2024一轮题型分类细讲精练16：一元二次不等式和基本不等式问题

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一元二次不等式的解集
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．(4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
【方法技巧】
1．利用基本不等式求最值问题
已知a>0，b >0，则
(1)如果积a b是定值p，那么当且仅当a＝b时，a＋b有最小值2eq \r(p). (简记：积定和最小)
(2)如果和a＋b是定值p，那么当且仅当a＝b时，ab有最大值eq \f(p2,4). (简记：和定积最大)
2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
【核心题型】
题型一：含参数的一元二次不等式问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解分式不等式求得集合，对进行分类讨论，结合，求得实数的取值范围.
【详解】由或.所以或，所以.由，解得或.，当时，，此时，满足；当时，，由得，即且.综上所述，实数的取值范围是.
故选：B
【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查根据交集、补集的运算结果求参数的取值范围，属于中档题.
2．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】讨论m与2的大小关系，求得不等式的解集， 根据解集中恰有4个整数，确定m的取值范围.
【详解】不等式即 ，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是3,4,5,6，故，
当时，不等式解集为 ，此时不符合题意；
当 时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是 ，故，，
故实数m的取值范围为，
故选：C
3．（2021·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，则关于的不等式（其中）的解集为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】A
【分析】先判断函数单调递减，再利用已知条件和函数的单调性得，解不等式即得解.
【详解】任取，由已知得，即，所以函数单调递减．
由可得，
即，
所以，
即，
即，
又因为，
所以，
此时原不等式解集为．
故选：A
【点睛】方法点睛：解抽象函数不等式一般先要判断函数的单调性，再利用单调性化抽象函数不等式为具体的函数不等式解答.
题型二：一元二次不等式根分布问题
4．（2021·全国·高三专题练习）已知若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先作出函数的图象，然后结合函数的零点与方程的根的关系，得到方程的一个根在，一个根在，结合一元二次方程的根的分布问题即可求解．
【详解】解：作出函数的图象如图所示，
令，
则由图可知，当时，方程只有一个根；当时，方程有两个根；当时，方程只有一个根；
显然不是方程的根；
若是方程的根，则，此时，结合图象可知，此时方程和方程共有4个根，则函数有4个零点，不满足题意；
∴恰有5个零点等价于方程恰有5个实根，等价于方程的一个根在，一个根在，
令，则，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查由函数的零点求解参数范围问题，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于难题．
5．（2022·安徽·南陵中学校联考模拟预测）在区间上任取两个实数a，b，则方程有两个不同的非负根的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据方程有两个不同的非负根，可得，在平面直角坐标系作出可行域，结合图象，根据几何概型即可得解.
【详解】解：因为方程有两个不同的非负根，
所以，则，
如图，作出不等式组所表示得平面区域为，
在区间上任取两个实数a，b，所表示得平面区域为正方形，
，
所以方程有两个不同的非负根的概率为.
故选：B.
6．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把函数有两个不同的极值点转化为根的分布求出a的范围，
利用分离参数法得到.把转化为，令，利用导数求出的值域，即可得到答案.
【详解】，
因为函数有两个不同的极值点，，
所以方程有两个不相等的正实数根，
于是有，解得.
因为不等式恒成立，
所以恒成立.
，
设，
，故在上单调递增，
故，所以.
因此实数t的取值范围是.
故选：A
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
题型三：一元二次不等式恒成立问题、
7．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，满足如下两个条件：（1）关于的方程有两个异号的实根；（2），若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先判断，再化简，利用基本不等式求解.
【详解】解：设方程的两个异号的实根分别为，，则，．
又，，，
则（当且仅当，时取“”），
由不等式恒成立，得，解得．
实数的取值范围是．
故选：A．
8．（2022·浙江·模拟预测）已知函数，若对任意的实数x，恒有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先令，然后判断的奇偶性和单调性，然后将原不等式转化为，再利用的奇偶性和单调性得对于任意的实数恒成立，最后解二次函数恒成立问题即可.
【详解】令，
由于，
所以得为奇函数.
又因为在上单调递减，所以在上单调递减.
