圆O：上一动点，若直线l：上存在点Q，满足线段PQ的中点也始终在圆O上，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意分析可知，只要O的圆心到直线l的距离不超过3，再结合点到直线的距离公式即可求得k的取值范围.
【详解】由题意分析可知，直线l：过定点，设的中点为，
因为圆O：的圆心，半径为，
若满足线段PQ的中点点在圆上，则，
又，则，即，
所以，
设圆心O到直线l的距离为，则，
所以，解得或，
故．
故选：D.
.
24．（2022秋·江西萍乡·高三统考期末）点为抛物线上任意一点，点为圆 上任意一点，为直线的定点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【分析】画图，找出抛物线焦点，化简圆的普通方程为标准方程，结合抛物线定义以及共线性质分析得出最值.
【详解】如图所示：
由知，抛物线焦点，
由，化为，
即为以为圆心，1为半径的圆，
又，得，恒过定点，
过点作垂直于抛物线的准线：交于点，连接，
则，
当三点共线时，最小,此时为3，
所以的最小值为：，
故选：A.
题型九：直线和圆的综合问题
25．（2023·重庆·统考二模）过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且相交于点，，相交于点，．以，为直径的圆，圆为圆心的公共弦所在的直线记为．
(1)若，求；
(2)若，求点到直线的距离的最小值．
【答案】(1)24
(2)
【分析】（1）根据题意设直线的方程为，联立抛物线的方程可得关于的一元二次方程，从而可得，，进而可得点的坐标，即可得到的坐标表示，同理可得，求解即可；
（2）结合（1），根据抛物线的定义得，，进而可得，即可得到圆的半径，从而可得到圆的方程，同理也可得到圆的方程，两圆方程相减即可得到直线的方程，再根据点到直线的距离公式即可求解．
【详解】（1）依题意，抛物线的焦点为，且其在抛物线内部，设直线的方程为，
由，得，
设，两点的坐标分别为，则是上述方程的两个实数根，
所以
所以点的坐标为，，
同理可得的坐标为，，
于是，
又，所以．
（2）结合（1），
由抛物线的定义得，，
所以，
所以圆的半径，
所以圆的方程为
化简得，
同理可得圆的方程为，
于是圆与圆的公共弦所在直线的方程为，
又，则直线的方程为，
所以点到直线的距离，
故当时，取最小值．
【点睛】关键点点睛：解答小问（2）的关键是根据抛物线的定义求得，，进而可得，从而得到圆的半径，可得到圆的方程，同理可得到圆的方程，再根据点到直线的距离公式求解．
26．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物的准线.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，设中点为.
（i）求直线的斜率；
（ii）设面积为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）0；（ii）48
【分析】（1）设直线与轴交于，由几何性质易得：，即可解决；（2）设，（i）中，由于中点在抛物线上，得，将，代入联立得点纵坐标为，即可解决；（ⅱ）由（i）得点，，又点在圆上，得，可得：即可解决.
【详解】（1）设直线与轴交于.
由几何性质易得：与相似，
所以，
，
即：，解得：.
所以抛物线的标准方程为：.
（2）设
（i）由题意，中点在抛物线上，即，
又，将代入，
得：，
同理：，
有，此时点纵坐标为，
所以直线的斜率为0.
（ⅱ）因为，
所以点，
此时，
，
，
所以，
又因为点在圆上，有，即，代入上式可得：
，
由，
所以时，取到最大价.
所以的最大值为48.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：上点与圆上点M的距离的最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线l与椭圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过点（Q与A，B不重合），证明：动直线l过定点，并求出该定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，直线l过定点.
【分析】（1）设圆心为，数形结合得到点与圆上点M的距离的最大值为加上半径，从而列出方程，结合在椭圆上，从而求出，，得到椭圆方程；
（2）先考虑直线l斜率存在，设直线l：，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，由求出直线l：或l：，舍去不合要求的解，再考虑直线l斜率不存在时，得到直线l：，不合要求，证明出结论，及定点坐标.
【详解】（1）因为椭圆C：过点，
所以，
的圆心为，半径为1，
点与圆上点M的距离的最大值为加上半径，
即，
解得：，，
则椭圆C的方程为.
（2）当直线l斜率存在时，设直线l：，
，
设点，，则，
，
所以或.
