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六年级数学小升初思维拓展高频考点培优卷（通用版）多次相遇问题（提高卷）（附参考答案）
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这是一份六年级数学小升初思维拓展高频考点培优卷（通用版）多次相遇问题（提高卷）（附参考答案），共23页。试卷主要包含了A在B地西边60千米处等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共15小题）
1．甲、乙两人比赛折返跑，同时从A出发，到达B点后，立即返回．先回到A点的人获胜．甲先到达B点，在距离B点24米的地方遇到乙，相遇后，甲的速度减为原来的一半．乙的速度保持不变．在距离终点48米的地方，乙追上甲．那么，当乙到达终点时，甲距离终点（ ）米．
A．6B．8C．12D．16
2．A在B地西边60千米处．甲乙从A地，丙丁从B地同时出发．甲、乙、丁都向东行驶，丙向西行驶．已知甲乙丙丁的速度依次成为一个等差数列，甲的速度最快．出发后经过n小时乙丙相遇，再过n小时甲在C地追上丁．则B、C两地相距（ ）千米．
A．15B．30C．60D．90
3．甲、乙两人从A地出发，前往B地，当甲走了100米时，乙走了50米，当甲到达B地时，乙距离B地还差100米．甲到达B地后立即调头返回，两人在距离B地60米处相遇，那么，A、B两地的距离（ ）米．
A．150B．200C．250D．300
4．甲、乙两船分别在一条河的A、B两地同时同向而行，甲顺流而下，乙逆流而上，相遇时，甲、乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B，乙到达A后，都按照原路返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行了1千米，如果从第一次相遇到第二次相遇时间间隔1小时，则河水的流速是___千米/小时。（ ）
A．0.5B．1C．2D．4
5．A、B两人分别从长200米的直线跑道两端出发来回跑步，A每秒跑2米，B每秒跑3米，匀速跑了20分钟，那么在这段时间内，A、B两人共相遇（ ）次．
A．20B．30C．18D．15
6．甲、乙分别从A、B两点出发，在A、B两点间往返行驶，第一次相遇点距离A点50km；第二次相遇点距离B点20km，那么第三次相遇点距离A点（ ）
A．10kmB．20kmC．40kmD．120km
7．甲、乙两人同时从A、B两地相向出发，甲的速度是乙的速度的1.5倍，到达对方出发点后立即返回，如果第一次相遇点和第二次相遇点相距300米，那么，A、B两地的距离为（ ）米．
A．500B．750C．900D．1200
8．甲、乙两船在静水中的速度相同，它们分别从相距60千米的两港同时出发相向而行，2小时后相遇，如果两船的速度各增加5千米/小时，再次从两港同时出发相向而行，那么它们再次相遇的地点就与前一次的相遇地点相距0.45千米，则，水流的速度是（ ）
A．0.7千米/小时B．1.4千米/小时
C．0.9千米/小时D．1.8千米/小时
9．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若乙的速度是甲的速度的5倍，则它们第2010次相遇在边 （ ）上．
A．ABB．BCC．CDD．DA
10．甲、乙两列车同时从东、西两地相对开出，第一次在东面75千米处相遇，相遇后两列车继续行驶，到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离西面45千米处．东、西两地相距（ ）千米．
A．45B．75C．135D．180
11．甲、乙两个小电动玩具在一圆形轨道上同时出发，反向行驶，已知甲的速度是每秒40cm，乙的速度是每秒60cm，在2分钟内，它们相遇40次，则轨道长为（ ）cm．
A．300B．350C．400D．250
12．甲、乙两人在长40米的游泳池里沿直线来回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.8米/秒，他们从水池的两端同时出发，来回共游了15分钟．如果不计转向的时间，那么在这段时间里，他们共相遇了（ ）次．（追上也算相遇）
A．15B．18C．20D．21
13．快车与慢车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，经过5小时相遇，已知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留1小时后返回，快车到乙地停留1.5小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇共（ ）小时．
A．21.5B．10.3C．20D．11.3
14．有一个圆，两只蚂蚁分别从直径的两端A与C同时出发，绕圆周相向而行，它们第一次相遇在离A点8厘米处的B点，第二次相遇在离C点6厘米处的D点，这个圆的周长是（ ）厘米．
A．14B．36C．28D．20
15．A、B两地相距480千米，甲、乙两车同时从两站相对出发，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去，遇到甲车又返回飞向乙车，这样一直飞下去．燕子飞了（ ）千米两车才能够相遇．
A．240B．300C．400D．480
二．填空题（共25小题）
16．甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在A、B两地间不断地往返行走。已知甲的速度比乙快50%，二人在点P第一次相遇；此后二人继续前进，在点Q第二次相遇；此后乙的速度保持不变，甲把速度提高，并在点R追上了乙。已知点R刚好位于P、Q两点正中间，那么甲的速度提高为原来的 %。
17．甲从A地出发匀速去B地，乙从B地出发匀速去A地。如果甲提前1小时出发，则两人会在途中的C地相遇。如果两人同时出发，各自到达目的地后立刻调头返回，调头后也会在C地相遇。如果两人同时出发，各自到达目的地后停下；那么，当一个人到达目的地时，另一个人还要 分钟到达。
18．甲、乙、丙三人分别从A、B、C三地同时出发，匀速行走：C是AB两地之间的一地，AC两地之间距离为360米；甲向B地行走，乙、丙向A行走，当甲、丙相遇时，乙刚好追上丙：乙到达A地后立即调头，当乙追上甲时，丙刚好到A地．那么AB两地之间的距离是 米．
19．一根棍子的左端有10只间隔相等的蚂蚁，向右爬行；棍子右端有6只间隔相等的蚂蚁向左爬行．如果所有蚂蚁的速度都相同；两只蚂蚁若迎面相遇，则立即同时调头往回爬；爬出棍子两头的蚂蚁会掉下去．当所有的蚂蚁都掉下棍子时，它们一共相遇了 次．
20．一条公路上顺次分布着A、B、C、D、E五个休息区，其中C恰好处于AE中点，而AB段由于道路泥泞，车速在此均只能降低到原来的一半．甲、乙两车分别在A、E两地同时出发相向而行，在C点第一次相遇，之后分别到达对方出发点并调头继续行驶，在B处第二次相遇．若AB段长度为90km，则AE全长为 km．
21．希希和望望两人在圆形跑道上从同一点同时出发，沿相反方向跑步，他们的速度分别是每秒5米和每秒7米，当他们第一次相遇时，他们彼此交换了速度（即希希变为7米/秒，望望变为5米/秒），并继续前进，再次相遇时再次交换速度，他们从出发到第12次相遇时，他们共在 个不同的地点相遇过．
22．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B之间来回往返行驶。甲车每小时行24千米，乙车每小时行56千米。已知两车第一次、第二次相遇地点相距180千米（两车同时在同一地点叫做相遇），那么A、B两地之间的路程是 千米；第二、三两次相遇地点之间的路程是 千米。
23．甲车以速度140km/h从A地向B地行驶，乙车和丙车分别以速度100km/h和60km/h从B地向A地行驶．三车同时出发．已知甲、乙相遇地点距离甲、丙相遇地点70km，则A，B两地相距 km．
24．如图所示，甲车从A，乙车从B同时相向而行．两车第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B，而乙车只行驶了1小时就到达A．甲、乙两车的速度比为 ．
25．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度是乙的速度的2倍．两个相遇后继续往前走，各自到达B、A后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇地点是12千米，那么A、B两地相距 千米．
26．甲、乙两人在长为400米的环形跑道上练习跑步，他们同时从一点出发背向而行。已知甲的速度比乙快，出发后第1次相遇点与第3次相遇点相距50米，且第3次相遇时甲乙均回到过起点1次，那么出发后第1次相遇时甲跑了 米。
27．甲、乙两人分别从相距75千米的A、B两地同时出发，相向而行。跟甲同时出发的还有一只小狗，它会在甲、乙两人之间往返奔跑。已知甲速是每小时7千米，小狗的速度为每小时63千米。当小狗第一次返回遇到甲时，甲、乙相距45千米。那么，甲与小狗第二次相遇时，甲、乙之间的距离为 千米。
28．甲、乙、丙三人同时从A出发匀速向B行走；甲到B后立即调头，与乙相遇在距离B地100米的地方；甲再行120米与丙相遇时，乙恰好到B，那么此时甲共行了 米．
29．甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，那么A、B两地之间的距离是 千米．
30．甲、乙两人在如图的跑道上练习跑步，两人从A点同时出发，甲在A、E之间做折返跑（转身时间不计），乙则沿着正方形跑道ABCD顺时针跑步，已知AB＝BE＝100米，且两人跑步的速度都在每秒3米到每秒8米之间，如果两人出发2分钟后第一次相遇，之后隔了15秒后两人第二次相遇，那么两人第二次相遇处距离A 米。
31．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向匀速行进，在距A地60千米处相遇．相遇后，两车继续行进，分别到达B，A后，立即原路返回，在距B地50千米处再次相遇．则A，B两地的路程是 千米．
32．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间不断地往返行驶，甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米。已知两车第10次与第18次迎面相遇地点相距60千米，问：AB间的路程是 千米。
33．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地之间不断往返行进，当甲第5次到达B地的时候，乙恰好第9次回到了B地，则当甲第2015次到达B的时，两人一个相遇了 次（迎面碰到和追上都算相遇，如果最后同时到达B地，也算一次相遇）
34．甲、乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动．两人在中途的C加油站处第一次迎面相遇，相遇后，两人继续行进并在D加油站处第二次迎面相遇．若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知CD之间距离为60千米，则从A地到B地的全程为 千米．
35．甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒，若他们同时从同一端出发跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇 次（端点除外）．
36．爷爷带着孙子去运动场玩儿，运动场有一个环形大跑道，爷爷准备围绕着大跑道慢走一圈，孙子却要跑圈，他们从跑道上A点同时反向出发，孙子每跑一圈就改变一次方向，如果孙子第4次遇到爷爷后，又跑了三分之一圈回到A点，那么孙子的速度是爷爷的 倍.
37．甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地8千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距A地6千米处第二次相遇，则A、B两地的距离是 千米．
38．甲、乙、丙三人每分钟分别走60米、50米、40米，甲从A地出发，乙和丙从B地出发，三人同时出发，相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟后又与丙相遇，则A、B两地间的距离是 米．
39．如图，AB是一条长28米的小路，M是AB的中点，一条小狗从M左侧一点出发在小路上奔跑．第一次跑10米，第二次跑14米；…；第奇数次跑10米，第偶数次跑14米；出发时或每次跑完后小狗按如下一次的奔跑方向；每次如果M点在它右边，它就向右跑；如果M点在它左边，它就向左跑．如果它跑了20次之后在B点左侧1米处，那么小狗开始时距A点 米．
40．甲、乙两个机器人同时从A、B两地出发，在A、B之间不停地往返行走．A、B两地相距90米，出发时，两人速度相同，乙的速度始终不变．
第一次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的12，
第二次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的13，
第三次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的14，
第四次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的15，
第五次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度，
第六次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的12
第七次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的13，…
按照上述规律变化速度．则第2015次迎面相遇地点距A地 米．
三．解答题（共20小题）
41．甲乙车同时从A、B两地相向而行，第一次相遇距离A地80千米，两车仍以原速行驶，分别到达B、A两地后立即返回，在离B地60千米处第二次相遇，A、B两地相距多少千米？
42．甲乙二人以均匀的速度分别从AB两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地3千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地2千米处第二次相遇，求第2000次相遇地点与第2001次相遇地点之间的距离．
43．甲、乙二人分别从A，B两地出发相向而行，到达目的地后马上掉头回到出发地，他们第一次相遇距A地800米，第二次相遇距B地500米，A，B两地相距多少米？
44．甲、乙、丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走80米，丙每分钟走70米，现甲和乙从学校出发，丙从书城三人同时相向而行，丙遇到乙后又经过2分钟遇到甲，学校距书城多少米？
45．A、B两地相距130千米，已知人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行驶速度是每小时50千米，摩托车后座可带一人．问：有三人并配备一辆摩托车从A地到B地最少需要多少小时？
46．小红和小强同时从家里出发相向而行．小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇．若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇．小红和小强两人的家相距多少米？
47．A、B两地相距200千米。某日，甲、乙两人同时从A、B两地出发，匀速相向而行，在C处相遇。若甲速度提高12千米/时，则两人在距C处25千米的地方相遇。若乙速度提高12千米/时，则两人在距C处15千米的地方相遇。那么甲的速度为多少？
48．艾迪和薇儿从400米环形跑道的同一点出发，背向而行．当他们第一次碰面时，艾迪转身往回跑；当他们第二次碰面时，薇儿转身往回跑；以后每次碰面分别是艾迪和薇儿两人交替调转方向．两人的速度在运动过程中始终保持不变，艾迪每秒钟跑5米，薇儿每秒钟跑3米．（注：碰面包括迎面相遇和追及相遇．）
（1）当两人第二次碰面时，碰面地点距离出发点的最短距离为多少米？
（2）当两人第三次碰面时，碰面地点距离出发点的最短距离为多少米？
（3）当两人第四次碰面时，碰面地点距离出发点的最短距离为多少米？
49．甲、乙两人分别从A、B两地同时以30千米/时、20千米/时速度相向而行，相遇后继续前行各自到达B、A两地后立即返回，到第二次相遇时相遇点，该点离第一次相遇点40千米，求A、B两地相距多少千米？
50．王师傅早晨骑车从A地出发去B地．中午12时，李师傅也从A地出发开车前往B地，经过1小时30分钟，两人之间正好相距18千米．下午2时30分，两人之间恰好又相距18千米．经过连续不断地行驶，16时李师傅到达了B地，王师傅在18时也到达了B地．试求王师傅的出发时刻．
51．两名运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度每秒0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了10分，如果不计转身时间，那么这段时间内共相遇多少次？
52．甲、乙两车同时从A地开往B地，甲比乙每小时多行12千米，甲行了4.5小时到达B地后，立即原路返回，在距离B地30千米的地方又与乙车相遇，求A、B两地的距离．
53．某轮船公司较长时间以来，每天中午有一只轮船从哈佛开往纽约，并且在每天的同一时间也有一只轮船从纽约开往哈佛，轮船在途中所花的时间，来去都是七昼夜，问今天中午从哈佛开出的轮船，在整个航运途中，将会遇到几只同一公司的轮船从对面开来？
54．甲乙二人分别从A、B两地同时相向出发，往返于A、B之间，第一次相遇在距A地30千米处，第二次相遇在距A地60千米处，求A、B两地的距离．
55．甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，两人的速度保持不变．第一次两人相遇时距A地800米，相遇后他们继续向两地目的地进发，到达目的地后立即返回，第二次两人相遇时距A地1200米，求A、B之间距离．
56．如图，△ABC是边长为108cm的等边三角形，虫子甲和乙分别从A点和C点同时出发，沿△ABC的边爬行，乙逆时针爬行，速度比是4：5．相遇后，甲在相遇点休息10秒钟，然后继续以原来的速度沿原方向爬行；乙不休息，速度提高20%，仍沿原方向爬行，第二次恰好在BC的中点相遇．求开始时，虫子甲和乙的爬行速度．
57．甲、乙、丙三人同时、同向、从同一地点出发，沿周长是360米的环形路行走，甲每分钟走30米，乙每分钟走50米，丙每分钟走90米．
（1）出发几分钟后，甲、丙第一次同时回到出发点？
（2）出发几分钟后，三人第一次同时回到出发点？
（3）出发几分钟后，三人第一次同时到达同一地点？
58．龟、兔在甲、乙两地之间做往返跑，兔的速度是龟的3倍，它们分别在甲、乙两地同时相对起跑，当他们在途中相遇（处于同一地点即为相遇）了12次，龟跑了多少个单程？
59．如图，从A到C为上坡，从C到B为下坡．汽车上坡速度每小时30千米，下坡速度每小时40千米，甲、乙两辆相同型号汽车同时分别从A，B出发，甲车从A开往B，乙车从B开往A，它们到达后立即返回，来回行驶．两车第一次相遇于D点，第二次相遇于E点，若DE＝20千米，求AC的长与BC的长之差是多少？
60．如图，在等边三角形ABC上有两个动点D、E，动点D从A出发到B，每秒移动1厘米，动点E以每秒4厘米的速度在AC间往返运动．D、E两点同时从A点出发，随时连接DE两点，在D由A到B的这段时间内，线段DE与三角形的一部分构成的最小梯形面积是18平方厘米（图中阴影部分）．三角形ABC的面积是多少平方厘米？
多次相遇问题（提高卷）小学数学思维拓展高频考点培优卷（通用版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．甲、乙两人比赛折返跑，同时从A出发，到达B点后，立即返回．先回到A点的人获胜．甲先到达B点，在距离B点24米的地方遇到乙，相遇后，甲的速度减为原来的一半．乙的速度保持不变．在距离终点48米的地方，乙追上甲．那么，当乙到达终点时，甲距离终点（ ）米．
A．6B．8C．12D．16
【分析】根据速度×时间＝路程，可得时间一定时，甲乙的速度之比等于他们跑的路程的比；设A、B之间的距离是x米，则第一次相遇时，甲跑的路程是x+24米，乙跑的路程是x﹣24米，所以第一次相遇时甲乙的速度之比是：（x+24）：（x﹣24），第二次相遇时甲乙的速度之比是：（x﹣24﹣48）：（x+24﹣48）＝（x﹣72）：（x﹣24）；然后根据相遇后，甲的速度减为原来的一半．乙的速度保持不变，可得第一次相遇时甲乙的速度之比是第二次相遇时甲乙的速度之比的2倍，所以（x+24）：（x﹣24）＝2（x﹣72）：（x﹣24），据此求出两地之间的距离是多少；最后求出第二次相遇甲乙速度比是多少，再求出从第一次相遇到乙到终点时，甲跑的路程是多少，进而求出甲距终点还有多少米即可．
【解答】解：设A、B之间的距离是x米，则第一次相遇时，甲跑的路程是x+24米，乙跑的路程是x﹣24米，
所以第一次相遇时甲乙的速度之比是：（x+24）：（x﹣24），
第二次相遇时甲乙的速度之比是：（x﹣24﹣48）：（x+24﹣48）＝（x﹣72）：（x﹣24）；
所以（x+24）：（x﹣24）＝2（x﹣72）：（x﹣24），
因此x+24＝2（x﹣72），
解得x＝168，
即两地之间的距离是168米，
所以第二次相遇时甲乙的速度之比是：
（168﹣72）：（168﹣24）
＝96：144
＝2：3
所以乙到终点时，甲跑的路程是：
（168+24）×23
＝192×23
＝128（米），
因此当乙到达终点时，甲距离终点：
168﹣24﹣128＝16（米）
答：当乙到达终点时，甲距离终点16米．
故选：D。
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握；解答此题的关键是求出两地之间的距离是多少．
