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2024届冲刺阶段-中考真题（2023深圳）及变式题训练-解答题部分（深圳中考专用）
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一、解答题
1．计算：．
【答案】
【分析】根据零次幂及特殊三角函数值可进行求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查零次幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键．
2．计算：（﹣0.5）﹣1﹣（5＋3）0＋|﹣2|﹣2sin30°．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂，零次幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂，零次幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值是解题的关键．
3．计算：
(1)；
(2)化简．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先计算算术平方根、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值和0指数幂，再计算加减；
（2）根据分式的混合运算法则解答即可；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题注意考查了实数的混合运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、0指数幂和分式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
4．计算：．
【答案】
【分析】先算零指数幂，三角函数，二次根式以及负整数指数幂，再算加减法，即可求解．
【详解】解：原式=
=
=．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，三角函数，二次根式以及负整数指数幂，是解题的关键．
5．计算：
【答案】
【分析】首先计化简绝对值、开平方、计算负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后计算加减，求出算式的值即可．
【详解】解：
=
=
=
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
6．计算：．
【答案】
【分析】根据绝对值，零指数幂，负整指数幂以及特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了实数的有关运算，涉及了绝对值，零指数幂，负整指数幂以及特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
7．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【详解】
∵
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
8．先化简，再求值：，其中．
【答案】，5
【分析】根据分式的运算法则化简，再代入数据即可求出答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．先化简，再求值：，其中a＝．
【答案】；
【分析】根据分式的混合运算法则把所给的分式化为最简分式，再代入求值即可.
【详解】解：原式=
＝
=
当a=时，
原式=.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练运用分式的运算法则及运算顺序正确化简是解决问题的关键.
10．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先把分子分母因式分解，再计算除法，然后计算加减，最后把代入化简后结果，即可求解．
【详解】解：
当时，原式
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
11．先化简，再求值：，其中x=4．
【答案】
【详解】分析：首先将分式的分子和分母进行因式分解，然后进行约分化简，最后进行减法计算得出化简结果，将x的值代入化简后的式子进行计算即可得出答案．
详解：原式= = ﹣ = ，
当x=4时， 原式=.
点睛：本题主要考查的是分式的化简求值问题，属于基础题型．将分式的分子和分母进行因式分解是解决这个问题的关键．
12．先化简，再求值：，其中，a=．
【答案】，．
【分析】首先化简分式，然后把a代入化简后的算式，求出算式的值即可．
【详解】解：原式= ==
当a=时，原式==．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
13．为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下：
如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图回答下面的问题：
①调查总人数______人；
②请补充条形统计图；
③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？
④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下：
若以进行考核，______小区满意度（分数）更高；
若以进行考核，______小区满意度（分数）更高．
【答案】①100；②见解析；③愿意改造“娱乐设施”的约有3万人；④乙；甲．
【分析】①根据健身的人数和所占的百分比即可求出总人数；
②用总数减去其他3项的人数即可求出娱乐的人数；
③根据样本估计总体的方法求解即可；
④根据加权平均数的计算方法求解即可．
【详解】①（人），
调查总人数人；
故答案为：100；
②（人）
∴娱乐的人数为30（人）
∴补充条形统计图如下：
③（人）
∴愿意改造“娱乐设施”的约有3万人；
④若以进行考核，
甲小区得分为，
乙小区得分为，
∴若以进行考核，乙小区满意度（分数）更高；
若以进行考核，
甲小区得分为，
乙小区得分为，
∴若以进行考核，甲小区满意度（分数）更高；
故答案为：乙；甲．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，加权平均数，样本估计总体等知识，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键．
14．年4月15日是全民国家安全教育日，某校为加强学生的安全意识，组织了全校学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为分）进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
(1)____________，__________．
(2)分别求出B组，E组的频数
(3)该校共有名学生，若成绩在分以下的学生安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人?
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）由A组人数及其百分比求得总人数，再用总人数乘以C组百分比可得a的值，先求得E组的百分比，用乘以E组百分比可得n的值；
（2）总人数乘以B组的百分比可得其人数，用总人数乘以E组的百分比可得其人数，据此补全图形可得；
（3）总人数乘以样本中A、B百分比之和．
【详解】（1）解：∵本次调查的总人数为（人），
∴，
D组所占百分比为，
所以E组的百分比为，
则，
故答案为：，；
（2）解：B组人数为（人），
E组人数为（人），
故B组的频数为，E组人数为；
（3）解：（人），
答：该校安全意识不强的学生约有人．
【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了用样本估计总体．
15．北京冬奥会后，为了大力推进冰雪运动的普及与发展，各单位开展多类活动让更多的人了解冰雪运动文化、领略冰雪运动魅力．重庆市某小区采取随机抽样的方法对该小区进行了“最喜欢的冬奥会比赛项目”的问卷调查，调查结果分为“冰球”、“短道速滑”、“花样滑冰”、“自由式滑雪”和“其它”五类．根据调查结果绘制了如下统计图．
请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：
(1)本次调查随机从该小区抽取了______名居民，扇形统计图中“冰球”对应的扇形心角为______度；
(2)请补全条形统计图；
(3)请估计该小区3000人中约有多少人最喜欢的冬奥会项目是花样滑冰（写出必要的计算过程）．
【答案】(1)200，；
(2)补全条形统计图见解析；
(3)750人．
【分析】（1）用80除以即可求出抽取的居民数，用360°乘以“冰球”所占比例即可得出“冰球”所占圆心角的度数；
（2）用总人数分别减去其它四类的人数，即可得出“花样滑冰”的人数，进而补全条形统计图；
（3）求出“花样滑冰”所占百分比，然后用3000乘以获得“花样滑冰”所占的百分比即可．
【详解】（1）解：（名），，
故答案为200，；
（2）解：花样滑冰人数为： （人），
补全条形统计图如下图所示，
（3）解： （人）
∴该小区约有750人喜欢花样滑冰．
【点睛】本题主要考查条形统计图的知识，熟练根据条形统计图和扇形统计图得出相应的数据是解题的关键．
16．2022年新冠病毒出现了传播性更强的变异毒株，为了加强防范意识，某学校进行了安全知识小测试．其中七年级、八年级分别有600人、560人，现从中各随机抽取20名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如下：
根据上述数据，回答下列问题：
整理、描述数据：
分析数据：样本数据的平均数、满分率如表：
(1)填空：a= ，b= ；
(2)估计该校七年级和八年级学生在本次测试成绩中可以得到满分的人数共 人；
(3)你认为哪个年级的总体水平较好，说明理由．
【答案】(1)4，97.5
(2)318
(3)八年级的总体水平较好，理由见解析
【分析】（1）用20减去七年级其它分数段的人数可得七年级测试成绩在的人数，根据题意可得八年级20名学生的测试成绩位于第10位和第11位的分别是97，98，即可求解；
（2）分别求出七年级和八年级满分的人数，即可求解；
（3）分别平均数、满分率、中位数方面分析，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：；
八年级20名学生的测试成绩位于第10位和第11位的分别是97，98，
∴中位数；
故答案为：4，97.5
（2）解：根据题意得：
该校七年级和八年级学生在本次测试成绩中可以得到满分的人数共名；
故答案为：318
（3）解：八年级的总体水平较好，理由如下：
从平均数方面看，八年级的平均成绩比七年级高；
从满分率方面看，八年级的满分率比七年级高；
从中位数方面看，八年级的中位数比七年级高；
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，求中位数，利用平均数和中位数做决策，明确题意，解题的关键是熟练掌握数据的整理、样本估计总体思想的运用、平均数和中位数的意义．
17．央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注，我市某校就“中华文化我传承——地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查．对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：
图中表示“很喜欢”， 表示“喜欢”、 表示“一般”， 表示“不喜欢”．
(1)被调查的总人数是 ___________人，扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角的度数为 ___________；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中D类有 ___________人；
(4)在抽取的类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，求被抽到的两个学生性别相同的概率．
【答案】(1)50，；
(2)补图见解析；
(3)180；
(4)
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的应用．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数，用乘以C部分人数所占比例可得；
（2）总人数减去其他类别人数求得B的人数，据此即可补全条形图；
（3）用总人数乘以样本中D类别人数所占百分比可得；
（4）用树状图或列表法即可求出抽到性别相同的两个学生的概率．
【详解】（1）解：被调查的总人数为人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为，
（2）B类别人数为人，
补全图形如下：
（3）估计该校学生中D类有人；
（4）列表如下：
所有等可能的结果为20种，其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为8，
∴被抽到的两个学生性别相同的概率为．
18．某中学举行“校园电视台主持人”选拔赛，将参加本校选拔赛的40名选手的成绩分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
(1)表中______，______．
(2)请在图中补全频数分布直方图；
(3)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)8，0.35
(2)见详解
(3)
【分析】本题考查的是用树状图法求概率、频数分布直方图以及频数分布表等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）根据频率频数总数，列式计算即可；
（2）根据（1）的结果补全频数分布直方图即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：，，
故答案为：8，0.35；
（2）解：补全频数分布直方图如下：
（3）解：由题意可知，成绩在94.5分以上的选手中，男生和女生各占一半，选手有4人，
