【冲刺2024数学】中考真题（2023恩施州）及变式题（湖北恩施州2024中考专用）解答题部分

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【答案】，
【分析】先把括号内的分式进行通分，再将除法变为乘法化简，最后代入x的值计算即可．
【详解】解：原式
当时,
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式的混合运算，正确化简分式是解题的关键．
2．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据分式的混合运算顺序及运算法则化简代数式，再将x的值代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
3．先化简，再求值：，其中
【答案】 ，
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．先化简，再求值：，其中x＝+2．
【答案】；．
【分析】首先计算括号里面的减法，然后再算括号外的除法，化简后，再代入x的值即可．
【详解】解：原式＝÷，
＝，
＝，
当x＝+2时，
原式＝＝＝．
【点睛】本题考查的知识点是分式的化简求值，掌握化简过程中的运算顺序和分式的化简是解此题的关键．
5．化简求值：，其中．
【答案】，
【分析】先把分式化简后，再把a的值代入求出分式的值即可．
【详解】解：
＝
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
6．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先将除法变成乘法，再把分子、分母进行化简，最后把得数代入即可求得结果．
【详解】解：原式．
代入，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题时要注意把分式化到最简，再把得数代入是解题的关键．
7．如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，连接交于点．

(1)若，求的度数；
(2)连接EF，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)的度数为
(2)矩形，理由见详解
【分析】（1）根据点是的中点，沿所在的直线折叠，可得是等腰三角形，根据三角形的外角的性质即可求解；
（2）如图所示，连接，点是上的一点，根据矩形和折叠的性质可得四边形是平行四边形，如图所示，连接，，过点作于点，可证四边形是平行四边形，再根据折叠的性质得，由此即可求证．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点是的中点，
∴，
∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，
∴，
∴，则是等腰三角形，
∴，
∵，即，
∴，
∴的度数为．
（2）解：如图所示，连接，点是上的一点，

∵四边形是矩形，
∴，，即，
∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，
∴，，是的角平分线，
由（1）可知，，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，则，，
如图所示，连接，，过点作于点，

∵点是的中点，，
∴点是线段的中点，则，
∴在中，
，
∴，
∴，，
∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，
∴，，，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，矩形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握矩形折叠的性质，全等三角形的判定和性质，图形结合分析是解题的关键．
8．如图，四边形为矩形，点在边上，点在边上，沿将矩形折叠，使点与点重合，点的对应点为，连接、．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求折痕的长．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）
【详解】解：（1）四边形是菱形，
理由：由题意可知：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴．
∴四边形是菱形；
（2）设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴．
9．如图，在矩形中，，，将矩形折叠，折痕为，使点C与点A重合，点D与点G重合，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）求折痕的长．
【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）
【分析】（1）根据矩形的性质，可知，进而可得，根据折叠的性质可知，则，进而可得，又，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；
（2）连接，先根据折叠的性质，利用勾股定理求得，进而勾股定理求得，根据菱形的面积即可求得．
【详解】（1）四边形是矩形，
，
，
根据折叠的性质，可知，，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）连接，如图，
四边形是矩形，
，
，，
，
折叠，
，
设，则，
在中，
，
即，
解得，
，
，
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的性质与判定，灵活晕用勾股定理是解题的关键．
10．如图，矩形中，，，点E是边上一点，连接，将沿折叠，使点B落在处．
（1）若，求．
（2）若点恰好在矩形的对角线上，求的长．
【答案】（1）20°；（2）3
【分析】（1）由矩形的性质得∠BAD＝∠B＝90°，再由折叠的性质得∠BEA＝∠B′EA，∠BAE＝∠B′AE，则∠BEA＝∠B′EA＝55°，得∠BAE＝35°，则∠BAB′＝70°，即可求解；
（2）由折叠的性质得BE＝B′E，AB＝AB′＝6，∠B＝∠AB′E＝90°，设BE＝B′E＝x，则CE＝BC﹣BE＝8﹣x，再在Rt△CB′E中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
由折叠的性质得：∠BEA＝∠B′EA，∠BAE＝∠B′AE，
∵∠CEB′＝70°，
∴∠BEB′＝180°﹣70°＝110°，
∴∠BEA＝∠B′EA＝×110°＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BAB′＝2×35°＝70°，
∴∠DAB′＝∠BAD﹣∠BAB′＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20°；
（2）点B'恰好在矩形ABCD的对角线AC上，如图1所示：
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，
由折叠的性质得：BE＝B′E，AB＝AB′＝6，∠B＝∠AB′E＝90°，
∴B′C＝AC﹣AB′＝10﹣6＝4，∠CB′E＝90°，
设BE＝B′E＝x，
则CE＝BC﹣BE＝8﹣x，
在Rt△CB′E中，由勾股定理得：CE2＝B′E2+B′C2，
即：（8﹣x）2＝x2+42，
解得：x＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
11．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，且已知AB=8，BC=4
（1）判断△ACF的形状，并说明理由；
（2）求△ACF的面积；
（3）点P为AC上一动点，则PE+PF最小值为 ．
【答案】（1）△ACF是等腰三角形，理由见解析；（2）10；（3）
【分析】（1）根据折叠的性质可得：∠1=∠2，再由矩形的性质，可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，即可求解；
（2）设FD=x，则AF=CF=8-x，再由勾股定理，可得DF=3，从而得到CF=5，即可求解；
（3）连接PB，根据折叠的性质可得△ECP≌△BCP，从而得到PE=PB，进而得到当点F、P、B三点共线时，PE+PF最小，最小值为BF的长，再由勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：△ACF是等腰三角形，理由如下：
如图，
由折叠可知，∠1=∠2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AF=CF，
∴△ACF是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是矩形且AB=8，BC=4，
∴AD=BC=4，CD=AB=8，∠D=90°，
设FD=x，则AF=CF=8-x，
在Rt△AFD中，根据勾股定理得AD2+DF2=AF2，
∴42+x2=（8-x）2，
解得x=3 ，即DF=3，
∴CF=8-3=5，
∴；
（3）如图，连接PB，
根据折叠得：CE=CB，∠ECP=∠BCP，
∵CP=CP，
∴△ECP≌△BCP，
∴PE=PB，
∴PE+PF=PE+PB，
∴当点F、P、B三点共线时，PE+PF最小，最小值为BF的长，
由（2）知：CF=5，
∵BC=4，∠BCF=90°，
∴ ，
即PE+PF最小值为 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，等腰三角形的判定，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．
12．如图，在长方形中，，，点E为的中点，将沿直线折叠，点B落在点处，连接．
(1)线段BE＝ ；
(2)判断AE与B′C的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)6
(2)，理由见解析
【分析】【小问1分析】
根据题意点E为的中点，即可得出答案．
【小问2分析】
证明，即可证明．
【详解】（1），点E为的中点，
．
（2）将沿直线折叠，点B落在点处，
，，
点E为的中点，
，，
，
又，
，，
，
．
【点睛】本题考查长方形中的翻折问题，涉及等腰三角形、平行线的判定等知识，解决问题的关键是掌握折叠的性质．
13．春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀；在文化的传承与创新中让我们更加热爱传统文化，更加坚定文化自信．因此，端午节前，学校举行“传经典·乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-包粽子，B-划旱船，C-诵诗词，D-创美文；人人参加，每人限选一项．为了解学生的参与情况，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图，如图．请根据统计图中的信息，回答下列问题：