2．A在B地西边60千米处．甲乙从A地，丙丁从B地同时出发．甲、乙、丁都向东行驶，丙向西行驶．已知甲乙丙丁的速度依次成为一个等差数列，甲的速度最快．出发后经过n小时乙丙相遇，再过n小时甲在C地追上丁．则B、C两地相距（ ）千米．
A．15B．30C．60D．90
【分析】由n小时乙丙相遇，知n小时内S乙+S丙＝60千米，因此2n小时内S乙+S丙＝120千米．2n小时甲追上丁，2n小时S甲﹣S丁＝60千米．由于甲乙丙丁的速度成等差数列，因此甲乙丙丁2n小时内的路程也成等差数列，于是S甲﹣S丁＝60千米，结合S乙+S丙＝120千米可得．
【解答】解：n小时内S乙+S丙＝60千米
2n小时S乙+S丙＝120千米
设甲乙丙丁2n小时内的路程差为S0，
则S乙＝S甲﹣S0，S丙＝S丁+S0，
则S甲+S丁＝120 ①
2n小时甲追上丁：S甲﹣S丁＝60千米 ②
将①式+②式得S甲＝90千米，S丁＝30千米
BC的距离正好是S丁，
答：BC两地距离30千米．
故选：B．
【点评】重点分析等差数列中甲和乙、丙和丁都是1个公差．
3．甲、乙两人从A地出发，前往B地，当甲走了100米时，乙走了50米，当甲到达B地时，乙距离B地还差100米．甲到达B地后立即调头返回，两人在距离B地60米处相遇，那么，A、B两地的距离（ ）米．
A．150B．200C．250D．300
【分析】在最后100米处，甲走60米，乙走40米，时间相同得出甲乙的速度比是3：2．当甲走了100米，乙走50米时，距离差是50米，此时甲在D点，乙在C点．当甲到达B地时距离差是100米，此时甲在B点，乙在E点，根据题意可知，甲从D到B和乙从C到E的时间相同，且CE和DB的路程差为50，结合甲乙的速度比可解．
【解答】解：
在最后100时甲走60米，乙走40米，两人的速度比是3：2
CE段和DB段的路程差为50米，且路程比为3：2，
设甲行走的DB段为3份路程，乙行走的CE段为2份路程，则50÷（3﹣2）＝50米．
甲3份路程是50×3＝150米，
A、B两地的距离＝AD+DB＝150+100＝250米
故选：C。
【点评】正反比是解行程问题的重要方法．此题特别注意题中没有说同时出发．所以两人的速度比不是2：1．
4．甲、乙两船分别在一条河的A、B两地同时同向而行，甲顺流而下，乙逆流而上，相遇时，甲、乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B，乙到达A后，都按照原路返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行了1千米，如果从第一次相遇到第二次相遇时间间隔1小时，则河水的流速是___千米/小时。（ ）
A．0.5B．1C．2D．4
【分析】根据题意得知：静水中甲船速度比乙船速度慢两倍的水速，那么，乙船顺水速度比甲船的逆水速度就快四倍的水速；又因第二次两船相遇时，他们共行了两个全程，进而得知它们共行一个全程的时间为1÷2＝0.5小时。至此，我们可以得到“四倍水速在0.5小时流行1千米，这样便可求得水速。
【解答】解：1÷2＝0.5（小时）
1÷4÷0.5＝0.5（千米/小时）
答：河水的流速是0.5千米/小时。
故选：A。
【点评】解此题的关键是明白：①两只船无论谁逆谁顺，只要共行一个全程则时间相等；②弄清两船速度之间的关系。
5．A、B两人分别从长200米的直线跑道两端出发来回跑步，A每秒跑2米，B每秒跑3米，匀速跑了20分钟，那么在这段时间内，A、B两人共相遇（ ）次．
A．20B．30C．18D．15
【分析】我们知道：“在第一次相遇时两人只跑了一个全程；而在第一次以后的相遇过程中，每次都跑两个全程“．然后我们求出在20分钟他们共跑了6000米，看这6000米中出来第一次相遇的200米后，还有多少个400米（即相遇几次），之后即可轻松求得答案了．
【解答】解：20分钟＝1200秒
1200×（2+3）＝6000（米）
（6000﹣200）÷（200×2）＝14…200
14+1＝15（次）
故选：D。
【点评】此题关键是明白：在第一次相遇时两人只跑了一个全程；而在第一次以后的相遇过程中，每次都跑两个全程．
6．甲、乙分别从A、B两点出发，在A、B两点间往返行驶，第一次相遇点距离A点50km；第二次相遇点距离B点20km，那么第三次相遇点距离A点（ ）
A．10kmB．20kmC．40kmD．120km
【分析】根据“甲、乙分别从A、B两点出发，在A、B两点间往返行驶，第一次相遇点距离A点50km”得出“第一次相遇时甲走了50km”，他们共走了一个从A至B的全程；以后的每一次相遇他们需要走2个全程，甲要走50×2＝100km；当他们第二次相遇时，甲走了两个相遇点之间的距离和2个20km，这样便可求出第一次相遇点到B的距离为100﹣20＝80km，A、B之间的距离为80+50＝130km；第三次他们相遇时甲共走了50×（1+2+2）＝250km，即甲还差130×2﹣250＝10km到达A点，这便得到了答案。
【解答】解：50×2＝100（km）
100﹣20＝80（km）
（80+50）×2＝260（km）
260﹣50×（1+2+2）＝10（km）
答：第三次相遇点距离A点10km。
故选：A。
【点评】解此题的关键是明白他们每次相遇时所走路程之间情况，例如：“第一次相遇时甲走了50km，他们共走了一个从A至B的全程；以后的每一次相遇他们需要走2个全程，甲要走50×2＝100km”，这样便可轻松作答。
7．甲、乙两人同时从A、B两地相向出发，甲的速度是乙的速度的1.5倍，到达对方出发点后立即返回，如果第一次相遇点和第二次相遇点相距300米，那么，A、B两地的距离为（ ）米．
A．500B．750C．900D．1200
【分析】由“甲的速度是乙的速度的1.5倍”，速度比为甲：乙＝1.5：1＝3：2．第一次相遇甲走了35，乙走25，此时甲距B地25．第二次相遇共走了3个路程，其中甲走35×3=95，此时甲距B地95−1=45，3﹣1＝2，
故300米占总路程的(45−25)．
【解答】解：300÷[（35×3−1）−25]，
＝300÷25，
＝750（米）．
故选：B。
【点评】此题考查了多次相遇的问题，关键要找出“300米”所占的分率．
8．甲、乙两船在静水中的速度相同，它们分别从相距60千米的两港同时出发相向而行，2小时后相遇，如果两船的速度各增加5千米/小时，再次从两港同时出发相向而行，那么它们再次相遇的地点就与前一次的相遇地点相距0.45千米，则，水流的速度是（ ）
A．0.7千米/小时B．1.4千米/小时
C．0.9千米/小时D．1.8千米/小时
【分析】甲、乙二船从相距 60千米的两地同时相向而行，2小时后相遇，那么两船的速度和为：60÷2＝30（千米/小时），速度各增加5千米/小时后的速度和为40千米/小时．则增速后相遇的时间为：60÷40＝1.5（小时）．由此可设甲速度为每小时x千米，那么增速前相遇地距甲为2x千米，增速后相遇地距甲是1.5（x+5）千米，据题可得方程2x﹣1.5（x+5）＝0.45，求出x，即可求出水流的速度．
【解答】解：甲、乙增速后相遇时间为：
60÷（60÷2+2×5）
＝60÷40
＝1.5（小时）；
设甲速度为每小时x千米，据题得：
2x﹣1.5（x+5）＝0.45
0.5x﹣7.5＝0.45
x＝15.9；
则乙的速度为：60÷2﹣15.9＝14.1（千米/小时）；
所以水流的速度是（15.9﹣14.1）÷2＝0.9千米/小时，
故选：C。
【点评】本题关键是通过所给条件找出等量关系列方程解决比较简单．
9．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若乙的速度是甲的速度的5倍，则它们第2010次相遇在边 （ ）上．
A．ABB．BCC．CDD．DA
【分析】因为乙的速度是甲的速度的5倍，所以第1次相遇，甲乙共走了半个周长，甲走了正方形周长的12×16=112，即AD长度的13，第一次相遇在AD边上；第二次相遇时，甲和乙共走了一个周长，甲又走了AD长度的23，故甲乙第二次相遇于D点，从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的16，且从第2次相遇起，6次一个循环，从而不难求得它们第2010次相遇位置．
【解答】解：由题意可得，第1次相遇，甲走了正方形周长的12×16=112；
从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的16，从第2次相遇起，6次一个循环，
从第二次相遇起，每次相遇的位置依次是点D，DC，点C，BC，点B，AB．
2010÷6＝335．
即此时正好在AB边上．
故选：A。
【点评】本题是一道找规律的题目，根据已知条件分析找出规律然后解答是完成此类题目的关键．
10．甲、乙两列车同时从东、西两地相对开出，第一次在东面75千米处相遇，相遇后两列车继续行驶，到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离西面45千米处．东、西两地相距（ ）千米．
A．45B．75C．135D．180
【分析】第一次相遇时，两车共行了东、西两地之间的距离，其中从东边出发的甲行了75千米；即每行一个两地之间的距离，东边出发的甲车就行75千米，第二次相遇时，两车共行了两地距离的3倍，则从东边出发的甲车行了75×3＝225千米；所以，东、西两地相距225﹣45＝180千米．
【解答】解：75×3﹣45＝180（千米）
故选：D。
【点评】在此类相遇问题中，第一次相遇两车共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程．
11．甲、乙两个小电动玩具在一圆形轨道上同时出发，反向行驶，已知甲的速度是每秒40cm，乙的速度是每秒60cm，在2分钟内，它们相遇40次，则轨道长为（ ）cm．
A．300B．350C．400D．250
【分析】根据相遇问题的解决方法：路程＝速度和×时间，先求出2分钟两个小电动玩具所行的总路程．因为在2分钟内，它们相遇40次，也就是行了40圈，因此用2分钟两个小电动玩具所行的总路程除以40就是圆形轨道的长度．
【解答】解：（40+60）×60×2÷40
＝100×60×2÷40
＝12000÷40
＝300（米）
答：轨道长为300米．
故选：A。
【点评】本题主要考查了学生对相遇问题解答方法的掌握情况，关键在于明白：在2分钟内，它们相遇40次，也就是行了40圈．
12．甲、乙两人在长40米的游泳池里沿直线来回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.8米/秒，他们从水池的两端同时出发，来回共游了15分钟．如果不计转向的时间，那么在这段时间里，他们共相遇了（ ）次．（追上也算相遇）
A．15B．18C．20D．21
【分析】确定400秒为一周期，共相遇了9次，可以画出柳卡图，利用周期进行求解即可．
【解答】解：40÷1＝40秒，40÷0.8＝50秒，
经过200秒，甲、乙两人同时游到两端．经过400秒，甲、乙两人同时游到起点．
400秒为一周期，共相遇了9次．
15分钟＝900秒＝2×400+100，
所以在15分钟内相遇的次数是：9×2+2＝20（次）．
故选：C。
【点评】本题考查多次相遇问题，考查周期性的运用，确定周期循环，每一个周期2人相遇9次是关键．
13．快车与慢车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，经过5小时相遇，已知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留1小时后返回，快车到乙地停留1.5小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇共（ ）小时．
A．21.5B．10.3C．20D．11.3
【分析】把甲、乙两地之间的路程看作单位“1”，快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇．由此可知：快车和慢车平均每小时的速度和是15，又知慢车从乙地到甲地用12.5小时，则慢车平均每小时的速度为112.5=225，慢车到甲地停留1小时后返回，快车到乙地停留1.5小时后返回，所以，慢车比快车多行1.5﹣1＝0.5小时，多行了225×0.5=125；到第二次相遇两车一共行驶了甲、乙之间的两个全程，即共行的时间是（2−125）÷15=9.8小时，然后再加上1.5小时即可．
【解答】解：快车每小时行驶的速度为：112.5=225
225×（1.5﹣1）=125
（2−125）÷15=9.8（小时）
9.8+1.5＝11.3（小时）
故选：D。
【点评】此题考查的目的是理解掌握多次相遇问题的基本数量关系：关键是把路程看作单位“1”，求出共同行驶甲、乙之间的两个全程需要的时间．
14．有一个圆，两只蚂蚁分别从直径的两端A与C同时出发，绕圆周相向而行，它们第一次相遇在离A点8厘米处的B点，第二次相遇在离C点6厘米处的D点，这个圆的周长是（ ）厘米．
A．14B．36C．28D．20
【分析】两只蚂蚁第一次相遇时，共行了半个周长，此时甲行了8厘米，即每共行半个圆，甲就走8厘米；离开C点，第二次相遇时，两只蚂蚁共行了3个半圆，则此时甲A从C点到D点行了8×3＝24厘米，又B点距D点为6厘米，则A到B点长24﹣6＝18厘米，所以周长是18×2＝36厘米．
【解答】解：（8×3﹣6）×2
＝（24﹣6）×2
＝18×
＝36（厘米）．
答：个圆的周长是36厘米．
故选：B。
【点评】根据题意得出每共行半个圆，甲蚂蚁就走8厘米，是完成本题的关键．
15．A、B两地相距480千米，甲、乙两车同时从两站相对出发，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去，遇到甲车又返回飞向乙车，这样一直飞下去．燕子飞了（ ）千米两车才能够相遇．
A．240B．300C．400D．480
【分析】要求燕子飞了多少千米，就要知道燕子飞行所用的时间和燕子的速度，燕子的速度是每小时50千米，关键的问题是求出燕子飞行所用的时间，燕子飞行的时间就是甲乙两车的相遇时间，甲乙两车的相遇时间是480÷（35+45）＝6（小时），求燕子飞了距离为50×6千米，计算即可．
【解答】解：480÷（35+45）＝6（小时）
50×6＝300（千米）
故选：B。
【点评】本题解题的关键是要知道燕子飞行的时间就是甲乙两车的相遇时间，注意燕子飞行的路程和飞行方向和路线无关．
二．填空题（共25小题）
16．甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在A、B两地间不断地往返行走。已知甲的速度比乙快50%，二人在点P第一次相遇；此后二人继续前进，在点Q第二次相遇；此后乙的速度保持不变，甲把速度提高，并在点R追上了乙。已知点R刚好位于P、Q两点正中间，那么甲的速度提高为原来的 200 %。
【分析】据“甲的速度比乙的速度快50%”，可推知“甲、乙两人的速度比为3：2”，故第一次相遇时甲、乙路程之比为3：2。设甲所行的路程为3份，乙所行的路程为2份，则 AB全程为5份。那么，第二次相遇地点距A地1份，此后甲提速并在位于PQ这段路的中点R追上乙，则在这个追及过程中甲行了3份路程，乙行了1份路程，所以此时速度比为3：1＝6：2，甲速度刚好是原来的2倍，即提速为原来速度的200%。
【解答】解：（1+50%）：1＝3：2，则：
①第一次相遇时，甲行了3份路程，即P距A有3份的路程，乙行了2份路程，全程为2+3＝5份；
②第二次相遇时，乙行了2×（1+2）＝6份路程，此时Q距A有6﹣5＝1份路程；
③R是P、Q的中点，R距A的距离为（3﹣1）÷2＝1份路程，即在追究过程中乙走了1份路程，甲走了1×2+1＝3份路程，此时甲、乙的速度比为3：1＝6：2；
6÷3＝2＝200%
答：甲的速度提高为原来的200%。
故答案为：200.
【点评】此题只有能灵活运用多次相遇时，他们的行程情况，即可轻松作答。
17．甲从A地出发匀速去B地，乙从B地出发匀速去A地。如果甲提前1小时出发，则两人会在途中的C地相遇。如果两人同时出发，各自到达目的地后立刻调头返回，调头后也会在C地相遇。如果两人同时出发，各自到达目的地后停下；那么，当一个人到达目的地时，另一个人还要 30 分钟到达。
【分析】利用假设法进行解答即可。
【解答】解：假设甲、乙第一次相遇的位置距离中点的长度为一份，那么甲、乙第二次相遇的位置距离中点的长度应该为三份。
注意到甲提前出发的时间长短和相遇点的位移成正比，所以为了让甲.乙相遇的位置偏移到中点处。也就是偏移一份长度，应该让甲提前15分钟出发，也就是说乙走完
全程时甲还差30分钟走完全程。
答：另一个人还要30分钟到达。
故答案为：30。
【点评】本题考查相遇问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题。
18．甲、乙、丙三人分别从A、B、C三地同时出发，匀速行走：C是AB两地之间的一地，AC两地之间距离为360米；甲向B地行走，乙、丙向A行走，当甲、丙相遇时，乙刚好追上丙：乙到达A地后立即调头，当乙追上甲时，丙刚好到A地．那么AB两地之间的距离是 720 米．
【分析】根据题意画出行程图，根据相遇与追及问题以及相同时间内，速度比等于路程比，列出方程求解即可。
【解答】解：设甲、乙、丙的速度分别为x，y，z，BC之间的距离为a千米，
甲丙相遇时可得：
360÷（x+z）＝a÷（y﹣z）
乙追上甲时：
（y﹣x）×360÷z＝a+360
由第一个式子可得：ax﹣360y+（a+360）z＝0
由第二个式子可得：360x﹣360y+（a+360）z＝0
所以a＝360
360+360＝720（米）
答：AB两地之间的距离是720米。
故答案为：720。
【点评】本题主要考查了多次相遇问题，根据相遇和追及时时间相等列出算式是本题解题的关键。
19．一根棍子的左端有10只间隔相等的蚂蚁，向右爬行；棍子右端有6只间隔相等的蚂蚁向左爬行．如果所有蚂蚁的速度都相同；两只蚂蚁若迎面相遇，则立即同时调头往回爬；爬出棍子两头的蚂蚁会掉下去．当所有的蚂蚁都掉下棍子时，它们一共相遇了 60 次．
【分析】结合题意，我们考虑到所有蚂蚁的速度均相同，因此可把题中“两只蚂蚁若迎面相遇，则立即同时调头往回爬”这个条件视为“两只蚂蚁迎面相遇后，各自按照原方向继续爬行”．这样，棍子左端的10只蚂蚁都会与右端的6只蚂蚁相遇，但是左端蚂蚁互相之间、右端蚂蚁互相之间不会相遇，从而一共相遇10×6＝60次．
【解答】解：6×10＝60（次）
故答案为：60．
【点评】解此题的关键是能把题中“两只蚂蚁若迎面相遇，则立即同时调头往回爬”这个条件理解为“两只蚂蚁迎面相遇后，各自按照原方向继续爬行”．
20．一条公路上顺次分布着A、B、C、D、E五个休息区，其中C恰好处于AE中点，而AB段由于道路泥泞，车速在此均只能降低到原来的一半．甲、乙两车分别在A、E两地同时出发相向而行，在C点第一次相遇，之后分别到达对方出发点并调头继续行驶，在B处第二次相遇．若AB段长度为90km，则AE全长为 540 km．
【分析】为了表达，我们先据题意画图，如下
再设AC之间的距离为x千米，由于甲、乙两车在C点第一次相遇，而AB之间车速在此段均降低到原来的一半．据此可知从出发到两车第一次相遇时，甲车若按正常速度应行驶（x+90）千米时，乙车应行驶了x千米．那么从第一次相遇到第二次相遇时，甲、乙所走的路程和恰好是之前的2倍，因此甲、乙两车分别所走的路程也应是之前的2倍，也就是甲应走2（x+90）千米，故从上图可看出CB的距离为：2（x+90）﹣2x＝180千米．这样x＝90+180＝270，则全程为270×2＝540千米．
【解答】解：设AC之间的距离为x千米，得
2（x+90）＝2CE+BC
2x+180＝2x+BC
BC＝180
x＝AB＝90+180＝270（千米）
270×2＝540（千米）
故答案为：540．
【点评】解答此题的关键是画好图，通过图来帮助自己找出解题思路．
21．希希和望望两人在圆形跑道上从同一点同时出发，沿相反方向跑步，他们的速度分别是每秒5米和每秒7米，当他们第一次相遇时，他们彼此交换了速度（即希希变为7米/秒，望望变为5米/秒），并继续前进，再次相遇时再次交换速度，他们从出发到第12次相遇时，他们共在 2 个不同的地点相遇过．
【分析】我们知道类似题目中的相遇问题，只要两人共跑完圆形跑道的一周，便相遇一次；结合题意知，假设他们的出发点为A，第一次相遇时的相遇点为B；因相遇后彼此交换了速度再跑，这说明了这次相遇前希希以5米/秒的速度所跑的路程现在由望望以5米/秒的速度再跑，同样这次相遇前望望以7米/秒的速度所跑的路程现在由希希以7米/秒的速度再跑；可见，跑道被A、B分成的两部分路程，只是所跑的人不同，但路程、速度、时间都是相同的，故得出结论为：只有他们相遇超过2次，他们相遇的不同地点就只有2个﹣﹣出发点和第一次的相遇点．
【解答】解：只有他们相遇超过2次，则相遇的不同地点就只有2个﹣﹣出发点和第一次的相遇点．
故答案为：2．
【点评】此题只要明白：跑道被A、B分成的两部分路程，只是所跑的人不同，但路程、速度、时间都是相同的．
22．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B之间来回往返行驶。甲车每小时行24千米，乙车每小时行56千米。已知两车第一次、第二次相遇地点相距180千米（两车同时在同一地点叫做相遇），那么A、B两地之间的路程是 300 千米；第二、三两次相遇地点之间的路程是 120 千米。
【分析】根据两车速度求出两车走一个全程所需要的的时间比，画出柳卡图，根据每次相遇时走过的路程和之间的关系，从而得出AB两地的距离，及第二三次相遇地点之间的距离即可。
【解答】解：甲乙两车走过全程所需要的时间比为：
124：156=7：3
可得柳卡图：
第一次相遇，两车一共走了一个全程，第二次相遇两车路程差为一个全程，
设A，B之间的距离为x千米，
第一次相遇用时：x÷（24+56）=x80（小时）
第二次相遇用时：x÷（56﹣24）=x32（小时）
两次相遇点之间的距离也就是两次相遇期间甲走的路程：
180＝24（x32−x80）
解得：x＝400
第三次相遇两车总走了三个全程，用时：
400×3÷（24+56）＝15（小时）
第二个相遇点到第三个相遇点的距离为：
24×（15﹣400÷32）＝60（千米）
答：A、B两地之间的距离是400千米，第二、三相遇点之间的距离为60千米。
故答案为：400，60.