有2名男生，2名女生，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
恰好是一名男生和一名女生的概率为．
19．某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
(1)求A，B玩具的单价；
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
【答案】(1)A、B玩具的单价分别为50元、75元；
(2)最多购置100个A玩具．
【分析】（1）设A玩具的单价为x元每个，则B玩具的单价为元每个；根据“购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元”列出方程即可求解；
（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为元；
由题意得：；
解得：，
则B玩具单价为（元）；
答：A、B玩具的单价分别为50元、75元；
（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，
由题意可得：，
解得：，
∴最多购置100个A玩具．
【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，属于中考常规考题，解题的关键在于读懂题目，找准题目中的等量关系或不等关系．
20．某文具店用340元购进A，B两种钢笔，A种钢笔进价为6元/支，标价为7元/支，B种钢笔进价为8元/支，标价为10元/支，两种钢笔按标价售出后可获得总利润70元．
(1)求这两种钢笔各购进的支数；
(2)如果A种钢笔按标价的九折出售，B种钢笔按标价的九五折出售，那么这批钢笔全部售完后，文具店比按标价出售少收入多少元？
【答案】(1)购进A种钢笔30支，B种钢笔20支
(2)文具店比按标价少收入31元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用：
（1）设购进A种钢笔x支，B种钢笔y支，根据购买费用为340元，利润为70元列出方程组求解即可；
（2）先求出打折出售后的利润，再用原来的利润减去打折出售后的利润即可得到答案．
【详解】（1）解：设购进A种钢笔x支，B种钢笔y支
由题意得，，
解得，
答：购进A种钢笔30支，B种钢笔20支；
（2）解：
元，
元，
答：文具店比按标价出售少收入31元．
21．为了响应“绿色环保，节能减排”的号召，小华家准备购买，两种型号的节能灯，已知购买1盏型和2盏型节能灯共需要40元，购买2盏型和3盏型节能灯共需要70元．
(1)，两种型号节能灯的单价分别是多少元？
(2)若要求这两种节能灯都买，且恰好用了50元，则有哪几种购买方案？
【答案】(1)种型号节能灯的单价为20元，种型号节能灯的单价为10元；
(2)方案①：购买种型号节能灯1盏，种型号节能灯2盏；方案②：购买种型号节能灯2盏，种型号节能灯1盏
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用：
（1）设种型号节能灯的单价为元，种型号节能灯的单价为元，根据购买1盏型和2盏型节能灯共需要40元，购买2盏型和3盏型节能灯共需要70元列出方程组求解即可；
（2）设购买种型号节能灯盏，种型号节能灯盏，根据恰好用了50列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设种型号节能灯的单价为元，种型号节能灯的单价为元，
由题意得，，
解得，
答：种型号节能灯的单价为20元，种型号节能灯的单价为10元；
（2）解：设购买种型号节能灯盏，种型号节能灯盏，
，即，
∵、均为正整数，
或，
共有两种购买方案，分别是：方案①：购买种型号节能灯1盏，种型号节能灯2盏；方案②：购买种型号节能灯2盏，种型号节能灯1盏；
22．宣纸具有韧而能润、光而不滑、润墨性强等特点，是我国文房四宝之一．某商店计划购进A，B两款宣纸刀（一刀为张），这两款宣纸的进价、售价如下表所示：
(1)若该商店进货共花费元，则两款宣纸各购进多少刀？
(2)若该商店销售完A，B两款宣纸所获得的利润不少于元，则A款宣纸至少购进多少刀？
(3)在（2）的条件下，且该商店购进的A款宣纸数量未超过刀，现推出促销活动：一次性购买同一种宣纸超过刀，赠送1刀相同的宣纸，该商店这次所购进宣纸全部售出，共赠送了4刀宣纸，获利元，直接写出该商店A，B两款宣纸各赠送几刀．
【答案】(1)A款宣纸购进刀，B款宣纸购进刀
(2)刀
(3)A款宣纸赠送了1刀，B款宣纸赠送了3刀
【分析】题目主要考查二元一次方程组、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设A款宣纸购进刀，B款宣纸购进刀．根据题意得据此即可求解；
（2）设A款宣纸购进刀，则B款宣纸购进刀．根据题意得，据此即可求解；
（3）由（2）和题意知，故该商店有两种进货方案，①A款宣纸购进35刀，B款宣纸购进25刀；②A款宣纸购进36刀，B款宣纸购进24刀．根据所获利润分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：设A款宣纸购进刀，B款宣纸购进刀．
根据题意，得
解得
答：A款宣纸购进刀，B款宣纸购进刀．
（2）解：设A款宣纸购进刀，则B款宣纸购进刀．
根据题意，得，
解得．
答：A款宣纸至少购进35刀．
（3）解：由（2）和题意知，
该商店有两种进货方案，①A款宣纸购进35刀，B款宣纸购进25刀；
②A款宣纸购进36刀，B款宣纸购进24刀．
设A款宣纸赠送了b刀，则B款宣纸赠送了刀．
当该商店按方案①进货时，可得，解得．
，均为非负整数，
不符合题意，舍去；
当该商店按方案②进货时，可得，解得．
，均为非负整数，
符合题意．
．
A款宣纸赠送了1刀，B款宣纸赠送了3刀．
23．某中学正值100周年校庆，该校准备制作一批纪念品，经过招标比选等正规程序，该校最终找到了满意的生产厂家，今年3月初，厂家提供第一批纪念品，学校花了3300元；三月中旬，厂家提供第二批纪念品，学校花了4000元，已知厂家生产第二批纪念品时，改进了技术，降低了成本，单价随之降低，第一批纪念品的单价是第二批单价的1.1倍，且第二批纪念品比第一批纪念品多25个．
(1)求第二批纪念品的单价；
(2)两批纪念品送达该校后，受到该校师生的青睐，学校准备再定制一批，经和商家协商，在第二批纪念品的基础上，若每多预定10个，单价降低1元，由于成本原因，纪念品单价不得低于25元，学校经过测算，随即和厂家签订第三批纪念品的订单，共计6240元，求第三批纪念品的个数．
【答案】(1)第二批纪念品的单价为44元
(2)240个
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是：
（1）设第二批纪念品的单价为x元，则第一批纪念品的单价为元，列出方程求解即可．
（2）先求出第二批纪念品数量，设定制第三批纪念品的数量为y个，则单价为元，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设第二批纪念品的单价为x元，则第一批纪念品的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验得是原方程的解，
∴，
答：第二批纪念品的单价为44元；
（2）解：购进第二批纪念品的数量为（个），
设定制第三批纪念品的数量为y个，则单价为元，
根据题意，得，
解得，，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，舍去，
答：定制第三批纪念品的数量为240个．
24．春节过后，我市又降大雪给交通带来了一定影响．为保证市民第二天的正常出行，某社区计划调用甲、乙两个工程队合作清扫1800平方米的积雪．已知甲工程队每小时能清雪的面积是乙工程队每小时能清雪的面积的2倍，并且在独立清扫面积为300 平方米的积雪时，甲工程队比乙工程队少用3 小时．
(1)求甲、乙两个工程队每小时能独立清雪多少平方米；
(2)已知甲工程队清雪的费用是 6 元/平方米，乙工程队清雪的费用是 5 元/平方米．在合作完成这1800 平方米的清雪任务中，如果乙工程队的施工时间为t（小时），两个工程队的总费用为w（元），求w关于t的函数关系式．
【答案】(1)甲工程队每小时能完成清雪的面积为100平方米，乙工程队每小时能完成清雪的面积为50平方米
(2)
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；
（1）设乙工程队每小时能完成清雪的面积为x平方米，则甲工程队每小时能完成清雪的面积为平方米，根据“在独立完成面积为300平方米区域的清雪时，甲队比乙队少用3小时”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据总费用等于甲工程队的费用与乙工程队的费用之和，即可求解．
【详解】（1）解：设乙工程队每小时能完成清雪的面积为x平方米，则甲工程队每小时能完成清雪的面积为平方米，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：甲工程队每小时能完成清雪的面积为100平方米，乙工程队每小时能完成清雪的面积为50平方米；
（2）解：根据题意，得
，
即．
25．如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线，且（点C在A的上方）；
②连接，交于点D；
③连接，与交于点E．
(1)求证：为的切线；
(2)求的长度．
【答案】(1)画图见解析，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，即可证明出为的切线；
（2）首先根据全等三角形的性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）如图所示，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点D在上，
∴为的切线；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴解得．
【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
26．如图，已知，点是上的一个定点．
(1)请运用尺规在所给的图中按下列步骤完成作图，并按要求标上相应字母：
①作的平分线和过点作的垂线，使它们交于点；
②以点为圆心，长为半径作；
(2)完成（1）的作图后，求证：是的切线．
【答案】(1)图见详解
(2)证明见详解
【分析】本题主要考查尺规作图的作角平分线和过点作垂线，
（1）根据角平分线的作法和过点作垂线的方法作图即可；
（2）由（1）得是的半径，过点O作交于点N，根据角平分线性质即可求得则有结论成立．
【详解】（1）解：如图，
（2）过点O作交于点N，如图，
∵以点为圆心，长为半径作，
∴是的半径，
∵平分，
∴，
又∵，
∴是的切线．
27．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．
(1)请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；
②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；
③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．
(2)在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线；
(3)若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)6
【分析】（1）见详解
（2）根据（1）中所提供的条件，应用圆的性质，线段垂直平分线，角平分线的性质进行求解．
（3）由（2）中条件，可证明得RtBOD∽Rt△BAC，根据相似三角形的性质可求解的圆的半径．
【详解】（1）如图所示，
①以A为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部一点，将点A与它连接并延长，与BC交于点D，则AD为∠BAC的平分线；
②分别以点A、点D为圆心，以大于AD长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF为AD的垂直平分线，EF与AB交于点O；
③如图，⊙O与AB交于点M；
（2）证明：∵EF是AD的垂直平分线，且点O在EF上，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
故BC是⊙O的切线．
（3）根据题意可知OM＝OA＝OD＝AM，AM＝4BM，
∴OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，
∴，
由（2）可知Rt△BOD与Rt△BAC有公共角∠B，
∴Rt△BOD∽Rt△BAC，
∴，即，解得DO＝6，
故⊙O的半径为6．
【点睛】本题主要考查圆的性质，线段垂直平分线，角平分线的性质；掌握圆的性质，线段垂直平分线，角平分线的性质以及正确画出几何图形是解题的关键．
28．如图，为的直径，是弧的中点，是上一点．
(1)请按以下步骤作图：
①连接；
②以点为圆心，线段的长为半径作弧，交弧于点；
③连接并延长到点，使得；
④连接，．
(2)判断与的位置关系并证明．
(3)在（1）的条件下，假设点从点出发绕点顺时针旋转，当 时，以点为顶点的四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)相切，证明见解析
(3)或
【分析】（1）根据题意，按照步骤作出图形即可；
（2）由作图可知： ，是等边三角形，，进而可得，得出，即可得证；
（3）根据题意作出图形，根据等边三角形的性质与菱形的性质即可求解旋转角的度数．
【详解】（1）如图；
与相切．
（2）证明：由作图可知： ，
∴是等边三角形，，
又，
∴．
又
∴，
∴，
∴
∴是的切线，即与相切．
（3）连接，如图，
是的中点，
，
由（2）可得，是等边三角形，
，
①当四边形为菱形时，
，
，
即，
②当四边形为菱形时，
综上所述，的度数为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，菱形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
29．如图，为上一点，按以下步骤作图：
①连接；
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
③在射线上截取；
④连接．
直线与的位置关系是什么?请说明理由．
【答案】直线与相切，理由见解析
【分析】如图，连接AB．证明△AOB是等边三角形，然后推出.