已知对于任意的实数，恒有，
整理得：，
即，由于为奇函数，
得，由于在上单调递减，
得对于任意的实数恒成立，
即对于任意的实数恒成立.
当时，不恒成立，故，
当时，有，解得.
故选：C
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数解析式画出函数图象，即可判断函数为奇函数且在定义域上单调递减，则不等式等价于，即恒成立，再分和两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围；
【详解】解：因为，所以函数图象如下所示：
由函数图象可知函数为定义域上单调递减的奇函数，当时，则，当时，则，所以，因为，恒成立，即，恒成立，所以恒成立，即恒成立，当，显然不成立，当时，则m>0Δ=81−48m≤0，解得，即；
故选：C
题型四：一元二次不等式在某区间成立问题
10．（2017·天津·高考真题）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
【考点】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.
11．（2022秋·湖北襄阳·高三校考阶段练习）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】等价于“”为真命题．令，解不等式即得解.
【详解】解：命题“”为假命题，其否定为真命题，
即“”为真命题．
令，
则，即，
解得，所以实数x的取值范围为.
故选：C
12．（2022·四川攀枝花·统考二模）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．
【详解】当时，由恒成立，二次函数的对称轴为，
（1）当时，在上单调递减，则恒成立，
（2）当时，，所以
综上可知，当时，在上恒成立；
当时，恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当时，，函数单增，又，所以；
综上可知，的取值范围是，
故选：D
题型五：基本不等式求积最大值问题
13．（2021·全国·统考高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
14．（2022·全国·高三专题练习）已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先用、表示，再根据向量数量积的运算律及基本不等式求出的最大值，最后根据三角形面积公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，
所以
所以，当且仅当时，取等号；
所以，当且仅当时，取等号；
故选：C
15．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据a2+b2+2c2＝8，得到，由余弦定理得到，由正弦定理得到，两式平方相加得，而，两式结合有，再用基本不等式求解.
【详解】因为a2+b2+2c2＝8，
所以，
由余弦定理得，
即①
由正弦定理得，
即②
由①，②平方相加得，
所以，
即，所以，
当且仅当且即时，取等号.
故选：B
【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
题型六：基本不等式求和最小值问题
16．（2021秋·江苏苏州·高三张家港高级中学校考期中）在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是
A．9B．10
C．11D．12
【答案】D
【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可知：，
三点共线，则：，据此有：
，
当且仅当时等号成立.
综上可得：的最小值是12.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】由面积比得，再利用三点共线可得出的关系，从而利用基本不等式可求得的最小值．
【详解】如图，设与交于点，
由的面积是的面积的2倍，可得，
所以，
又三点共线，即共线，
所以存在实数使得，
因为，
所以，消去k，可得，
又因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值为1．
故选：A．
18．（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A．B．3C．6D．
【答案】C
【分析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案．
【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，
又，，
两式相减，可得：，，
． ，
，当且仅当时取等号，
的最小值为6，
故选：C．
【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力．
题型七：二次或二次商式的最值问题
19．（2023·全国·高三专题练习）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且，即时取等号，
则的最大值为．
故选：A．
20．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先由数列通项与前项和的关系得到数列的递推关系，再构造等比数列，求数列的通项公式，进一步求出数列的通项公式，从而可求数列通项公式，代入所求式子，分子、分母同除以构造基本不等式即可求出的最大值，从而求出的范围.
【详解】由，则当时，得，
两式相减得，变形可得：，
又，，所以，，
∴数列是以为首项、为公比的等比数列，故，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：构造等比数列求的通项公式，即可得通项公式，再由不等式恒成立，结合基本不等式求的最值，即可求参数范围.
21．（2023·全国·高三专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果.
【详解】设，则
所以

当且仅当即时取等号
所以的最小值是，则的最大值为.
故选A
【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设，得出进行代换，属于偏难题目.
题型八：基本不等式中1的秒用
22．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．13B．19C．21D．27
【答案】D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.