【点评】解此题的关键是明白：一个人每次相遇时行程的变化情况，就是每次相遇点的变化情况；利用其变化的行程可列式进行解答。
23．甲车以速度140km/h从A地向B地行驶，乙车和丙车分别以速度100km/h和60km/h从B地向A地行驶．三车同时出发．已知甲、乙相遇地点距离甲、丙相遇地点70km，则A，B两地相距 600 km．
【分析】甲、乙的速度比是140：100＝7：5，相遇时甲行了A、B两地距离的77+5；同理，甲、丙的速度比是140：60＝7：3，相遇时甲行了A、B两地距离的77+3；则70千米相当于A、B两地距离的77+3−77+5，然后根据分数除法的意义解答即可．
【解答】解：140：100＝7：5
140：60＝7：3
70÷（77+3−77+5）＝600（千米）
故答案为：600．
【点评】本题考查了多次相遇问题，关键是根据速度比求出路程比，进而求出具体数量相当于A、B两地距离的几分之几．
24．如图所示，甲车从A，乙车从B同时相向而行．两车第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B，而乙车只行驶了1小时就到达A．甲、乙两车的速度比为 1：2 ．
【分析】先假设第一次相遇时，甲车走过的路程是1，乙车走过的路程是a，则甲、乙的速度比为1：a；由此速度比可知：第一次相遇后，甲、乙两车分别到达B、A两地的时间比为a1：1a=a2：1＝4：1，得到a＝2，至此便可得到甲、乙的速度比了．
【解答】解：设第一次相遇时，甲走的路程为1，乙走的路程为a，由题意得
a1：1a=4：1
a2＝4
a＝2
1：a＝1：2
故：此空为1：2．
【点评】解此题的关键是要“恰当的设出第一次相遇时甲、乙两车各走的路程”，之后的列式求解解简单了．
25．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度是乙的速度的2倍．两个相遇后继续往前走，各自到达B、A后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇地点是12千米，那么A、B两地相距 18 千米．
【分析】首先设V甲（甲的速度），2V乙＝V甲，甲的速度是乙的2倍，那么在相同时间内走的路程也是乙的二倍，所以第一次相遇是在距B点“三分之一的总路程”的地方，第二次相遇则甲乙两个人的路程和是“三倍的总路程”，同上，时间一定，路程与速度成正比，所以甲走了两个总路程，乙走了一个总路程，所以第二次相遇时乙正好在A地，所以离第一次相遇就是“三分之二的总路程”，也就是题中给的12千米，所以总路程为12÷23=18千米．
【解答】解：因为2V乙＝V甲，所以在相同时间内走的路程也是乙的二倍，
则以第一次相遇是在距B点“三分之一的总路程”的地方；
第二次相遇两人共行“三倍的总路程”，则乙行了一个总路程，甲行了两个总路程，
即第二次相遇时乙正好在A地．又第二次相遇的地点距第一次相遇地点是12千米，
而第一次相遇地点据A地为1−13=23的总路程，
所以总路程为：12÷23=18（千米）；
答：A、B两地相距18千米．
故答案为：18．
【点评】本题主要是依据“时间一定，路程与速度成正比”来进行分析解答的．
26．甲、乙两人在长为400米的环形跑道上练习跑步，他们同时从一点出发背向而行。已知甲的速度比乙快，出发后第1次相遇点与第3次相遇点相距50米，且第3次相遇时甲乙均回到过起点1次，那么出发后第1次相遇时甲跑了 225 米。
【分析】第1次相遇到第3次相遇甲乙合跑2个全程，甲比乙多跑50×1＝100米，所以第1次相遇时，甲比乙多跑了100÷2＝50（米），那么甲此时跑了（400+50）÷2＝225（米）。
【解答】解：50×1＝100（米）
100÷2＝50（米）
（400+50）÷2
＝450÷2
＝225（米）
答：出发后第1次相遇时甲跑了225米。
故答案为：225。
【点评】本题考查的关键是看清是相遇问题以及找到第10次相遇时用的时间为多少，有一定难度。
27．甲、乙两人分别从相距75千米的A、B两地同时出发，相向而行。跟甲同时出发的还有一只小狗，它会在甲、乙两人之间往返奔跑。已知甲速是每小时7千米，小狗的速度为每小时63千米。当小狗第一次返回遇到甲时，甲、乙相距45千米。那么，甲与小狗第二次相遇时，甲、乙之间的距离为 27 千米。
【分析】根据题意知：甲与小狗的第一、二次相遇，他们两人以及狗之间的行程比是一样的（因为他们及狗的速度没变），据此即可求得答案。
【解答】解：①甲与小狗的第一次相遇，甲、乙两人距离与原始行程比
75：45＝5：3
②根据他们每次相遇时，这个比值不变得
45÷5×3＝27（千米）
答：甲、乙之间的距离为27千米。
故答案为：27.
【点评】此题的关键是不要被题目中的干扰数据所迷惑，只要明白“只要他们的速度不变，则行程之间的关系就不变”。
28．甲、乙、丙三人同时从A出发匀速向B行走；甲到B后立即调头，与乙相遇在距离B地100米的地方；甲再行120米与丙相遇时，乙恰好到B，那么此时甲共行了 1320 米．
【分析】甲到B后立即调头，与乙相遇在距离B地100米的地方，即甲、乙共行了2个A、B间的总路程；甲再行120米与丙相遇时，乙恰好到B，那么在相同的时间内，甲行120米，乙就行100米，所以速度比和路程比都是120：100＝6：5，那么甲、乙相遇时，100就相当于总路程的6−56+5，那么A、B之间的距离是100÷6−56+5=1100米，然后再加上1100+100+120＝1320（米）即可求出甲总共走的路程．
【解答】解：120：100＝6：5
100÷6−56+5=1100（米）
1100+100+120＝1320（米）
故答案为：1320．
【点评】解答本题关键是明确在相同的时间内，速度比就等于路程比．
29．甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，那么A、B两地之间的距离是 18 千米．
【分析】根据题意知：甲、乙两人从出发到第一次迎面相遇共走了1个AB全程；甲、乙两人从出发到第二次迎面相遇共走了3个AB全程；故甲、乙两人从出发到第二次相遇的用时是从出发到第一次相遇用时的3÷1＝3倍．甲在第一次相遇时走了7千米，则在第二次相遇时走了7×3＝21千米，这21千米相当于1个AB全程再加3千米，那么A、B两地之间的距离为21﹣3＝18千米．
【解答】解：7×3＝21（千米）
21﹣3＝18（千米）
故答案为：18．
【点评】解此类问题的关键就是结合画图，理清他们两次相遇情况之间的关系．
30．甲、乙两人在如图的跑道上练习跑步，两人从A点同时出发，甲在A、E之间做折返跑（转身时间不计），乙则沿着正方形跑道ABCD顺时针跑步，已知AB＝BE＝100米，且两人跑步的速度都在每秒3米到每秒8米之间，如果两人出发2分钟后第一次相遇，之后隔了15秒后两人第二次相遇，那么两人第二次相遇处距离A 75 米。
【分析】根据题意可得甲乙的两次相遇都在AB上，且甲的速度大于乙的速度，第一次相遇乙走了400米多一些，则甲走了700米多一些，两人相遇时所走的总路程是1200米，由此可计算出两人的速度和是1200÷120＝10（米/秒），接下来的15秒两人共走15×10＝150（米）后再次相遇，这150米正好是第二次相遇点与A点距离的2倍，据此解答即可。
【解答】解：2分＝120秒
1200÷120＝10（米/秒）
10×15÷2＝75（米）
答：两人第二次相遇处距离A75米。
故答案为：75。
【点评】抓住第一个相遇时两人走的路程和，据此计算出两人的速度和是解答本题的关键。
31．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向匀速行进，在距A地60千米处相遇．相遇后，两车继续行进，分别到达B，A后，立即原路返回，在距B地50千米处再次相遇．则A，B两地的路程是 130 千米．
【分析】可以利用相遇时距离之比等于速度之比，列出关系式，可设AB两地间的距离为S，第一次相遇时，甲走了60千米，而乙走了S﹣60千米，第二次相遇，甲又走了S﹣60+50千米，乙又走了60+S﹣50千米，从而可以求出S的值．
【解答】解：根据分析，设AB两地间的距离为S，第一次相遇时，甲走了60千米，而乙走了S﹣60千米，
第二次相遇，甲又走了S﹣60+50千米，乙又走了60+S﹣50千米，
则：60S−60=S−60+5060+S−50，
解得：S＝130．
故答案是：130．
【点评】本题考查了多次相遇问题，突破点是：根据相遇时距离之比等于速度之比，列关系式求解．
32．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间不断地往返行驶，甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米。已知两车第10次与第18次迎面相遇地点相距60千米，问：AB间的路程是 105 千米。
【分析】根据题干中甲车和乙车的速度，可求得他们的速度比为20：50＝2：5，也就是说他们每共行一个全程，甲就行全程的27；并且还知道它们除第一次相遇是共行了一个全程，其余的都是共行了两个全程，那么第十次相遇就是共行了10×2﹣1＝19个全程，其中甲船行了19×27=537个全程，即离开B地返回到全程的37处；第18次相遇就是共行了18×2﹣1＝35个全程，其中甲船行了35×27=10个全程，即正好到达A地；这就是说60千米是全程的1−37=47，之后便可求得全程。
【解答】解：20：50＝2：5
22+5=27
10×2﹣1＝19
19×27=537
18×2﹣1＝35
35×27=10
60÷（1−37）＝105（千米）
答：AB间的路程是105千米。
故答案为：105.
【点评】解此题的关键是明白：他们每共行一个全程，甲就行全程的27，这是不变的。
33．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地之间不断往返行进，当甲第5次到达B地的时候，乙恰好第9次回到了B地，则当甲第2015次到达B的时，两人一个相遇了 6044 次（迎面碰到和追上都算相遇，如果最后同时到达B地，也算一次相遇）
【分析】甲第5次到达B地的时候，走了9个全程，乙恰好第9次回到了B地，走了18个全程，所以乙的速度是甲的速度的2倍，可以画出柳卡图，利用周期进行求解即可．
【解答】解：甲第5次到达B地的时候，走了9个全程，乙恰好第9次回到了B地，走了18个全程，所以乙的速度是甲的速度的2倍，可以画出柳卡图如下：
甲每走2个全程，2人均回到各自的出发点，进行周期循环，每一个周期2人相遇3次，
当甲第2015次到达B地时，即共经过了2014个完整周期和一个不完整的半周期，两人相遇2014×3+2＝6044．
故答案为：6044．
【点评】本题考查多次相遇问题，考查周期性的运用，确定周期循环，每一个周期2人相遇3次是关键．
34．甲、乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动．两人在中途的C加油站处第一次迎面相遇，相遇后，两人继续行进并在D加油站处第二次迎面相遇．若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知CD之间距离为60千米，则从A地到B地的全程为 150 千米．
【分析】甲乙两人第一次相遇，甲行了AC，乙行了BC；第二次相遇时，甲行了全程加上BD，乙行了全程加上AD．因此这个路程和是三个全程，所以全程加上BD是AC的三倍．根据“若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处”说明AD的路程是AC的2倍．
【解答】解：
AD的长度60×2＝120（千米）
甲乙第二次相遇时，甲行的路程是60×3＝180（千米）
BD的长度是（180﹣120）÷2＝30（千米）
全程是30+120＝150（千米）
故填150
【点评】此题的关键是两点：一是第二次相遇时甲行的路程是第一次的三倍；二是AD的长度是两个AC．
35．甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒，若他们同时从同一端出发跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇 23 次（端点除外）．
【分析】根据题意，要明白他们的迎面相遇时，2人一共的行程是2个单程120×2＝240（米），用时为240÷（3+5）＝30（秒），即每30秒就相遇一次（包括端点的）．那端点的相遇用时为：2人单程用时（120÷3＝40，120÷5＝24）的公倍数，最小公倍数第一次在端点相遇的用时．用120÷30＝4可知，他们4次相遇中就有1次为端点相遇．即15分钟内相遇的总次数为：15×60÷30＝30，其中在端点相遇的次数为30÷4的整数部分，即7．所以 他们在这段时间内共迎面相遇（端点除外）的次数为：30﹣7＝23
【解答】解：240÷（3+5）＝30（秒）
120÷3＝40（秒）
120÷5＝24（秒）
40与24的最小公倍数120（2人第一次在端点相遇的用时）
120÷30＝4
15×60÷30＝30（次）
30÷4＝7…2
30﹣7＝23（次）
答：他们在这段时间内共迎面相遇23次（端点除外）．
【点评】此题的关键是搞明白他们每次相遇的2人行程均为240米和每次在端点相遇的用时为：2人单程用时（120÷3＝40与120÷5＝24）的公倍数．
36．爷爷带着孙子去运动场玩儿，运动场有一个环形大跑道，爷爷准备围绕着大跑道慢走一圈，孙子却要跑圈，他们从跑道上A点同时反向出发，孙子每跑一圈就改变一次方向，如果孙子第4次遇到爷爷后，又跑了三分之一圈回到A点，那么孙子的速度是爷爷的 5.5 倍.
【分析】根据题意知：他们第4次相遇时，孙子跑3圈后追上爷爷，即孙子跑了323圈，爷爷走了23圈，则孙子速度与爷爷速度比为11：2，那么孙子的速度是爷爷的11÷2＝5.5倍。
【解答】解：323：23=11：2
11÷2＝5.5
答：孙子的速度是爷爷的5.5倍。
故答案为：5.5.
【点评】解此题的关键是明白他们每次相遇是种什么情况（是不同方向行进的相遇还是同方向行进的追上），之间才能分析出他们各自的行程情况，才能进而作答。
37．甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地8千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距A地6千米处第二次相遇，则A、B两地的距离是 15 千米．
【分析】据题干画图（见下图），见相遇情况：甲、乙两人从出发到第一次迎面相遇共走了1个AB的全程，到第二次迎面相遇就共走了3个AB的全程；则他们从出发到两次相遇所用时间为3倍的关系，那么甲从出发到第二次相遇共走了8×3＝24千米，24+6＝30千米就是2个AB的全程，至此即可求出答案．
【解答】解：8×3+6＝30（千米）
30÷2＝15（千米）
故答案为：15．
【点评】此题借助于画图，更容易找到解题思路．
38．甲、乙、丙三人每分钟分别走60米、50米、40米，甲从A地出发，乙和丙从B地出发，三人同时出发，相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟后又与丙相遇，则A、B两地间的距离是 16500 米．
【分析】甲首先在途中与乙相遇，之后15分钟又与丙相遇，则甲、乙相遇时，乙、丙相距（60+40）×15＝1500米，则根据路程差÷速度差＝共行时间可知，甲、乙相遇时，他们行驶的时间为：1500÷（50﹣40）＝150分钟，所以A、B两地相距（50+60）×150＝16500（米）．
【解答】解：（60+40）×15＝1500（米）
1500÷（50﹣40）＝150（分钟）
（50+60）×150＝16500（米）
故答案为：16500．
【点评】本题考查了相遇问题，根据甲乙相遇后甲又与丙的相遇时间，求出甲、乙相遇时乙、丙的距离差是完成本题的关键．
39．如图，AB是一条长28米的小路，M是AB的中点，一条小狗从M左侧一点出发在小路上奔跑．第一次跑10米，第二次跑14米；…；第奇数次跑10米，第偶数次跑14米；出发时或每次跑完后小狗按如下一次的奔跑方向；每次如果M点在它右边，它就向右跑；如果M点在它左边，它就向左跑．如果它跑了20次之后在B点左侧1米处，那么小狗开始时距A点 7 米．
【分析】可以从最后的情况出发，用倒推的方法求出原始位置．
【解答】解：设中点的位置为0，左边为负，右边为正
则第20次之后的位置是28÷2＝14，14﹣1＝13，表示为+13
第19次之后的位置是+13﹣14＝﹣1
第18次之后的位置是﹣1﹣10＝﹣11
第17次之后的位置是﹣11+14＝+3
第16次之后的位置是+3+10＝+13
从上面可以看出，经过4次之后又回到了+13这个位置
由此可以退出，第4次之后，小狗回到了+13这个位置
第3次之后小狗回到+13﹣14＝﹣1位置
第2次之后小狗位置是﹣1﹣10＝﹣11
第1次之后小狗的位置是﹣11+14＝+3位置
因为原始位置在M点左侧，
所以原始位置是+3﹣10＝﹣7位置
原始位置距离A点14﹣7＝7米
故此题填7．
【点评】采用倒推法，列举出几种情况后，发现规律，然后利用规律解题．
40．甲、乙两个机器人同时从A、B两地出发，在A、B之间不停地往返行走．A、B两地相距90米，出发时，两人速度相同，乙的速度始终不变．
第一次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的12，
第二次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的13，
第三次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的14，
第四次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的15，
第五次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度，
第六次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的12
第七次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的13，…
按照上述规律变化速度．则第2015次迎面相遇地点距A地 18 米．
【分析】由题意知，此题的行程问题是：从出发到第一次迎面相遇，甲与乙共行了1个AB全程，之后的每一次相遇都要共行2个AB的全程．然后据此可列出每次相遇时，甲走的路程，再从中找到规律并利用此规律求出他们第2015次迎面相遇甲共行了105138米，之后便可求得甲走了多少个来回情况即可得到答案．
【解答】解：90×2＝180（米）
90×11+1=45（米）
180×11+2=60（米）
180×11+3=45（米）
180×11+4=36（米）
180×11+5=30（米）
180×11+1=90（米）
180×11+2=60（米）
180×11+3=45（米）
180×11+4=36（米）
180×11+5=30（米）
…
（45+60+45+36+30）+（90+60+45+36+30）×（2015÷5﹣1）＝105138（米）
105138÷（90×2）＝584…18，即甲走了584个来回多18米，就是说第2015次迎面相遇地点距A地18米．
故答案为：18．
【点评】解此题的关键是找出相遇时他们行程的规律及甲或乙一人的行程规律，之后即可轻松作答．
三．解答题（共20小题）
41．甲乙车同时从A、B两地相向而行，第一次相遇距离A地80千米，两车仍以原速行驶，分别到达B、A两地后立即返回，在离B地60千米处第二次相遇，A、B两地相距多少千米？
【分析】第一次相遇距离A地80千米，那么第一次相遇时甲走了80千米，即两车每共行一个全程甲都行80千米，第二次相遇时，甲乙两车共行了三个全程，则甲此时行了80×3＝240千米，由于在距B地60千米处再次相遇，则全程为240﹣60＝180千米．
【解答】解：80×3﹣60
＝240﹣60
＝180（千米）
答：A、B两地相距180千米．
【点评】在此类相遇问题中，第一次相遇两车共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程．
42．甲乙二人以均匀的速度分别从AB两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地3千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地2千米处第二次相遇，求第2000次相遇地点与第2001次相遇地点之间的距离．
【分析】因为我们知道：他们的相遇中，只有第一次相遇甲走了3千米，以后的每次相遇甲都走2个3千米．所以我们由此就能求出AB两地的距离7千米和第2000次与2001次的相遇甲走了多少千米；然后再用“这个千米数”除以7看商的整数部分的奇偶性，若是奇数这说明到达B地了，余数就是与B地的距离；若是偶数这说明到了A地，余数就是与A地的距离了；根据此规律我们就可以得出答案了．
【解答】解：①第二次相遇时，甲走的路程是3×3＝9千米，则AB两地的距离是9﹣2＝7千米
②（2000﹣1）×（3×2）+3＝11997
11997÷7＝1713…6，这说明甲在距B地6千米处；
（2001﹣1）×（2×3）+3＝12003
12003÷7＝1714…5，这说明甲在距A地5千米处；
综上得：5﹣（7﹣6）＝4（千米）
答：他们第2000次相遇地点与第2001次相遇地点之间的距离是4千米．
【点评】解答此类问题的关键是“弄清楚他们每次相遇距两地情况的规律”，之后即可轻松解题．
43．甲、乙二人分别从A，B两地出发相向而行，到达目的地后马上掉头回到出发地，他们第一次相遇距A地800米，第二次相遇距B地500米，A，B两地相距多少米？
【分析】当两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，第一次相遇时甲应该行了800米，再次相遇时，甲应该行驶了3个第一次相遇时行驶的距离，即800×3＝2400米，最后减第二次相遇时甲距离B地的距离即可解答．