【详解】解：直线与相切
连接，如图，
由作法得，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
∴直线与相切．
【点睛】本题考查作图-基本作图，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
30．如图，是的直径，是的切线，交于点．
(1)如图1，作的角平分线，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．
(2)如图2，在（1）的条件下，若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，求不规则图形面积，角平分线的性质和尺规作图：
（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）过点D作于H，由切线的性质和角平分线的性质得到，进而解直角三角形得到，则，解直角三角形求出，再根据进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，过点D作于H，
∵是的切线，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
，
，，
∴．
31．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
∵四边形为矩形，为的中垂线，
∴，，
∵，
∴点，代入，得：
，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵四边形，四边形均为正方形，，
∴，
延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，
∴，
∴，
∵，当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴；
（3）∵，垂直平分，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
∵太阳光为平行光，
设过点平行于的光线的解析式为，
由题意，得：与抛物线相切，
联立，整理得：，
则：，解得：；
∴，当时，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
32．某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点到底部的距离为米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：
方案一：“川”字形内部支架（由线段构成），点在上，且，点在抛物线上，均垂直于；
方案二：“”形内部支架（由线段，，构成），点，在上，且，点，在抛物线上，，均垂直于分别是，的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由．
【答案】(1)
(2)方案二的内部支架节省材料，理由见解析
【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用，
（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将原点代入计算即可求解；
（2）方案一：根据，米，可得米，米，代入解析式可求出所需材料；方案二：根据，米，可求出米，米，米，代入解析式可求出所需材料；两种所需材料进行比较即可求解；
掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵该抛物线型构件的底部宽度米，顶点到底部的距离为米，
∴顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
设抛物线的解析式为，将的横纵坐标代入，
得，解得，
∴该抛物线的函数表达式为，即．
（2）解：方案二的内部支架节省材料．理由如下：
方案一：∵，米，
∴米，米，
当时，，即米，
当时，，即米，
∴方案一内部支架材料长度为（米）；
方案二：∵，米，
∴米，米，米，
当时，，即米，
当时，，即米，
∴方案二内部支架材料长度为（米），
∵，
∴方案二的内部支架节省材料．
33．某景区平面图如图1所示，为边界上的点.已知边界是一段抛物线，其余边界均为线段，且，抛物线顶点到的距离.以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
求边界所在抛物线的解析式;
如图2，该景区管理处欲在区域内围成一个矩形场地，使得点在边界上，点在边界上，试确定点的位置，使得矩形的周长最大，并求出最大周长.
【答案】（1）（）；（2）点与点重合，取最大值.
【分析】（1）首先由题意得出，然后代入抛物线解析式，即可得解；
（2）首先设点的坐标为，矩形的周长为，然后根据坐标与周长构建二次函数，即可求的最大值.
【详解】由题意得，，且为抛物线的顶点，
则设抛物线的解析式为，
代入得:，解得
所以边界所在抛物线的解析式是（）
设点的坐标为，矩形的周长为.则，，
矩形的周长，
化简得，
当时，取最大值.此时点与点重合.
【点睛】此题主要考查抛物线的性质以及最值问题，熟练掌握，即可解题.
34．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点、、、分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为．
(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)求经过点的“蛋圆”切线的解析式．
(3)如果直线在线段上移动，交x轴于点，交抛物线于点，交于点．连接和后，是否存在这样的点，使点到的距离最大？若存在，请求出的值以及点的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，点的坐标为
【分析】（1）为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为，由此可知、、点的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）过点的“蛋圆”切线的解析式，且过点抛物线，由此即可求解；
（3）已知点、的坐标可知直线的解析式为，根据点，的位置，设点的坐标为，点的坐标为， 则可知线段的长，即，所以，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，设该抛物线的解析式为，且、、点的坐标分别是，，，
∴列方程组为，解方程组得，，
∴“蛋圆”抛物线部分的解析式为．
（2）解：设过点的“蛋圆”切线的解析式为，将其代入抛物线部分的解析式为得，，即，
∵，
∴，
∴过点的“蛋圆”切线的解析式为．
（3）解：存在，已知、点的坐标分别是，，则直线的解析式为，
∵点为直线与直线的交点，点为直线与抛物线的交点，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
又∵，
∴当，取最大值，点的坐标为．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，解题的关键是理解“蛋圆”的概念及结合图形和点的坐标来求解．
35．年东京奥运会，中国跳水队赢得个项目中的块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离米时达到距水面最大高度米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．
(1)时，求这条抛物线的解析式．
(2)（1）的条件下，求运动员落水点与点的距离．
(3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点）入水时才能达到训练要求，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)运动员落水点与点的距离为
(3)
【分析】（1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为，运用待定系数法即可求解；
（2）在（1）中函数解析式中令，求出即可；
（3）若跳水运动员在区域内（含点）入水达到训练要求，设函数设抛物线的解析式为，中当米时，，当米时，，解不等式即可得．
【详解】（1）解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，点，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入得，，解得，，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线的解析式为，运动员落水点在轴上，
∴令，则，解得，，，
∵抛物线的对称轴为，且运动员落水点在对称轴的右边，
∴，即运动员落水点在轴上，表示数量为的位置，且点为原点，
∴运动员落水点与点的距离为．
（3）解：根据题意，
∵跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离米时达到距水面最大高度米，是固定不变的，
∴设抛物线的解析式为，且过点，
∴，则，
∵米，米，
∴当时，，则，解得，；
当时，，则，解得，；
综上所述，．
【点睛】本题主要考查二次函数与实际问题的综合，理解函数图像，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，图像的性质等知识是解题的关键．
36．某公园要在小广场上建造一个喷泉景观，在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【答案】(1)
(2)
(3)光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
（2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可；
（3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离．
【详解】（1）根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，，
设第一象限内的抛物线解析式为，
将点代入物线解析式，
，
解得，
第一象限内的抛物线解析式为；
（2）根据题意，令，
即，
解得，，
，抛物线开口向下，
当时，，
的取值范围为；
（3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示，
，
设直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
即，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，
，
，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式．
37．（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，
①若，过作交于点，求证：；
②若时，则______．
（2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．
（3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．
【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）或或
【分析】
（1）①根据矩形的性质得出，，进而证明结合已知条件，即可证明；
②由①可得，，证明，得出，根据，即可求解；
（2）根据菱形的性质得出，，根据已知条件得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分三种情况讨论，①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，证明，解，进而得出，根据，得出，建立方程解方程即可求解；②当点在边上时，如图所示，连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形，同理证明，根据得出，建立方程，解方程即可求解；③当点在边上时，如图所示，过点作于点，求得，而，得出矛盾，则此情况不存在．
【详解】解：（1）①∵四边形是矩形，则，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
②由①可得，
∴
∴，
又∵
∴,
故答案为：．
（2）∵在菱形中，，
∴，，
则，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴,
又，
∴，
∴，
∴；
（3）①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，
∵平行四边形中，，，
∴，,
∵，
∴
∴，
∴
∴
在中，，
则，，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
设，则，，，
∴
解得：或，
即或，
②当点在边上时，如图所示，
连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形，
设，则，，
∵
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴
过点作于点，
在中，，
∴，，
∴，则，
∴，
∴，
，
∴
∴，
即，
∴
即
解得：（舍去）
即；
③当点在边上时，如图所示，
过点作于点，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点不可能在边上，
综上所述，的长为或或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
38．如图1，为的对角线，的外接圆交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，当时，连接、，求证；
(3)如图3，在（2）的条件下，记、的交点为点，当时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质以及圆周角定理即可证明；
（2）由垂径定理证明，再推出，即可证明结论；
（3）设，得到,，，由角平分线的性质求得，证明，求得，由角平分线的性质推出，在和中，求得，然后推出，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
；
（2）证明：，经过圆心，
，
，
，
，
，
又，
；
（3）延长交于点，
，
，
，
设，则，，
由（2）可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即是的平分线，
点到两边的距离相等，
，
，
，
，
，即，
，
由（2）可知：是的平分线，同理，，即，
，
设的半径为，
，
，
解得，即，
设，
在和中，，
即，
整理得，即，
，，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是明确题意，综合运用这些知识．
39．已知，在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，且DE＝2AD，作∠ADE的平分线交AB于点F．
（1）如图1，当E与B重合时，连接FC交BD于点G，若FC⊥CD，AF＝3，求线段CF的长．
（2）如图2，当CE⊥AB时，过点F作FH⊥BC于点H，交EC于点M．若G为FD中点，CE＝2AF，求证：CD﹣3AG＝EM．
（3）如图3，在（1）的条件下，M为线段FC上一点，且CM＝，P为线段CD上的一个动点，将线段MP绕着点M逆时针旋转30°得到线段，连接，直接写出的最小值．
【答案】（1）3；（2）见解析；（3）
【分析】设AC与FD交于S，由DE＝2AD，四边形ABCD为平行四边形，可得AD＝OD，由FD平分∠AOB，可得DF⊥AO，且AS＝OS＝ ，可证△AFC∽△ASF， ，解得AC＝6，根据勾股定理得 ；