【详解】，当且仅当，即，b＝6时，等号成立，故的最小值为27
故选：D
23．（2022秋·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．13
【答案】B
【分析】设切点为,求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切点的坐标，可得,再由乘1法结合基本不等式，即可得到所求最小值．
【详解】设切点为 ，
的导数为，
由切线的方程可得切线的斜率为1，令，
则 ，故切点为，
代入，得，
、为正实数，
则，
当且仅当，时，取得最小值9，
故选：B
24．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】A
【分析】由向量加减的几何意义可得，结合已知有，根据三点共线知，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件.
【详解】由题设，如下图示：，又，，
∴，由三点共线，有，
∴，当且仅当时等号成立.
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到、、的线性关系，根据三点共线有，再结合基本不等式求最值.
题型九：条件等式求最值
25．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知可得，将展开利用基本不等式即可求得最小值.
【详解】由可得，所以，
因为，，
则，
当且仅当 即时等号成立，所以的最小值为，
故选：A.
26．（2023·全国·高三专题练习）已知a，，且，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【分析】由题知，进而得，再结合已知得，即可得答案.
【详解】解：，
则，当且仅当时，“=”成立，
又a，，所以，当且仅当时，“=”成立，
所以的最大值为.
故选：C
27．（2023·全国·高三专题练习）设，，若，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】依题意可得，利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为，，且，所以，
所以
当且仅当，即，或时取等号；
故选：D
题型十：对勾函数求最值
28．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解
【详解】在中，，
故题干条件可化为，由余弦定理得，
故，又由正弦定理化简得：
，
整理得，故或（舍去），得
为锐角三角形，故，解得，故
故选：C
29．（2022·天津宝坻·天津市宝坻区第一中学校考二模）下列结论正确的是（ ）
A．当且时，B．的最大值是2
C．的最小值是2D．当时，
【答案】D
【分析】A、B选项取特殊值判断即可；C选项基本不等式取等的件不成立；D选项由双勾函数的单调性即可判断.
【详解】A选项：令，显然，故A错误；
B选项：令，显然，故B错误；
C选项：，当且仅当取等，
显然无解，即不能等于2，故C错误；
D选项：令，由双勾函数知在单减，即时取得最小值5，即，故D正确.
故选：D.
题型十一：基本不等式恒成立问题
30．（2022·四川绵阳·四川省绵阳江油中学校考模拟预测）已知圆与圆(是正实数)相交于两点，为坐标原点.当的面积最大时，则的最小值是（ ）
A．B．8C．7D．
【答案】B
【分析】由相交两圆的方程，求出直线AB方程，最大时为直角，由点直线距离求出m，n的关系，利用函数单调性即可得解.
【详解】因圆与圆相交，则直线AB方程为：，
又|OA|=|OB|=1，则，当且仅当取“=”，
即为等腰直角三角形，点O到直线AB的距离为，则，
，而是正实数，则，即，
当且仅当时取“=”，
令函数，则，f(x)在上递减，，
所以的最小值是8.
故选：B
【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法：
(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.
31．（2023·上海·高三专题练习）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a的范围即可.
【详解】因为，所以，
因为曲线在M处的切线的倾斜角，
所以对于任意的恒成立，
即对任意恒成立，
即，又，当且仅当，
即时，等号成立，故，
所以a的取值范围是．
故选：D．
32．（2021秋·河南濮阳·高三濮阳外国语学校校考阶段练习）若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】原不等式即，再利用基本不等式求得的最大值，可得的范围．
【详解】依题意得，当时， 恒成立，
又因为，当且仅当时取等号，
所以，的最大值为，
所以，解得的取值范围为．
故选：B
33．（2022·山西朔州·统考三模）若存在实数x，y，使得成立，且对任意a，，，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式组有解，得出的一个范围，利用基本不等式得出的又一个范围，两者的公共部分即为所求．
【详解】的解为，若存在实数x，y，使得成立，则应满足，即，所以，又，所以，所以t的取值范围是，
故选：B．
【高考必刷】
一、单选题
34．（2023·云南曲靖·统考一模）若,则在“函数的定义域为”的条件下,“函数为奇函数”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先列出所有的结果数,由于函数的定义域为,则,恒成立,可得,在所有结果数中选出满足的情况,求出概率,根据为奇函数可得或,在所有结果数中选出同时满足两个事件情况,求出其概率,再根据条件概率的计算公式即可计算出结果.