【解答】解：800×3﹣500
＝2400﹣500
＝1900（米）
答：AB两地相距1900米．
【点评】明确两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，是解答本题的关键．
44．甲、乙、丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走80米，丙每分钟走70米，现甲和乙从学校出发，丙从书城三人同时相向而行，丙遇到乙后又经过2分钟遇到甲，学校距书城多少米？
【分析】首先根据速度×时间＝路程，用甲、丙的速度之和乘2，求出乙、丙相遇时，甲、乙走的路程之差是多少；然后用乙、丙相遇时，甲、乙走的路程之差除以甲、乙的速度之差，求出乙、丙相遇用的时间是多少；最后用乙、丙相遇用的时间乘乙、丙的速度之和，求出学校距书城多少米即可．
【解答】解：（60+70）×2÷（80﹣60）×（80+70）
＝130×2÷20×150
＝260÷20×150
＝13×150
＝1950（米）
答：学校距书城1950米．
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出乙、丙相遇用的时间是多少．
45．A、B两地相距130千米，已知人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行驶速度是每小时50千米，摩托车后座可带一人．问：有三人并配备一辆摩托车从A地到B地最少需要多少小时？
【分析】假设骑摩托车的人是甲先带一人乙到距离终点某处将乙放下，回头带步行的人丙，然后摩托车和乙同时到终点，这时用时是最少的．
【解答】解：
设骑摩托车的人是甲，带着乙到距离终点x千米处将乙放下，回头带丙，最后同时到达乙地．
因为摩托车车的速度是步行速度的50÷5＝10倍，所以当摩托车回头时，甲已经行了（130﹣x）×110
摩托车要回头行（130﹣x）×910×1011=（130﹣x）×911
所以摩托车从回头到再回头行到终点所行距离是（130﹣x）×911×2+x
列出方程
x÷5＝[（130﹣x）×911×2+x]÷50
10x＝（130﹣x）×911×2+x
9x＝（130﹣x）×911×2
两边乘119
11x＝260﹣2x
x＝20
（130﹣20）÷50+20÷5＝6.2（小时）
答：最少要用6.2小时．
【点评】此题的关键是分析出摩托车行驶的路程．
46．小红和小强同时从家里出发相向而行．小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇．若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇．小红和小强两人的家相距多少米？
【分析】据题意可知，原来小红和小强的速度比为 52：70＝26：35，则相遇时小强走了全程的 35÷（26+35）=3561；后来小红和小强的速度比为 52：90＝26：45，相遇时小强同样走了全程的 3561，则小红在小强出发后行了全程的 3561×2645=182549；已知，小红提前4分钟出发，共走了 52×4＝208 米，可得：小红和小强两家相距 208÷（1−3561−182549）＝2196 米．
【解答】解：原来小红和小强的速度比为：52：70＝26：35，则
相遇时小强走了全程的：35÷（26+35）=3561；
后来小红和小强的速度比为 52：90＝26：45，相遇时小强同样走了全程的 3561，
则小红在小强出发后行了全程的 3561×2645×=182549；
小红和小强两家相距：
（52×4）÷（1−3561−182549）
＝208×54952，
＝2196（米）．
答：小红和小强两人的家相距2196米．
【点评】完成本题主要是依据两人前后两次速度比的变化及两次所行路程进行推理解答的．
47．A、B两地相距200千米。某日，甲、乙两人同时从A、B两地出发，匀速相向而行，在C处相遇。若甲速度提高12千米/时，则两人在距C处25千米的地方相遇。若乙速度提高12千米/时，则两人在距C处15千米的地方相遇。那么甲的速度为多少？
【分析】根据题意，我们知道两种假设相遇的时间相同，故甲、乙速度比是15：25＝3：5；则AC的距离是200×33+5=75千米。若甲提高速度，甲、乙速度比变为（75+25）：（200﹣75﹣25）＝1：1，所以甲的实际速度为12×35−3=18千米/小时。
【解答】解：甲、乙速度比是15：25＝3：5
AC距离：200×33+5=75（千米）
因若甲提高速度，甲、乙速度比变为（75+25）：（200﹣75﹣25）＝1：1
所以甲的实际速度：12×35−3=18（千米/小时）
答：甲的速度为18千米/小时。
【点评】此题主要是由题意先得到：两种假设相遇的时间相同，进而得到甲、乙速度比，之后方可顺利解答。
48．艾迪和薇儿从400米环形跑道的同一点出发，背向而行．当他们第一次碰面时，艾迪转身往回跑；当他们第二次碰面时，薇儿转身往回跑；以后每次碰面分别是艾迪和薇儿两人交替调转方向．两人的速度在运动过程中始终保持不变，艾迪每秒钟跑5米，薇儿每秒钟跑3米．（注：碰面包括迎面相遇和追及相遇．）
（1）当两人第二次碰面时，碰面地点距离出发点的最短距离为多少米？
（2）当两人第三次碰面时，碰面地点距离出发点的最短距离为多少米？
（3）当两人第四次碰面时，碰面地点距离出发点的最短距离为多少米？
【分析】根据题意知：他们奇数次相遇时是异向，相遇时间为400÷（3+5）＝50秒；偶数次相遇是同向，相遇用时为400÷（5﹣3）＝200秒；然后以薇儿为基准用行程公式即可分别求出3个问题的答案．
【解答】解：（1）400÷（3+5）＝50（秒）
50×3＝150（米）
400÷（5﹣3）＝200（秒）
200×3＝600（米）
（150+600）÷400＝1…350
400﹣350＝50（米）
答：碰面地点距离出发点的最短距离为50米．
（2）150+50＝200（米）
答：碰面地点距离出发点的最短距离为200米．
（3）（50+150+600）÷400＝2（圈）
答：碰面地点距离出发点的最短距离为0米．
【点评】此题解答的关键是定下以谁为基准求其行程，算出据出发点的距离即可．
49．甲、乙两人分别从A、B两地同时以30千米/时、20千米/时速度相向而行，相遇后继续前行各自到达B、A两地后立即返回，到第二次相遇时相遇点，该点离第一次相遇点40千米，求A、B两地相距多少千米？
【分析】由甲速度：乙速度＝30：20＝3：2 可知，第一次相遇时甲走了全程的35，乙为25；从第一次相遇到第二次相遇，两人又共走了两个全程，则从第一次相遇的地点到第二次相遇，甲又行了2×35=65，即到起点还有65−1=15，所以第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是相差全程的35−15=25，即可求出A、B两地相距的距离．
【解答】解：由分析可得A、B两地相距40÷[35−（2×35−1）]＝100千米．
答：A、B两地相距100千米．
【点评】在相遇问题中，此类到达目的地又返回第二次相遇的，都共行了全程的三倍．
50．王师傅早晨骑车从A地出发去B地．中午12时，李师傅也从A地出发开车前往B地，经过1小时30分钟，两人之间正好相距18千米．下午2时30分，两人之间恰好又相距18千米．经过连续不断地行驶，16时李师傅到达了B地，王师傅在18时也到达了B地．试求王师傅的出发时刻．
【分析】根据题目中的条件，我们可推出两个“两间之间相距18千米“知：第一次是王师傅在李师傅前，第二次恰好相反，进而得到从13时30分到2时30分的时间，即1小时内李师傅比王师傅多走了18+18＝36千米；之后再设出下午2时30分时，李师傅距B地的距离为x千米，则王师傅据B地的距离为（x+18）千米，进而得x÷（4﹣2.5）﹣（x+18）÷（6﹣2.5）＝36方程并解之；接着可求出李师傅的速度和两师傅的速度关系为2倍；然后据此和李师傅行全程的用时，推出王师傅的用时，至此便可推算出答案．
【解答】解：设下午2时30分时，李师傅距B地的距离为x千米，则王师傅据B地的距离为（x+18）千米，得
x÷（4﹣2.5）﹣（x+18）÷（6﹣2.5）＝36
8x＝36×24
x＝108
108÷（4﹣2.5）＝72（千米/小时）
72﹣18×2＝36（千米/小时）
16时﹣12时＝4时
72÷36×4＝8（时）
从16时向前推8个小时应是上午10时
答：王师傅出发时刻为上午10点．
【点评】解此题，首先是理清两师傅的每个时间段的行程情况，之后便于得出两人之间的速度关系，进而入手解答即可．
51．两名运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度每秒0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了10分，如果不计转身时间，那么这段时间内共相遇多少次？
【分析】甲游30米需要30÷1＝30秒，乙游30米需要30÷0.6＝50秒，经过150秒，甲、乙两人同时游到两端，每隔150秒他们相遇的情况重复出现．如图，实线表示甲，虚线表示乙，两线的交点就是甲、乙相遇的地点（游泳池的两端用两条线段表示），可以看出经过150秒，甲游了5个30米，乙游了3个30米，共相遇了5次．以150秒为一个周期，10分钟是600秒，600÷150＝4，有4个150秒，所以在10分钟内相遇的次数是：5×4＝20（次）．
【解答】解：30÷1＝30秒，30÷0.6＝50秒，经过150秒，
甲、乙两人同时游到两端．
150÷30＝5，150÷50＝3，共相遇了5次．
10分钟＝600秒，600÷150＝4，有4个150秒，所以在10分钟内相遇的次数是：5×4＝20（次）．
答：10分钟内共相遇20次
【点评】此题考查了路程、速度与时间的关系，以及借助图形分析问题、解决问题的能力．
52．甲、乙两车同时从A地开往B地，甲比乙每小时多行12千米，甲行了4.5小时到达B地后，立即原路返回，在距离B地30千米的地方又与乙车相遇，求A、B两地的距离．
【分析】根据题意知：两车相遇时，甲车比乙车多行了30+30＝60千米．接着据“追及问题公式”即可求出他们的相遇时间60÷12＝5小时，进而求得甲车的速度为30÷（5﹣4.5）＝60千米/小时，之后利用“行程公式”即可求出问题答案．
【解答】解：30×2÷12＝5（小时）
30÷（5﹣4.5）＝60（千米/时）
60×4.5＝270（千米）
答：A、B两地距离是270千米．
【点评】解此题的关键是“利用追及问题公式求出两车的相遇时间”，之后即可轻松作答．
53．某轮船公司较长时间以来，每天中午有一只轮船从哈佛开往纽约，并且在每天的同一时间也有一只轮船从纽约开往哈佛，轮船在途中所花的时间，来去都是七昼夜，问今天中午从哈佛开出的轮船，在整个航运途中，将会遇到几只同一公司的轮船从对面开来？
【分析】据“每天中午有一只轮船从哈佛开往纽约，并且在每天的同一时间也有一只轮船从纽约开往哈佛，轮船在途中所花的时间，来去都是七昼夜”可知每天中午，一只轮船开出时，同时有一只轮进入，即出港时就遇到一艘；那么途中遇到几只呢？设每艘轮船每昼夜行驶的里程为1，一艘轮船刚与迎面驶来的轮船相遇时，同下一艘即将相遇的轮船间刚好相差一昼夜的航程，即为1．因此，同下一轮船相遇的时间应是1÷（1+1）＝0.5（昼夜），也就是说一艘轮船可以在一昼夜遇到两艘从迎面驶来的轮船．那么，七昼夜一共可以遇到7×2＝14（只）从对面开来的轮船，加上出港时遇到的一只，一共15只轮船．
【解答】解：据题意可知，一只轮船开出时，同时有一只轮进入，即出港时就遇到1艘；
设每艘轮船每昼夜行驶的里程为1，则：
同下一轮船相遇的时间应是1÷（1+1）＝0.5（昼夜），那么，七昼夜一共可以遇到7×2＝14（只）；
加上出港时遇到的一艘共：1+14＝15（只）；
答：在整个航运途中，将会遇到15只同一公司的轮船从对面开来．
【点评】本题为著名的“柳卡问题”，也可通游戏法实际体验下进行解答．
54．甲乙二人分别从A、B两地同时相向出发，往返于A、B之间，第一次相遇在距A地30千米处，第二次相遇在距A地60千米处，求A、B两地的距离．
【分析】根据题意，我们可得出他们第二次相遇有两种情况，则A、B两地的距离就有两种可能：（1）第一次相遇后，乙到A地，又返回追上甲，此时甲还未到B地；设第一次相遇在C处，甲走30公里，乙走S公里，第二次相遇在D处，甲又走30即30+30＝60公里，乙又走 30+60+90＝180公里（如下图）
故S＝180÷2＝90公里，A、B两地相距 30+90＝120公里．
（2）第一次相遇后乙到A地，甲到B地，二人返回第二次相遇；设第一次相遇在C处，甲走30公里，乙走S公里，A、B两地相距30+S公里．（如下图）
第二次相遇时，乙又走90公里，二人又合走两个A、B间的距离，故从第一次相遇到第二次相遇乙走了2S公里，2S＝90，S＝45公里，A、B两地相距30+45＝75公里．
【解答】解：甲、乙二人分别从A、B两地同时相向出发，往返于A、B之间，第一次相遇在距A地30千米处，第二次相遇在距A第60千米处，则A、B两地的距离有两种可能：
（1）第一次相遇后，乙到A地，又返回追上甲，此时甲还未到B地．
30+30＝60（公里）
30+60+90＝180（公里）
180÷2＝90（公里）
30+90＝120（公里）
（2）第一次相遇后乙到A地，甲到B地，二人返回第二次相遇．
30+30×2＝90（公里）
90÷2＝45（公里）
30+45＝75（公里）
答：A、B两地间的距离为120或75公里．
【点评】解答此题一定要考虑全面，分情况进行解答，否则会出现漏答的情况．
55．甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，两人的速度保持不变．第一次两人相遇时距A地800米，相遇后他们继续向两地目的地进发，到达目的地后立即返回，第二次两人相遇时距A地1200米，求A、B之间距离．
【分析】当两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，第一次相遇时甲应该行了800米，再次相遇时，甲应该行驶了3个第一次相遇时行驶的距离，即800×3＝2400米，最后加上第二次相遇时甲距离A地的距离就是2个两地间的距离，然后用除法即可解答．
【解答】解：（800×3+1200）÷2
＝3600÷2
＝1800（米）
答：A、B两地相距1800米．
【点评】明确两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，是解答本题的关键．
56．如图，△ABC是边长为108cm的等边三角形，虫子甲和乙分别从A点和C点同时出发，沿△ABC的边爬行，乙逆时针爬行，速度比是4：5．相遇后，甲在相遇点休息10秒钟，然后继续以原来的速度沿原方向爬行；乙不休息，速度提高20%，仍沿原方向爬行，第二次恰好在BC的中点相遇．求开始时，虫子甲和乙的爬行速度．
【分析】开始时甲乙速度比是4：5，则路程比也是4：5，甲的路程＝108×2÷（4+5）×4＝96（厘米），乙的路程＝108×2﹣96＝120（厘米）．第二次在BC中点相遇，则由第一次相遇到第二次相遇甲的路程是120﹣108÷2＝66（厘米），乙的路程是96+108+108÷2＝258（厘米）．相遇后甲乙速度比＝4：（5×120%）＝2：3，故甲行
66厘米时，乙爬行的路程是66÷2×3＝99（厘米），则甲休息的10秒钟，乙爬行的距离是258﹣99＝159（厘米），乙最初的爬行速度是159÷10÷（1+20%）＝13.25（cm/s），甲的速度是13.25÷5×4＝10.6（cm/s）．
【解答】解：甲的路程＝108×2÷（4+5）×4＝96（厘米），乙的路程＝108×2﹣96＝120（厘米）．
第二次在BC中点相遇，则由第一次相遇到第二次相遇甲的路程是120﹣108÷2＝66（厘米），乙的路程是96+108+108÷2＝258（厘米）．
相遇后甲乙速度比＝4：（5×120%）＝2：3，故甲行66厘米时，乙爬行的路程是66÷2×3＝99（厘米），
则甲休息的10秒钟，乙爬行的距离是258﹣99＝159（厘米），
乙最初的爬行速度是159÷10÷（1+20%）＝13.25（cm/s），甲的速度是13.25÷5×4＝10.6（cm/s）
答：虫子甲的爬行速度为10.6cm/s，乙的爬行速度为13.25cm/s．
【点评】本题考查了多次相遇问题，关键是得出相遇后甲乙速度比＝4：（5×120%）＝2：3，故甲行66厘米时，乙爬行的路程是66÷2×3＝99（厘米）．
57．甲、乙、丙三人同时、同向、从同一地点出发，沿周长是360米的环形路行走，甲每分钟走30米，乙每分钟走50米，丙每分钟走90米．
（1）出发几分钟后，甲、丙第一次同时回到出发点？
（2）出发几分钟后，三人第一次同时回到出发点？
（3）出发几分钟后，三人第一次同时到达同一地点？
【分析】（1）由题意，可知：甲走一圈，所用时间为：360÷30＝12 （分钟）；丙走一圈，所用时间为：360÷90＝4 （分钟）．根据因数倍数知识，可得：12与4 的最小公倍数为12，则出发12分钟时后，甲、丙第一次同时回到出发点．
（2）乙走一圈，所用时间为：360÷50＝7.2 （分钟）．被除数分别除以12、7.2、4，
所得到的商均为大于0 的整数，这个被除数的最小值为36，则出发36 分钟后，三人第一次同时回到出发点．
（3）设出发x 分钟后，三人第一次同时到达同一地点，则甲走了30x米，乙走了50x
米，丙走了90x 米．由于三人同时到达同一地点，则三人所走的路程除以环形路一圈的长度360米所得的余数相同．根据同余的性质，可得出：360|（50x﹣30x）；360|（90x﹣50x）；360|（90x﹣30x）．从而推出，18|x；9|x；6|x，即x 为18、9、6 的最小公倍数18．出发18 分钟后，三人第一次同时到达同一地点．
【解答】解：（1）甲走一圈需：360÷30＝12 （分钟）
丙走一圈需：360÷90＝4 （分钟）
12与4 的最小公倍数为12，
答：出发12分钟时后，甲、丙第一次同时回到出发点．
（2）乙走一圈需：360÷50＝7.2 （分钟）．
则他们同时回到出发点的时间就分别除以12、7.2、4所得到的商均为大于0 的整数，
这个被除数的最小值为36．
答：出发36 分钟后，三人第一次同时回到出发点．
（3）设出发x 分钟后，三人第一次同时到达同一地点，
则甲走了30x米，乙走了50x米，丙走了90x 米．
根据同余的性质，可得出：360|（50x﹣30x）；360|（90x﹣50x）；360|（90x﹣30x）．
即18|x；9|x；6|x，
即x 为18、9、6 的最小公倍数18．
答：出发18 分钟后，三人第一次同时到达同一地点．
【点评】明确他们同时到在同一地点的时间应是各自他们所用时间的最小公倍是完成本题的关键．
58．龟、兔在甲、乙两地之间做往返跑，兔的速度是龟的3倍，它们分别在甲、乙两地同时相对起跑，当他们在途中相遇（处于同一地点即为相遇）了12次，龟跑了多少个单程？
【分析】因为兔的速度是龟的3倍，所以兔跑三个单程龟跑一个单程，是一个周期，在这样一个周期里迎面相遇2次，追及1次，迎面、追及、迎面，当他们第12次相遇时是第12÷3＝4个周期的第二次迎面相遇，这时龟兔共跑了4×4﹣1＝15个单程．其中龟跑了15×14=334个单程．（每个单程被3个相遇点平均分成4份，每份是14）
【解答】解：兔跑三个单程龟跑一个单程，相遇3次，迎面、追及、迎面，是一个周期，
12÷3＝4（个周期），
当他们第12次相遇时是第四个周期的第二次迎面相遇，
龟兔共跑了4×4﹣1＝15个单程，
其中龟跑了15×14=334个单程；
答：龟跑了334个单程．
【点评】明白兔跑三个单程龟跑一个单程，龟每个单程被3个相遇点平均分成4份，每份是14，12次相遇，龟完成3个单程，再加上34个单程，也可得解．
59．如图，从A到C为上坡，从C到B为下坡．汽车上坡速度每小时30千米，下坡速度每小时40千米，甲、乙两辆相同型号汽车同时分别从A，B出发，甲车从A开往B，乙车从B开往A，它们到达后立即返回，来回行驶．两车第一次相遇于D点，第二次相遇于E点，若DE＝20千米，求AC的长与BC的长之差是多少？
【分析】设AD＝a，EC＝b，CB＝c，第一次相遇在D，由于时间相同，根据路程、速度、时间之间的关系可得：a30=c30+20+b40；第二次相遇在E，时间也相同，则a40+a+2030=20+b30+c40+c30+b40．分析此两个关系式即可．
【解答】解：设AD＝a，EC＝b，CB＝c，则题意得：
a30=c30+20+b40
即4a＝4c+3b+60①
a40+a+2030=20+b30+c40+c30+b40
即a＝b+c②
由①②得：b＝60．
即a＝60+c．
所以，AC＝a+20+60＝a+80，
BC＝c＝a﹣60，
则AC﹣BC＝a+80﹣（a﹣60）＝140（千米）．
【点评】根据已知条件，根据根据路程、速度、时间之间的关系列出关系式进行分析是完成本题的关键．
60．如图，在等边三角形ABC上有两个动点D、E，动点D从A出发到B，每秒移动1厘米，动点E以每秒4厘米的速度在AC间往返运动．D、E两点同时从A点出发，随时连接DE两点，在D由A到B的这段时间内，线段DE与三角形的一部分构成的最小梯形面积是18平方厘米（图中阴影部分）．三角形ABC的面积是多少平方厘米？
【分析】因为四边形DBCE中，边BD和CE一定不是平行线，所以当四边形DBCE为梯形时，DE∥BC，因为D一直在向B移动，所以随着每次DE与BC平行，梯形DBCE的面积逐渐减少，所以当梯形DBCE面积最小时，是最后一次DE平行于BC，据此计算即可。
【解答】解：令正三角形ABC边长为a，最后一次DE∥BC时，BD＝b，
所以，b÷1＝（a﹣b）÷4
解答：b=15a
根据金字塔模型，S△AED：S△ABC＝16：25，
所以S梯形DBCE：S△ABC＝9：25，
所以S△ABC＝18÷9×25＝50（平方厘米）
答：三角形的面积是50平方厘米．
【点评】将本题转化为相遇问题进行分析解答本题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/15 13:29:45；用户：宁溪小学；邮箱：nxxx@qq.cm；学号：47186301