（2）取DE中点R，连接GR，AR交DF于N，过E作ET∥DF交AD延长线于T，由FD平分∠ADE可得 ，可求EF＝2AF，由三角形中位线可得GR∥AE，DR＝ ＝AD，可证△AFN≌△RNG（AAS），可得EM＝EB，CD＝AB＝AE+EB＝3AG+EM即可．
（3）过M作MF顺时针旋转30°得到MF'，则MF＝MF'，延长PF交AB于v，先证△FMP'≌△F'MP（SAS）可得FP'＝F'P，当F'P⊥CD时，F'P最短， ，可求∠VFF'＝90°﹣75°＝15°，构造直角三角形由 ，可列方程2x+ x＝ ，解得：x＝ ， ．
【详解】解：（1）设AC与FD交于S，
∵DE＝2AD，四边形ABCD为平行四边形，
∴DE＝BD＝2OD，AO＝CO，
∴AD＝OD，
∴FD平分∠ADB，
∴∠ADF＝∠ODF，
∴DF⊥AO，且AS＝OS＝ ，
∴∠ASF＝90°，
∵FC⊥CD，AB∥CD，
∴FC⊥AB，
∴∠AFC＝∠ASF＝90°，∠FAC＝∠SAF，
∴△AFC∽△ASF，
∴ ，即，
解得：AC＝6，
∴，
（2）取DE中点R，连接GR，AR交DF于N，过E作ET∥DF交AD延长线于T，
∵FD平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠EDF，∠T＝∠ADF，∠DET＝∠EDF，
∴∠T＝∠DET，
∴DE＝DT＝2AD，
∴，
∴EF＝2AF，
∵G为FD的中点，R为ED的中点，
∴GR∥AE，DR＝ ＝AD，
∵∠ADF＝∠EDF，
∴DN⊥AR，且AN＝RN，AG＝RG，
∵GR∥AF，
∴∠AFN＝∠RGN，
在△ANF和△RNG中，
，
∴△AFN≌△RNG（AAS），
∴AF＝RG＝AG，
∴AE＝3AG，EF＝2AG，
又∵CE⊥AB，FH⊥BC，
∴∠FEM＝∠CEB＝∠FHB＝90°，
∴∠EFM＝∠ECB，
∵EC＝2AF＝EF，
在△FEM与△CEB中，
，
∴△FEM≌△CEB（ASA），
∴EM＝EB，
∴CD＝AB＝AE+EB＝3AG+EM，
∴CD﹣3AG＝EM，
（3）把MF绕M顺时针旋转30°得到MF'，则MF＝MF'，延长交AB于V，
则∠FMF'+∠FMP'＝∠PMP'+∠FMP'，
∴∠FMP'＝∠F'MP，
在△FMP'和F'MP中，
，
∴△FMP'≌△F'MP，（SAS）
∴FP'＝F'P，
当F'P⊥CD时，F'P最短，
∵CF＝ ，CM＝ ，
∴ ，
∵∠FMF'＝30°，F'M＝FM，
∴，
∴∠VFF'＝90°﹣75°＝15°，
在FV上取点U使FU＝UF'，
∴∠UFF'＝∠FF'U＝15°，
∴∠VUF'＝∠UFF'+FF'U＝30°，
设VF'＝x，
∴ ，
同理：可得：
由
四边形是矩形，
∵ ，
∴2x+x＝，
解得： ，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线性质，等腰三角形的判定与性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，三角形的中位线，三角形全等的判定与性质，图象旋转，构造直角三角形，二次根式化简及加减法，掌握平行四边形的性质，角平分线性质，等腰三角形判定与性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，三角形的中位线，三角形全等的判定与性质，图象旋转，构造直角三角形，二次根式化简及加减法，列出方程是解题的关键．
40．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是直线AB上一动点（点D不与点A，B重合），以CD为边作正方形CDEF，连接AE，AF．
(1)观察猜想
当点D在线段AB上时，线段BD与AF的数量关系是______，∠CAE的度数是______．
(2)探究证明
当点D不在线段AB上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．
(3)解决问题
当BD时，请直接写出线段AE的长．
【答案】(1)BD=AF，90°
(2)当点D不在线段AB上时，（1）中的两个结论仍然成立，证明见解析
(3)线段AE的长为1
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质与正方形的性质，得出，得到；过作，，根据得到，确定四边形是矩形，通过在和中角度关系得出，进而得到，确定四边形是正方形，根据正方形对角线性质得出；
（2）根据等腰直角三角形的性质与正方形的性质，得出，得到；过作，，根据得到，确定四边形是矩形，再根据正方形内角为直角可以得出，进而得到，确定四边形是正方形，根据正方形对角线性质得出；
（3）在等腰直角△ABC中，利用勾股定理得到斜边长为，可知在边上，根据（1）中求解过程即可利用全等性质及勾股定理求出线段长．
【详解】（1）解：四边形CDEF是正方形，
，
在△ABC中，∠ACB＝90°，
，，
，
在和中，
，
，
；
过作，，如图所示：
由得，
在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
，
，
，
四边形是矩形，
令与交于，在和中，，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是正方形，
是正方形的对角线，
，
；
故答案为：；；
（2）解：当点D不在线段AB上时，（1）中的两个结论仍然成立．
证明如下：
四边形CDEF是正方形，
，
在△ABC中，∠ACB＝90°，
，，
，
在和中，
，
，
；
过作，，如图所示：
由得，
在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是正方形，
是正方形的对角线，
，
；
故答案为：；；
（3）解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是直线AB上一动点（点D不与点A，B重合），
，
，
根据可知点D在线段AB上，
由（1）知，，，
过作于，如图所示：
由等面积法可得，
在中，，，
正方形边长，
在中，，设，则，，，根据勾股定理可得，解得或（舍弃），
在正方形中，是其对角线，则．
【点睛】本题考查几何综合，涉及到全等三角形的判定与性质、正方形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理求线段长等知识点，综合性强、难度较大，根据题意构造出恰当的辅助线是解决问题的关键．
41．中，连接BD，，，，点E是平面内一点，连接DE，AE，AE中点为点F，连接DF．
(1)如图1，当点E在AB上时，若，求DF的长；
(2)如图2，当点E在外，在内有另一点G，恰满足及，连接CG．求证：；
(3)如图3，当点E为BD中点时，直接写出DF的长．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用勾股定理求出AE，再利用直角三角形的斜边中线的性质解决问题即可；
（2）如图2中，延长AD到T，使得DT=AD，连接ET．证明△CBG≌△TDE（SAS），推出CG=ET，再利用三角形中位线定理证明即可；
（3）如图3中，过点D作DH⊥AE于点H，过等E作ET⊥AD交AD的延长线于点T．想办法求出DH，FH，再利用勾股定理求解．
【详解】（1）解：如图1中，∵AD⊥DE，
∴∠ADE=90°，
∵∠ADB=120°，AD=DB，
∴∠DAB=∠DBA=30°，
∴AE=2DE，
∴（）2+DE=4DE2，
∴DE=2，
∴AE=4，
∵AF=EF，
∴DF=AE=2；
（2）证明：如图2中，延长AD到T，使得DT=AD，连接ET．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD=BC，
∴∠TDC=∠DAB=30°，
∴∠TDE+∠EDC=30°，
∵∠EDC+∠CBG=30°，
∴∠TDE=∠CBE，
∵AD=DT，AD=BC，
∴BC=DT，
在△CBG和△TDE中，
，
∴△CBG≌△TDE（SAS），
∴CG=ET，
∵AD=DT，AF=FE，
∴ET=2DF，
∴CG=2DF；
（3）如图3中，过点作于点，过点作交的延长线于点．
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
42．如图1，在平行四边形中，对角线交于点O，过点A作交的延长线于点E．
（1）若，求的长；
（2）如图2，过点C作交的延长线于点F，连接．以为直角边作，其中，连接．若，求证：．
（3）在（2）的条件下，作射线，点O点G分别在射线上移动，得到点，且保持，M是线段的中点，连接，若，当最小时，请直接写出的面积．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据，得到∠AEB=90°，则，即可求出，再由四边形ABCD是平行四边形，得到，，则，由此即可得到答案；
（2）先证明△ECF≌△EAB得到CE=AE，推出∠ECA=∠EAC=45°，然后证明△OAH∽△FGH，得到，∠AOH=∠GFH，即可证明△AHG∽△OHF，得到∠GAH=∠FOH=45°，∠OFH=∠AGH，再证明△OAF∽△HAG，得到，即，△OAH∽△FAG，得到，即，可得，由勾股定理可得，则，从而推出，再由，，即可证明；
（3）连接MF，根据，M是线段的中点，得到，再由，，推出，则M在以F为圆心，半径为的圆上运动，如图所示，当M在的位置（即M在线段OF上时），CM有最小值，过点O作OJ∥CE交AE于J，过点作交AE于K，先求出FJ的长，然后求出，
从而得到，再由进行求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴∠AEB=90°，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，∠DCB=∠DAB，AD∥BC，
又∵，
∴AB=CF，
∵DC⊥CF，
∴∠DCF=∠DCE+∠ECF=90°，
∵AE⊥CB，
∴∠AEB=90°，
∴∠DAE=180°-∠AEB=90°，
∴∠DAB+∠EAB=90°，
∴∠ECF=∠EAB，
在△ECF和△EAB中，
，
∴△ECF≌△EAB（AAS），
∴CE=AE，
∴∠ECA=∠EAC=45°，
∵△OGF是等腰直角三角形，∠OFG=90°，
∴∠FOG=∠FGO=45°，
设OG于AF的交点为H，
∴∠OAH=∠FGH=45°，
又∵∠OHA=∠FHG，
∴△OAH∽△FGH，
∴，∠AOH=∠GFH，
又∵∠AHG=∠OHF，
∴△AHG∽△OHF，
∴∠GAH=∠FOH=45°，∠OFH=∠AGH，
∴∠OAF=∠HAG=45°，
∴△OAF∽△HAG，
∴，
∴，
∵∠OAH=∠FAG=45°，∠AOH=∠GFA，
∴△OAH∽△FAG，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵OF=FG，∠OFG=90°，
∴，
∴，
∴，
∵AE=CE，∠AEC=90°，
∴，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（3）如图所示，连接MF，
∵，M是线段的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴M在以F为圆心，半径为的圆上运动，
如图所示，当M在的位置（即M在线段OF上时），CM有最小值，
过点O作OJ∥CE交AE于J，过点作交AE于K，
∴△AOJ∽△ACE，
∴，
∴，
∵，BE=EF（由△CEF≌△AEB得到）
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，解直角三角形，圆与三角形的综合等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
项目
小区
休闲
儿童
娱乐
健身
甲
7
7
9
8
乙
8
8
7
9
七年级
68
88
100
100
79
94
89
85
100
88
100
90
98
97
77
94
96
100
92
67
八年级
69
100
91
69
98
100
99
100
90
100
95
69
97
100
99
94
79
100
98
79
分数段
七年级人数
2
2
a
12
八年级人数
3
2
0
15
年级
平均数
满分率
中位数
七年级
90.1
25%
92
八年级
91.3
30%
b
女1
女2
女3
男1
男2
女1
---
女2女1
女3女1
男1女1
男2女1
女2
女1女2
---
女3女2
男1女2
男2女2
女3
女1女3
女2女3
---
男1女3
男2女3
男1
女1男1
女2男1
女3男1
---
男2男1
男2
女1男2
女2男2
女3男2
男1男2
---
分数段
频数
频率
2
0.05
0.2
12
0.3
14
4
0.1
进价/（元/刀）
售价/（元/刀）
A款宣纸
B款宣纸
一、解答题
1．计算：．
【答案】
【分析】根据零次幂及特殊三角函数值可进行求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查零次幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键．
2．计算：（﹣0.5）﹣1﹣（5＋3）0＋|﹣2|﹣2sin30°．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂，零次幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂，零次幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值是解题的关键．
3．计算：
(1)；
(2)化简．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先计算算术平方根、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值和0指数幂，再计算加减；
（2）根据分式的混合运算法则解答即可；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题注意考查了实数的混合运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、0指数幂和分式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
4．计算：．
【答案】
【分析】先算零指数幂，三角函数，二次根式以及负整数指数幂，再算加减法，即可求解．
【详解】解：原式=
=
=．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，三角函数，二次根式以及负整数指数幂，是解题的关键．
5．计算：
【答案】
【分析】首先计化简绝对值、开平方、计算负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后计算加减，求出算式的值即可．
【详解】解：
=
=
=
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
6．计算：．
【答案】
【分析】根据绝对值，零指数幂，负整指数幂以及特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了实数的有关运算，涉及了绝对值，零指数幂，负整指数幂以及特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
7．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【详解】
∵
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
8．先化简，再求值：，其中．
【答案】，5
【分析】根据分式的运算法则化简，再代入数据即可求出答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．先化简，再求值：，其中a＝．
【答案】；
【分析】根据分式的混合运算法则把所给的分式化为最简分式，再代入求值即可.