(1)请直接写出统计图中m的值，并补全条形统计图；
(2)若学校有1800名学生，请估计选择D类活动的人数；
(3)甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙2人同时被选中的概率．
【答案】(1)25，条形统计图见解析；
(2)180
(3)
【分析】
（1）根据划旱船的人数和所占的百分比可求得总人数，再用总人数乘以包粽子的人数所占的百分比即可得出m的值，再用总人数减去其他三项的人数，即可得到诵诗词的人数，补全条形统计图；
（2）用1800乘以D类活动所占的百分比即可；
（3）先画树状图，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：总人数为：（人）
（人）
（人）
补全图形如下：

（2）
（人）
答：选择D类活动的人数大约有180人；
（3）解：树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有2种，
所以同时选中甲和乙的概率为．
【点睛】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，样本估计总体以及树状图求概率，解题的关键是从统计图中获取有用信息，以及掌握画树状图的方法．
14．随着移动互联网的迅猛发展，人们购物的支付方式更加多样、便捷．某商场想了解顾客支付方式的选择情况，设计了一份问卷进行调查，要求被调查者选择且只选择一种最喜欢的支付方式．现将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请结合图中所给出的信息，解答下列问题：
(1)扇形统计图中____________，“其他”支付方式所对应的圆心角为______________度；
(2)补全条形统计图；
(3)若该商场一天内有3000次支付记录，请你估计选择现金支付的次数；
(4)甲乙两人到商场购物，请用列表或画树状图的方法，求出两人恰好都选择微信支付的概率．
【答案】(1)25，54
(2)见解析
(3)900
(4)
【分析】（1）根据使用现金的人数除以占比得出总人数，进而根据使用支付宝的人数除以总人数乘以求得的值，根据其他支付方式的人数除以总人数，再乘以，即可求解；
（2）根据总人数减去已知的数据，得出使用微信支付的人数，补全统计图即可求解；
（3）用3000乘以现金支付的人数的占比即可求解；
（4）画出树状图，进而根据概率公式即可求解．
【详解】（1）（人）
∴，
“其他”支付方式所对应的圆心角为
故答案为：，．
（2）补全条形统计图如图，
人，人
补全条形统计图如图所示：
（3），
答：估计选择现金支付的次数约为900次；
（4）解：画出树状图如图所示，
由树状图可知，共有16种结果，并且每一种结果出现的可能性相同，其中两人恰好都选择微信支付的结果有1种，
所以两人恰好都选择微信支付的概率为
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，画树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
15．某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表

请根据图表中的信息解答下列问题：
(1)频数分布表中的______，______；
(2)教育部规定中小学生每天在校体育锻炼时间不少于1小时．若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生达到教育部规定的体育锻炼时间的人数．
【答案】(1)；
(2)408人
【分析】（1）结合频数分布表和扇形统计图观察可得到的值，再根据频率=频数总数，即可求出的值，从而求出的值.
（2）利用样本的所占比总人数即可求出达到教育部规定的体育锻炼时间的人数.
【详解】（1）解：根据频数分布表中A组的频数为2和扇形统计图中A组的占比为5%可得，
，.
故答案为：；.
（2）解：由（1）知，A组和B组是不符合教育部规定体育锻炼时间的人群，其人数占比为，
符合教育部规定体育锻炼的占比为，
该校九年级的480名学生中，达到教育部规定体育锻炼时间的人数大约为（人）．
故答案为：408人．
【点睛】本题考查了频数分布表和扇形统计图．解题的关键是从扇形统计图中获取相应的数量及数量关系，解题的重点掌握样本估计总体的方法．
16．目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
(1)根据图中信息求出______， ______；将这两个统计图补全；
(2)已知两位同学都最认可“微信”，同学最认可“支付宝”，同学最认可“网购”，从这四名同学中随机抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．
【答案】(1)、，图见解析
(2)
【分析】（1）从条形图，扇形图中的共享单车项目的人数，百分比可求出样本总量；根据项目的百分比的计算方法可求出，由此可补全条形统计图；
（2）根据画树状图或列表法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算公式即可求解．
【详解】（1）解：条形统计图中“共享单车”的人数是人，扇形统计图中“共享单车”的百分比是，
∴（人），
∵支付宝的人数是人，
∴，即，
网购人数为（人），微信对应的百分比为，
补全图形如下：
（2）解：从这四名同学中随机抽取两名同学，运用列表把所有等可能结果表示如下：
共有种等可能结果，这两位同学最认可的新生事物不一样的有种，
两位同学最认可的新生事物不一样的概率为．
【点睛】本题主要考查调查统计的相关知识与概率的综合，掌握条形统计图、扇形统计图的相关知识，运用列表法或画树状图法求概率的知识是解题的关键．
17．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