一．选择题（共15小题）
1．甲、乙两人比赛折返跑，同时从A出发，到达B点后，立即返回．先回到A点的人获胜．甲先到达B点，在距离B点24米的地方遇到乙，相遇后，甲的速度减为原来的一半．乙的速度保持不变．在距离终点48米的地方，乙追上甲．那么，当乙到达终点时，甲距离终点（ ）米．
A．6B．8C．12D．16
2．A在B地西边60千米处．甲乙从A地，丙丁从B地同时出发．甲、乙、丁都向东行驶，丙向西行驶．已知甲乙丙丁的速度依次成为一个等差数列，甲的速度最快．出发后经过n小时乙丙相遇，再过n小时甲在C地追上丁．则B、C两地相距（ ）千米．
A．15B．30C．60D．90
3．甲、乙两人从A地出发，前往B地，当甲走了100米时，乙走了50米，当甲到达B地时，乙距离B地还差100米．甲到达B地后立即调头返回，两人在距离B地60米处相遇，那么，A、B两地的距离（ ）米．
A．150B．200C．250D．300
4．甲、乙两船分别在一条河的A、B两地同时同向而行，甲顺流而下，乙逆流而上，相遇时，甲、乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B，乙到达A后，都按照原路返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行了1千米，如果从第一次相遇到第二次相遇时间间隔1小时，则河水的流速是___千米/小时。（ ）
A．0.5B．1C．2D．4
5．A、B两人分别从长200米的直线跑道两端出发来回跑步，A每秒跑2米，B每秒跑3米，匀速跑了20分钟，那么在这段时间内，A、B两人共相遇（ ）次．
A．20B．30C．18D．15
6．甲、乙分别从A、B两点出发，在A、B两点间往返行驶，第一次相遇点距离A点50km；第二次相遇点距离B点20km，那么第三次相遇点距离A点（ ）
A．10kmB．20kmC．40kmD．120km
7．甲、乙两人同时从A、B两地相向出发，甲的速度是乙的速度的1.5倍，到达对方出发点后立即返回，如果第一次相遇点和第二次相遇点相距300米，那么，A、B两地的距离为（ ）米．
A．500B．750C．900D．1200
8．甲、乙两船在静水中的速度相同，它们分别从相距60千米的两港同时出发相向而行，2小时后相遇，如果两船的速度各增加5千米/小时，再次从两港同时出发相向而行，那么它们再次相遇的地点就与前一次的相遇地点相距0.45千米，则，水流的速度是（ ）
A．0.7千米/小时B．1.4千米/小时
C．0.9千米/小时D．1.8千米/小时
9．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若乙的速度是甲的速度的5倍，则它们第2010次相遇在边 （ ）上．
A．ABB．BCC．CDD．DA
10．甲、乙两列车同时从东、西两地相对开出，第一次在东面75千米处相遇，相遇后两列车继续行驶，到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离西面45千米处．东、西两地相距（ ）千米．
A．45B．75C．135D．180
11．甲、乙两个小电动玩具在一圆形轨道上同时出发，反向行驶，已知甲的速度是每秒40cm，乙的速度是每秒60cm，在2分钟内，它们相遇40次，则轨道长为（ ）cm．
A．300B．350C．400D．250
12．甲、乙两人在长40米的游泳池里沿直线来回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.8米/秒，他们从水池的两端同时出发，来回共游了15分钟．如果不计转向的时间，那么在这段时间里，他们共相遇了（ ）次．（追上也算相遇）
A．15B．18C．20D．21
13．快车与慢车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，经过5小时相遇，已知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留1小时后返回，快车到乙地停留1.5小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇共（ ）小时．
A．21.5B．10.3C．20D．11.3
14．有一个圆，两只蚂蚁分别从直径的两端A与C同时出发，绕圆周相向而行，它们第一次相遇在离A点8厘米处的B点，第二次相遇在离C点6厘米处的D点，这个圆的周长是（ ）厘米．
A．14B．36C．28D．20
15．A、B两地相距480千米，甲、乙两车同时从两站相对出发，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去，遇到甲车又返回飞向乙车，这样一直飞下去．燕子飞了（ ）千米两车才能够相遇．
A．240B．300C．400D．480
二．填空题（共25小题）
16．甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在A、B两地间不断地往返行走。已知甲的速度比乙快50%，二人在点P第一次相遇；此后二人继续前进，在点Q第二次相遇；此后乙的速度保持不变，甲把速度提高，并在点R追上了乙。已知点R刚好位于P、Q两点正中间，那么甲的速度提高为原来的 %。
17．甲从A地出发匀速去B地，乙从B地出发匀速去A地。如果甲提前1小时出发，则两人会在途中的C地相遇。如果两人同时出发，各自到达目的地后立刻调头返回，调头后也会在C地相遇。如果两人同时出发，各自到达目的地后停下；那么，当一个人到达目的地时，另一个人还要 分钟到达。
18．甲、乙、丙三人分别从A、B、C三地同时出发，匀速行走：C是AB两地之间的一地，AC两地之间距离为360米；甲向B地行走，乙、丙向A行走，当甲、丙相遇时，乙刚好追上丙：乙到达A地后立即调头，当乙追上甲时，丙刚好到A地．那么AB两地之间的距离是 米．
19．一根棍子的左端有10只间隔相等的蚂蚁，向右爬行；棍子右端有6只间隔相等的蚂蚁向左爬行．如果所有蚂蚁的速度都相同；两只蚂蚁若迎面相遇，则立即同时调头往回爬；爬出棍子两头的蚂蚁会掉下去．当所有的蚂蚁都掉下棍子时，它们一共相遇了 次．
20．一条公路上顺次分布着A、B、C、D、E五个休息区，其中C恰好处于AE中点，而AB段由于道路泥泞，车速在此均只能降低到原来的一半．甲、乙两车分别在A、E两地同时出发相向而行，在C点第一次相遇，之后分别到达对方出发点并调头继续行驶，在B处第二次相遇．若AB段长度为90km，则AE全长为 km．
21．希希和望望两人在圆形跑道上从同一点同时出发，沿相反方向跑步，他们的速度分别是每秒5米和每秒7米，当他们第一次相遇时，他们彼此交换了速度（即希希变为7米/秒，望望变为5米/秒），并继续前进，再次相遇时再次交换速度，他们从出发到第12次相遇时，他们共在 个不同的地点相遇过．
22．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B之间来回往返行驶。甲车每小时行24千米，乙车每小时行56千米。已知两车第一次、第二次相遇地点相距180千米（两车同时在同一地点叫做相遇），那么A、B两地之间的路程是 千米；第二、三两次相遇地点之间的路程是 千米。
23．甲车以速度140km/h从A地向B地行驶，乙车和丙车分别以速度100km/h和60km/h从B地向A地行驶．三车同时出发．已知甲、乙相遇地点距离甲、丙相遇地点70km，则A，B两地相距 km．
24．如图所示，甲车从A，乙车从B同时相向而行．两车第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B，而乙车只行驶了1小时就到达A．甲、乙两车的速度比为 ．
25．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度是乙的速度的2倍．两个相遇后继续往前走，各自到达B、A后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇地点是12千米，那么A、B两地相距 千米．
26．甲、乙两人在长为400米的环形跑道上练习跑步，他们同时从一点出发背向而行。已知甲的速度比乙快，出发后第1次相遇点与第3次相遇点相距50米，且第3次相遇时甲乙均回到过起点1次，那么出发后第1次相遇时甲跑了 米。
27．甲、乙两人分别从相距75千米的A、B两地同时出发，相向而行。跟甲同时出发的还有一只小狗，它会在甲、乙两人之间往返奔跑。已知甲速是每小时7千米，小狗的速度为每小时63千米。当小狗第一次返回遇到甲时，甲、乙相距45千米。那么，甲与小狗第二次相遇时，甲、乙之间的距离为 千米。
28．甲、乙、丙三人同时从A出发匀速向B行走；甲到B后立即调头，与乙相遇在距离B地100米的地方；甲再行120米与丙相遇时，乙恰好到B，那么此时甲共行了 米．
29．甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，那么A、B两地之间的距离是 千米．
30．甲、乙两人在如图的跑道上练习跑步，两人从A点同时出发，甲在A、E之间做折返跑（转身时间不计），乙则沿着正方形跑道ABCD顺时针跑步，已知AB＝BE＝100米，且两人跑步的速度都在每秒3米到每秒8米之间，如果两人出发2分钟后第一次相遇，之后隔了15秒后两人第二次相遇，那么两人第二次相遇处距离A 米。
31．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向匀速行进，在距A地60千米处相遇．相遇后，两车继续行进，分别到达B，A后，立即原路返回，在距B地50千米处再次相遇．则A，B两地的路程是 千米．
32．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间不断地往返行驶，甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米。已知两车第10次与第18次迎面相遇地点相距60千米，问：AB间的路程是 千米。
33．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地之间不断往返行进，当甲第5次到达B地的时候，乙恰好第9次回到了B地，则当甲第2015次到达B的时，两人一个相遇了 次（迎面碰到和追上都算相遇，如果最后同时到达B地，也算一次相遇）
34．甲、乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动．两人在中途的C加油站处第一次迎面相遇，相遇后，两人继续行进并在D加油站处第二次迎面相遇．若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知CD之间距离为60千米，则从A地到B地的全程为 千米．
35．甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒，若他们同时从同一端出发跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇 次（端点除外）．
36．爷爷带着孙子去运动场玩儿，运动场有一个环形大跑道，爷爷准备围绕着大跑道慢走一圈，孙子却要跑圈，他们从跑道上A点同时反向出发，孙子每跑一圈就改变一次方向，如果孙子第4次遇到爷爷后，又跑了三分之一圈回到A点，那么孙子的速度是爷爷的 倍.
37．甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地8千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距A地6千米处第二次相遇，则A、B两地的距离是 千米．
38．甲、乙、丙三人每分钟分别走60米、50米、40米，甲从A地出发，乙和丙从B地出发，三人同时出发，相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟后又与丙相遇，则A、B两地间的距离是 米．
39．如图，AB是一条长28米的小路，M是AB的中点，一条小狗从M左侧一点出发在小路上奔跑．第一次跑10米，第二次跑14米；…；第奇数次跑10米，第偶数次跑14米；出发时或每次跑完后小狗按如下一次的奔跑方向；每次如果M点在它右边，它就向右跑；如果M点在它左边，它就向左跑．如果它跑了20次之后在B点左侧1米处，那么小狗开始时距A点 米．
40．甲、乙两个机器人同时从A、B两地出发，在A、B之间不停地往返行走．A、B两地相距90米，出发时，两人速度相同，乙的速度始终不变．
第一次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的12，
第二次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的13，
第三次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的14，
第四次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的15，
第五次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度，
第六次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的12
第七次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的13，…
按照上述规律变化速度．则第2015次迎面相遇地点距A地 米．
三．解答题（共20小题）
41．甲乙车同时从A、B两地相向而行，第一次相遇距离A地80千米，两车仍以原速行驶，分别到达B、A两地后立即返回，在离B地60千米处第二次相遇，A、B两地相距多少千米？
42．甲乙二人以均匀的速度分别从AB两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地3千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地2千米处第二次相遇，求第2000次相遇地点与第2001次相遇地点之间的距离．
43．甲、乙二人分别从A，B两地出发相向而行，到达目的地后马上掉头回到出发地，他们第一次相遇距A地800米，第二次相遇距B地500米，A，B两地相距多少米？
44．甲、乙、丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走80米，丙每分钟走70米，现甲和乙从学校出发，丙从书城三人同时相向而行，丙遇到乙后又经过2分钟遇到甲，学校距书城多少米？
45．A、B两地相距130千米，已知人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行驶速度是每小时50千米，摩托车后座可带一人．问：有三人并配备一辆摩托车从A地到B地最少需要多少小时？
46．小红和小强同时从家里出发相向而行．小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇．若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇．小红和小强两人的家相距多少米？
47．A、B两地相距200千米。某日，甲、乙两人同时从A、B两地出发，匀速相向而行，在C处相遇。若甲速度提高12千米/时，则两人在距C处25千米的地方相遇。若乙速度提高12千米/时，则两人在距C处15千米的地方相遇。那么甲的速度为多少？
48．艾迪和薇儿从400米环形跑道的同一点出发，背向而行．当他们第一次碰面时，艾迪转身往回跑；当他们第二次碰面时，薇儿转身往回跑；以后每次碰面分别是艾迪和薇儿两人交替调转方向．两人的速度在运动过程中始终保持不变，艾迪每秒钟跑5米，薇儿每秒钟跑3米．（注：碰面包括迎面相遇和追及相遇．）
（1）当两人第二次碰面时，碰面地点距离出发点的最短距离为多少米？
（2）当两人第三次碰面时，碰面地点距离出发点的最短距离为多少米？
（3）当两人第四次碰面时，碰面地点距离出发点的最短距离为多少米？
49．甲、乙两人分别从A、B两地同时以30千米/时、20千米/时速度相向而行，相遇后继续前行各自到达B、A两地后立即返回，到第二次相遇时相遇点，该点离第一次相遇点40千米，求A、B两地相距多少千米？
50．王师傅早晨骑车从A地出发去B地．中午12时，李师傅也从A地出发开车前往B地，经过1小时30分钟，两人之间正好相距18千米．下午2时30分，两人之间恰好又相距18千米．经过连续不断地行驶，16时李师傅到达了B地，王师傅在18时也到达了B地．试求王师傅的出发时刻．
51．两名运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度每秒0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了10分，如果不计转身时间，那么这段时间内共相遇多少次？
52．甲、乙两车同时从A地开往B地，甲比乙每小时多行12千米，甲行了4.5小时到达B地后，立即原路返回，在距离B地30千米的地方又与乙车相遇，求A、B两地的距离．
53．某轮船公司较长时间以来，每天中午有一只轮船从哈佛开往纽约，并且在每天的同一时间也有一只轮船从纽约开往哈佛，轮船在途中所花的时间，来去都是七昼夜，问今天中午从哈佛开出的轮船，在整个航运途中，将会遇到几只同一公司的轮船从对面开来？
54．甲乙二人分别从A、B两地同时相向出发，往返于A、B之间，第一次相遇在距A地30千米处，第二次相遇在距A地60千米处，求A、B两地的距离．
55．甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，两人的速度保持不变．第一次两人相遇时距A地800米，相遇后他们继续向两地目的地进发，到达目的地后立即返回，第二次两人相遇时距A地1200米，求A、B之间距离．
56．如图，△ABC是边长为108cm的等边三角形，虫子甲和乙分别从A点和C点同时出发，沿△ABC的边爬行，乙逆时针爬行，速度比是4：5．相遇后，甲在相遇点休息10秒钟，然后继续以原来的速度沿原方向爬行；乙不休息，速度提高20%，仍沿原方向爬行，第二次恰好在BC的中点相遇．求开始时，虫子甲和乙的爬行速度．
57．甲、乙、丙三人同时、同向、从同一地点出发，沿周长是360米的环形路行走，甲每分钟走30米，乙每分钟走50米，丙每分钟走90米．
（1）出发几分钟后，甲、丙第一次同时回到出发点？
（2）出发几分钟后，三人第一次同时回到出发点？
（3）出发几分钟后，三人第一次同时到达同一地点？
58．龟、兔在甲、乙两地之间做往返跑，兔的速度是龟的3倍，它们分别在甲、乙两地同时相对起跑，当他们在途中相遇（处于同一地点即为相遇）了12次，龟跑了多少个单程？
59．如图，从A到C为上坡，从C到B为下坡．汽车上坡速度每小时30千米，下坡速度每小时40千米，甲、乙两辆相同型号汽车同时分别从A，B出发，甲车从A开往B，乙车从B开往A，它们到达后立即返回，来回行驶．两车第一次相遇于D点，第二次相遇于E点，若DE＝20千米，求AC的长与BC的长之差是多少？
60．如图，在等边三角形ABC上有两个动点D、E，动点D从A出发到B，每秒移动1厘米，动点E以每秒4厘米的速度在AC间往返运动．D、E两点同时从A点出发，随时连接DE两点，在D由A到B的这段时间内，线段DE与三角形的一部分构成的最小梯形面积是18平方厘米（图中阴影部分）．三角形ABC的面积是多少平方厘米？
多次相遇问题（提高卷）小学数学思维拓展高频考点培优卷（通用版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．甲、乙两人比赛折返跑，同时从A出发，到达B点后，立即返回．先回到A点的人获胜．甲先到达B点，在距离B点24米的地方遇到乙，相遇后，甲的速度减为原来的一半．乙的速度保持不变．在距离终点48米的地方，乙追上甲．那么，当乙到达终点时，甲距离终点（ ）米．
A．6B．8C．12D．16
【分析】根据速度×时间＝路程，可得时间一定时，甲乙的速度之比等于他们跑的路程的比；设A、B之间的距离是x米，则第一次相遇时，甲跑的路程是x+24米，乙跑的路程是x﹣24米，所以第一次相遇时甲乙的速度之比是：（x+24）：（x﹣24），第二次相遇时甲乙的速度之比是：（x﹣24﹣48）：（x+24﹣48）＝（x﹣72）：（x﹣24）；然后根据相遇后，甲的速度减为原来的一半．乙的速度保持不变，可得第一次相遇时甲乙的速度之比是第二次相遇时甲乙的速度之比的2倍，所以（x+24）：（x﹣24）＝2（x﹣72）：（x﹣24），据此求出两地之间的距离是多少；最后求出第二次相遇甲乙速度比是多少，再求出从第一次相遇到乙到终点时，甲跑的路程是多少，进而求出甲距终点还有多少米即可．
【解答】解：设A、B之间的距离是x米，则第一次相遇时，甲跑的路程是x+24米，乙跑的路程是x﹣24米，
所以第一次相遇时甲乙的速度之比是：（x+24）：（x﹣24），
第二次相遇时甲乙的速度之比是：（x﹣24﹣48）：（x+24﹣48）＝（x﹣72）：（x﹣24）；
所以（x+24）：（x﹣24）＝2（x﹣72）：（x﹣24），
因此x+24＝2（x﹣72），
解得x＝168，
即两地之间的距离是168米，
所以第二次相遇时甲乙的速度之比是：
（168﹣72）：（168﹣24）
＝96：144
＝2：3
所以乙到终点时，甲跑的路程是：
（168+24）×23
＝192×23
＝128（米），
因此当乙到达终点时，甲距离终点：
168﹣24﹣128＝16（米）
答：当乙到达终点时，甲距离终点16米．
故选：D。
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握；解答此题的关键是求出两地之间的距离是多少．
2．A在B地西边60千米处．甲乙从A地，丙丁从B地同时出发．甲、乙、丁都向东行驶，丙向西行驶．已知甲乙丙丁的速度依次成为一个等差数列，甲的速度最快．出发后经过n小时乙丙相遇，再过n小时甲在C地追上丁．则B、C两地相距（ ）千米．