【详解】解：原式=
＝
=
当a=时，
原式=.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练运用分式的运算法则及运算顺序正确化简是解决问题的关键.
10．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先把分子分母因式分解，再计算除法，然后计算加减，最后把代入化简后结果，即可求解．
【详解】解：
当时，原式
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
11．先化简，再求值：，其中x=4．
【答案】
【详解】分析：首先将分式的分子和分母进行因式分解，然后进行约分化简，最后进行减法计算得出化简结果，将x的值代入化简后的式子进行计算即可得出答案．
详解：原式= = ﹣ = ，
当x=4时， 原式=.
点睛：本题主要考查的是分式的化简求值问题，属于基础题型．将分式的分子和分母进行因式分解是解决这个问题的关键．
12．先化简，再求值：，其中，a=．
【答案】，．
【分析】首先化简分式，然后把a代入化简后的算式，求出算式的值即可．
【详解】解：原式= ==
当a=时，原式==．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
13．为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下：
如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图回答下面的问题：
①调查总人数______人；
②请补充条形统计图；
③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？
④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下：
若以进行考核，______小区满意度（分数）更高；
若以进行考核，______小区满意度（分数）更高．
【答案】①100；②见解析；③愿意改造“娱乐设施”的约有3万人；④乙；甲．
【分析】①根据健身的人数和所占的百分比即可求出总人数；
②用总数减去其他3项的人数即可求出娱乐的人数；
③根据样本估计总体的方法求解即可；
④根据加权平均数的计算方法求解即可．
【详解】①（人），
调查总人数人；
故答案为：100；
②（人）
∴娱乐的人数为30（人）
∴补充条形统计图如下：
③（人）
∴愿意改造“娱乐设施”的约有3万人；
④若以进行考核，
甲小区得分为，
乙小区得分为，
∴若以进行考核，乙小区满意度（分数）更高；
若以进行考核，
甲小区得分为，
乙小区得分为，
∴若以进行考核，甲小区满意度（分数）更高；
故答案为：乙；甲．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，加权平均数，样本估计总体等知识，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键．
14．年4月15日是全民国家安全教育日，某校为加强学生的安全意识，组织了全校学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为分）进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
(1)____________，__________．
(2)分别求出B组，E组的频数
(3)该校共有名学生，若成绩在分以下的学生安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人?
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）由A组人数及其百分比求得总人数，再用总人数乘以C组百分比可得a的值，先求得E组的百分比，用乘以E组百分比可得n的值；
（2）总人数乘以B组的百分比可得其人数，用总人数乘以E组的百分比可得其人数，据此补全图形可得；
（3）总人数乘以样本中A、B百分比之和．
【详解】（1）解：∵本次调查的总人数为（人），
∴，
D组所占百分比为，
所以E组的百分比为，
则，
故答案为：，；
（2）解：B组人数为（人），
E组人数为（人），
故B组的频数为，E组人数为；
（3）解：（人），
答：该校安全意识不强的学生约有人．
【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了用样本估计总体．
15．北京冬奥会后，为了大力推进冰雪运动的普及与发展，各单位开展多类活动让更多的人了解冰雪运动文化、领略冰雪运动魅力．重庆市某小区采取随机抽样的方法对该小区进行了“最喜欢的冬奥会比赛项目”的问卷调查，调查结果分为“冰球”、“短道速滑”、“花样滑冰”、“自由式滑雪”和“其它”五类．根据调查结果绘制了如下统计图．
请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：
(1)本次调查随机从该小区抽取了______名居民，扇形统计图中“冰球”对应的扇形心角为______度；
(2)请补全条形统计图；
(3)请估计该小区3000人中约有多少人最喜欢的冬奥会项目是花样滑冰（写出必要的计算过程）．
【答案】(1)200，；
(2)补全条形统计图见解析；
(3)750人．
【分析】（1）用80除以即可求出抽取的居民数，用360°乘以“冰球”所占比例即可得出“冰球”所占圆心角的度数；
（2）用总人数分别减去其它四类的人数，即可得出“花样滑冰”的人数，进而补全条形统计图；
（3）求出“花样滑冰”所占百分比，然后用3000乘以获得“花样滑冰”所占的百分比即可．
【详解】（1）解：（名），，
故答案为200，；
（2）解：花样滑冰人数为： （人），
补全条形统计图如下图所示，
（3）解： （人）
∴该小区约有750人喜欢花样滑冰．
【点睛】本题主要考查条形统计图的知识，熟练根据条形统计图和扇形统计图得出相应的数据是解题的关键．
16．2022年新冠病毒出现了传播性更强的变异毒株，为了加强防范意识，某学校进行了安全知识小测试．其中七年级、八年级分别有600人、560人，现从中各随机抽取20名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如下：
根据上述数据，回答下列问题：
整理、描述数据：
分析数据：样本数据的平均数、满分率如表：
(1)填空：a= ，b= ；
(2)估计该校七年级和八年级学生在本次测试成绩中可以得到满分的人数共 人；
(3)你认为哪个年级的总体水平较好，说明理由．
【答案】(1)4，97.5
(2)318
(3)八年级的总体水平较好，理由见解析
【分析】（1）用20减去七年级其它分数段的人数可得七年级测试成绩在的人数，根据题意可得八年级20名学生的测试成绩位于第10位和第11位的分别是97，98，即可求解；
（2）分别求出七年级和八年级满分的人数，即可求解；
（3）分别平均数、满分率、中位数方面分析，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：；
八年级20名学生的测试成绩位于第10位和第11位的分别是97，98，
∴中位数；
故答案为：4，97.5
（2）解：根据题意得：
该校七年级和八年级学生在本次测试成绩中可以得到满分的人数共名；
故答案为：318
（3）解：八年级的总体水平较好，理由如下：
从平均数方面看，八年级的平均成绩比七年级高；
从满分率方面看，八年级的满分率比七年级高；
从中位数方面看，八年级的中位数比七年级高；
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，求中位数，利用平均数和中位数做决策，明确题意，解题的关键是熟练掌握数据的整理、样本估计总体思想的运用、平均数和中位数的意义．
17．央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注，我市某校就“中华文化我传承——地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查．对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：
图中表示“很喜欢”， 表示“喜欢”、 表示“一般”， 表示“不喜欢”．
(1)被调查的总人数是 ___________人，扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角的度数为 ___________；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中D类有 ___________人；
(4)在抽取的类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，求被抽到的两个学生性别相同的概率．
【答案】(1)50，；
(2)补图见解析；
(3)180；
(4)
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的应用．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数，用乘以C部分人数所占比例可得；
（2）总人数减去其他类别人数求得B的人数，据此即可补全条形图；
（3）用总人数乘以样本中D类别人数所占百分比可得；
（4）用树状图或列表法即可求出抽到性别相同的两个学生的概率．
【详解】（1）解：被调查的总人数为人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为，
（2）B类别人数为人，
补全图形如下：
（3）估计该校学生中D类有人；
（4）列表如下：
所有等可能的结果为20种，其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为8，
∴被抽到的两个学生性别相同的概率为．
18．某中学举行“校园电视台主持人”选拔赛，将参加本校选拔赛的40名选手的成绩分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
(1)表中______，______．
(2)请在图中补全频数分布直方图；
(3)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)8，0.35
(2)见详解
(3)
【分析】本题考查的是用树状图法求概率、频数分布直方图以及频数分布表等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）根据频率频数总数，列式计算即可；
（2）根据（1）的结果补全频数分布直方图即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：，，
故答案为：8，0.35；
（2）解：补全频数分布直方图如下：
（3）解：由题意可知，成绩在94.5分以上的选手中，男生和女生各占一半，选手有4人，
有2名男生，2名女生，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
恰好是一名男生和一名女生的概率为．
19．某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
(1)求A，B玩具的单价；
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
【答案】(1)A、B玩具的单价分别为50元、75元；
(2)最多购置100个A玩具．
【分析】（1）设A玩具的单价为x元每个，则B玩具的单价为元每个；根据“购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元”列出方程即可求解；
（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为元；
由题意得：；
解得：，
则B玩具单价为（元）；
答：A、B玩具的单价分别为50元、75元；
（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，
由题意可得：，
解得：，
∴最多购置100个A玩具．
【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，属于中考常规考题，解题的关键在于读懂题目，找准题目中的等量关系或不等关系．
20．某文具店用340元购进A，B两种钢笔，A种钢笔进价为6元/支，标价为7元/支，B种钢笔进价为8元/支，标价为10元/支，两种钢笔按标价售出后可获得总利润70元．
(1)求这两种钢笔各购进的支数；
(2)如果A种钢笔按标价的九折出售，B种钢笔按标价的九五折出售，那么这批钢笔全部售完后，文具店比按标价出售少收入多少元？
【答案】(1)购进A种钢笔30支，B种钢笔20支