(1)这次统计共抽查了___________名学生：
(2)将条形统计图补充完整；
(3)若某校有名学生，试估计最喜欢用“微信”沟通的人数为________人；
(4)某天甲、乙两名同学都想从“微信”、＂”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)（人）
(4)
【分析】（1）根据“电话”组的人数，“电话”组的百分比即可求解；
（2）根据（1）可求样本总量，由此可算出“短信”组的人数；
（3）根据样本中“微信”组的百分比估算总体的情况即可求解；
（4）运用列表或画树状图的方法求概率即可求解．
【详解】（1）解：“电话”组的人数为人，“电话”组的百分比为，
∴（人），
即这次统计共抽查了100人，
故答案为：．
（2）解：由（1）可知，样本容量为，“电话”组的人数为人， “微信”组的人数为人，“”组的人数为人，“其他”组的人数为人，
∴“短信”组的人数为（人），
∴补全条形统计图，如图所示，

（3）解：样本中用“微信”沟通的人数为人，
∴（人），
∴某校有名学生，用“微信”沟通的人数约为人．
（4）解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为，
∴恰好选用同一种沟通方式的概率为．
【点睛】本题主要考查统计与概率的综合，掌握统计中根据样本百分比计算样本容量的方法，运用样本百分比估算总体的方法，运用列表或树状图求概率的方法是解题的关键．
18．某校开展了知识竞赛，竞赛得分为整数，张老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表：

请你根据上面的统计图表提供的信息解答下列问题：
(1)上表中的______ ， ________．
(2)已知该校有名学生参赛，请估计竞赛成绩在分以上的学生有多少人？
(3)现要从组随机抽取两名学生参加上级部门组织的知识竞赛，组中的小颖和小娟是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小颖和小娟的概率．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）由等级人数及其百分比求得总人数，总人数乘以等级百分比求得，根据各等级人数之和等于总人数求得的值，
（2）由该校参赛人数乘以竞赛成绩在分以上的学生所占的比例即可．
（3）画出树状图即可解决问题．
【详解】（1）解：本次抽样调查样本容量为，
∴，
，
故答案为：；．
（2）（人）
答：竞赛成绩在分以上的有人．
（3）设组的人分别用甲、乙、丙、丁表示，其中小颖用甲表示，小娟用乙表示，
画树状图如图所示：

∵从四人中随机抽取两人有种等可能，恰好抽到小颖和小娟即甲和乙的有种可能，
∴恰好抽到小颖和小娟的概率为，
答：恰好抽到小颖与小娟的概率为．
【点睛】本题考查列表法或树状图法、扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体等知识，掌握两个统计图中的数量关系是解题的关键．
19．小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数）
【答案】能求出信号塔的高，信号塔的高为；
【分析】过作，垂足为，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，进而设根据锐角三角函数解答即可．
【详解】解：过作，垂足为，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，．
∵的长为，高为，
∴．
∴在中，()．
∵，，
∴．
∴．
∴设．
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
即信号塔的高为．
∴能求出信号塔的高，信号塔的高为．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，掌握锐角三角函数是解题的关键．
20．已知：如图，斜坡AP的坡度为，坡长为39米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为．求：
(1)坡顶A到地面的距离；
(2)古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，）
【答案】(1)15米
(2)28米
【分析】（1）过点A作，垂足为点H，根据坡度的定义可得，设米，则米，由勾股定理可得（米），则，求出a的值，即可得出答案．
（2）延长交于点D，可得，设米，则米，进而可得米，在中，，求出x的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：（1）过点A作，垂足为点H，
∵斜坡的坡度为，
∴，
设米，则米，
由勾股定理得，（米），
∴，
解得，
∴米．
答：坡顶A到地面的距离为15米．
（2）解：延长交于点D，由题意得，米，，
∵，
∴，
设米，则米，
由（1）可得（米），
∴米，
在中，，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意．
古塔的高度约为28米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
21．如图大楼的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行到达D处，再沿着斜坡走到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到）
(1)求斜坡的铅直高度和水平宽度．
(2)求旗杆的高度．（参考数据：，，，）
【答案】(1)ED的铅直高度约为，水平宽度约为
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
（1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
（2）过点E作，垂足为H，根据题意可得：，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】（1）解：在中，，
∴，，
∴斜坡的铅直高度约为，水平宽度约为；
（2）解：过点E作，垂足为H，
由题意得：，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴旗杆的高度约为．
22．某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学兴趣小组，在课外活动中他们带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处有一棵大树，如图所示，小明在平台底部的点C处测得大树的顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得大树的顶部的仰角为30°．测量可知平台的纵截面为矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大树AB的高．（精确到1米，参考数据：）
【答案】20米
【分析】延长EF交AB于点G，设AB为x，利用三角函数解直角三角形用x表示出EG、AC，根据CD=EG﹣AC列出方程求出x即可．
【详解】延长EF交AB于点G，如图，
设AB=x米，则BG=AB﹣2=（x﹣2）米，
在Rt△BGE 中，EG=（AB﹣2）÷tan∠BEG= ，
在Rt△BAC 中CA=AB÷tan∠ACB=，
则CD=EG﹣AC= ，
解得：．
答：大树AB的高约为20米．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的概念是解题的关键．
23．如图，李东在延时课上利用所学的数学知识测量校园内教学楼CD的高度，在教学楼前方有一斜坡，坡长，坡比，李东在A点处测得楼顶端C的仰角为，在B点处测得楼顶端C的仰角为（点A，B，C，D在同一平面内）．求教学楼的高度（结果精确到，参考数据：）
【答案】教学楼的高度约为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
过点A作，垂足为F，过点A作，垂足为E，根据矩形的性质得到，，设，根据勾股定理得到，，在中，，设，求得，得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：过点A作，垂足为F，过点A作，垂足为E，
，
四边形是矩形，
，
在中，，，，
设，
，
，
，，
在中，，
，
，
设，
，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
答：教学楼的高度约为．
24．如图．为测量学校旗杆的高度．小明从旗杆正前方处的点C出发沿坡度为的斜坡前进到达点D，在点D处放置测角仪．测得旗杆顶部A的仰角为量得测角仪的高为，A、B、C、D、E在同一平面内．且旗杆和测角仪都与地面垂直．