A．15B．30C．60D．90
【分析】由n小时乙丙相遇，知n小时内S乙+S丙＝60千米，因此2n小时内S乙+S丙＝120千米．2n小时甲追上丁，2n小时S甲﹣S丁＝60千米．由于甲乙丙丁的速度成等差数列，因此甲乙丙丁2n小时内的路程也成等差数列，于是S甲﹣S丁＝60千米，结合S乙+S丙＝120千米可得．
【解答】解：n小时内S乙+S丙＝60千米
2n小时S乙+S丙＝120千米
设甲乙丙丁2n小时内的路程差为S0，
则S乙＝S甲﹣S0，S丙＝S丁+S0，
则S甲+S丁＝120 ①
2n小时甲追上丁：S甲﹣S丁＝60千米 ②
将①式+②式得S甲＝90千米，S丁＝30千米
BC的距离正好是S丁，
答：BC两地距离30千米．
故选：B．
【点评】重点分析等差数列中甲和乙、丙和丁都是1个公差．
3．甲、乙两人从A地出发，前往B地，当甲走了100米时，乙走了50米，当甲到达B地时，乙距离B地还差100米．甲到达B地后立即调头返回，两人在距离B地60米处相遇，那么，A、B两地的距离（ ）米．
A．150B．200C．250D．300
【分析】在最后100米处，甲走60米，乙走40米，时间相同得出甲乙的速度比是3：2．当甲走了100米，乙走50米时，距离差是50米，此时甲在D点，乙在C点．当甲到达B地时距离差是100米，此时甲在B点，乙在E点，根据题意可知，甲从D到B和乙从C到E的时间相同，且CE和DB的路程差为50，结合甲乙的速度比可解．
【解答】解：
在最后100时甲走60米，乙走40米，两人的速度比是3：2
CE段和DB段的路程差为50米，且路程比为3：2，
设甲行走的DB段为3份路程，乙行走的CE段为2份路程，则50÷（3﹣2）＝50米．
甲3份路程是50×3＝150米，
A、B两地的距离＝AD+DB＝150+100＝250米
故选：C。
【点评】正反比是解行程问题的重要方法．此题特别注意题中没有说同时出发．所以两人的速度比不是2：1．
4．甲、乙两船分别在一条河的A、B两地同时同向而行，甲顺流而下，乙逆流而上，相遇时，甲、乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B，乙到达A后，都按照原路返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行了1千米，如果从第一次相遇到第二次相遇时间间隔1小时，则河水的流速是___千米/小时。（ ）
A．0.5B．1C．2D．4
【分析】根据题意得知：静水中甲船速度比乙船速度慢两倍的水速，那么，乙船顺水速度比甲船的逆水速度就快四倍的水速；又因第二次两船相遇时，他们共行了两个全程，进而得知它们共行一个全程的时间为1÷2＝0.5小时。至此，我们可以得到“四倍水速在0.5小时流行1千米，这样便可求得水速。
【解答】解：1÷2＝0.5（小时）
1÷4÷0.5＝0.5（千米/小时）
答：河水的流速是0.5千米/小时。
故选：A。
【点评】解此题的关键是明白：①两只船无论谁逆谁顺，只要共行一个全程则时间相等；②弄清两船速度之间的关系。
5．A、B两人分别从长200米的直线跑道两端出发来回跑步，A每秒跑2米，B每秒跑3米，匀速跑了20分钟，那么在这段时间内，A、B两人共相遇（ ）次．
A．20B．30C．18D．15
【分析】我们知道：“在第一次相遇时两人只跑了一个全程；而在第一次以后的相遇过程中，每次都跑两个全程“．然后我们求出在20分钟他们共跑了6000米，看这6000米中出来第一次相遇的200米后，还有多少个400米（即相遇几次），之后即可轻松求得答案了．
【解答】解：20分钟＝1200秒
1200×（2+3）＝6000（米）
（6000﹣200）÷（200×2）＝14…200
14+1＝15（次）
故选：D。
【点评】此题关键是明白：在第一次相遇时两人只跑了一个全程；而在第一次以后的相遇过程中，每次都跑两个全程．
6．甲、乙分别从A、B两点出发，在A、B两点间往返行驶，第一次相遇点距离A点50km；第二次相遇点距离B点20km，那么第三次相遇点距离A点（ ）
A．10kmB．20kmC．40kmD．120km
【分析】根据“甲、乙分别从A、B两点出发，在A、B两点间往返行驶，第一次相遇点距离A点50km”得出“第一次相遇时甲走了50km”，他们共走了一个从A至B的全程；以后的每一次相遇他们需要走2个全程，甲要走50×2＝100km；当他们第二次相遇时，甲走了两个相遇点之间的距离和2个20km，这样便可求出第一次相遇点到B的距离为100﹣20＝80km，A、B之间的距离为80+50＝130km；第三次他们相遇时甲共走了50×（1+2+2）＝250km，即甲还差130×2﹣250＝10km到达A点，这便得到了答案。
【解答】解：50×2＝100（km）
100﹣20＝80（km）
（80+50）×2＝260（km）
260﹣50×（1+2+2）＝10（km）
答：第三次相遇点距离A点10km。
故选：A。
【点评】解此题的关键是明白他们每次相遇时所走路程之间情况，例如：“第一次相遇时甲走了50km，他们共走了一个从A至B的全程；以后的每一次相遇他们需要走2个全程，甲要走50×2＝100km”，这样便可轻松作答。
7．甲、乙两人同时从A、B两地相向出发，甲的速度是乙的速度的1.5倍，到达对方出发点后立即返回，如果第一次相遇点和第二次相遇点相距300米，那么，A、B两地的距离为（ ）米．
A．500B．750C．900D．1200
【分析】由“甲的速度是乙的速度的1.5倍”，速度比为甲：乙＝1.5：1＝3：2．第一次相遇甲走了35，乙走25，此时甲距B地25．第二次相遇共走了3个路程，其中甲走35×3=95，此时甲距B地95−1=45，3﹣1＝2，
故300米占总路程的(45−25)．
【解答】解：300÷[（35×3−1）−25]，
＝300÷25，
＝750（米）．
故选：B。
【点评】此题考查了多次相遇的问题，关键要找出“300米”所占的分率．
8．甲、乙两船在静水中的速度相同，它们分别从相距60千米的两港同时出发相向而行，2小时后相遇，如果两船的速度各增加5千米/小时，再次从两港同时出发相向而行，那么它们再次相遇的地点就与前一次的相遇地点相距0.45千米，则，水流的速度是（ ）
A．0.7千米/小时B．1.4千米/小时
C．0.9千米/小时D．1.8千米/小时
【分析】甲、乙二船从相距 60千米的两地同时相向而行，2小时后相遇，那么两船的速度和为：60÷2＝30（千米/小时），速度各增加5千米/小时后的速度和为40千米/小时．则增速后相遇的时间为：60÷40＝1.5（小时）．由此可设甲速度为每小时x千米，那么增速前相遇地距甲为2x千米，增速后相遇地距甲是1.5（x+5）千米，据题可得方程2x﹣1.5（x+5）＝0.45，求出x，即可求出水流的速度．
【解答】解：甲、乙增速后相遇时间为：
60÷（60÷2+2×5）
＝60÷40
＝1.5（小时）；
设甲速度为每小时x千米，据题得：
2x﹣1.5（x+5）＝0.45
0.5x﹣7.5＝0.45
x＝15.9；
则乙的速度为：60÷2﹣15.9＝14.1（千米/小时）；
所以水流的速度是（15.9﹣14.1）÷2＝0.9千米/小时，
故选：C。
【点评】本题关键是通过所给条件找出等量关系列方程解决比较简单．
9．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若乙的速度是甲的速度的5倍，则它们第2010次相遇在边 （ ）上．
A．ABB．BCC．CDD．DA
【分析】因为乙的速度是甲的速度的5倍，所以第1次相遇，甲乙共走了半个周长，甲走了正方形周长的12×16=112，即AD长度的13，第一次相遇在AD边上；第二次相遇时，甲和乙共走了一个周长，甲又走了AD长度的23，故甲乙第二次相遇于D点，从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的16，且从第2次相遇起，6次一个循环，从而不难求得它们第2010次相遇位置．
【解答】解：由题意可得，第1次相遇，甲走了正方形周长的12×16=112；
从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的16，从第2次相遇起，6次一个循环，
从第二次相遇起，每次相遇的位置依次是点D，DC，点C，BC，点B，AB．
2010÷6＝335．
即此时正好在AB边上．
故选：A。
【点评】本题是一道找规律的题目，根据已知条件分析找出规律然后解答是完成此类题目的关键．
10．甲、乙两列车同时从东、西两地相对开出，第一次在东面75千米处相遇，相遇后两列车继续行驶，到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离西面45千米处．东、西两地相距（ ）千米．
A．45B．75C．135D．180
【分析】第一次相遇时，两车共行了东、西两地之间的距离，其中从东边出发的甲行了75千米；即每行一个两地之间的距离，东边出发的甲车就行75千米，第二次相遇时，两车共行了两地距离的3倍，则从东边出发的甲车行了75×3＝225千米；所以，东、西两地相距225﹣45＝180千米．
【解答】解：75×3﹣45＝180（千米）
故选：D。
【点评】在此类相遇问题中，第一次相遇两车共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程．
11．甲、乙两个小电动玩具在一圆形轨道上同时出发，反向行驶，已知甲的速度是每秒40cm，乙的速度是每秒60cm，在2分钟内，它们相遇40次，则轨道长为（ ）cm．
A．300B．350C．400D．250
【分析】根据相遇问题的解决方法：路程＝速度和×时间，先求出2分钟两个小电动玩具所行的总路程．因为在2分钟内，它们相遇40次，也就是行了40圈，因此用2分钟两个小电动玩具所行的总路程除以40就是圆形轨道的长度．
【解答】解：（40+60）×60×2÷40
＝100×60×2÷40
＝12000÷40
＝300（米）
答：轨道长为300米．
故选：A。
【点评】本题主要考查了学生对相遇问题解答方法的掌握情况，关键在于明白：在2分钟内，它们相遇40次，也就是行了40圈．
12．甲、乙两人在长40米的游泳池里沿直线来回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.8米/秒，他们从水池的两端同时出发，来回共游了15分钟．如果不计转向的时间，那么在这段时间里，他们共相遇了（ ）次．（追上也算相遇）
A．15B．18C．20D．21
【分析】确定400秒为一周期，共相遇了9次，可以画出柳卡图，利用周期进行求解即可．
【解答】解：40÷1＝40秒，40÷0.8＝50秒，
经过200秒，甲、乙两人同时游到两端．经过400秒，甲、乙两人同时游到起点．
400秒为一周期，共相遇了9次．
15分钟＝900秒＝2×400+100，
所以在15分钟内相遇的次数是：9×2+2＝20（次）．
故选：C。
【点评】本题考查多次相遇问题，考查周期性的运用，确定周期循环，每一个周期2人相遇9次是关键．
13．快车与慢车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，经过5小时相遇，已知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留1小时后返回，快车到乙地停留1.5小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇共（ ）小时．
A．21.5B．10.3C．20D．11.3
【分析】把甲、乙两地之间的路程看作单位“1”，快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇．由此可知：快车和慢车平均每小时的速度和是15，又知慢车从乙地到甲地用12.5小时，则慢车平均每小时的速度为112.5=225，慢车到甲地停留1小时后返回，快车到乙地停留1.5小时后返回，所以，慢车比快车多行1.5﹣1＝0.5小时，多行了225×0.5=125；到第二次相遇两车一共行驶了甲、乙之间的两个全程，即共行的时间是（2−125）÷15=9.8小时，然后再加上1.5小时即可．
【解答】解：快车每小时行驶的速度为：112.5=225
225×（1.5﹣1）=125
（2−125）÷15=9.8（小时）
9.8+1.5＝11.3（小时）
故选：D。
【点评】此题考查的目的是理解掌握多次相遇问题的基本数量关系：关键是把路程看作单位“1”，求出共同行驶甲、乙之间的两个全程需要的时间．
14．有一个圆，两只蚂蚁分别从直径的两端A与C同时出发，绕圆周相向而行，它们第一次相遇在离A点8厘米处的B点，第二次相遇在离C点6厘米处的D点，这个圆的周长是（ ）厘米．
A．14B．36C．28D．20
【分析】两只蚂蚁第一次相遇时，共行了半个周长，此时甲行了8厘米，即每共行半个圆，甲就走8厘米；离开C点，第二次相遇时，两只蚂蚁共行了3个半圆，则此时甲A从C点到D点行了8×3＝24厘米，又B点距D点为6厘米，则A到B点长24﹣6＝18厘米，所以周长是18×2＝36厘米．
【解答】解：（8×3﹣6）×2
＝（24﹣6）×2
＝18×
＝36（厘米）．
答：个圆的周长是36厘米．
故选：B。
【点评】根据题意得出每共行半个圆，甲蚂蚁就走8厘米，是完成本题的关键．
15．A、B两地相距480千米，甲、乙两车同时从两站相对出发，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去，遇到甲车又返回飞向乙车，这样一直飞下去．燕子飞了（ ）千米两车才能够相遇．
A．240B．300C．400D．480
【分析】要求燕子飞了多少千米，就要知道燕子飞行所用的时间和燕子的速度，燕子的速度是每小时50千米，关键的问题是求出燕子飞行所用的时间，燕子飞行的时间就是甲乙两车的相遇时间，甲乙两车的相遇时间是480÷（35+45）＝6（小时），求燕子飞了距离为50×6千米，计算即可．
【解答】解：480÷（35+45）＝6（小时）
50×6＝300（千米）
故选：B。
【点评】本题解题的关键是要知道燕子飞行的时间就是甲乙两车的相遇时间，注意燕子飞行的路程和飞行方向和路线无关．
二．填空题（共25小题）
16．甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在A、B两地间不断地往返行走。已知甲的速度比乙快50%，二人在点P第一次相遇；此后二人继续前进，在点Q第二次相遇；此后乙的速度保持不变，甲把速度提高，并在点R追上了乙。已知点R刚好位于P、Q两点正中间，那么甲的速度提高为原来的 200 %。
【分析】据“甲的速度比乙的速度快50%”，可推知“甲、乙两人的速度比为3：2”，故第一次相遇时甲、乙路程之比为3：2。设甲所行的路程为3份，乙所行的路程为2份，则 AB全程为5份。那么，第二次相遇地点距A地1份，此后甲提速并在位于PQ这段路的中点R追上乙，则在这个追及过程中甲行了3份路程，乙行了1份路程，所以此时速度比为3：1＝6：2，甲速度刚好是原来的2倍，即提速为原来速度的200%。
【解答】解：（1+50%）：1＝3：2，则：
①第一次相遇时，甲行了3份路程，即P距A有3份的路程，乙行了2份路程，全程为2+3＝5份；
②第二次相遇时，乙行了2×（1+2）＝6份路程，此时Q距A有6﹣5＝1份路程；
③R是P、Q的中点，R距A的距离为（3﹣1）÷2＝1份路程，即在追究过程中乙走了1份路程，甲走了1×2+1＝3份路程，此时甲、乙的速度比为3：1＝6：2；
6÷3＝2＝200%
答：甲的速度提高为原来的200%。
故答案为：200.
【点评】此题只有能灵活运用多次相遇时，他们的行程情况，即可轻松作答。
17．甲从A地出发匀速去B地，乙从B地出发匀速去A地。如果甲提前1小时出发，则两人会在途中的C地相遇。如果两人同时出发，各自到达目的地后立刻调头返回，调头后也会在C地相遇。如果两人同时出发，各自到达目的地后停下；那么，当一个人到达目的地时，另一个人还要 30 分钟到达。
【分析】利用假设法进行解答即可。
【解答】解：假设甲、乙第一次相遇的位置距离中点的长度为一份，那么甲、乙第二次相遇的位置距离中点的长度应该为三份。
注意到甲提前出发的时间长短和相遇点的位移成正比，所以为了让甲.乙相遇的位置偏移到中点处。也就是偏移一份长度，应该让甲提前15分钟出发，也就是说乙走完
全程时甲还差30分钟走完全程。
答：另一个人还要30分钟到达。
故答案为：30。
【点评】本题考查相遇问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题。
18．甲、乙、丙三人分别从A、B、C三地同时出发，匀速行走：C是AB两地之间的一地，AC两地之间距离为360米；甲向B地行走，乙、丙向A行走，当甲、丙相遇时，乙刚好追上丙：乙到达A地后立即调头，当乙追上甲时，丙刚好到A地．那么AB两地之间的距离是 720 米．
【分析】根据题意画出行程图，根据相遇与追及问题以及相同时间内，速度比等于路程比，列出方程求解即可。
【解答】解：设甲、乙、丙的速度分别为x，y，z，BC之间的距离为a千米，
甲丙相遇时可得：
360÷（x+z）＝a÷（y﹣z）
乙追上甲时：
（y﹣x）×360÷z＝a+360
由第一个式子可得：ax﹣360y+（a+360）z＝0
由第二个式子可得：360x﹣360y+（a+360）z＝0
所以a＝360
360+360＝720（米）
答：AB两地之间的距离是720米。
故答案为：720。
【点评】本题主要考查了多次相遇问题，根据相遇和追及时时间相等列出算式是本题解题的关键。
19．一根棍子的左端有10只间隔相等的蚂蚁，向右爬行；棍子右端有6只间隔相等的蚂蚁向左爬行．如果所有蚂蚁的速度都相同；两只蚂蚁若迎面相遇，则立即同时调头往回爬；爬出棍子两头的蚂蚁会掉下去．当所有的蚂蚁都掉下棍子时，它们一共相遇了 60 次．
【分析】结合题意，我们考虑到所有蚂蚁的速度均相同，因此可把题中“两只蚂蚁若迎面相遇，则立即同时调头往回爬”这个条件视为“两只蚂蚁迎面相遇后，各自按照原方向继续爬行”．这样，棍子左端的10只蚂蚁都会与右端的6只蚂蚁相遇，但是左端蚂蚁互相之间、右端蚂蚁互相之间不会相遇，从而一共相遇10×6＝60次．
【解答】解：6×10＝60（次）
故答案为：60．
【点评】解此题的关键是能把题中“两只蚂蚁若迎面相遇，则立即同时调头往回爬”这个条件理解为“两只蚂蚁迎面相遇后，各自按照原方向继续爬行”．
20．一条公路上顺次分布着A、B、C、D、E五个休息区，其中C恰好处于AE中点，而AB段由于道路泥泞，车速在此均只能降低到原来的一半．甲、乙两车分别在A、E两地同时出发相向而行，在C点第一次相遇，之后分别到达对方出发点并调头继续行驶，在B处第二次相遇．若AB段长度为90km，则AE全长为 540 km．
【分析】为了表达，我们先据题意画图，如下
再设AC之间的距离为x千米，由于甲、乙两车在C点第一次相遇，而AB之间车速在此段均降低到原来的一半．据此可知从出发到两车第一次相遇时，甲车若按正常速度应行驶（x+90）千米时，乙车应行驶了x千米．那么从第一次相遇到第二次相遇时，甲、乙所走的路程和恰好是之前的2倍，因此甲、乙两车分别所走的路程也应是之前的2倍，也就是甲应走2（x+90）千米，故从上图可看出CB的距离为：2（x+90）﹣2x＝180千米．这样x＝90+180＝270，则全程为270×2＝540千米．
【解答】解：设AC之间的距离为x千米，得
2（x+90）＝2CE+BC
2x+180＝2x+BC
BC＝180
x＝AB＝90+180＝270（千米）
270×2＝540（千米）
故答案为：540．
【点评】解答此题的关键是画好图，通过图来帮助自己找出解题思路．
21．希希和望望两人在圆形跑道上从同一点同时出发，沿相反方向跑步，他们的速度分别是每秒5米和每秒7米，当他们第一次相遇时，他们彼此交换了速度（即希希变为7米/秒，望望变为5米/秒），并继续前进，再次相遇时再次交换速度，他们从出发到第12次相遇时，他们共在 2 个不同的地点相遇过．
【分析】我们知道类似题目中的相遇问题，只要两人共跑完圆形跑道的一周，便相遇一次；结合题意知，假设他们的出发点为A，第一次相遇时的相遇点为B；因相遇后彼此交换了速度再跑，这说明了这次相遇前希希以5米/秒的速度所跑的路程现在由望望以5米/秒的速度再跑，同样这次相遇前望望以7米/秒的速度所跑的路程现在由希希以7米/秒的速度再跑；可见，跑道被A、B分成的两部分路程，只是所跑的人不同，但路程、速度、时间都是相同的，故得出结论为：只有他们相遇超过2次，他们相遇的不同地点就只有2个﹣﹣出发点和第一次的相遇点．
【解答】解：只有他们相遇超过2次，则相遇的不同地点就只有2个﹣﹣出发点和第一次的相遇点．
故答案为：2．
【点评】此题只要明白：跑道被A、B分成的两部分路程，只是所跑的人不同，但路程、速度、时间都是相同的．
22．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B之间来回往返行驶。甲车每小时行24千米，乙车每小时行56千米。已知两车第一次、第二次相遇地点相距180千米（两车同时在同一地点叫做相遇），那么A、B两地之间的路程是 300 千米；第二、三两次相遇地点之间的路程是 120 千米。
【分析】根据两车速度求出两车走一个全程所需要的的时间比，画出柳卡图，根据每次相遇时走过的路程和之间的关系，从而得出AB两地的距离，及第二三次相遇地点之间的距离即可。
【解答】解：甲乙两车走过全程所需要的时间比为：
124：156=7：3
可得柳卡图：
第一次相遇，两车一共走了一个全程，第二次相遇两车路程差为一个全程，
设A，B之间的距离为x千米，
第一次相遇用时：x÷（24+56）=x80（小时）
第二次相遇用时：x÷（56﹣24）=x32（小时）
两次相遇点之间的距离也就是两次相遇期间甲走的路程：
180＝24（x32−x80）
解得：x＝400
第三次相遇两车总走了三个全程，用时：
400×3÷（24+56）＝15（小时）
第二个相遇点到第三个相遇点的距离为：
24×（15﹣400÷32）＝60（千米）
答：A、B两地之间的距离是400千米，第二、三相遇点之间的距离为60千米。
故答案为：400，60.