【详解】解:用所有的有序数对表示满足的结果，
则所有的情况为:,共9种,
记“函数的定义域为”为事件A,
因为函数的定义域为,
所以,恒成立,
即,即,
其中满足的基本事件有:
共6种,故．
记“函数为奇函数”为事件B．
已知是奇函数,且定义域为,则,
即,即,
解得或．
满足或的情况有共3种,
所以,即同时满足事件A和事件B的情况有共3种,
故,所以.
故选:C
35．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案.
【详解】解：因为命题“，”为真命题，
所以，命题“，”为真命题，
所以，时，，
因为，，
所以，当时，，当且仅当时取得等号.
所以，时，，即实数的取值范围是
故选：C
36．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求出的范围，再利用向量夹角公式求解作答.
【详解】，是单位向量，由得：，
依题意，不等式对任意实数恒成立，则，
解得，而，则，
又，函数在上单调递减，因此，
所以向量，的夹角的取值范围为.
故选：B
37．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知某长方体的上底面周长为16，与该长方体等体积的一个圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则该长方体高的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】运用长方体、圆柱体积公式及基本不等式求解即可.
【详解】不妨设该长方体底面的长和宽分别为a，b，高为h，则，
轴截面是面积为16的正方形的圆柱，其底面圆的半径为2，高为4，
体积为，则，又因为，所以，
故．
故选：C.
38．（2023·山东菏泽·统考一模）设实数满足，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分为与，去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分别根据基本不等式，即可求解得出答案.
【详解】当时，，
当且仅当，即，时等号成立，此时有最小值；
当时，.
当且仅当，即，时等号成立，此时有最小值.
所以，的最小值为.
故选：A.
39．（2023·安徽宿州·统考一模）已知是双曲线上不同的三点，且，直线AC，BC的斜率分别为，（），若的最小值为1，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】根据向量共线可知两点关于原点对称，分别设出三点的坐标，利用点差法点差法表示出和，根据基本不等式求得取最小值时满足，计算即可求得离心率.
【详解】根据题意，由可得原点是的中点，所以两点关于原点对称；
不妨设，因为，所以，
易知，又因为A、B，C都在双曲线上，
所以，两式相减可得，即，
所以，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立；
所以，即，可得，即离心率.
故选：A.
40．（2023·吉林·统考二模）已知，若直线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A．1B．3C．8D．9
【答案】D
【分析】根据两直线方程表达式及其位置关系可得，在利用基本不等式即可求得的最小值.
【详解】由题可知，两条直线斜率一定存在，
又因为两直线垂直，所以斜率乘积为，即，即，
整理可得，
所以，当且仅当时，等号成立；
因此的最小值为.
故选：D
41．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，且直线分别与抛物线交于和，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，结合抛物线焦点弦长公式可求得，同理可得，从而得到，由，利用基本不等式可取得最小值.
【详解】由抛物线方程得：；
由题意知：直线的斜率存在且不为，设，，，
由得：，，此时，
，，
同理可得：，，
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
故选：B.
二、多选题
42．（2022·海南·模拟预测）已知命题:“”，"”，则下列正确的是（ ）
A．的否定是“”
B．的否定是“”
C．若为假命题，则的取值范围是
D．若为真命题，则的取值范围是
【答案】AD
【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A、B；C选项转化为一元二次方程无实数解，用判别式计算的取值范围；D选项转化为二次不等式恒成立，计算参数的范围.
【详解】含有一个量词的命题的否定，是把量词改写，再把结论否定，所以A正确，B不正确；
C选项，若为假命题，则的否定“”是真命题，即方程在实数范围内无解，，得，C不正确；
D选项，，等价于，解得，D正确；
故选：AD.
43．（2022·全国·模拟预测）已知二次函数，若对任意，则（ ）
A．当时，恒成立
B．当时，恒成立
C．使得成立
D．对任意，，均有恒成立
【答案】AD
【分析】二次函数开口向下，对称轴为，结合二次函数的性质对选项逐一判断即可.
【详解】依题意，二次函数的对称轴为.