(1)求点D到地面的铅垂高度．（结果保留根号）
(2)求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：）
【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）延长交延长线于点，则，在中求得；
（2）作，可得、，根据、可得答案．
【详解】（1）解：延长交射线于点．

由题意得．
在中，，．
．
．
米，
米，米．
∴点的铅垂高度是米．
（2）过点作于．
由题意得，即为点观察点时的仰角，
．
，，，
．
四边形为矩形．
米．
（米）．
在中，，
（米）．
（米）．
答：旗杆的高度约为米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线在一，三象限分别交于C，D两点，，连接，．

(1)求k的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)；
(2)6．
【分析】（1）由一次函数解析式确定与坐标轴交点坐标，进而确定点C的坐标，代入反比函数解析式，确定k值；
（2）联立解析式，确定图象交点坐标，运用组合图形思想，的面积．
【详解】（1）解：，时，，，，故,,
中，，，
∵，
∴．
设，则，解得，
∴．
点C在上，故；
（2）联立，解得或．
∴点．
∴的面积．
【点睛】本题考查函数图象交点与方程组的联系，根据点坐标确定解析式，直角坐标系求三角形面积，理解函数图象与方程的联系是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到点B，点B恰好落在反比例函数的图象上．
(1)求点B的坐标．
(2)连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求的面积．
【答案】(1)点B的坐标为（3，2）
(2)16
【分析】（1）利用A的坐标得到B的横坐标，代入反比例函数的解析式即可求得纵坐标；
（2）过点B作轴交AC于点D，根据反比例函数的中心对称性得到C的坐标，从而求得直线AC解析式，进而求得D点坐标，然后根据求得即可．
【详解】（1）∵点A的坐标为（1，6），
∵点B是由点A向右平移2个单位长度，向下平移a个单位长度得到，
∴点B的横坐标为3，
将代入中，得，
∴点B的坐标为（3，2）；
（2）过点B作轴交AC于点D，如图所示，
由题意，可知点C与点B关于原点对称，
∴点C的坐标为（－3，－2），
设直线AC解析式为y=kx+b，
将A、C代入得，，
解得，
∴直线AC的解析式为，
由题意，易得点D的纵坐标为2，
将代入中，得，
∴点D的坐标为（－1，2），
∴．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
27．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数的图像与反比例函数图像交于 ， 两点，点 ，点 的纵坐标为 ．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)求 的面积．
(3)观察图像，写出时，自变量 的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(3) 或
【分析】（1）将已知点的坐标代入表达式即可求出答案；
（2）根据图形将 分成 ， ，分别求出面积，即可求出答案；
（3）将一次函数和反比例函数联立解分式不等式方程即可求解．
【详解】（1）解：将代入中得
∴
将 的纵坐标为 代入得， ，
将 ， 代入 ，
∴ 解方程组得到 ，
∴ ，
故反比例函数表达式是，一次函数的表达式是．
（2）解：直线 与 轴的交点坐标是 ，
∴ ，
在 ， 中， ，，
∴ ，，
∴ ，
故答案是： ．
（3）解：，则有 ，解分式不等式得，
∴ 或 ，
故答案是： 或．
【点睛】本题主要考查函数图像的综合运用，掌握一次函数图像和反比例函数图像的特点是解题的关键．
28．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数(k≠0)的图象交于C，D两点，点C的坐标为(n，6)．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）连接OC，OD，求COD的面积．
【答案】（1）；（2）D(-3，-2)；（3）8
【分析】（1）利用一次函数解析式求得点C的坐标，代入反比例函数解析式即可求解；
（2）用一次函数和反比例函数解析式联立方程组，解方程组即可；
（3）用求解即可．
【详解】解（1）∵点C（n，6）在一次函数y=2x+4的图象上，
∴6=2n+4，解得，n=1，
∴点C坐标为(1，6).
把点C坐标(1，6)代入，得k=6，
∴反比例函数的表达式为；
（2）把两个函数解析式联立得，，解得＝-3，(舍去)
当x=-3时，y=2×(-3)+4=-2，
∴点D的坐标是(-3，-2)
（3）一次函数y=2x+4的图象与y轴交点坐标为（0，4）上，

=
=8
COD的面积为8．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，解题关键是根据一次函数解析式求出点的坐标，利用点的坐标解决问题．
29．一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接．