【点评】解此题的关键是明白：一个人每次相遇时行程的变化情况，就是每次相遇点的变化情况；利用其变化的行程可列式进行解答。
23．甲车以速度140km/h从A地向B地行驶，乙车和丙车分别以速度100km/h和60km/h从B地向A地行驶．三车同时出发．已知甲、乙相遇地点距离甲、丙相遇地点70km，则A，B两地相距 600 km．
【分析】甲、乙的速度比是140：100＝7：5，相遇时甲行了A、B两地距离的77+5；同理，甲、丙的速度比是140：60＝7：3，相遇时甲行了A、B两地距离的77+3；则70千米相当于A、B两地距离的77+3−77+5，然后根据分数除法的意义解答即可．
【解答】解：140：100＝7：5
140：60＝7：3
70÷（77+3−77+5）＝600（千米）
故答案为：600．
【点评】本题考查了多次相遇问题，关键是根据速度比求出路程比，进而求出具体数量相当于A、B两地距离的几分之几．
24．如图所示，甲车从A，乙车从B同时相向而行．两车第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B，而乙车只行驶了1小时就到达A．甲、乙两车的速度比为 1：2 ．
【分析】先假设第一次相遇时，甲车走过的路程是1，乙车走过的路程是a，则甲、乙的速度比为1：a；由此速度比可知：第一次相遇后，甲、乙两车分别到达B、A两地的时间比为a1：1a=a2：1＝4：1，得到a＝2，至此便可得到甲、乙的速度比了．
【解答】解：设第一次相遇时，甲走的路程为1，乙走的路程为a，由题意得
a1：1a=4：1
a2＝4
a＝2
1：a＝1：2
故：此空为1：2．
【点评】解此题的关键是要“恰当的设出第一次相遇时甲、乙两车各走的路程”，之后的列式求解解简单了．
25．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度是乙的速度的2倍．两个相遇后继续往前走，各自到达B、A后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇地点是12千米，那么A、B两地相距 18 千米．
【分析】首先设V甲（甲的速度），2V乙＝V甲，甲的速度是乙的2倍，那么在相同时间内走的路程也是乙的二倍，所以第一次相遇是在距B点“三分之一的总路程”的地方，第二次相遇则甲乙两个人的路程和是“三倍的总路程”，同上，时间一定，路程与速度成正比，所以甲走了两个总路程，乙走了一个总路程，所以第二次相遇时乙正好在A地，所以离第一次相遇就是“三分之二的总路程”，也就是题中给的12千米，所以总路程为12÷23=18千米．
【解答】解：因为2V乙＝V甲，所以在相同时间内走的路程也是乙的二倍，
则以第一次相遇是在距B点“三分之一的总路程”的地方；
第二次相遇两人共行“三倍的总路程”，则乙行了一个总路程，甲行了两个总路程，
即第二次相遇时乙正好在A地．又第二次相遇的地点距第一次相遇地点是12千米，
而第一次相遇地点据A地为1−13=23的总路程，
所以总路程为：12÷23=18（千米）；
答：A、B两地相距18千米．
故答案为：18．
【点评】本题主要是依据“时间一定，路程与速度成正比”来进行分析解答的．
26．甲、乙两人在长为400米的环形跑道上练习跑步，他们同时从一点出发背向而行。已知甲的速度比乙快，出发后第1次相遇点与第3次相遇点相距50米，且第3次相遇时甲乙均回到过起点1次，那么出发后第1次相遇时甲跑了 225 米。
【分析】第1次相遇到第3次相遇甲乙合跑2个全程，甲比乙多跑50×1＝100米，所以第1次相遇时，甲比乙多跑了100÷2＝50（米），那么甲此时跑了（400+50）÷2＝225（米）。
【解答】解：50×1＝100（米）
100÷2＝50（米）
（400+50）÷2
＝450÷2
＝225（米）
答：出发后第1次相遇时甲跑了225米。
故答案为：225。
【点评】本题考查的关键是看清是相遇问题以及找到第10次相遇时用的时间为多少，有一定难度。
27．甲、乙两人分别从相距75千米的A、B两地同时出发，相向而行。跟甲同时出发的还有一只小狗，它会在甲、乙两人之间往返奔跑。已知甲速是每小时7千米，小狗的速度为每小时63千米。当小狗第一次返回遇到甲时，甲、乙相距45千米。那么，甲与小狗第二次相遇时，甲、乙之间的距离为 27 千米。
【分析】根据题意知：甲与小狗的第一、二次相遇，他们两人以及狗之间的行程比是一样的（因为他们及狗的速度没变），据此即可求得答案。
【解答】解：①甲与小狗的第一次相遇，甲、乙两人距离与原始行程比
75：45＝5：3
②根据他们每次相遇时，这个比值不变得
45÷5×3＝27（千米）
答：甲、乙之间的距离为27千米。
故答案为：27.
【点评】此题的关键是不要被题目中的干扰数据所迷惑，只要明白“只要他们的速度不变，则行程之间的关系就不变”。
28．甲、乙、丙三人同时从A出发匀速向B行走；甲到B后立即调头，与乙相遇在距离B地100米的地方；甲再行120米与丙相遇时，乙恰好到B，那么此时甲共行了 1320 米．
【分析】甲到B后立即调头，与乙相遇在距离B地100米的地方，即甲、乙共行了2个A、B间的总路程；甲再行120米与丙相遇时，乙恰好到B，那么在相同的时间内，甲行120米，乙就行100米，所以速度比和路程比都是120：100＝6：5，那么甲、乙相遇时，100就相当于总路程的6−56+5，那么A、B之间的距离是100÷6−56+5=1100米，然后再加上1100+100+120＝1320（米）即可求出甲总共走的路程．
【解答】解：120：100＝6：5
100÷6−56+5=1100（米）
1100+100+120＝1320（米）
故答案为：1320．
【点评】解答本题关键是明确在相同的时间内，速度比就等于路程比．
29．甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，那么A、B两地之间的距离是 18 千米．
【分析】根据题意知：甲、乙两人从出发到第一次迎面相遇共走了1个AB全程；甲、乙两人从出发到第二次迎面相遇共走了3个AB全程；故甲、乙两人从出发到第二次相遇的用时是从出发到第一次相遇用时的3÷1＝3倍．甲在第一次相遇时走了7千米，则在第二次相遇时走了7×3＝21千米，这21千米相当于1个AB全程再加3千米，那么A、B两地之间的距离为21﹣3＝18千米．
【解答】解：7×3＝21（千米）
21﹣3＝18（千米）
故答案为：18．
【点评】解此类问题的关键就是结合画图，理清他们两次相遇情况之间的关系．
30．甲、乙两人在如图的跑道上练习跑步，两人从A点同时出发，甲在A、E之间做折返跑（转身时间不计），乙则沿着正方形跑道ABCD顺时针跑步，已知AB＝BE＝100米，且两人跑步的速度都在每秒3米到每秒8米之间，如果两人出发2分钟后第一次相遇，之后隔了15秒后两人第二次相遇，那么两人第二次相遇处距离A 75 米。
【分析】根据题意可得甲乙的两次相遇都在AB上，且甲的速度大于乙的速度，第一次相遇乙走了400米多一些，则甲走了700米多一些，两人相遇时所走的总路程是1200米，由此可计算出两人的速度和是1200÷120＝10（米/秒），接下来的15秒两人共走15×10＝150（米）后再次相遇，这150米正好是第二次相遇点与A点距离的2倍，据此解答即可。
【解答】解：2分＝120秒
1200÷120＝10（米/秒）
10×15÷2＝75（米）
答：两人第二次相遇处距离A75米。
故答案为：75。
【点评】抓住第一个相遇时两人走的路程和，据此计算出两人的速度和是解答本题的关键。
31．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向匀速行进，在距A地60千米处相遇．相遇后，两车继续行进，分别到达B，A后，立即原路返回，在距B地50千米处再次相遇．则A，B两地的路程是 130 千米．
【分析】可以利用相遇时距离之比等于速度之比，列出关系式，可设AB两地间的距离为S，第一次相遇时，甲走了60千米，而乙走了S﹣60千米，第二次相遇，甲又走了S﹣60+50千米，乙又走了60+S﹣50千米，从而可以求出S的值．
【解答】解：根据分析，设AB两地间的距离为S，第一次相遇时，甲走了60千米，而乙走了S﹣60千米，
第二次相遇，甲又走了S﹣60+50千米，乙又走了60+S﹣50千米，
则：60S−60=S−60+5060+S−50，
解得：S＝130．
故答案是：130．
【点评】本题考查了多次相遇问题，突破点是：根据相遇时距离之比等于速度之比，列关系式求解．
32．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间不断地往返行驶，甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米。已知两车第10次与第18次迎面相遇地点相距60千米，问：AB间的路程是 105 千米。
【分析】根据题干中甲车和乙车的速度，可求得他们的速度比为20：50＝2：5，也就是说他们每共行一个全程，甲就行全程的27；并且还知道它们除第一次相遇是共行了一个全程，其余的都是共行了两个全程，那么第十次相遇就是共行了10×2﹣1＝19个全程，其中甲船行了19×27=537个全程，即离开B地返回到全程的37处；第18次相遇就是共行了18×2﹣1＝35个全程，其中甲船行了35×27=10个全程，即正好到达A地；这就是说60千米是全程的1−37=47，之后便可求得全程。
【解答】解：20：50＝2：5
22+5=27
10×2﹣1＝19
19×27=537
18×2﹣1＝35
35×27=10
60÷（1−37）＝105（千米）
答：AB间的路程是105千米。
故答案为：105.
【点评】解此题的关键是明白：他们每共行一个全程，甲就行全程的27，这是不变的。
33．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地之间不断往返行进，当甲第5次到达B地的时候，乙恰好第9次回到了B地，则当甲第2015次到达B的时，两人一个相遇了 6044 次（迎面碰到和追上都算相遇，如果最后同时到达B地，也算一次相遇）
【分析】甲第5次到达B地的时候，走了9个全程，乙恰好第9次回到了B地，走了18个全程，所以乙的速度是甲的速度的2倍，可以画出柳卡图，利用周期进行求解即可．
【解答】解：甲第5次到达B地的时候，走了9个全程，乙恰好第9次回到了B地，走了18个全程，所以乙的速度是甲的速度的2倍，可以画出柳卡图如下：
甲每走2个全程，2人均回到各自的出发点，进行周期循环，每一个周期2人相遇3次，
当甲第2015次到达B地时，即共经过了2014个完整周期和一个不完整的半周期，两人相遇2014×3+2＝6044．
故答案为：6044．
【点评】本题考查多次相遇问题，考查周期性的运用，确定周期循环，每一个周期2人相遇3次是关键．
34．甲、乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动．两人在中途的C加油站处第一次迎面相遇，相遇后，两人继续行进并在D加油站处第二次迎面相遇．若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知CD之间距离为60千米，则从A地到B地的全程为 150 千米．
【分析】甲乙两人第一次相遇，甲行了AC，乙行了BC；第二次相遇时，甲行了全程加上BD，乙行了全程加上AD．因此这个路程和是三个全程，所以全程加上BD是AC的三倍．根据“若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处”说明AD的路程是AC的2倍．
【解答】解：
AD的长度60×2＝120（千米）
甲乙第二次相遇时，甲行的路程是60×3＝180（千米）
BD的长度是（180﹣120）÷2＝30（千米）
全程是30+120＝150（千米）
故填150
【点评】此题的关键是两点：一是第二次相遇时甲行的路程是第一次的三倍；二是AD的长度是两个AC．
35．甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒，若他们同时从同一端出发跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇 23 次（端点除外）．
【分析】根据题意，要明白他们的迎面相遇时，2人一共的行程是2个单程120×2＝240（米），用时为240÷（3+5）＝30（秒），即每30秒就相遇一次（包括端点的）．那端点的相遇用时为：2人单程用时（120÷3＝40，120÷5＝24）的公倍数，最小公倍数第一次在端点相遇的用时．用120÷30＝4可知，他们4次相遇中就有1次为端点相遇．即15分钟内相遇的总次数为：15×60÷30＝30，其中在端点相遇的次数为30÷4的整数部分，即7．所以 他们在这段时间内共迎面相遇（端点除外）的次数为：30﹣7＝23
【解答】解：240÷（3+5）＝30（秒）
120÷3＝40（秒）
120÷5＝24（秒）
40与24的最小公倍数120（2人第一次在端点相遇的用时）
120÷30＝4
15×60÷30＝30（次）
30÷4＝7…2
30﹣7＝23（次）
答：他们在这段时间内共迎面相遇23次（端点除外）．
【点评】此题的关键是搞明白他们每次相遇的2人行程均为240米和每次在端点相遇的用时为：2人单程用时（120÷3＝40与120÷5＝24）的公倍数．
36．爷爷带着孙子去运动场玩儿，运动场有一个环形大跑道，爷爷准备围绕着大跑道慢走一圈，孙子却要跑圈，他们从跑道上A点同时反向出发，孙子每跑一圈就改变一次方向，如果孙子第4次遇到爷爷后，又跑了三分之一圈回到A点，那么孙子的速度是爷爷的 5.5 倍.
【分析】根据题意知：他们第4次相遇时，孙子跑3圈后追上爷爷，即孙子跑了323圈，爷爷走了23圈，则孙子速度与爷爷速度比为11：2，那么孙子的速度是爷爷的11÷2＝5.5倍。
【解答】解：323：23=11：2
11÷2＝5.5
答：孙子的速度是爷爷的5.5倍。
故答案为：5.5.
【点评】解此题的关键是明白他们每次相遇是种什么情况（是不同方向行进的相遇还是同方向行进的追上），之间才能分析出他们各自的行程情况，才能进而作答。
37．甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地8千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距A地6千米处第二次相遇，则A、B两地的距离是 15 千米．
【分析】据题干画图（见下图），见相遇情况：甲、乙两人从出发到第一次迎面相遇共走了1个AB的全程，到第二次迎面相遇就共走了3个AB的全程；则他们从出发到两次相遇所用时间为3倍的关系，那么甲从出发到第二次相遇共走了8×3＝24千米，24+6＝30千米就是2个AB的全程，至此即可求出答案．
【解答】解：8×3+6＝30（千米）
30÷2＝15（千米）
故答案为：15．
【点评】此题借助于画图，更容易找到解题思路．
38．甲、乙、丙三人每分钟分别走60米、50米、40米，甲从A地出发，乙和丙从B地出发，三人同时出发，相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟后又与丙相遇，则A、B两地间的距离是 16500 米．
【分析】甲首先在途中与乙相遇，之后15分钟又与丙相遇，则甲、乙相遇时，乙、丙相距（60+40）×15＝1500米，则根据路程差÷速度差＝共行时间可知，甲、乙相遇时，他们行驶的时间为：1500÷（50﹣40）＝150分钟，所以A、B两地相距（50+60）×150＝16500（米）．
【解答】解：（60+40）×15＝1500（米）
1500÷（50﹣40）＝150（分钟）
（50+60）×150＝16500（米）
故答案为：16500．
【点评】本题考查了相遇问题，根据甲乙相遇后甲又与丙的相遇时间，求出甲、乙相遇时乙、丙的距离差是完成本题的关键．
39．如图，AB是一条长28米的小路，M是AB的中点，一条小狗从M左侧一点出发在小路上奔跑．第一次跑10米，第二次跑14米；…；第奇数次跑10米，第偶数次跑14米；出发时或每次跑完后小狗按如下一次的奔跑方向；每次如果M点在它右边，它就向右跑；如果M点在它左边，它就向左跑．如果它跑了20次之后在B点左侧1米处，那么小狗开始时距A点 7 米．
【分析】可以从最后的情况出发，用倒推的方法求出原始位置．
【解答】解：设中点的位置为0，左边为负，右边为正
则第20次之后的位置是28÷2＝14，14﹣1＝13，表示为+13
第19次之后的位置是+13﹣14＝﹣1
第18次之后的位置是﹣1﹣10＝﹣11
第17次之后的位置是﹣11+14＝+3
第16次之后的位置是+3+10＝+13
从上面可以看出，经过4次之后又回到了+13这个位置
由此可以退出，第4次之后，小狗回到了+13这个位置
第3次之后小狗回到+13﹣14＝﹣1位置
第2次之后小狗位置是﹣1﹣10＝﹣11
第1次之后小狗的位置是﹣11+14＝+3位置
因为原始位置在M点左侧，
所以原始位置是+3﹣10＝﹣7位置
原始位置距离A点14﹣7＝7米
故此题填7．
【点评】采用倒推法，列举出几种情况后，发现规律，然后利用规律解题．
40．甲、乙两个机器人同时从A、B两地出发，在A、B之间不停地往返行走．A、B两地相距90米，出发时，两人速度相同，乙的速度始终不变．
第一次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的12，
第二次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的13，
第三次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的14，
第四次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的15，
第五次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度，
第六次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的12
第七次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的13，…
按照上述规律变化速度．则第2015次迎面相遇地点距A地 18 米．
【分析】由题意知，此题的行程问题是：从出发到第一次迎面相遇，甲与乙共行了1个AB全程，之后的每一次相遇都要共行2个AB的全程．然后据此可列出每次相遇时，甲走的路程，再从中找到规律并利用此规律求出他们第2015次迎面相遇甲共行了105138米，之后便可求得甲走了多少个来回情况即可得到答案．
【解答】解：90×2＝180（米）
90×11+1=45（米）
180×11+2=60（米）
180×11+3=45（米）
180×11+4=36（米）
180×11+5=30（米）
180×11+1=90（米）
180×11+2=60（米）
180×11+3=45（米）
180×11+4=36（米）
180×11+5=30（米）
…
（45+60+45+36+30）+（90+60+45+36+30）×（2015÷5﹣1）＝105138（米）
105138÷（90×2）＝584…18，即甲走了584个来回多18米，就是说第2015次迎面相遇地点距A地18米．
故答案为：18．
【点评】解此题的关键是找出相遇时他们行程的规律及甲或乙一人的行程规律，之后即可轻松作答．
三．解答题（共20小题）
41．甲乙车同时从A、B两地相向而行，第一次相遇距离A地80千米，两车仍以原速行驶，分别到达B、A两地后立即返回，在离B地60千米处第二次相遇，A、B两地相距多少千米？
【分析】第一次相遇距离A地80千米，那么第一次相遇时甲走了80千米，即两车每共行一个全程甲都行80千米，第二次相遇时，甲乙两车共行了三个全程，则甲此时行了80×3＝240千米，由于在距B地60千米处再次相遇，则全程为240﹣60＝180千米．
【解答】解：80×3﹣60
＝240﹣60
＝180（千米）
答：A、B两地相距180千米．
【点评】在此类相遇问题中，第一次相遇两车共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程．
42．甲乙二人以均匀的速度分别从AB两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地3千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地2千米处第二次相遇，求第2000次相遇地点与第2001次相遇地点之间的距离．
【分析】因为我们知道：他们的相遇中，只有第一次相遇甲走了3千米，以后的每次相遇甲都走2个3千米．所以我们由此就能求出AB两地的距离7千米和第2000次与2001次的相遇甲走了多少千米；然后再用“这个千米数”除以7看商的整数部分的奇偶性，若是奇数这说明到达B地了，余数就是与B地的距离；若是偶数这说明到了A地，余数就是与A地的距离了；根据此规律我们就可以得出答案了．
【解答】解：①第二次相遇时，甲走的路程是3×3＝9千米，则AB两地的距离是9﹣2＝7千米
②（2000﹣1）×（3×2）+3＝11997
11997÷7＝1713…6，这说明甲在距B地6千米处；
（2001﹣1）×（2×3）+3＝12003
12003÷7＝1714…5，这说明甲在距A地5千米处；
综上得：5﹣（7﹣6）＝4（千米）
答：他们第2000次相遇地点与第2001次相遇地点之间的距离是4千米．
【点评】解答此类问题的关键是“弄清楚他们每次相遇距两地情况的规律”，之后即可轻松解题．
43．甲、乙二人分别从A，B两地出发相向而行，到达目的地后马上掉头回到出发地，他们第一次相遇距A地800米，第二次相遇距B地500米，A，B两地相距多少米？
【分析】当两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，第一次相遇时甲应该行了800米，再次相遇时，甲应该行驶了3个第一次相遇时行驶的距离，即800×3＝2400米，最后减第二次相遇时甲距离B地的距离即可解答．