(2)文具店比按标价少收入31元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用：
（1）设购进A种钢笔x支，B种钢笔y支，根据购买费用为340元，利润为70元列出方程组求解即可；
（2）先求出打折出售后的利润，再用原来的利润减去打折出售后的利润即可得到答案．
【详解】（1）解：设购进A种钢笔x支，B种钢笔y支
由题意得，，
解得，
答：购进A种钢笔30支，B种钢笔20支；
（2）解：
元，
元，
答：文具店比按标价出售少收入31元．
21．为了响应“绿色环保，节能减排”的号召，小华家准备购买，两种型号的节能灯，已知购买1盏型和2盏型节能灯共需要40元，购买2盏型和3盏型节能灯共需要70元．
(1)，两种型号节能灯的单价分别是多少元？
(2)若要求这两种节能灯都买，且恰好用了50元，则有哪几种购买方案？
【答案】(1)种型号节能灯的单价为20元，种型号节能灯的单价为10元；
(2)方案①：购买种型号节能灯1盏，种型号节能灯2盏；方案②：购买种型号节能灯2盏，种型号节能灯1盏
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用：
（1）设种型号节能灯的单价为元，种型号节能灯的单价为元，根据购买1盏型和2盏型节能灯共需要40元，购买2盏型和3盏型节能灯共需要70元列出方程组求解即可；
（2）设购买种型号节能灯盏，种型号节能灯盏，根据恰好用了50列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设种型号节能灯的单价为元，种型号节能灯的单价为元，
由题意得，，
解得，
答：种型号节能灯的单价为20元，种型号节能灯的单价为10元；
（2）解：设购买种型号节能灯盏，种型号节能灯盏，
，即，
∵、均为正整数，
或，
共有两种购买方案，分别是：方案①：购买种型号节能灯1盏，种型号节能灯2盏；方案②：购买种型号节能灯2盏，种型号节能灯1盏；
22．宣纸具有韧而能润、光而不滑、润墨性强等特点，是我国文房四宝之一．某商店计划购进A，B两款宣纸刀（一刀为张），这两款宣纸的进价、售价如下表所示：
(1)若该商店进货共花费元，则两款宣纸各购进多少刀？
(2)若该商店销售完A，B两款宣纸所获得的利润不少于元，则A款宣纸至少购进多少刀？
(3)在（2）的条件下，且该商店购进的A款宣纸数量未超过刀，现推出促销活动：一次性购买同一种宣纸超过刀，赠送1刀相同的宣纸，该商店这次所购进宣纸全部售出，共赠送了4刀宣纸，获利元，直接写出该商店A，B两款宣纸各赠送几刀．
【答案】(1)A款宣纸购进刀，B款宣纸购进刀
(2)刀
(3)A款宣纸赠送了1刀，B款宣纸赠送了3刀
【分析】题目主要考查二元一次方程组、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设A款宣纸购进刀，B款宣纸购进刀．根据题意得据此即可求解；
（2）设A款宣纸购进刀，则B款宣纸购进刀．根据题意得，据此即可求解；
（3）由（2）和题意知，故该商店有两种进货方案，①A款宣纸购进35刀，B款宣纸购进25刀；②A款宣纸购进36刀，B款宣纸购进24刀．根据所获利润分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：设A款宣纸购进刀，B款宣纸购进刀．
根据题意，得
解得
答：A款宣纸购进刀，B款宣纸购进刀．
（2）解：设A款宣纸购进刀，则B款宣纸购进刀．
根据题意，得，
解得．
答：A款宣纸至少购进35刀．
（3）解：由（2）和题意知，
该商店有两种进货方案，①A款宣纸购进35刀，B款宣纸购进25刀；
②A款宣纸购进36刀，B款宣纸购进24刀．
设A款宣纸赠送了b刀，则B款宣纸赠送了刀．
当该商店按方案①进货时，可得，解得．
，均为非负整数，
不符合题意，舍去；
当该商店按方案②进货时，可得，解得．
，均为非负整数，
符合题意．
．
A款宣纸赠送了1刀，B款宣纸赠送了3刀．
23．某中学正值100周年校庆，该校准备制作一批纪念品，经过招标比选等正规程序，该校最终找到了满意的生产厂家，今年3月初，厂家提供第一批纪念品，学校花了3300元；三月中旬，厂家提供第二批纪念品，学校花了4000元，已知厂家生产第二批纪念品时，改进了技术，降低了成本，单价随之降低，第一批纪念品的单价是第二批单价的1.1倍，且第二批纪念品比第一批纪念品多25个．
(1)求第二批纪念品的单价；
(2)两批纪念品送达该校后，受到该校师生的青睐，学校准备再定制一批，经和商家协商，在第二批纪念品的基础上，若每多预定10个，单价降低1元，由于成本原因，纪念品单价不得低于25元，学校经过测算，随即和厂家签订第三批纪念品的订单，共计6240元，求第三批纪念品的个数．
【答案】(1)第二批纪念品的单价为44元
(2)240个
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是：
（1）设第二批纪念品的单价为x元，则第一批纪念品的单价为元，列出方程求解即可．
（2）先求出第二批纪念品数量，设定制第三批纪念品的数量为y个，则单价为元，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设第二批纪念品的单价为x元，则第一批纪念品的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验得是原方程的解，
∴，
答：第二批纪念品的单价为44元；
（2）解：购进第二批纪念品的数量为（个），
设定制第三批纪念品的数量为y个，则单价为元，
根据题意，得，
解得，，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，舍去，
答：定制第三批纪念品的数量为240个．
24．春节过后，我市又降大雪给交通带来了一定影响．为保证市民第二天的正常出行，某社区计划调用甲、乙两个工程队合作清扫1800平方米的积雪．已知甲工程队每小时能清雪的面积是乙工程队每小时能清雪的面积的2倍，并且在独立清扫面积为300 平方米的积雪时，甲工程队比乙工程队少用3 小时．
(1)求甲、乙两个工程队每小时能独立清雪多少平方米；
(2)已知甲工程队清雪的费用是 6 元/平方米，乙工程队清雪的费用是 5 元/平方米．在合作完成这1800 平方米的清雪任务中，如果乙工程队的施工时间为t（小时），两个工程队的总费用为w（元），求w关于t的函数关系式．
【答案】(1)甲工程队每小时能完成清雪的面积为100平方米，乙工程队每小时能完成清雪的面积为50平方米
(2)
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；
（1）设乙工程队每小时能完成清雪的面积为x平方米，则甲工程队每小时能完成清雪的面积为平方米，根据“在独立完成面积为300平方米区域的清雪时，甲队比乙队少用3小时”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据总费用等于甲工程队的费用与乙工程队的费用之和，即可求解．
【详解】（1）解：设乙工程队每小时能完成清雪的面积为x平方米，则甲工程队每小时能完成清雪的面积为平方米，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：甲工程队每小时能完成清雪的面积为100平方米，乙工程队每小时能完成清雪的面积为50平方米；
（2）解：根据题意，得
，
即．
25．如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线，且（点C在A的上方）；
②连接，交于点D；
③连接，与交于点E．
(1)求证：为的切线；
(2)求的长度．
【答案】(1)画图见解析，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，即可证明出为的切线；
（2）首先根据全等三角形的性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）如图所示，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点D在上，
∴为的切线；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴解得．
【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
26．如图，已知，点是上的一个定点．
(1)请运用尺规在所给的图中按下列步骤完成作图，并按要求标上相应字母：
①作的平分线和过点作的垂线，使它们交于点；
②以点为圆心，长为半径作；
(2)完成（1）的作图后，求证：是的切线．
【答案】(1)图见详解
(2)证明见详解
【分析】本题主要考查尺规作图的作角平分线和过点作垂线，
（1）根据角平分线的作法和过点作垂线的方法作图即可；
（2）由（1）得是的半径，过点O作交于点N，根据角平分线性质即可求得则有结论成立．
【详解】（1）解：如图，
（2）过点O作交于点N，如图，
∵以点为圆心，长为半径作，
∴是的半径，
∵平分，
∴，
又∵，
∴是的切线．
27．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．
(1)请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；
②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；
③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．
(2)在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线；
(3)若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)6
【分析】（1）见详解
（2）根据（1）中所提供的条件，应用圆的性质，线段垂直平分线，角平分线的性质进行求解．
（3）由（2）中条件，可证明得RtBOD∽Rt△BAC，根据相似三角形的性质可求解的圆的半径．
【详解】（1）如图所示，
①以A为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部一点，将点A与它连接并延长，与BC交于点D，则AD为∠BAC的平分线；
②分别以点A、点D为圆心，以大于AD长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF为AD的垂直平分线，EF与AB交于点O；
③如图，⊙O与AB交于点M；
（2）证明：∵EF是AD的垂直平分线，且点O在EF上，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
故BC是⊙O的切线．
（3）根据题意可知OM＝OA＝OD＝AM，AM＝4BM，
∴OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，
∴，
由（2）可知Rt△BOD与Rt△BAC有公共角∠B，
∴Rt△BOD∽Rt△BAC，
∴，即，解得DO＝6，
故⊙O的半径为6．
【点睛】本题主要考查圆的性质，线段垂直平分线，角平分线的性质；掌握圆的性质，线段垂直平分线，角平分线的性质以及正确画出几何图形是解题的关键．
28．如图，为的直径，是弧的中点，是上一点．
(1)请按以下步骤作图：
①连接；
②以点为圆心，线段的长为半径作弧，交弧于点；
③连接并延长到点，使得；
④连接，．
(2)判断与的位置关系并证明．
(3)在（1）的条件下，假设点从点出发绕点顺时针旋转，当 时，以点为顶点的四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)相切，证明见解析
(3)或
【分析】（1）根据题意，按照步骤作出图形即可；
（2）由作图可知： ，是等边三角形，，进而可得，得出，即可得证；
（3）根据题意作出图形，根据等边三角形的性质与菱形的性质即可求解旋转角的度数．
【详解】（1）如图；
与相切．
（2）证明：由作图可知： ，
∴是等边三角形，，
又，
∴．
又
∴，
∴，
∴
∴是的切线，即与相切．
（3）连接，如图，
是的中点，
，
由（2）可得，是等边三角形，
，
①当四边形为菱形时，
，
，
即，
②当四边形为菱形时，
综上所述，的度数为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，菱形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
29．如图，为上一点，按以下步骤作图：
①连接；
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
③在射线上截取；
④连接．
直线与的位置关系是什么?请说明理由．
【答案】直线与相切，理由见解析
【分析】如图，连接AB．证明△AOB是等边三角形，然后推出.