(1)求反比例函数的表达式．
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键．
（1）将点代入即可求解；
（2）由（1）可得，将、代入可得一次函数的表达式，进而可得的坐标；根据即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，
∴
解得：
∴反比例函数的表达式为：
（2）解：将点代入得：，
∴
将、代入得：
，
解得：，
∴一次函数的表达式为：，
令，则，
∴
∴
30．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求函数的表达式；
(2)根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围；
(3)点C是反比例函数的图象上第一象限内的一个动点，当的面积等于的面积时，求C点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）点，在一次函数上，求出的值，待定系数法求出的表达式即可；
（2）找到直线在双曲线上方时，的取值范围即可；
（3）的面积等于的面积，得到点到直线的距离等于点到直线的距离，根据平行线间的距离处处相等，将直线向上或向下平移1个单位，得到直线，直线与双曲线在第一象限的交点即为点，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：由图象可知：
当或时，直线在双曲线上方，
∴一次函数值大于反比例函数值时的取值范围为：或；
（3）解：∵的面积等于的面积，
∴点到直线的距离等于点到直线的距离，
∴将直线向上或向下平移1个单位，得到直线，直线与双曲线在第一象限的交点即为点，如图：
∵，
∴，，
联立，解得：或（不合题意，舍去）；
∴；
联立，解得：或（不合题意，舍去）；
∴；
综上：点的坐标为：或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
31．为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
(1)男装、女装的单价各是多少？
(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
【答案】(1)男装单价为100元，女装单价为120元．
(2)学校有11种购买方案，当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元
【分析】（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设参加活动的女生有a人，则男生有人，列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）解：设男装单价为x元，女装单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：男装单价为100元，女装单价为120元．
（2）解：设参加活动的女生有a人，则男生有人，
根据题意可得，
解得：，
∵a为整数，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，
故一共有11种方案，
设总费用为w元，则，
∵，
∴当时，w有最小值，最小值为（元）．
此时，（套）．
答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到题中的等量关系或不等关系是解题的关键．
32．某小型企业获得授权生产甲．乙两种奥运吉祥物，生产每种吉祥物所需材料及所获利润如下表：
该企业现有种材料，种材料，用这两种材料生产甲．乙两种吉祥物共个．设生产甲种吉祥物个，生产这两种吉祥物所获总利润为元．
(1)求出（元）与（个）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围：
(2)该企业如何安排甲．乙两种吉祥物的生产数量，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)，且是整数
(2)生产甲种吉祥物个，乙种吉祥物个，所获利润最大，最大为元
【分析】（1）本题的等量关系是：总利润生产甲吉祥物的利润生产乙吉祥物的利润，可根据此得出函数关系式，然后根据生产甲吉祥物用的材料生产乙吉祥物用的材料，生产甲吉祥物用的材料生产乙吉祥物用的材料，来列出不等式组求出自变量的取值范围；
（2）根据（1）得出的函数关系式，以及自变量的取值范围，依据函数的性质判断出最大利润及生产方案．
【详解】（1）解：根据题意得，
，
由题意，
解得：，
自变量的取值范围是且是整数；
（2）由（1），
，
随的增大而减小，
又且是整数，
当时，有最大值，最大值是（元），
生产甲种吉祥物个，乙种吉祥物个，所获利润最大，最大为元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，准确的解不等式是需要掌握的基本计算能力，要熟练掌握利用自变量的取值范围求最值的方法．
33．某商店决定购进A、B两种小礼品．若购进A种小礼品15件，B种小礼品10件，需要450元；A种小礼品9件，B种小礼品12件，需360元．
(1)求A、B两种小礼品每件进价各多少元？
(2)若该商店决定购进这两种小礼品共100件，考虑市场需求和资金周围，用于购买这100件小礼品的资金不少于1800元，但不超过1812元，那么该商店共有哪几种进货方案？
(3)已知该商店出售一件A种小礼品可获利t元，出售一件B种小礼品可获利元，在（2）的条件下，商店采用哪种进货方案获利最多？（商店出售的小礼品标价均不低于进价）
【答案】(1)A，B两种小礼品的价格分别为20元和15元
(2)3种方案方案，一：购买60件A种小礼品，40件B种小礼品；方案二：购买61件A种小礼品，39件B种小礼品；方案三：购买62件A种小礼品，38件B种小礼品．
(3)当时，三种方案获利相同；当时，方案一获利最多；当时，方案三获利最多
【分析】（1）设A，B两种小礼品的价格分别为x元和y元，由题意列出二元一次方程组即可求解．
（2）设购买A种小礼品a件，则购买B种小礼品件，根据不等关系列出不等式组即可求解．
（3）分类讨论：当时；当时；当时，带入3种方案，计算即可求解．
【详解】（1）解：设A，B两种小礼品的价格分别为x元和y元，则
，解得，
∴A，B两种小礼品的价格分别为20元和15元．
（2）设购买A种小礼品a件，则购买B种小礼品件，
故，
解得：．
∵a是整数，
∴，61，62，
∴，39，38，
∴共有3种方案，分别如下：
方案一：购买60件A种小礼品，40件B种小礼品；
方案二：购买61件A种小礼品，39件B种小礼品；
方案三：购买62件A种小礼品，38件B种小礼品．
（3）由题可得，，
方案一可获利元；方案二可获利元；方案三可获利元．
∴当时，
则方案一可获利（元）；
方案二可获利（元）；
方案三可获利（元）；
则三种方案获利相同；
当时，
假设，
则方案一可获利（元）；
方案二可获利（元）；
方案三可获利（元）；
则方案一获利最多；
当时，
假设，
则方案一可获利（元）；
方案二可获利（元）；
方案三可获利（元）；
则方案三获利最多．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式（组）的应用及方案问题，理清题意，根据等量关系列出二元一次方程组及不等关系列出一元一次不等式（组），结合分类讨论思想解决问题是解题的关键．
34．某经销商计划购进A，B两种农产品.已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
(1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5160元购进A，B两种农产品40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
【答案】(1)A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元
(2)购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用．
（1）设A种农产品的每件价格是x元，B种农产品每件的价格是y元，根据“购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元”，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该经销商购进A种农产品m件，则购进B种农产品件，利用总价单价数量，结合购进A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍且总价不超过5160元，列出一元一次不等式组，解之得出m的取值范围，根据m为正整数，分别求出利润比较即可．
【详解】（1）解：设A种农产品的每件价格是x元，B种农产品每件的价格是y元，
依题意得：
，
解得：，
答：A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元；
（2）解：设该经销商购进A种农产品m件，则购进B种农产品件，
依题意得：，
解得：，
m为正整数，
m可取28，29，30，
当购进A种农产品28件，则购进B种农产品件，
则
（元），
当购进A种农产品29件，则购进B种农产品件，
则
（元），
当购进A种农产品30件，则购进B种农产品件，
则
（元），
，
购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多，
答：购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多．
35．在北京进行的2022年冬季奥运会和冬季残奥会备受世界人士关注．吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”玩具随之大卖，购买8个“冰墩墩”和4个“雪容融”玩具共需960元，购买6个“冰墩墩”和8个“雪容融”玩具共需1020元．
(1)分别求出“冰墩墩”和“雪容融”玩具的销售单价．
(2)若每个“冰墩墩”玩具制作成本为60元，每个“雪容融”玩具成本为40元，准备制作两种吉祥物玩具共100个，总成本不超过5000元，且销售完该批次吉祥物玩具，利润不低于2480元，请问有哪几种制作方案？
【答案】(1)“冰墩墩”的销售单价为90元，“雪容融”的销售单价为60元
(2)有3种制作方案：①制作48个“冰墩墩”，52个“雪容融”；②制作49个“冰墩墩”，51个“雪容融”；③制作50个“冰墩墩”，50个“雪容融”
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用：
（1）设“冰墩墩”的销售单价为元，“雪容融”的销售单价为元，根据购买8个“冰墩墩”和4个“雪容融”玩具共需960元，购买6个“冰墩墩”和8个“雪容融”玩具共需1020元，列出方程组求解即可；
（2）设购买个“冰墩墩”，则购买个“雪容融”，根据总成本不超过5000元，利润不低于2480元，列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设“冰墩墩”的销售单价为x元，“雪容融”的销售单价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：“冰墩墩”的销售单价为90元，“雪容融”的销售单价为60元．
（2）解：设制作m个“冰墩墩”，则制作个“雪容融”，
依题意得：，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的值为48、49、50，
∴有3种制作方案：
①制作48个“冰墩墩”，52个“雪容融”；
②制作49个“冰墩墩”，51个“雪容融”；
③制作50个“冰墩墩”，50个“雪容融”．
36．大华橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：
(1)一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？
(2)为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；
(3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？
【答案】(1)厨具店在该买卖中赚了元
(2)共有三种进货方案：①购买电饭煲台，购买电压锅台； ②购买电饭煲台，购买电压锅台； ③购买电饭煲台，购买电压锅台；
(3)购买电饭煲台，购买电压锅台时，该厨具店赚钱最多
【分析】本题考查二元一次方程组，不等式的应用，找准等量关系，列式计算是解题的关键．
（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，根据图表中的数据列出关于x、y的方程组并解答即可，橱具店在该买卖中赚了钱数；
（2）先设购买电饭煲a台，则购买电压锅台，根据题意列出不等式组，再解不等式组即可；
（3）结合（2）中的数据进行计算，即可得到进货方案橱具店赚钱最多．
【详解】（1）设该厨具店购进电饭煲台，则购进电压锅 台，
由题意，得 解得：
则(元)
即厨具店在该买卖中赚了元；
（2）设购买电饭煲台，则购买电压锅台，
由题意得 ，
解得：，
∵是正整数，
∴或或，
当时，
当时，
当时，
故共有三种进货方案：①购买电饭煲台，购买电压锅台；
②购买电饭煲台，购买电压锅台；
③购买电饭煲台，购买电压锅台；
（3）①当购买电饭煲台，购买电压锅台台时，
(元)；
②当购买电饭煲台，购买电压锅台时，
(元)
③当购买电饭煲台，购买电压锅台时，(元)
，
∴当购买电饭煲台，购买电压锅台时，该厨具店赚钱最多．
37．如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
（1）连接，过点O作于点P，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出，的长，勾股定理求出，连接，过O作于点H，利用面积法求出，勾股定理求出，即可根据等腰三角形的性质求出的长．
【详解】（1）证明：连接，过点O作于点P，
∵与相切于点D．
∴，
∵是等腰直角三角形，，点O为的中点，
∴，
∴，即是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，，
∵点O为的中点，
∴，
∵
∴，
在中，
连接，过O作于点H，
∴，
∴
∵，
∴．