【解答】解：800×3﹣500
＝2400﹣500
＝1900（米）
答：AB两地相距1900米．
【点评】明确两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，是解答本题的关键．
44．甲、乙、丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走80米，丙每分钟走70米，现甲和乙从学校出发，丙从书城三人同时相向而行，丙遇到乙后又经过2分钟遇到甲，学校距书城多少米？
【分析】首先根据速度×时间＝路程，用甲、丙的速度之和乘2，求出乙、丙相遇时，甲、乙走的路程之差是多少；然后用乙、丙相遇时，甲、乙走的路程之差除以甲、乙的速度之差，求出乙、丙相遇用的时间是多少；最后用乙、丙相遇用的时间乘乙、丙的速度之和，求出学校距书城多少米即可．
【解答】解：（60+70）×2÷（80﹣60）×（80+70）
＝130×2÷20×150
＝260÷20×150
＝13×150
＝1950（米）
答：学校距书城1950米．
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出乙、丙相遇用的时间是多少．
45．A、B两地相距130千米，已知人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行驶速度是每小时50千米，摩托车后座可带一人．问：有三人并配备一辆摩托车从A地到B地最少需要多少小时？
【分析】假设骑摩托车的人是甲先带一人乙到距离终点某处将乙放下，回头带步行的人丙，然后摩托车和乙同时到终点，这时用时是最少的．
【解答】解：
设骑摩托车的人是甲，带着乙到距离终点x千米处将乙放下，回头带丙，最后同时到达乙地．
因为摩托车车的速度是步行速度的50÷5＝10倍，所以当摩托车回头时，甲已经行了（130﹣x）×110
摩托车要回头行（130﹣x）×910×1011=（130﹣x）×911
所以摩托车从回头到再回头行到终点所行距离是（130﹣x）×911×2+x
列出方程
x÷5＝[（130﹣x）×911×2+x]÷50
10x＝（130﹣x）×911×2+x
9x＝（130﹣x）×911×2
两边乘119
11x＝260﹣2x
x＝20
（130﹣20）÷50+20÷5＝6.2（小时）
答：最少要用6.2小时．
【点评】此题的关键是分析出摩托车行驶的路程．
46．小红和小强同时从家里出发相向而行．小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇．若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇．小红和小强两人的家相距多少米？
【分析】据题意可知，原来小红和小强的速度比为 52：70＝26：35，则相遇时小强走了全程的 35÷（26+35）=3561；后来小红和小强的速度比为 52：90＝26：45，相遇时小强同样走了全程的 3561，则小红在小强出发后行了全程的 3561×2645=182549；已知，小红提前4分钟出发，共走了 52×4＝208 米，可得：小红和小强两家相距 208÷（1−3561−182549）＝2196 米．
【解答】解：原来小红和小强的速度比为：52：70＝26：35，则
相遇时小强走了全程的：35÷（26+35）=3561；
后来小红和小强的速度比为 52：90＝26：45，相遇时小强同样走了全程的 3561，
则小红在小强出发后行了全程的 3561×2645×=182549；
小红和小强两家相距：
（52×4）÷（1−3561−182549）
＝208×54952，
＝2196（米）．
答：小红和小强两人的家相距2196米．
【点评】完成本题主要是依据两人前后两次速度比的变化及两次所行路程进行推理解答的．
47．A、B两地相距200千米。某日，甲、乙两人同时从A、B两地出发，匀速相向而行，在C处相遇。若甲速度提高12千米/时，则两人在距C处25千米的地方相遇。若乙速度提高12千米/时，则两人在距C处15千米的地方相遇。那么甲的速度为多少？
【分析】根据题意，我们知道两种假设相遇的时间相同，故甲、乙速度比是15：25＝3：5；则AC的距离是200×33+5=75千米。若甲提高速度，甲、乙速度比变为（75+25）：（200﹣75﹣25）＝1：1，所以甲的实际速度为12×35−3=18千米/小时。
【解答】解：甲、乙速度比是15：25＝3：5
AC距离：200×33+5=75（千米）
因若甲提高速度，甲、乙速度比变为（75+25）：（200﹣75﹣25）＝1：1
所以甲的实际速度：12×35−3=18（千米/小时）
答：甲的速度为18千米/小时。
【点评】此题主要是由题意先得到：两种假设相遇的时间相同，进而得到甲、乙速度比，之后方可顺利解答。
48．艾迪和薇儿从400米环形跑道的同一点出发，背向而行．当他们第一次碰面时，艾迪转身往回跑；当他们第二次碰面时，薇儿转身往回跑；以后每次碰面分别是艾迪和薇儿两人交替调转方向．两人的速度在运动过程中始终保持不变，艾迪每秒钟跑5米，薇儿每秒钟跑3米．（注：碰面包括迎面相遇和追及相遇．）
（1）当两人第二次碰面时，碰面地点距离出发点的最短距离为多少米？
（2）当两人第三次碰面时，碰面地点距离出发点的最短距离为多少米？
（3）当两人第四次碰面时，碰面地点距离出发点的最短距离为多少米？
【分析】根据题意知：他们奇数次相遇时是异向，相遇时间为400÷（3+5）＝50秒；偶数次相遇是同向，相遇用时为400÷（5﹣3）＝200秒；然后以薇儿为基准用行程公式即可分别求出3个问题的答案．
【解答】解：（1）400÷（3+5）＝50（秒）
50×3＝150（米）
400÷（5﹣3）＝200（秒）
200×3＝600（米）
（150+600）÷400＝1…350
400﹣350＝50（米）
答：碰面地点距离出发点的最短距离为50米．
（2）150+50＝200（米）
答：碰面地点距离出发点的最短距离为200米．
（3）（50+150+600）÷400＝2（圈）
答：碰面地点距离出发点的最短距离为0米．
【点评】此题解答的关键是定下以谁为基准求其行程，算出据出发点的距离即可．
49．甲、乙两人分别从A、B两地同时以30千米/时、20千米/时速度相向而行，相遇后继续前行各自到达B、A两地后立即返回，到第二次相遇时相遇点，该点离第一次相遇点40千米，求A、B两地相距多少千米？
【分析】由甲速度：乙速度＝30：20＝3：2 可知，第一次相遇时甲走了全程的35，乙为25；从第一次相遇到第二次相遇，两人又共走了两个全程，则从第一次相遇的地点到第二次相遇，甲又行了2×35=65，即到起点还有65−1=15，所以第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是相差全程的35−15=25，即可求出A、B两地相距的距离．
【解答】解：由分析可得A、B两地相距40÷[35−（2×35−1）]＝100千米．
答：A、B两地相距100千米．
【点评】在相遇问题中，此类到达目的地又返回第二次相遇的，都共行了全程的三倍．
50．王师傅早晨骑车从A地出发去B地．中午12时，李师傅也从A地出发开车前往B地，经过1小时30分钟，两人之间正好相距18千米．下午2时30分，两人之间恰好又相距18千米．经过连续不断地行驶，16时李师傅到达了B地，王师傅在18时也到达了B地．试求王师傅的出发时刻．
【分析】根据题目中的条件，我们可推出两个“两间之间相距18千米“知：第一次是王师傅在李师傅前，第二次恰好相反，进而得到从13时30分到2时30分的时间，即1小时内李师傅比王师傅多走了18+18＝36千米；之后再设出下午2时30分时，李师傅距B地的距离为x千米，则王师傅据B地的距离为（x+18）千米，进而得x÷（4﹣2.5）﹣（x+18）÷（6﹣2.5）＝36方程并解之；接着可求出李师傅的速度和两师傅的速度关系为2倍；然后据此和李师傅行全程的用时，推出王师傅的用时，至此便可推算出答案．
【解答】解：设下午2时30分时，李师傅距B地的距离为x千米，则王师傅据B地的距离为（x+18）千米，得
x÷（4﹣2.5）﹣（x+18）÷（6﹣2.5）＝36
8x＝36×24
x＝108
108÷（4﹣2.5）＝72（千米/小时）
72﹣18×2＝36（千米/小时）
16时﹣12时＝4时
72÷36×4＝8（时）
从16时向前推8个小时应是上午10时
答：王师傅出发时刻为上午10点．
【点评】解此题，首先是理清两师傅的每个时间段的行程情况，之后便于得出两人之间的速度关系，进而入手解答即可．
51．两名运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度每秒0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了10分，如果不计转身时间，那么这段时间内共相遇多少次？
【分析】甲游30米需要30÷1＝30秒，乙游30米需要30÷0.6＝50秒，经过150秒，甲、乙两人同时游到两端，每隔150秒他们相遇的情况重复出现．如图，实线表示甲，虚线表示乙，两线的交点就是甲、乙相遇的地点（游泳池的两端用两条线段表示），可以看出经过150秒，甲游了5个30米，乙游了3个30米，共相遇了5次．以150秒为一个周期，10分钟是600秒，600÷150＝4，有4个150秒，所以在10分钟内相遇的次数是：5×4＝20（次）．
【解答】解：30÷1＝30秒，30÷0.6＝50秒，经过150秒，
甲、乙两人同时游到两端．
150÷30＝5，150÷50＝3，共相遇了5次．
10分钟＝600秒，600÷150＝4，有4个150秒，所以在10分钟内相遇的次数是：5×4＝20（次）．
答：10分钟内共相遇20次
【点评】此题考查了路程、速度与时间的关系，以及借助图形分析问题、解决问题的能力．
52．甲、乙两车同时从A地开往B地，甲比乙每小时多行12千米，甲行了4.5小时到达B地后，立即原路返回，在距离B地30千米的地方又与乙车相遇，求A、B两地的距离．
【分析】根据题意知：两车相遇时，甲车比乙车多行了30+30＝60千米．接着据“追及问题公式”即可求出他们的相遇时间60÷12＝5小时，进而求得甲车的速度为30÷（5﹣4.5）＝60千米/小时，之后利用“行程公式”即可求出问题答案．
【解答】解：30×2÷12＝5（小时）
30÷（5﹣4.5）＝60（千米/时）
60×4.5＝270（千米）
答：A、B两地距离是270千米．
【点评】解此题的关键是“利用追及问题公式求出两车的相遇时间”，之后即可轻松作答．
53．某轮船公司较长时间以来，每天中午有一只轮船从哈佛开往纽约，并且在每天的同一时间也有一只轮船从纽约开往哈佛，轮船在途中所花的时间，来去都是七昼夜，问今天中午从哈佛开出的轮船，在整个航运途中，将会遇到几只同一公司的轮船从对面开来？
【分析】据“每天中午有一只轮船从哈佛开往纽约，并且在每天的同一时间也有一只轮船从纽约开往哈佛，轮船在途中所花的时间，来去都是七昼夜”可知每天中午，一只轮船开出时，同时有一只轮进入，即出港时就遇到一艘；那么途中遇到几只呢？设每艘轮船每昼夜行驶的里程为1，一艘轮船刚与迎面驶来的轮船相遇时，同下一艘即将相遇的轮船间刚好相差一昼夜的航程，即为1．因此，同下一轮船相遇的时间应是1÷（1+1）＝0.5（昼夜），也就是说一艘轮船可以在一昼夜遇到两艘从迎面驶来的轮船．那么，七昼夜一共可以遇到7×2＝14（只）从对面开来的轮船，加上出港时遇到的一只，一共15只轮船．
【解答】解：据题意可知，一只轮船开出时，同时有一只轮进入，即出港时就遇到1艘；
设每艘轮船每昼夜行驶的里程为1，则：
同下一轮船相遇的时间应是1÷（1+1）＝0.5（昼夜），那么，七昼夜一共可以遇到7×2＝14（只）；
加上出港时遇到的一艘共：1+14＝15（只）；
答：在整个航运途中，将会遇到15只同一公司的轮船从对面开来．
【点评】本题为著名的“柳卡问题”，也可通游戏法实际体验下进行解答．
54．甲乙二人分别从A、B两地同时相向出发，往返于A、B之间，第一次相遇在距A地30千米处，第二次相遇在距A地60千米处，求A、B两地的距离．
【分析】根据题意，我们可得出他们第二次相遇有两种情况，则A、B两地的距离就有两种可能：（1）第一次相遇后，乙到A地，又返回追上甲，此时甲还未到B地；设第一次相遇在C处，甲走30公里，乙走S公里，第二次相遇在D处，甲又走30即30+30＝60公里，乙又走 30+60+90＝180公里（如下图）
故S＝180÷2＝90公里，A、B两地相距 30+90＝120公里．
（2）第一次相遇后乙到A地，甲到B地，二人返回第二次相遇；设第一次相遇在C处，甲走30公里，乙走S公里，A、B两地相距30+S公里．（如下图）
第二次相遇时，乙又走90公里，二人又合走两个A、B间的距离，故从第一次相遇到第二次相遇乙走了2S公里，2S＝90，S＝45公里，A、B两地相距30+45＝75公里．
【解答】解：甲、乙二人分别从A、B两地同时相向出发，往返于A、B之间，第一次相遇在距A地30千米处，第二次相遇在距A第60千米处，则A、B两地的距离有两种可能：
（1）第一次相遇后，乙到A地，又返回追上甲，此时甲还未到B地．
30+30＝60（公里）
30+60+90＝180（公里）
180÷2＝90（公里）
30+90＝120（公里）
（2）第一次相遇后乙到A地，甲到B地，二人返回第二次相遇．
30+30×2＝90（公里）
90÷2＝45（公里）
30+45＝75（公里）
答：A、B两地间的距离为120或75公里．
【点评】解答此题一定要考虑全面，分情况进行解答，否则会出现漏答的情况．
55．甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，两人的速度保持不变．第一次两人相遇时距A地800米，相遇后他们继续向两地目的地进发，到达目的地后立即返回，第二次两人相遇时距A地1200米，求A、B之间距离．
【分析】当两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，第一次相遇时甲应该行了800米，再次相遇时，甲应该行驶了3个第一次相遇时行驶的距离，即800×3＝2400米，最后加上第二次相遇时甲距离A地的距离就是2个两地间的距离，然后用除法即可解答．
【解答】解：（800×3+1200）÷2
＝3600÷2
＝1800（米）
答：A、B两地相距1800米．
【点评】明确两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，是解答本题的关键．
56．如图，△ABC是边长为108cm的等边三角形，虫子甲和乙分别从A点和C点同时出发，沿△ABC的边爬行，乙逆时针爬行，速度比是4：5．相遇后，甲在相遇点休息10秒钟，然后继续以原来的速度沿原方向爬行；乙不休息，速度提高20%，仍沿原方向爬行，第二次恰好在BC的中点相遇．求开始时，虫子甲和乙的爬行速度．
【分析】开始时甲乙速度比是4：5，则路程比也是4：5，甲的路程＝108×2÷（4+5）×4＝96（厘米），乙的路程＝108×2﹣96＝120（厘米）．第二次在BC中点相遇，则由第一次相遇到第二次相遇甲的路程是120﹣108÷2＝66（厘米），乙的路程是96+108+108÷2＝258（厘米）．相遇后甲乙速度比＝4：（5×120%）＝2：3，故甲行
66厘米时，乙爬行的路程是66÷2×3＝99（厘米），则甲休息的10秒钟，乙爬行的距离是258﹣99＝159（厘米），乙最初的爬行速度是159÷10÷（1+20%）＝13.25（cm/s），甲的速度是13.25÷5×4＝10.6（cm/s）．
【解答】解：甲的路程＝108×2÷（4+5）×4＝96（厘米），乙的路程＝108×2﹣96＝120（厘米）．
第二次在BC中点相遇，则由第一次相遇到第二次相遇甲的路程是120﹣108÷2＝66（厘米），乙的路程是96+108+108÷2＝258（厘米）．
相遇后甲乙速度比＝4：（5×120%）＝2：3，故甲行66厘米时，乙爬行的路程是66÷2×3＝99（厘米），
则甲休息的10秒钟，乙爬行的距离是258﹣99＝159（厘米），
乙最初的爬行速度是159÷10÷（1+20%）＝13.25（cm/s），甲的速度是13.25÷5×4＝10.6（cm/s）
答：虫子甲的爬行速度为10.6cm/s，乙的爬行速度为13.25cm/s．
【点评】本题考查了多次相遇问题，关键是得出相遇后甲乙速度比＝4：（5×120%）＝2：3，故甲行66厘米时，乙爬行的路程是66÷2×3＝99（厘米）．
57．甲、乙、丙三人同时、同向、从同一地点出发，沿周长是360米的环形路行走，甲每分钟走30米，乙每分钟走50米，丙每分钟走90米．
（1）出发几分钟后，甲、丙第一次同时回到出发点？
（2）出发几分钟后，三人第一次同时回到出发点？
（3）出发几分钟后，三人第一次同时到达同一地点？
【分析】（1）由题意，可知：甲走一圈，所用时间为：360÷30＝12 （分钟）；丙走一圈，所用时间为：360÷90＝4 （分钟）．根据因数倍数知识，可得：12与4 的最小公倍数为12，则出发12分钟时后，甲、丙第一次同时回到出发点．
（2）乙走一圈，所用时间为：360÷50＝7.2 （分钟）．被除数分别除以12、7.2、4，
所得到的商均为大于0 的整数，这个被除数的最小值为36，则出发36 分钟后，三人第一次同时回到出发点．
（3）设出发x 分钟后，三人第一次同时到达同一地点，则甲走了30x米，乙走了50x
米，丙走了90x 米．由于三人同时到达同一地点，则三人所走的路程除以环形路一圈的长度360米所得的余数相同．根据同余的性质，可得出：360|（50x﹣30x）；360|（90x﹣50x）；360|（90x﹣30x）．从而推出，18|x；9|x；6|x，即x 为18、9、6 的最小公倍数18．出发18 分钟后，三人第一次同时到达同一地点．
【解答】解：（1）甲走一圈需：360÷30＝12 （分钟）
丙走一圈需：360÷90＝4 （分钟）
12与4 的最小公倍数为12，
答：出发12分钟时后，甲、丙第一次同时回到出发点．
（2）乙走一圈需：360÷50＝7.2 （分钟）．
则他们同时回到出发点的时间就分别除以12、7.2、4所得到的商均为大于0 的整数，
这个被除数的最小值为36．
答：出发36 分钟后，三人第一次同时回到出发点．
（3）设出发x 分钟后，三人第一次同时到达同一地点，
则甲走了30x米，乙走了50x米，丙走了90x 米．
根据同余的性质，可得出：360|（50x﹣30x）；360|（90x﹣50x）；360|（90x﹣30x）．
即18|x；9|x；6|x，
即x 为18、9、6 的最小公倍数18．
答：出发18 分钟后，三人第一次同时到达同一地点．
【点评】明确他们同时到在同一地点的时间应是各自他们所用时间的最小公倍是完成本题的关键．
58．龟、兔在甲、乙两地之间做往返跑，兔的速度是龟的3倍，它们分别在甲、乙两地同时相对起跑，当他们在途中相遇（处于同一地点即为相遇）了12次，龟跑了多少个单程？
【分析】因为兔的速度是龟的3倍，所以兔跑三个单程龟跑一个单程，是一个周期，在这样一个周期里迎面相遇2次，追及1次，迎面、追及、迎面，当他们第12次相遇时是第12÷3＝4个周期的第二次迎面相遇，这时龟兔共跑了4×4﹣1＝15个单程．其中龟跑了15×14=334个单程．（每个单程被3个相遇点平均分成4份，每份是14）
【解答】解：兔跑三个单程龟跑一个单程，相遇3次，迎面、追及、迎面，是一个周期，
12÷3＝4（个周期），
当他们第12次相遇时是第四个周期的第二次迎面相遇，
龟兔共跑了4×4﹣1＝15个单程，
其中龟跑了15×14=334个单程；
答：龟跑了334个单程．
【点评】明白兔跑三个单程龟跑一个单程，龟每个单程被3个相遇点平均分成4份，每份是14，12次相遇，龟完成3个单程，再加上34个单程，也可得解．
59．如图，从A到C为上坡，从C到B为下坡．汽车上坡速度每小时30千米，下坡速度每小时40千米，甲、乙两辆相同型号汽车同时分别从A，B出发，甲车从A开往B，乙车从B开往A，它们到达后立即返回，来回行驶．两车第一次相遇于D点，第二次相遇于E点，若DE＝20千米，求AC的长与BC的长之差是多少？
【分析】设AD＝a，EC＝b，CB＝c，第一次相遇在D，由于时间相同，根据路程、速度、时间之间的关系可得：a30=c30+20+b40；第二次相遇在E，时间也相同，则a40+a+2030=20+b30+c40+c30+b40．分析此两个关系式即可．
【解答】解：设AD＝a，EC＝b，CB＝c，则题意得：
a30=c30+20+b40
即4a＝4c+3b+60①
a40+a+2030=20+b30+c40+c30+b40
即a＝b+c②
由①②得：b＝60．
即a＝60+c．
所以，AC＝a+20+60＝a+80，
BC＝c＝a﹣60，
则AC﹣BC＝a+80﹣（a﹣60）＝140（千米）．
【点评】根据已知条件，根据根据路程、速度、时间之间的关系列出关系式进行分析是完成本题的关键．
60．如图，在等边三角形ABC上有两个动点D、E，动点D从A出发到B，每秒移动1厘米，动点E以每秒4厘米的速度在AC间往返运动．D、E两点同时从A点出发，随时连接DE两点，在D由A到B的这段时间内，线段DE与三角形的一部分构成的最小梯形面积是18平方厘米（图中阴影部分）．三角形ABC的面积是多少平方厘米？
【分析】因为四边形DBCE中，边BD和CE一定不是平行线，所以当四边形DBCE为梯形时，DE∥BC，因为D一直在向B移动，所以随着每次DE与BC平行，梯形DBCE的面积逐渐减少，所以当梯形DBCE面积最小时，是最后一次DE平行于BC，据此计算即可。
【解答】解：令正三角形ABC边长为a，最后一次DE∥BC时，BD＝b，
所以，b÷1＝（a﹣b）÷4
解答：b=15a
根据金字塔模型，S△AED：S△ABC＝16：25，
所以S梯形DBCE：S△ABC＝9：25，
所以S△ABC＝18÷9×25＝50（平方厘米）
答：三角形的面积是50平方厘米．
【点评】将本题转化为相遇问题进行分析解答本题的关键．
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