则直线l：或l：，
因为Q与A，B不重合，故不合要求，
所以直线l：，即直线过定点.
当直线l斜率不存在时，设直线l：，不妨设，，
所以.
所以，直线l：，因为Q与A，B不重合，所以不满足题意.
综上，直线l过定点.
【高考必刷】
一、单选题
28．（2023·重庆·统考二模）已知点，圆，若在圆上存在唯一的点使得，则可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，可得点的轨迹为以为直径的圆，故点是两圆的交点，根据圆与圆的位置关系即可求出．
【详解】根据可知，点的轨迹为以为直径的圆，,
圆的圆心, ,圆的圆心,
若在圆上存在唯一的点使得,故圆和圆相切，
即或, ,
即或(无解)，
即或,
故或
故选：D．
29．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可得直线与圆：有公共点（公共点不能是、），结合直线与圆的位置关系分析运算.
【详解】若，则点在以，为直径的圆上（点不能是、），
∵以，为直径的圆的圆心为，半径，则圆的方程为，
即直线与圆：有公共点（公共点不能是、），
当直线与圆：有公共点时，则，解得；
当直线与圆：的公共点为A或B时，则直线即为x轴，即；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：B.
30．（2023·陕西安康·统考二模）已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】斜率相等且截距不同的两条直线平行，或不存在斜率的两个不同直线也平行，由此利用条件的充分性和必要性定义即可得出答案.
【详解】当时，：，：，所以，充分性成立；
当时，，即，可得或，必要性不成立
故选：A．
31．（2023·贵州贵阳·统考一模）已知直线，直线，其中实数，则直线与的交点位于第一象限的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先由两条直线相交，联立方程组写出两条直线的交点坐标，接下来根据交点在第一象限得到a的范围，利用几何概型概率计算公式计算即可
【详解】当时，，此时，
所以，直线与无交点；
当时，由，解得：，
由题意，解得，
又，
由几何概型的概率公式知，所求的概率为.
故选：A.
32．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知双曲线的离心率为3，斜率为的直线分别交F的左右两支于A，B两点，直线分别交F的左、右两支于C，D两点，，交于点E，点E恒在直线l上，若直线l的斜率存在，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由点差法可得与关系式、与关系式，由E，M，N三点共线， 列式可得结果.
【详解】由题得，
设的中点的中点，
则，得，
所以，所以①，同理得②，
因为，则E，M，N三点共线，所以，将①②代入得，即，
因为直线l的斜率存在，所以，
所以，即点E在直线上.
故选：A.
33．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知点，圆，过点的直线与圆交于，两点，则的最大值为（ ）
A．B．12C．D．
【答案】B
【分析】利用中点坐标求出AB的中点的轨迹方程为圆心、半径为1的圆，得的最大值，结合即可求解.
【详解】由题意知，，圆M的半径为4，设AB的中点，
则，即，
又，所以，
即点D的轨迹方程为，圆心，半径为1，
所以的最大值为，
因为，
所以的最大值为12.
故选：B.
34．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）已知O为平面点角坐标系的原点，点，B为圆上动点，记经过A、B的直线为l，以O为圆心与l相切的圆的面积为，经过O、A、B三点的圆的面积为，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设l与x轴交点为C，，利用三角函数的定义和正弦定理，得到，从而有，再利用点与圆上的点的距离求解.
【详解】解：如图所示：
设l与x轴交点为C，，
则，
在中，由正弦定理得：，
∴，
又，
所以的最大值为．
故选：C．
二、多选题
35．（2023·湖南·模拟预测）已知圆：与圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆与x轴相切，则
B．直线与圆始终有两个交点
C．若，则圆与圆相离
D．若圆与圆存在公共弦，则公共弦所在的直线方程为
【答案】BC
【分析】选项A：若圆与x轴相切，则等于圆的半径；
选项B：直线恒过定点，点在圆内部，故直线与圆始终有两个交点；
选项C：利用圆心距与半径之和的关系，判断两圆是否外离；
选项D：若圆与圆有公共弦，联立两个圆的方程可得公共弦所在的直线方程为．
【详解】对于选项A：圆：，半径为2，若圆与x轴相切，则，故A错误；
对于选项B：直线，即，恒过定点，
又由，则点在圆内部，故直线与圆始终有两个交点，故B正确；
对于选项C：若，圆为，其圆心为，半径，
圆：，其圆心为，半径，
圆心距，两圆外离，故C正确；
对于选项D：若圆与圆有公共弦，联立两个圆的方程可得
即公共弦所在的直线方程为，故D错误．
故选：BC．
36．（2023·湖北·统考模拟预测）已知直线交轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则（ ）
A．若直线l与圆M相切，则
B．当时，四边形的面积为
C．直线经过一定点
D．已知点，则为定值
【答案】ACD
【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出即可判断A；根据求出，进而求出，根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结果；根据相切可知四点共圆，且为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进而判断C；根据直线过定点及可得，即C在以为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点，即可判断D.