【详解】解：直线与相切
连接，如图，
由作法得，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
∴直线与相切．
【点睛】本题考查作图-基本作图，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
30．如图，是的直径，是的切线，交于点．
(1)如图1，作的角平分线，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．
(2)如图2，在（1）的条件下，若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，求不规则图形面积，角平分线的性质和尺规作图：
（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）过点D作于H，由切线的性质和角平分线的性质得到，进而解直角三角形得到，则，解直角三角形求出，再根据进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，过点D作于H，
∵是的切线，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
，
，，
∴．
31．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
∵四边形为矩形，为的中垂线，
∴，，
∵，
∴点，代入，得：
，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵四边形，四边形均为正方形，，
∴，
延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，
∴，
∴，
∵，当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴；
（3）∵，垂直平分，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
∵太阳光为平行光，
设过点平行于的光线的解析式为，
由题意，得：与抛物线相切，
联立，整理得：，
则：，解得：；
∴，当时，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
32．某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点到底部的距离为米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：
方案一：“川”字形内部支架（由线段构成），点在上，且，点在抛物线上，均垂直于；
方案二：“”形内部支架（由线段，，构成），点，在上，且，点，在抛物线上，，均垂直于分别是，的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由．
【答案】(1)
(2)方案二的内部支架节省材料，理由见解析
【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用，
（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将原点代入计算即可求解；
（2）方案一：根据，米，可得米，米，代入解析式可求出所需材料；方案二：根据，米，可求出米，米，米，代入解析式可求出所需材料；两种所需材料进行比较即可求解；
掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵该抛物线型构件的底部宽度米，顶点到底部的距离为米，
∴顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
设抛物线的解析式为，将的横纵坐标代入，
得，解得，
∴该抛物线的函数表达式为，即．
（2）解：方案二的内部支架节省材料．理由如下：
方案一：∵，米，
∴米，米，
当时，，即米，
当时，，即米，
∴方案一内部支架材料长度为（米）；
方案二：∵，米，
∴米，米，米，
当时，，即米，
当时，，即米，
∴方案二内部支架材料长度为（米），
∵，
∴方案二的内部支架节省材料．
33．某景区平面图如图1所示，为边界上的点.已知边界是一段抛物线，其余边界均为线段，且，抛物线顶点到的距离.以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
求边界所在抛物线的解析式;
如图2，该景区管理处欲在区域内围成一个矩形场地，使得点在边界上，点在边界上，试确定点的位置，使得矩形的周长最大，并求出最大周长.
【答案】（1）（）；（2）点与点重合，取最大值.
【分析】（1）首先由题意得出，然后代入抛物线解析式，即可得解；
（2）首先设点的坐标为，矩形的周长为，然后根据坐标与周长构建二次函数，即可求的最大值.
【详解】由题意得，，且为抛物线的顶点，
则设抛物线的解析式为，
代入得:，解得
所以边界所在抛物线的解析式是（）
设点的坐标为，矩形的周长为.则，，
矩形的周长，
化简得，
当时，取最大值.此时点与点重合.
【点睛】此题主要考查抛物线的性质以及最值问题，熟练掌握，即可解题.
34．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点、、、分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为．
(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)求经过点的“蛋圆”切线的解析式．
(3)如果直线在线段上移动，交x轴于点，交抛物线于点，交于点．连接和后，是否存在这样的点，使点到的距离最大？若存在，请求出的值以及点的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，点的坐标为
【分析】（1）为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为，由此可知、、点的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）过点的“蛋圆”切线的解析式，且过点抛物线，由此即可求解；
（3）已知点、的坐标可知直线的解析式为，根据点，的位置，设点的坐标为，点的坐标为， 则可知线段的长，即，所以，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，设该抛物线的解析式为，且、、点的坐标分别是，，，
∴列方程组为，解方程组得，，
∴“蛋圆”抛物线部分的解析式为．
（2）解：设过点的“蛋圆”切线的解析式为，将其代入抛物线部分的解析式为得，，即，
∵，
∴，
∴过点的“蛋圆”切线的解析式为．
（3）解：存在，已知、点的坐标分别是，，则直线的解析式为，
∵点为直线与直线的交点，点为直线与抛物线的交点，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
又∵，
∴当，取最大值，点的坐标为．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，解题的关键是理解“蛋圆”的概念及结合图形和点的坐标来求解．
35．年东京奥运会，中国跳水队赢得个项目中的块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离米时达到距水面最大高度米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．
(1)时，求这条抛物线的解析式．
(2)（1）的条件下，求运动员落水点与点的距离．
(3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点）入水时才能达到训练要求，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)运动员落水点与点的距离为
(3)
【分析】（1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为，运用待定系数法即可求解；
（2）在（1）中函数解析式中令，求出即可；
（3）若跳水运动员在区域内（含点）入水达到训练要求，设函数设抛物线的解析式为，中当米时，，当米时，，解不等式即可得．
【详解】（1）解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，点，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入得，，解得，，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线的解析式为，运动员落水点在轴上，
∴令，则，解得，，，
∵抛物线的对称轴为，且运动员落水点在对称轴的右边，
∴，即运动员落水点在轴上，表示数量为的位置，且点为原点，
∴运动员落水点与点的距离为．
（3）解：根据题意，
∵跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离米时达到距水面最大高度米，是固定不变的，
∴设抛物线的解析式为，且过点，
∴，则，
∵米，米，
∴当时，，则，解得，；
当时，，则，解得，；
综上所述，．
【点睛】本题主要考查二次函数与实际问题的综合，理解函数图像，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，图像的性质等知识是解题的关键．
36．某公园要在小广场上建造一个喷泉景观，在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【答案】(1)
(2)
(3)光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
（2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可；
（3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离．
【详解】（1）根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，，
设第一象限内的抛物线解析式为，
将点代入物线解析式，
，
解得，
第一象限内的抛物线解析式为；
（2）根据题意，令，
即，
解得，，
，抛物线开口向下，
当时，，
的取值范围为；
（3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示，
，
设直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
即，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，
，
，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式．
37．（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，
①若，过作交于点，求证：；
②若时，则______．
（2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．
（3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．
【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）或或
【分析】
（1）①根据矩形的性质得出，，进而证明结合已知条件，即可证明；
②由①可得，，证明，得出，根据，即可求解；
（2）根据菱形的性质得出，，根据已知条件得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分三种情况讨论，①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，证明，解，进而得出，根据，得出，建立方程解方程即可求解；②当点在边上时，如图所示，连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形，同理证明，根据得出，建立方程，解方程即可求解；③当点在边上时，如图所示，过点作于点，求得，而，得出矛盾，则此情况不存在．
【详解】解：（1）①∵四边形是矩形，则，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
②由①可得，
∴
∴，
又∵
∴,
故答案为：．
（2）∵在菱形中，，
∴，，
则，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴,
又，
∴，
∴，
∴；
（3）①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，
∵平行四边形中，，，
∴，,
∵，
∴
∴，
∴
∴
在中，，
则，，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
设，则，，，
∴
解得：或，
即或，
②当点在边上时，如图所示，
连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形，
设，则，，
∵
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴
过点作于点，
在中，，
∴，，
∴，则，
∴，
∴，
，
∴
∴，
即，
∴
即
解得：（舍去）
即；
③当点在边上时，如图所示，
过点作于点，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点不可能在边上，
综上所述，的长为或或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
38．如图1，为的对角线，的外接圆交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，当时，连接、，求证；
(3)如图3，在（2）的条件下，记、的交点为点，当时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质以及圆周角定理即可证明；
（2）由垂径定理证明，再推出，即可证明结论；
（3）设，得到,，，由角平分线的性质求得，证明，求得，由角平分线的性质推出，在和中，求得，然后推出，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