因为，所以其函数图象为开口向下的抛物线，
对于A选项，当时，，关于直线对称，
所以恒成立，所以A选项正确；
对于B选项，当，若，则不等式可化为，
所以；
若，则不等式可化为，所以，所以B选项错误；
对于C选项，因为，所以，
所以二次函数的图象开口向下，且二次函数与x轴无交点，所以不存在使得成立，所以C选项错误；
对于D选项，，
所以对任意，，均有恒成立，所以D选项正确，
故选：AD.
44．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知，，且，下列结论中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】直接利用基本不等式求的取值范围，再根据对数函数单调性与对数运算即可判断A；根据基本不等式“1”的巧用求最值即可判断B；利用等式换元，构造函数，求导确定单调性，即可判断C；利用已知等式换元，结合二次函数的性质求最值即可判断D.
【详解】对于A，因为，，且，所以，即，所以，当且仅当，即时等号成立，
由于函数在上单调递减，所以，故A不正确；
对于B，因为，，且，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；
对于C，因为，，且，所以，则，
设，则恒成立，所以在上单调递增，则，则，即，故C正确；
对于D，因为，，且，所以，则，
所以，当时，等号成立，故D不正确.
故选：BC.
45．（2023·广东茂名·统考一模）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【分析】构建函数根据题意分析可得，对A、D：取特值分析判断；对B、C：根据的单调性，分类讨论分析判断.
【详解】原式变形为，
构造函数，则，
∵，
当时，，则，即；
当时，，则，即；
故在上单调递减，在上单调递增，
对于A：取，则
∵在上单调递增，故，
即满足题意，但，A错误；
对于B：若，则有：
当，即时，则，即；
当，即时，由在时单调递增，且，
故，则；
综上所述：， B正确；
对于C：若，则有：
当，即时，显然成立；
当，即时，令，
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴当时，所以，即，
由可得，即
又∵由在时单调递增，且，
∴，即；
综上所述：，C正确；
对于D：取，，则，
∵在上单调递减，故，
∴故，满足题意，但，D错误.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式：
（1）积型：，
①构造形式为：，构建函数；
②构造形式为：，构建函数；
③构造形式为：，构建函数.
（2）商型：，
①构造形式为：，构建函数；
②构造形式为：，构建函数；
③构造形式为：，构建函数.
三、填空题
46．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为的减函数满足，且，则不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】根据题意可得，，进而将原不等式转换为不等式组，解之即可.
【详解】由题意知，
，，
故答案为：.
47．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）设命题，命题．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】化简命题和，利用真子集关系列式可求出结果.
【详解】由，得，即；
由，得，
因为q是p的必要不充分条件，所以是的真子集，
所以且两个等号不同时取，解得.
故答案为：
48．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学统考期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.
【详解】命题“”的否定为：“，”.
因为原命题为假命题，则其否定为真.当时显然不成立；当时，恒成立；当时，只需，解得：.
综上有
故答案为：.
49．（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，且，则周长的取值范围为______________．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，求出，再利用余弦定理及均值不等式求解作答.
【详解】在中，由及正弦定理得：，而，
于是，有，
而，，因此，由余弦定理得，
即有，当且仅当时取等号，
从而，而，则，
所以周长的取值范围为.
故答案为：
50．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，E，F分别为BD，DC的中点，若AD=1，则的最大值为______．
【答案】
【分析】由平面向量的加法法及平面向量的基本定理得、、都可用基底、表示，将左右平方后所得式子与重要不等式联立可得，将、代入中计算即可.
【详解】设AC=b，AB=c，
则，
∵D为边BC的中点，
∴，
∴，即：，①
又∵，当且仅当时取等号. ②
∴由①②得：.
又∵E、F分别为BD、DC的中点，
∴，，
∴，当且仅当时取等号.
∴的最大值为.
故答案为：.
51．（2023·全国·模拟预测）已知a，b，c均为正数，且满足，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据基本不等式进行化简求解即可.
【详解】因为a，b，c均为正数，所以，
当且仅当，时等号同时成立.
故答案为：.
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x10 (a>0)的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
{x|x∈R}
ax2＋bx＋c0)的解集
{x|x1< x