【详解】解：对于A，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离，
解得，所以A正确；
对于B，当时，，，，
因为为圆的两条切线，所以，
所以四边形的面积，
所以B错误；
对于C，因为，，且，
所以四点共圆，且为直径，
所以该圆圆心为，半径为，
所以圆的方程为：，
因为是该圆和圆的相交弦，
所以直线的方程为两圆方程相减，
即，
化简可得：，
所以直线经过定点，所以C正确；
对于D，因为，所以，
因为在直线上，所以
即点C在以为直径的圆上，因为，，
所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为：，圆心为，
因为点C在该圆上，所以为定值，所以D正确．
故选：ACD
37．（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆，点为直线上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心到直线的最大距离为8
B．若直线平分圆的周长，则
C．若圆上至少有三个点到直线的距离为，则
D．若，过点作圆的两条切线，切点为，，当点坐标为时，有最大值
【答案】BD
【分析】由圆，知圆心，半径，由直线过圆心可求，从而判断B；恒过定点,可求点到直线的最大距离，判断A；由已知圆心到直线的距离，可求的范围判断C；利用，从而可求最小时的位置判断D．
【详解】由圆，知圆心，半径，
对于A,直线恒过定点，点到直线的最大距离为，故A不正确；
对于B,直线平分圆的周长，则直线过圆心，，解得，故B正确；
对于C,若圆上至少有三个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离，
，解得，故C错误；
对于D,，要使最大，只需要最大即可，又，故需最小，此时与直线垂直，故此时与定点重合，故,故D正确，
故选：BD．
38．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知为圆上的两点，为直线上一动点，则（ ）
A．直线与圆相离
B．当为两定点时，满足的点有2个
C．当时，的最大值是
D．当为圆的两条切线时，直线过定点
【答案】AD
【分析】利用点到直线的距离判断A；确定最大时的情况判断B；取AB中点D，由线段PD长判断C；求出直线AB的方程判断D作答.
【详解】对于A，因为到直线的距离，即直线与圆相离，A正确；
对于B，当A，B为过点P的圆O的切线的切点时，最大，而，
显然是锐角，正弦函数在上单调递增，，
因此最大，当且仅当最大，当且仅当最小，则有，此时，
所以当为两定点时，满足的点只有1个，B错误；
对于C，令AB的中点为D，则，，点D在以O为圆心，为半径的圆上，
，显然当在上运动时，无最大值，C不正确；
对于D，设，当为切线时，，点在以为直径的圆上，
此圆的方程为，于是直线为，即，
所以直线过定点，D正确.
故选：AD
三、填空题
39．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知椭圆，圆，直线与圆相切于第一象限的点A，与椭圆C交于两点，与轴正半轴交于点.若，则直线的方程是__________.
【答案】
【分析】设直线的方程为：，根据直线和圆相切、直线和椭圆相交且求得，进而求得直线的方程.
【详解】由题意可知直线有斜率，设直线的方程为： ，
联立直线和圆的方程：，
，
所以，故，
联立直线和椭圆的方程：，
设，则
设中点为,由可知：,即是的中点，
在直线方程中，令
由中点坐标公式可知：， ，故， 直线方程为
故答案为：
【点睛】求解直线和圆相切的问题，有两种方法，一种是利用圆心到直线的距离等于半径来进行求解；另一种是联立直线的方程和圆的方程，化简后利用判别式来进行求解.
