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所属成套资源：中考数学 初中几何模型24讲（专题练习）
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中考数学 专题14 胡不归中的双线段模型与最值问题（专题练习）
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这是一份中考数学 专题14 胡不归中的双线段模型与最值问题（专题练习），文件包含中考数学专题14胡不归中的双线段模型与最值问题教师版专题练习docx、中考数学专题14胡不归中的双线段模型与最值问题学生版专题练习docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
【模型展示】
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1，记，
即求BC+kAC的最小值．
构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．
将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．在求形如“PA+kPB”式子最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．
【例题】
1、在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值．
【解析】
(1)将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，
∵，∴点的坐标为，
代入抛物线的解析式得，，∴，
∴抛物线的解析式为，即．
令，解得，，∴，
∴，
∵的面积为5，∴，∴，
代入抛物线解析式得，，解得，，∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为．
(2)过点作轴交于，如图，设，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．
(3)作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，
∵，，∴，，∴，
∵，∴，∴，
∵、关于轴对称，∴，
∴，此时最小，
∵，，∴，
∴．∴的最小值是3．
2、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是？
【解析】
如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，
∵tanA==2，设AE=a，BE=2a，
则有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=2或-2（舍弃），∴BE=2a=4，
∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE=4（等腰三角形两腰上的高相等））
∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴，
∴DH=BD，
∴CD+BD=CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值为4．
3、已知抛物线过点，两点，与y轴交于点C，．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)过点A作，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标；
(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．
【解析】
(1)函数的表达式为：，即：，解得：，
故抛物线的表达式为：，则顶点；
(2)，，
∵A(1,0)，B(3,0)，∴ OB=3，OA=1，∴AB=2，
∴，
又∵D(2，-1)，∴AD=BD=，
∴AM=MB=AD=BD，∴四边形ADBM为菱形，
又∵，菱形ADBM为正方形；
(3)设直线BC的解析式为y=mx+n，
将点B、C的坐标代入得：，解得：，
所以直线BC的表达式为：y=-x+3，
过点P作y轴的平行线交BC于点N，
设点，则点N，
则，
，故有最大值，此时，故点；
(4)存在，理由：
如图，过点C作与y轴夹角为的直线CF交x轴于点F，过点A作，垂足为H，交y轴于点Q，此时，
则最小值，
在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=，
∴OF=，∴F(-，0)，
利用待定系数法可求得直线HC的表达式为：…①，
∵∠COF=90°，∠FOC=30°，∴∠CFO=90°-30°=60°，
∵∠AHF=90°，∴∠FAH=90°-60°=30°，
∴OQ=AO•tan∠FAQ=，∴Q(0,)，
利用待定系数法可求得直线AH的表达式为：…②，
联立①②并解得：，故点，而点，
则，即的最小值为．
4、已知抛物线（为常数，）经过点，点是轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；
（Ⅲ）点在抛物线上，当的最小值为时，求的值．
【解析】
（Ⅰ）∵抛物线经过点，∴．即．
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为．
∵点在抛物线上，
∴．
由，得，，
∴点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧．
如图，过点作轴，垂足为，则点．
∴，．得．
∴在中，．∴．
由已知，，∴．∴．
（Ⅲ）∵点在抛物线上，
∴．
可知点在第四象限，且在直线的右侧．
考虑到，可取点，
如图，过点作直线的垂线，垂足为，与轴相交于点，
有，得，
则此时点满足题意．
过点作轴于点，则点．
在中，可知．
∴，．
∵点，
∴．解得．
∵，
∴．
∴．
5、如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交与点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；
（2）在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O瓶时针旋转一定的角度（0°<<360°），得到△AOQ，其中边AQ交坐标轴于点C在旋转过程中，是否存在一点G使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）如图1
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C
∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）
∵点D为抛物线的顶点，且﹣4
∴点D的坐标为D（1，﹣4）,∴直线BD的解析式为：y＝2x﹣6，
由题意，可设点N（m，m2﹣2m﹣3），则点F（m，2m﹣6）
∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3
∴当m＝＝2时，NF 取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF＝2，
此时，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0）
在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P，
∴sin∠OCK＝ ，直线KC的解析式为：，且点F（2，﹣2），
∴PJ＝PC，直线FJ的解析式为：,∴点J（ , ）
∴FP+PC的最小值即为FJ的长，且,∴；
（2）由（1）知，点P（0， ），
∵把点P向上平移 个单位得到点Q,∴点Q（0，﹣2）
∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝，取AQ的中点G，连接OG，则OG＝GQ＝AQ＝，此时，∠AQO＝∠GOQ
把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G
①如图2
G点落在y轴的负半轴，则G（0，﹣），过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I，且∠GOQ'＝∠Q'
则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，
∵sin∠OAQ＝＝＝,∴，解得：|IO|＝
∴在Rt△OIQ'中根据勾股定理可得|OI|＝,∴点Q'的坐标为Q'（，﹣）；
②如图3，
当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q'（，）
③如图4
当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q'（﹣，）
④如图5
当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q'（﹣，﹣）
综上所述，满足条件的点Q′坐标为：（，﹣），（，），（﹣，），（，﹣）
胡不归模型问题解题步骤如下；
