重庆市永川中学2023-2024学年高一上学期期末复习数学试题（一）（Word版附解析）

这是一份重庆市永川中学2023-2024学年高一上学期期末复习数学试题（一）（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接求解对数函数定义域，化简集合A，然后再进行补集和交集的运算得答案．
详解】函数有意义，则，即，∴，
，.
故选：A
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定判断，即可得到结果.
【详解】命题“”，
则其否定为
故选:C.
3. “”是“幂函数在上单调递减”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 既不充分也不必要D. 充要
【答案】D
【解析】
【分析】由题知，解得，再根据充要条件的概念判断即可.
【详解】解：因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，
所以“”是“幂函数在上单调递减”的充要条件.
故选：D
4. 已知函数的最小正周期为，则的图象关于（ ）
A. 对称B. 对称C. 对称D. 对称
【答案】B
【解析】
【分析】先通过最小正周期求出，再根据三角函数图像的性质判断对称轴与对称中心即可.
【详解】因为函数的最小正周期为，
由得，，即，
，故不是对称轴，也不是对称中心；
，故是对称轴，不是对称中心.
故选：B
5. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可.
【详解】由题设，是定义域在上连续不断的递增函数,
又，，
由零点存在定理可知,零点所在区间为.
故选:.
6. 设,则三者的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据的单调性,判断与1的大小,利用换底公式将写为,再利用的单调性比较的大小即可.
【详解】解:因为在上单调递减,
所以,
因为在上单调递增,
所以,即,
即,即,
因为,所以,
即,即,
所以.
故选:D
7. （ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角和与差的余弦公式将转化为，进行展开，对于分子则是结合二倍角正弦公式及完全平方式进行化简，最后再约分即可.
【详解】
故选：D.
8. 已知函数满足，函数，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】已知条件可得出，由，有，可得出结果.
【详解】依题意有，
设，则，∴，
即，所以.
故选：D
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.）
9. 下列命题正确的是（ ）
A.
B. 第一象限角一定是锐角
C. 在与角终边相同的角中，最大的负角为
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用正弦函数的单调性判断A，利用象限角的概念判断B，写出与角终边相同的角为，再根据判断C，利用弧度制及正弦余弦的正负判断D.
【详解】因为在上单调递增，所以，A正确；
表示第一象限角，当时，不是锐角，B错误；
与角终边相同的角为，当时是最大负角，最大负角为，C正确；
因为，所以，，所以 ，D错误；
故选：AC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最大值为
B. 函数的最小值为9
C. 若，，则的最小值为
D. 若，，则的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，举例判断，对于B，化简基本不等式可得其最小值，对于C，利用基本不等式进行判断，对于D，对平方化简，然后利用基本不等式可求得结果.
【详解】对于A，当时，，所以A错误，
对于B，因为
，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为9，所以B正确，
对于C，因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，即的最小值为，所以C正确，
对于D，因为，，所以，当且仅当时取等号，
所以
，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为，所以D正确，
故选：BCD.
11. 函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 是的一个周期B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递减D. 图象关于点对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先得到函数，计算函数的最小正周期，即可判断A；再采用代入的方法，根据三角函数的性质，判断BCD.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得到函数，
A.函数的最小正周期是，所以是的一个周期，故A正确；
B.当时，，的图象关于直线对称，
故B正确；
C. 当，，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故C错误；
D. ，所以函数的图象关于点对称，故D正确.
故选：ABD
12. 已知函数是定义域为的单调函数，且满足对任意的，都有，则（ ）
A.
B. 若关于的方程（）有2个不相等的实数根，则
C. 若函数的值域为，则实数的取值范围为
D. 若函数满足对任意的实数，且，都有成立，则实数的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】先利用已知条件求出函数的解析式，选项A，将代入计算即可，选项B将根代入中化简即可，选项C由值域为任意实数得到满足条件的不等式，解出即可，选项D利用函数单调性建立不等式组解出即可.
【详解】令，则，
函数是定义域为的单调函数，
因为，所以，解得，
所以．
对于选项A：，故A正确；
对于选项B：若关于的方程（）有2个不相等的实数根，
则，即，
因为，所以，
所以，故B选项正确；
对于选项C：函数的值域为，
则，
即或，故C不正确，
对于选项D：由函数满足对任意的实数，
且，都有成立，
所以函数在上单调递增，
所以，故D选项正确，
故选：ABD.
三、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知某扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为________．
【答案】6
【解析】
【分析】求出弧的半径和弧长后可得面积.
【详解】设扇形半径为，弧长为，
则，解得，
扇形面积为．
故答案为：6．
14. 函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的取值代入对应的解析式计算即可求解.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以，
故答案为：.