；
（2）证明：，经过圆心，
，
，
，
，
，
又，
；
（3）延长交于点，
，
，
，
设，则，，
由（2）可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即是的平分线，
点到两边的距离相等，
，
，
，
，
，即，
，
由（2）可知：是的平分线，同理，，即，
，
设的半径为，
，
，
解得，即，
设，
在和中，，
即，
整理得，即，
，，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是明确题意，综合运用这些知识．
39．已知，在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，且DE＝2AD，作∠ADE的平分线交AB于点F．
（1）如图1，当E与B重合时，连接FC交BD于点G，若FC⊥CD，AF＝3，求线段CF的长．
（2）如图2，当CE⊥AB时，过点F作FH⊥BC于点H，交EC于点M．若G为FD中点，CE＝2AF，求证：CD﹣3AG＝EM．
（3）如图3，在（1）的条件下，M为线段FC上一点，且CM＝，P为线段CD上的一个动点，将线段MP绕着点M逆时针旋转30°得到线段，连接，直接写出的最小值．
【答案】（1）3；（2）见解析；（3）
【分析】设AC与FD交于S，由DE＝2AD，四边形ABCD为平行四边形，可得AD＝OD，由FD平分∠AOB，可得DF⊥AO，且AS＝OS＝ ，可证△AFC∽△ASF， ，解得AC＝6，根据勾股定理得 ；
（2）取DE中点R，连接GR，AR交DF于N，过E作ET∥DF交AD延长线于T，由FD平分∠ADE可得 ，可求EF＝2AF，由三角形中位线可得GR∥AE，DR＝ ＝AD，可证△AFN≌△RNG（AAS），可得EM＝EB，CD＝AB＝AE+EB＝3AG+EM即可．
（3）过M作MF顺时针旋转30°得到MF'，则MF＝MF'，延长PF交AB于v，先证△FMP'≌△F'MP（SAS）可得FP'＝F'P，当F'P⊥CD时，F'P最短， ，可求∠VFF'＝90°﹣75°＝15°，构造直角三角形由 ，可列方程2x+ x＝ ，解得：x＝ ， ．
【详解】解：（1）设AC与FD交于S，
∵DE＝2AD，四边形ABCD为平行四边形，
∴DE＝BD＝2OD，AO＝CO，
∴AD＝OD，
∴FD平分∠ADB，
∴∠ADF＝∠ODF，
∴DF⊥AO，且AS＝OS＝ ，
∴∠ASF＝90°，
∵FC⊥CD，AB∥CD，
∴FC⊥AB，
∴∠AFC＝∠ASF＝90°，∠FAC＝∠SAF，
∴△AFC∽△ASF，
∴ ，即，
解得：AC＝6，
∴，
（2）取DE中点R，连接GR，AR交DF于N，过E作ET∥DF交AD延长线于T，
∵FD平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠EDF，∠T＝∠ADF，∠DET＝∠EDF，
∴∠T＝∠DET，
∴DE＝DT＝2AD，
∴，
∴EF＝2AF，
∵G为FD的中点，R为ED的中点，
∴GR∥AE，DR＝ ＝AD，
∵∠ADF＝∠EDF，
∴DN⊥AR，且AN＝RN，AG＝RG，
∵GR∥AF，
∴∠AFN＝∠RGN，
在△ANF和△RNG中，
，
∴△AFN≌△RNG（AAS），
∴AF＝RG＝AG，
∴AE＝3AG，EF＝2AG，
又∵CE⊥AB，FH⊥BC，
∴∠FEM＝∠CEB＝∠FHB＝90°，
∴∠EFM＝∠ECB，
∵EC＝2AF＝EF，
在△FEM与△CEB中，
，
∴△FEM≌△CEB（ASA），
∴EM＝EB，
∴CD＝AB＝AE+EB＝3AG+EM，
∴CD﹣3AG＝EM，
（3）把MF绕M顺时针旋转30°得到MF'，则MF＝MF'，延长交AB于V，
则∠FMF'+∠FMP'＝∠PMP'+∠FMP'，
∴∠FMP'＝∠F'MP，
在△FMP'和F'MP中，
，
∴△FMP'≌△F'MP，（SAS）
∴FP'＝F'P，
当F'P⊥CD时，F'P最短，
∵CF＝ ，CM＝ ，
∴ ，
∵∠FMF'＝30°，F'M＝FM，
∴，
∴∠VFF'＝90°﹣75°＝15°，
在FV上取点U使FU＝UF'，
∴∠UFF'＝∠FF'U＝15°，
∴∠VUF'＝∠UFF'+FF'U＝30°，
设VF'＝x，
∴ ，
同理：可得：
由
四边形是矩形，
∵ ，
∴2x+x＝，
解得： ，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线性质，等腰三角形的判定与性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，三角形的中位线，三角形全等的判定与性质，图象旋转，构造直角三角形，二次根式化简及加减法，掌握平行四边形的性质，角平分线性质，等腰三角形判定与性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，三角形的中位线，三角形全等的判定与性质，图象旋转，构造直角三角形，二次根式化简及加减法，列出方程是解题的关键．
40．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是直线AB上一动点（点D不与点A，B重合），以CD为边作正方形CDEF，连接AE，AF．
(1)观察猜想
当点D在线段AB上时，线段BD与AF的数量关系是______，∠CAE的度数是______．
(2)探究证明
当点D不在线段AB上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．
(3)解决问题
当BD时，请直接写出线段AE的长．
【答案】(1)BD=AF，90°
(2)当点D不在线段AB上时，（1）中的两个结论仍然成立，证明见解析
(3)线段AE的长为1
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质与正方形的性质，得出，得到；过作，，根据得到，确定四边形是矩形，通过在和中角度关系得出，进而得到，确定四边形是正方形，根据正方形对角线性质得出；
（2）根据等腰直角三角形的性质与正方形的性质，得出，得到；过作，，根据得到，确定四边形是矩形，再根据正方形内角为直角可以得出，进而得到，确定四边形是正方形，根据正方形对角线性质得出；
（3）在等腰直角△ABC中，利用勾股定理得到斜边长为，可知在边上，根据（1）中求解过程即可利用全等性质及勾股定理求出线段长．
【详解】（1）解：四边形CDEF是正方形，
，
在△ABC中，∠ACB＝90°，
，，
，
在和中，
，
，
；
过作，，如图所示：
由得，
在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
，
，
，
四边形是矩形，
令与交于，在和中，，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是正方形，
是正方形的对角线，
，
；
故答案为：；；
（2）解：当点D不在线段AB上时，（1）中的两个结论仍然成立．
证明如下：
四边形CDEF是正方形，
，
在△ABC中，∠ACB＝90°，
，，
，
在和中，
，
，
；
过作，，如图所示：
由得，
在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是正方形，
是正方形的对角线，
，
；
故答案为：；；
（3）解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是直线AB上一动点（点D不与点A，B重合），
，
，
根据可知点D在线段AB上，
由（1）知，，，
过作于，如图所示：
由等面积法可得，
在中，，，
正方形边长，
在中，，设，则，，，根据勾股定理可得，解得或（舍弃），
在正方形中，是其对角线，则．
【点睛】本题考查几何综合，涉及到全等三角形的判定与性质、正方形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理求线段长等知识点，综合性强、难度较大，根据题意构造出恰当的辅助线是解决问题的关键．
41．中，连接BD，，，，点E是平面内一点，连接DE，AE，AE中点为点F，连接DF．
(1)如图1，当点E在AB上时，若，求DF的长；
(2)如图2，当点E在外，在内有另一点G，恰满足及，连接CG．求证：；
(3)如图3，当点E为BD中点时，直接写出DF的长．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用勾股定理求出AE，再利用直角三角形的斜边中线的性质解决问题即可；
（2）如图2中，延长AD到T，使得DT=AD，连接ET．证明△CBG≌△TDE（SAS），推出CG=ET，再利用三角形中位线定理证明即可；
（3）如图3中，过点D作DH⊥AE于点H，过等E作ET⊥AD交AD的延长线于点T．想办法求出DH，FH，再利用勾股定理求解．
【详解】（1）解：如图1中，∵AD⊥DE，
∴∠ADE=90°，
∵∠ADB=120°，AD=DB，
∴∠DAB=∠DBA=30°，
∴AE=2DE，
∴（）2+DE=4DE2，
∴DE=2，
∴AE=4，
∵AF=EF，
∴DF=AE=2；
（2）证明：如图2中，延长AD到T，使得DT=AD，连接ET．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD=BC，
∴∠TDC=∠DAB=30°，
∴∠TDE+∠EDC=30°，
∵∠EDC+∠CBG=30°，
∴∠TDE=∠CBE，
∵AD=DT，AD=BC，
∴BC=DT，
在△CBG和△TDE中，
，
∴△CBG≌△TDE（SAS），
∴CG=ET，
∵AD=DT，AF=FE，
∴ET=2DF，
∴CG=2DF；
（3）如图3中，过点作于点，过点作交的延长线于点．
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
42．如图1，在平行四边形中，对角线交于点O，过点A作交的延长线于点E．
（1）若，求的长；
（2）如图2，过点C作交的延长线于点F，连接．以为直角边作，其中，连接．若，求证：．
（3）在（2）的条件下，作射线，点O点G分别在射线上移动，得到点，且保持，M是线段的中点，连接，若，当最小时，请直接写出的面积．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据，得到∠AEB=90°，则，即可求出，再由四边形ABCD是平行四边形，得到，，则，由此即可得到答案；
（2）先证明△ECF≌△EAB得到CE=AE，推出∠ECA=∠EAC=45°，然后证明△OAH∽△FGH，得到，∠AOH=∠GFH，即可证明△AHG∽△OHF，得到∠GAH=∠FOH=45°，∠OFH=∠AGH，再证明△OAF∽△HAG，得到，即，△OAH∽△FAG，得到，即，可得，由勾股定理可得，则，从而推出，再由，，即可证明；
（3）连接MF，根据，M是线段的中点，得到，再由，，推出，则M在以F为圆心，半径为的圆上运动，如图所示，当M在的位置（即M在线段OF上时），CM有最小值，过点O作OJ∥CE交AE于J，过点作交AE于K，先求出FJ的长，然后求出，
从而得到，再由进行求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴∠AEB=90°，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，∠DCB=∠DAB，AD∥BC，
又∵，
∴AB=CF，
∵DC⊥CF，
∴∠DCF=∠DCE+∠ECF=90°，
∵AE⊥CB，
∴∠AEB=90°，
∴∠DAE=180°-∠AEB=90°，
∴∠DAB+∠EAB=90°，
∴∠ECF=∠EAB，
在△ECF和△EAB中，
，
∴△ECF≌△EAB（AAS），
∴CE=AE，
∴∠ECA=∠EAC=45°，
∵△OGF是等腰直角三角形，∠OFG=90°，
∴∠FOG=∠FGO=45°，
设OG于AF的交点为H，
∴∠OAH=∠FGH=45°，
又∵∠OHA=∠FHG，
∴△OAH∽△FGH，
∴，∠AOH=∠GFH，
又∵∠AHG=∠OHF，
∴△AHG∽△OHF，
∴∠GAH=∠FOH=45°，∠OFH=∠AGH，
∴∠OAF=∠HAG=45°，
∴△OAF∽△HAG，
∴，
∴，
∵∠OAH=∠FAG=45°，∠AOH=∠GFA，
∴△OAH∽△FAG，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵OF=FG，∠OFG=90°，
∴，
∴，
∴，
∵AE=CE，∠AEC=90°，
∴，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（3）如图所示，连接MF，
∵，M是线段的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴M在以F为圆心，半径为的圆上运动，
如图所示，当M在的位置（即M在线段OF上时），CM有最小值，
过点O作OJ∥CE交AE于J，过点作交AE于K，
∴△AOJ∽△ACE，
∴，
∴，
∵，BE=EF（由△CEF≌△AEB得到）
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，解直角三角形，圆与三角形的综合等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
项目
小区
休闲
儿童
娱乐
健身
甲
7
7
9
8
乙
8
8
7
9
七年级
68
88
100
100
79
94
89
85
100
88
100
90
98
97
77
94
96
100
92
67
八年级
69
100
91
69
98
100
99
100
90
100
95
69
97
100
99
94
79
100
98
79
分数段
七年级人数
2
2
a
12
八年级人数
3
2
0
15
年级
平均数
满分率
中位数
七年级
90.1
25%
92
八年级
91.3
30%
b
女1
女2
女3
男1
男2
女1
---
女2女1
女3女1
男1女1
男2女1
女2
女1女2
---
女3女2
男1女2
男2女2
女3
女1女3
女2女3
---
男1女3
男2女3
男1
女1男1
女2男1
女3男1
---
男2男1
男2
女1男2
女2男2
女3男2
男1男2
---
分数段
频数
频率
2
0.05
0.2
12
0.3
14
4
0.1
进价/（元/刀）
售价/（元/刀）
A款宣纸
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