【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键．
38．如图，在中，，以为直径作，交于，过作，交于．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，如果的半径为，，求的长；
(3)在（2）的条件下，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据，证明可得，根据切线的证明方法即可求解；
（2）根据题意可得，在中，根据等面积法即可求解；
（3）由（2）可得的长，在中，根据勾股定理可求出的长，由此可求出的面积，再根据是的中线，根据中线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：如图，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，即，
是的切线．
（2）解：如图所示，连接，
是直径，
，即，
在中，
，，
，
，
，
∴．
（3）解：由（2）可知，，
，
，
是中点，即是的中线，
．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的基础知识，切线的证明方法，等面积法求高，三角形中线的性质等知识的综合是解题的关键．
39．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．
(1)求证：AB为⊙O的切线；
(2)若AO＝20，BO＝15，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）根据OC＝OE，得到∠OCE＝∠OEC，再根据∠AOC＝2∠ACE，得到∠OCA＝∠OCE+∠ACE＝（∠OCE+∠OEC+∠AOC）＝＝90°，即有OC⊥AB，结论得证；
（2）利用勾股定理求出AB，在根据三角形的面积的不同算法可求出OC，即AE可求．
【详解】（1）证明：∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵∠AOC＝2∠ACE，
∴∠OCA＝∠OCE+∠ACE＝（∠OCE+∠OEC+∠AOC）
＝＝90°，
∴OC⊥AB，
∴AB为⊙O的切线；
（2）∵AO＝20，BO＝15，
∴，
∵，
即，
∴OC＝12，
∴AE＝OA﹣OE＝20﹣12＝8.
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及三角形面积的知识，利用勾股定理解直角三角形是解答本题的关键．
40．如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，CD为⊙O的切线，过D作，与的延长线相交于E．
(1)求证：CD＝DE；
(2)若BD＝1，DE＝，求△ADE的面积；
(3)在（2）的条件下，作的平分线CF与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）半径相等知，由是⊙O切线知，再根据，得出，即可证得结论；
（2）根据题中条件得到、长度，结合三角形面积公式求解即可；
（3）连接BF、PB、AF，由CF平分∠ACB得，AF＝BF，AB为直径，AB＝2，可得BF＝AF＝，由P为△ABC的内心，可得∠FPB＝∠FBP，进而可求得PF的长．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
，
，
是⊙O的切线，
，即，
，
，
，
，
；
（2）解：设⊙O的半径为，则，
，
，
由（1）已证，
，
在Rt△COD中，，即，解得，
∴AB＝2r＝4，AD＝AB＋BD＝5，
∴；
（3）解：连接，如图所示：
是⊙O的直径，
，
平分，
，
由圆周角定理得：，
Rt△ABF是等腰直角三角形，，
，
由（2）中得AB＝4，
，解得，
为△ABC的内心，
，
，
．
【点睛】本题考查圆综合，涉及到等腰三角形的性质、切线的性质、勾股定理求线段长、三角形面积公式运用、圆周角定理、角平分线性质、等腰直角三角形性质和三角形内心等知识，根据题中描述正确作出辅助线是解决问题的关键．
41．如图，的直径，弦，的平分线交于D，过点D作交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)求线段的长；
(3)P是半径上一点（P不与O、B重合），连接、，写出线段、、之间的数量关系并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）连接，利用圆周角定理得到，，进而得到，再利用平行线性质得到，即可证明是的切线；
（2）利用勾股定理得到，过点A作于点F，则，证明四边形是正方形，得到，利用平行线性质得到，进而得到，据此建立等式，即可求出线段的长；
（3）将绕点D顺时针旋转到，连接，，则，，证明，得到，，进而得到，在中有，再进行等量代换，即可解题．
【详解】（1）证明：连接，
为直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）方法一：在中，，，
，
过点A作于点F，则，
，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形，
，
，
，
，
，即，
；
方法二：过点A作于点F，则，
，
，
又，
，
，即，
；
（3）
如图，将绕点D顺时针旋转到，连接，，
则，，
是的直径，
，
，
，
平分，
，
，
，，
又，
，
，，
又，
，
在中，
又在等腰中，且，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，平行线性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，等腰三角形性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
42．如图，是四边形的外接圆，是四边形的对角线，恰为的直径，，点在劣弧上，过点作，交的延长线于点，平分．
(1)求的度数；
(2)求证：是的切线；
(3)若，点是劣弧上的一个动点，不与重合，连接，于点，求的值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）由圆周角定理可得，，再利用三角形的内角和定理可得答案；
（2）如图，连接，证明，可得，结合，可得，从而可得结论；
（3）先证明，可得，如图，过作交的延长线于，证明，可得，可得，，证明，，证明，在中，证明，从而可得结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴；
（2）如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线；
（3）∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，过作交的延长线于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴
，
∴，
在中，
，
∴．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，平行线的判定与性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，切线的判定，本题难度较大，是中考压轴题，作出合适的辅助线是解本题的关键．
43．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．