1、将所求线段和改写为“PA+PB”的形式（<1），若>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。
2、在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα=
3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题
【模型展示】
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1
即求BC+kAC的最小值．
构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．
将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．在求形如“PA+kPB”式子最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．
【例题】
1、在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值．
【解析】
(1)将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，
∵，∴点的坐标为，
代入抛物线的解析式得，，∴，
∴抛物线的解析式为，即．
令，解得，，∴，
∴，
∵的面积为5，∴，∴，
代入抛物线解析式得，，解得，，∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为．
(2)过点作轴交于，如图，设，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．
(3)作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，
∵，，∴，，∴，
∵，∴，∴，
∵、关于轴对称，∴，
∴，此时最小，
∵，，∴，
∴．∴的最小值是3．
2、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是？
【解析】
如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，
∵tanA==2，设AE=a，BE=2a，
则有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=2或-2（舍弃），∴BE=2a=4，
∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE=4（等腰三角形两腰上的高相等））
∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴，
∴DH=BD，
∴CD+BD=CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值为4．
3、已知抛物线过点，两点，与y轴交于点C，．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)过点A作，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标；
(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．
【解析】
(1)函数的表达式为：，即：，解得：，
故抛物线的表达式为：，则顶点；
(2)，，
∵A(1,0)，B(3,0)，∴ OB=3，OA=1，∴AB=2，
∴，
又∵D(2，-1)，∴AD=BD=，
∴AM=MB=AD=BD，∴四边形ADBM为菱形，
又∵，菱形ADBM为正方形；
(3)设直线BC的解析式为y=mx+n，
将点B、C的坐标代入得：，解得：，
所以直线BC的表达式为：y=-x+3，
过点P作y轴的平行线交BC于点N，
设点，则点N，
则，
，故有最大值，此时，故点；
(4)存在，理由：
如图，过点C作与y轴夹角为的直线CF交x轴于点F，过点A作，垂足为H，交y轴于点Q，此时，
则最小值，
在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=，
∴OF=，∴F(-，0)，
利用待定系数法可求得直线HC的表达式为：…①，
∵∠COF=90°，∠FOC=30°，∴∠CFO=90°-30°=60°，
∵∠AHF=90°，∴∠FAH=90°-60°=30°，
∴OQ=AO•tan∠FAQ=，∴Q(0,)，
利用待定系数法可求得直线AH的表达式为：…②，
联立①②并解得：，故点，而点，
则，即的最小值为．
4、已知抛物线（为常数，）经过点，点是轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；
（Ⅲ）点在抛物线上，当的最小值为时，求的值．
【解析】
（Ⅰ）∵抛物线经过点，∴．即．
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为．
∵点在抛物线上，
∴．
由，得，，
∴点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧．
如图，过点作轴，垂足为，则点．
∴，．得．
∴在中，．∴．
由已知，，∴．∴．
（Ⅲ）∵点在抛物线上，
∴．
可知点在第四象限，且在直线的右侧．
考虑到，可取点，
如图，过点作直线的垂线，垂足为，与轴相交于点，
有，得，
则此时点满足题意．
过点作轴于点，则点．
在中，可知．
∴，．
∵点，
∴．解得．
∵，
∴．
∴．
5、如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交与点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；
（2）在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O瓶时针旋转一定的角度（0°<<360°），得到△AOQ，其中边AQ交坐标轴于点C在旋转过程中，是否存在一点G使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）如图1
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C
∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）
∵点D为抛物线的顶点，且﹣4
∴点D的坐标为D（1，﹣4）,∴直线BD的解析式为：y＝2x﹣6，
由题意，可设点N（m，m2﹣2m﹣3），则点F（m，2m﹣6）
∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3
∴当m＝＝2时，NF 取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF＝2，
此时，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0）
在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P，
∴sin∠OCK＝ ，直线KC的解析式为：，且点F（2，﹣2），
∴PJ＝PC，直线FJ的解析式为：,∴点J（ , ）
∴FP+PC的最小值即为FJ的长，且,∴；
（2）由（1）知，点P（0， ），
∵把点P向上平移 个单位得到点Q,∴点Q（0，﹣2）
∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝，取AQ的中点G，连接OG，则OG＝GQ＝AQ＝，此时，∠AQO＝∠GOQ
把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G
①如图2
G点落在y轴的负半轴，则G（0，﹣），过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I，且∠GOQ'＝∠Q'
则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，
∵sin∠OAQ＝＝＝,∴，解得：|IO|＝
∴在Rt△OIQ'中根据勾股定理可得|OI|＝,∴点Q'的坐标为Q'（，﹣）；
②如图3，
当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q'（，）
③如图4
当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q'（﹣，）
④如图5
当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q'（﹣，﹣）
综上所述，满足条件的点Q′坐标为：（，﹣），（，），（﹣，），（，﹣）
胡不归模型问题解题步骤如下；
1、将所求线段和改写为“PA+PB”的形式（<1），若>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。
2、在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα=
3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题
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