15. 定义在上的函数满足，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意确定函数的周期即可求解.
【详解】因，
所以
，所以，
所以函数以为周期，
所以，
因为，
令得，
所以，
所以，
故答案为: .
16. 已知定义在上的函数满足：①；②函数为偶函数；③当时，，若关于的不等式的整数解有且仅有6个，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数性质可知函数关于，对称，且周期为4，再利用上的解析式，画出函数图象，有数形结合即可求得实数的取值范围.
【详解】由函数为偶函数可知，函数关于对称，且，即，
又，关于对称，
所以，即，
可得函数的周期，
当时，可得其图象如下所示：
由对称性可知，当时满足不等式的整数解有3个即可，
根据图示可得，解得，
即
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在单位圆中，角的终边与单位圆的交点为，其中.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)由A在单位圆上，可求得，后可求得；
(2)，后由可得答案.
【小问1详解】
由A在单位圆上，则，又，
则，则，，则；
【小问2详解】
，又，
则.
18. 已知函数（且）的图像与函数的图像关于直线对称.
（1）若在区间上的值域为，求的值；
（2）在（1）的条件下，解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据反函数的关系先得出表达式，进而得出表达式，利用的单调性，分类讨论得出结果；
（2）由（1）的单调性，结合定义域的范围，解不等式组即可.
【小问1详解】
由题知，是的反函数，，故.
当时，根据指数函数，对数函数的单调性，均在单调递减，于是在上单调递减，故，此时不成立；
当时，根据指数函数，对数函数的单调性，均在单调递增，在上单调递增，故，此时成立. 综上可知：
【小问2详解】
由（1）知，，为定义在的增函数，
根据，定义域满足：，解得.
由单调性和可得，，整理得，结合可知，
19. 已知函数.
（1）将函数化为的形式，其中，，，并求的值域；
（2）若，，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式、两角和与差的三角函数公式化简可得，根据三角函数的值域可得答案；
（2）由求出，由的范围求出，由展开代入可得答案.
【小问1详解】
，
∵，∴；
【小问2详解】
由，可知，
∵，∴，∴，
∴
20. 某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk，治愈效果的普姆克系数y（单位：pmk）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．
（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
（2）求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：，）
【答案】（1）选择模型符合要求；该函数模型的解析式为，，；
（2）六月份.
【解析】
【分析】（1）根据两函数特征选择模型，并用待定系数法求解出解析式；
（2）先求出元旦治愈效果的普姆克系数，从而列出不等式，结合，解出，得到答案.
【小问1详解】
函数与在上都是增函数，
随着的增加，函数的值增加的越来越快，
而函数的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大，
因此选择模型符合要求．
根据题意可知时，；时，，
∴，解得．
故该函数模型的解析式为，，；
【小问2详解】
当时，，元旦治愈效果的普姆克系数是，
由，得，
∴，
∵，∴，
即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份．
21. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数）．这两个最基本的双曲函数具有如下性质：
①定义域均为，且在上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③．
（1）请证明双曲正弦函数在上是增函数；
（2）若存在，关于的方程有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）按照函数单调性定义得步骤证明，任取，且，作差确定其符号，即得证得；
（2）根据关于的方程有解，则，所以，设函数，由（1）可得其在上单调递增，于是有，即可得实数的取值范围．
【小问1详解】
证明：，且
所以
∵，∴，，，即
所以在上是增函数．
小问2详解】
解：由题，所以，当且仅当时，等号成立，则恒成立，
由（1）知双曲正弦函数为上的增函数，故函数在上为增函数，
存在，关于的方程有解，
所以，，即实数的取值范围为．
22. 已知定义在实数集上的函数满足，且对任意，，恒有．
（1）求；
（2）求证：对任意，，恒有：；
（3）是否存在实数，使得不等式对任意的恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】(1)根据设，令即可求解；(2)令，有，再令即可证明；（3）根据函数的单调性以及用换元法，转化为分类讨论二次函数在给定区间的最值求解.
【小问1详解】
由题可知，，令
可得.
【小问2详解】
因为，所以令，则有，因为，
分别令
可得，
所以，得证.
【小问3详解】
由（2）可得，所以，
则函数在定义域上单调递减，
且，
所以，
即恒成立，
令,
因为，所以，所以，
且，所以，
所以，也即恒成立，
令，对称轴为，
若，
则在单调递减，
则，
所以解得，
若，即，
则在单调递增，单调递减，
则，
所以此时无解，
若，即，
则在单调递增，单调递减，
则，
所以此时无解，
若，即，
则在单调递增，
则，
所以此时无解，