(1)如图，若，抛物线的对称轴为．求抛物线的解析式，并直接写出时的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若为轴上的点，为轴上方抛物线上的点，当为等边三角形时，求点，的坐标；
(3)若抛物线经过点，，，且，求正整数m，n的值．
【答案】(1)；
(2)；或,；
(3)，或，
【分析】
（1）根据，抛物线的对称轴为，待定系数法求解析式即可求解；当时，求得的范围，进而结合函数图象即可求解；
（2）①连接，，交对称轴于点D，由四点共圆，得，证明，求出点D的坐标，确定直线的解析式，进而求得点的坐标，设，，勾股定理即可求解；②由①可得，则当与重合时也存在等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
（3）根据抛物线经过点，，，可得抛物线对称为直线，则，则，进而令，求得的范围，进而根据函数图象可知或，进而分别讨论求得的值，即可求解．
【详解】（1）解：∵，抛物线的对称轴为．
∴
解得：
∴抛物线解析式为，
当时，即
解得：，
∴当时，
（2）解：①如图所示，连接，，交对称轴于点D，

∵，
∴，
则
∴，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
设直线的解析式为
则
解得：
所以直线的解析式为
联立
解得：或
∴，
∵，设，
∵
∴
解得：
∴；
②由①可得，当与点重合时，为等边三角形
则与对称，此时，，
综上所述；；或，；
（3）解：∵抛物线经过点，，，
∴抛物线对称为直线，
则，则
∴抛物线解析式为
∴顶点坐标为
当时，
解得：或
∵，且为正整数，过点，则当时，
∴或，
当时，将点代入解析式，
解得：
∵
则，
当时，将点代入解析式
解得：
∵
则，
综上所述，，或，．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据特三角函数求角度，圆内接四边形对角互补，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
44．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于､两点，与轴交于点，连接，

(1)求抛物线的解析式与顶点坐标：
(2)如图，在对称轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)如图，若点是抛物线上的一个动点，且，请直接写出点的横坐标
(4)如图，以为直径画交，为圆上一动点，抛物线顶点为，连接，点为的中点，请直接写出的最小值．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)
(3)或
(4)
【分析】（1）运用待定系数方法即可求解抛物线的解析式，把抛物线解析变形为顶点式即可求解顶点坐标；
（2）根据抛物线可知对称轴为直线，，设，根据两点间的距离公式即可求解；
（3）在对称轴上取点，使是等腰直角三角形，对称轴于轴交于点，如图所示，可得或，分类讨论：当时，以为圆心，为半径作圆，与抛物线的交点为点，设，根据两点间的距离公式即可求解；当点在轴下方时，，点在轴下方时不存在；当时，以为圆心，为半径作圆，与抛物线的交点只有；由此即可求解；
（4）连接，并延长至，使，过点作轴于点，连接，如图所示，分类讨论：①当点Q不与B重合时；②当点与重合，此时点为的中点，此时，点为的中点；根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：（1）将､代入
∴，解得：，
∴抛物线的解析式，
∴顶点坐标为．
（2）解：存在点，使，理由如下：
，
对称轴为直线，令，则，
，设，
，
，解得，
．
（3）解：在对称轴上取点，使是等腰直角三角形，对称轴与轴交于点，如图所示：

，
或，
当时，以为圆心，为半径作圆，与抛物线的交点为点，
，
，设，
，
或，解得（舍）或（舍）或或，
当点在轴下方时，，此时
或，解得（舍）或（舍），
点在轴下方时不存在；
当时，以为圆心，为半径作圆，与抛物线的交点只有，
此时不存在点使；
综上所述：或．
（4）解：连接，并延长至，使，过点作轴于点，连接，如下图，

①当点Q不与B重合时，
∵，为的中点，
∴，，
∴当最小时，即三点共线是时，有最小值，
∵，
∴，
∵为直径，点抛物线顶点，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴此时有最小值为．
②当点与重合，此时点为的中点，此时，点为的中点，如下图

