2024一轮题型分类细讲精练20：椭圆

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1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c0，c>0，且a，c为常数．
2．椭圆的标准方程和几何性质
【方法技巧】
1.椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见求法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
2.涉及与椭圆有关的轨迹方程及椭圆中的定点定值，.
求轨迹方程方法为直接法，即将题意转化为代数语言，化简即得轨迹方程；
对于定点问题，常可由对称性确定定点所在位置，后由三点共线结合向量共线或斜率相等可得定点坐标.
【核心题型】
题型一：利用椭圆的定义解决焦点三角形或者边长问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于P，Q两点，若，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知点P是椭圆C：上一点，点、是椭圆C的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为（ ）
A．2B．2C．D．
3．（2022秋·黑龙江佳木斯·高三建三江分局第一中学校考期中）已知在平面直角坐标系中，，，，，，P为该平面上一动点，记直线PD，PE的斜率分别为和，且，设点P运动形成曲线F，点M是曲线F上位于x轴上方的点，则下列说法错误的有（ ）
A．动点P的轨迹方程为
B．面积的最大值为
C．的最大值为5
D．的周长为6
题型二：待定系数法求椭圆方程
4．（2022·全国·高三专题练习）平面直角坐标系中，椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，离心率为.过点的直线l与C交于A、B两点，且△周长为，那么C的方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知、是椭圆C：的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，B在x轴上，且.若坐标原点O到直线AB的距离为3，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右顶点为，，焦点在y轴上的椭圆以，为顶点，且离心率为，过作斜率为的直线交双曲线于另一点，交椭圆于另一点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型三：直接法求椭圆离心率问题
7．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，点P是C上的一个动点，若椭圆C上有且仅有4个点P满足是直角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，与轴交于点．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·山东淄博·统考一模）直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型四：构造齐次方程求离心率
10．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为．在椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023秋·河北保定·高三统考期末）已知椭圆C：，，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，，过作外角平分线的垂线交的延长线于N点．若，则椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·江西赣州·统考一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，．椭圆在第一象限存在点，使得，直线与轴交于点，且是的角平分线，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型五：利用自变量范围求离心率范围
13．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆离心率为e，双曲线的渐近线的斜率小于，则椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知椭圆：，定点，，有一动点满足，若点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
15．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型六：椭圆的综合问题
16．（2023·宁夏·六盘山高级中学校考一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若△为等边三角形，且点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为，不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于A、B两点（异于椭圆E的顶点），直线与y轴的交点分别为M、N，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
17．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴､轴，且过两点．
(1)求的方程；
(2)设过点的直线交于两点，点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
18．（2023春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）设椭圆的右焦点为F，右顶点为A，已知椭圆离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆C交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若以BH为直径的圆经过点F，设直线l的斜率为k，直线OM的斜率为，且，求直线l斜率k的取值范围．
【高考必刷】
一、单选题
19．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）已知过椭圆的上焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点.若为锐角，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
20．（2023·山东日照·统考一模）已知椭圆：的左、右焦点为，，点为椭圆内一点，点在双曲线：上，若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
21．（2023·全国·高三专题练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·河南焦作·统考模拟预测）分别过椭圆的左、右焦点、作平行直线、，直线、在轴上方分别与交于、两点，若与之间的距离为，且（表示面积，为坐标原点），则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
23．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为为椭圆上一点，过P点作椭圆的切线l，PM垂直于直线l且与x轴交于点M，若M为的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
24．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知椭圆的右焦点为F，过F作倾斜角为的直线l交该椭圆上半部分于点P，以FP，FO（O为坐标原点）为邻边作平行四边形，点Q恰好也在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
25．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
26．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
27．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）已知是双曲线的左、右焦点，是C上一点，若C的离心率为，连结交C于点B，则（ ）
A．C的方程为B．
C．的周长为D．的内切圆半径为
28．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知椭圆的左焦点为，为的上顶点，，是上两点．若，，构成以为公差的等差数列，则（ ）
A．的最大值是
B．当时，
C．当，在轴的同侧时，的最大值为
D．当，在轴的异侧时（，与不重合），
29．（2023·山西晋中·统考二模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为B，直线l：与椭圆C交于M，N两点，的角平分线与x轴相交于点E，与y轴相交于点，则（ ）
A．四边形的周长为8B．的最小值为9
C．直线BM，BN的斜率之积为D．当时，
30．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是的内心，延长MI交线段于N，抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形是菱形，则下列结论正确的是（ ）
A．B．椭圆的离心率是
C．的最小值为D．的值为
三、填空题
31．（2023·广东江门·统考一模）椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝伦，深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质：①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，②长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列.根据以上信息，黄金椭圆的离心率为___________.
32．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）经研究发现，若点在椭圆上，则过点的椭圆切线方程为.现过点作椭圆的切线，切点为，当（其中为坐标原点）的面积为时，___________.
33．（2023·福建莆田·统考二模）已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，B关于直线的对称点为．若过A，，F三点的圆的半径为a，则C的离心率为_______．
34．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆C：，过点的直线l斜率范围为，过向l作垂线，垂足为P，Q为椭圆上一点，为椭圆右焦点，则的最小值为______．
四、解答题
35．（2023·陕西榆林·统考二模）已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，，试问直线，的斜率之和是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，请说明理由．
36．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知平面内动点M到定点F（0，1）的距离和到定直线y=4的距离的比为定值．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)设动点M的轨迹为曲线C，过点的直线交曲线C于不同的两点A、B，过点A、B分别作直线x=t的垂线，垂足分别为、，判断是否存在常数t，使得四边形的对角线交于一定点?若存在，求出常数t的值和该定点坐标；若不存在，说明理由．标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1
(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1
(a>b>0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
a，b，c
的关系
a2＝b2＋c2