40．（2023·河南郑州·统考一模）经过点以及圆与交点的圆的方程为______．
【答案】
【分析】求出两圆的交点坐标，设出所求圆的一般方程，将三点坐标代入，解出参数，可得答案.
【详解】联立，整理得，
代入，得，解得或，
则圆与交点坐标为，
设经过点以及的圆的方程为,
则，解得，
故经过点以及圆与交点的圆的方程为，
故答案为：
41．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，设直线与两坐标轴的交点分别为，若圆上有且只有一个点满足，则的值为__________.
【答案】##
【分析】根据可得在的垂直平分线上，且垂直平分线与圆相切可求解.
【详解】在的垂直平分线上，
所以中垂线的斜率为，
的中点为，由点斜式得，
化简得，
在圆满足条件的有且仅有一个，
直线与圆相切，
，
故答案为: .
42．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知P是抛物线上的动点，P到y轴的距离为，到圆上动点Q的距离为，则的最小值为______．
【答案】2
【分析】求出圆心坐标和抛物线的焦点坐标，把的最小值转化为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离即可得答案.
【详解】圆的圆心为，半径，
抛物线的焦点，准线方程为，
过点作准线的垂线，垂足为，
因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，
到圆上动点的距离为，
所以，，当且仅当三点共线时等号成立，且点在线段上，
所以，
又，当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立，又，
所以，
当且仅当点为线段与抛物线的交点，点为线段与圆的交点时等号成立，
所以的最小值为2，
故答案为：2
四、解答题
43．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为，过点引圆：的一条切线，切点为，.
(1)求抛物线的方程；
(2)过圆M上一点A引抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，是否存在点A使得的面积为？若存在，求点A的个数；否则，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，点A的个数为2，理由见解析
【分析】（1）由题意可求出，过点M作轴，根据勾股定理可知，即可求出参数p，进而得到抛物线方程；
（2）设，，，求出切点弦PQ的方程，联立抛物线方程，根据弦长公式求出，在利用点到直线距离公式求出点到直线PQ的距离d，由的面积为列出方程，得出A点的轨迹方程，联立圆的方程得，方程的根的个数即为点A的个数.
【详解】（1）解：如图
已知抛物线：的焦点为，
圆：的圆心，半径，
则，
过点M作轴，则，，
在中，满足，
即，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）存在点A使得的面积为，点A的个数为2，理由如下：
设，，，
由（1）可知抛物线的方程为，
则切点弦PQ的方程为，斜率，
联立，得，
所以，，
，
点到直线PQ的距离，
，
所以，
即点A的轨迹为抛物线往左平移个单位长度，
因为点A在圆M上，联立，得，
显然是一个根，因式分解得，
令，，则，
若，由于，
则恒成立，所以为增函数，
，，
根据零点存在定理函数在上存在一个零点，
所以存在两个点A使得的面积为.
【点睛】本题考查了抛物线切点弦方程及弦长公式，高次方程的因式分解问题，构造函数并利用导函数求出函数的单调性，根据零点存在定理求出方程的根，此题的关键点在于，根据的面积为，求出点A的轨迹方程，利用其轨迹方程和圆M有几个交点即可得到点A的个数.
44．（2021·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求：
(1)求圆心为的圆的标准方程；
(2)设点在圆上，点在直线上，求的最小值；
(3)若过点的直线被圆所截得弦长为，求该直线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】(1)设圆的标准方程为，利用圆经过的两个点，且圆心在直线上，建立方程组就可以求得.
(2)求出圆心到直线的距离，即可求出最小值.
(3)根据直线被圆截得的弦长为8，求出圆心到直线的距离，用点到直线的距离公式建立方程，求出得值，即可写出直线方程.
【详解】（1）设圆的标准方程为，因为圆经过和点，且圆心在直线上，
所以 解得：
所以圆的标准方程为.
（2）因为圆到直线的距离为
，
所以直线与圆相离，
所以的最小值为.
（3）当斜率存在时，由条件可知，圆心到直线的距离为
根据点到直线的距离公式得：，解得.
当斜率不存在时，直线方程为，符合截圆所得的弦长为8
所以直线方程为或.
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方
程
标准式
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心为(a，b)
半径为r
一般式
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
充要条件：D2＋E2－4F>0
圆心坐标：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
方法
位置
关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|