∵，
，
综上所述：，
的最小值为．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的变换，掌握二次函数图像的性质，几何图形的变换，等腰三角形的性质，两点之间的距离公式的计算方法，勾股定理等知识是解题的关键．
45．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点M是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，点C重合），过点M作直线轴于点D，交线段于点N．是否存在点M使得线段的长度最大，若存在，求线段长度的最大值，若不存在，请说明理由；
(3)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为2，求出t的值．
【答案】(1)
(2)存在点M使得线段的长度最大，最大值是
(3)或
【分析】
（1）先求出点A、B的坐标，再将点A、B的坐标代入函数表达式，求出a，b值，即可得答案；
（2）由题意巧设坐标，用未知数m表示出来的长度，根据二次函数最值问题即可解决问题；
（3）分4种情况，当时， ，解得：；当时，，解得：；当，函数的最小值是，函数的最大值，t不符合题意；当时，函数的最小值是，函数的最大值，t不符合题意．
【详解】（1）解：，
点A、B的坐标分别为，
将点A、B的坐标代入函数表达式，
，解得：
抛物线的表达式为；
（2）当时，，
点C的坐标为，
设直线的关系式为，将代入，
，解得
直线的关系式为，
设，则，
当时，线段长度有最大值，
存在点M使得线段MN的长度最大，最大值是；
（3）
，
，
二次函数的顶点坐标是，
当时，，当时，，
当时，即，此时函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：；
当时，此时函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：；
当，函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：（舍去）或（舍去）；
当时，函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：（舍去）或（舍去）；
综上所述：或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，函数图像平移的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
46．抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)写出抛物线的对称轴，并求的值；
(2)如图1，，求出抛物线的解析式．
(3)在（2）的条件下，点是抛物线上的动点，直线与抛物线的另一个交点为．
①若、关于点对称，求点坐标；
②若点是轴上一点，直线的表达式为，直线的表达式为，当的值是一个定值时，求的值．
【答案】(1)直线，；
(2)
(3)①；②4
【分析】（1）根据二次函数的图像和性质进行求解，即可得到答案；
（2）先根据抛物线的对称性，得到，再求出抛物线与轴的交点，利用勾股定理列方程，求得，进而得到抛物线；
（3）①根据坐标关于原点对称的特征，得到，将点D、E代入抛物线解析式，求出、的值，即可得到点坐标；
②设直线的解析式为，先求出，然后联立直线与抛物线，求得，再利用待定系数法分别求出和的值，即而得到的值，最后利用的值是一个定值，即可求出的值．
【详解】（1）解：抛物线，
对称轴为直线，
抛物线与轴交于点，
，即，
解得：；
（2）抛物线与轴交于点和点，且对称轴为直线，
，
，，
，
抛物线与轴交于点，
，
，
由勾股定理得：，，
，
由勾股定理得：，
，
整理得：，
，
，
抛物线，
（3）①点、点E是抛物线上的点，且、关于点对称，
，
，
整理得：，
，
，
，
；
②设直线的解析式为，
为直线与抛物线的一个交点，
，
，
直线的解析式为，
联立，解得：，
当时，，
，
将、代入直线：，
，
，
将、代入直线：，
，
，
，
的值是一个定值，
，
．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质，勾股定理，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式等知识，题目较难，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题关键．
47．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的图象，若直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值．
【答案】(1)
(2)存在，点Q的坐标为或
(3)或
【分析】
本题主要考查的是二次函数综合运用．
（1）依据题意，求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；
（2）求出抛物线的顶点坐标及对称轴，设，分三种情况讨论求解即可；
（3）依据题意，分两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：由题意，对于直线，令，则，令，则，
∴点B、C的坐标分别为、．
∴．
∴．
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：∵，
∴抛物线顶点P的坐标为，对称轴为直线
设，
又，
∴，，
当时，，
∴，
解得，，
∴点坐标为；
当时，则，
∴点坐标为；
当时，此时直角三角形不存在，
综上，点坐标为或；
（3）解：由题意，将图象翻折后的点P对应点的坐标为．
作图如下．
①在如图所示的位置时，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，此时C、、B三点共线，；
②当直线与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，
此时，直线 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点．
又而向下翻折（在）的那部分抛物线在翻折后的解析式为：，
∴，
∴．
∴解得：．
综上，或 ．​
48．在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，，顶点为M的抛物线经过点A，B，且与x轴交于点D，E（点D在点E的左侧）．
(1)直接写出点B的坐标，抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)点P是（1）中抛物线对称轴上一动点，求为等腰三角形时，求P的坐标；
(3)平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段有公共点时，求抛物线顶点的横坐标a的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)或或或
(3)或
【分析】（1）由矩形的性质，即可得到点的坐标；然后由待定系数法即可求出解析式，再求出顶点坐标即可；
（2）由抛物线得，进而可得，直线的解析式为，在直线上，设，，分三种情况：①当时，②当时，③当时，利用勾股定理列方程求解即可；
（3）根据题意，找出顶点平移的临界点，然后进行分类讨论，分别求出的取值范围即可．
【详解】（1）解： 点，的坐标分别为，，且四边形是矩形，
；
把点、代入抛物线的解析式，则
，解得；
，
；
顶点坐标为；
（2）当时，，解得：，，
∴，则，
设直线的解析式为，代入，，得，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，即在直线上，
设，，
①当时，是等腰三角形，则，
即：，解得，（舍去），
∴点的坐标为；
②当时，是等腰三角形，则，
即：，解得，，
∴点的坐标为或；
③当时，是等腰三角形，则，
即：，解得，
∴点的坐标为；
综上，为等腰三角形时，点的坐标为或或或；
（3）由题意可得，，，
设直线，的解析式为，
，，
解得：，
，，
抛物线的顶点在直线上
可设平移中的抛物线的解析式为
当时，抛物线即，此时抛物线与线段有两个交点
当时，
①当抛物线经过点时，有
，
解得：（舍去），；
②当抛物线经过点时，有
，
解得（舍去），；
综上得 ；
当且抛物线与直线有公共点时，
则方程即有实数根，
，即．
综上可得或时，平移后的抛物线与线段有公共点．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，利用分类讨论的思想进行分析．
组别
运动时间t/min
频数
频率
2
4
16
0.35
4
合计
1
第一次选
第二次选
组别
成绩x (分）
频数
种材料（）
种材料（）
所获利润（元）
每个甲种吉祥物
每个乙种吉祥物
进价（元/台）
售价（元/台）
电饭煲
200
250
电压锅
160
200