北师大版八年级数学下册专题11平行四边形中的动点问题全攻略(原卷版+解析)

这是一份北师大版八年级数学下册专题11平行四边形中的动点问题全攻略(原卷版+解析)，共25页。


例2.如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为（ ）
A．5B．7C．D．
例3．如图，菱形ABCD的边长为8，∠BAD＝60°，点E是边AB上一动点，点F是对角线AC上一动点，则EF+BF的最小值为（ ）
A．8B．4C．4D．4
例4．如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．
例5.如图，在平行四边形ABCD中，，，点H、G分别是边DC、BC上的动点，其中点H不与点C重合，连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为______．
【变式训练1】如图，菱形ABCD的对角线，面积为24，△ABE是等边三角形，若点P在对角线AC上移动，则的最小值为（ ）
A．4B．4C．2D．6
【变式训练2】如图，在矩形中，，，为上两点，且，则四边形周长的最小值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【变式训练3】如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练4】如图，在中，，线段绕点B旋转到，连接，E为的中点，连接，设的最大值为m，最小值为n，则（ ）
A．3.6B．4.8C．5D．6
课后训练
1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE＝，则CD+EF的最小值为( )
A．﹣B．3﹣C．1+D．3
2．如图，中，，点、分别在边、上，，且，若，，则的长度为_________________．
3．如图，在平行四边形ABCD中，BC=6，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，点F为BC上一点，点G为BE上一点，连接CG，FG，则CGFG的最小值为_________．
4．如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______．
5．如图，在平行四边形ABCD中，，是锐角，于点E，，F是CD的中点，连接BF，EF．若，则DE的长为______．

6．如图，在平行四边形中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是______．
7．如图，在平面直角坐标系中，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，已知，，，，则D点的坐标为_______．
8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是▱ABCD内一动点，且S△PBC＝S△PAD，则PA＋PD的最小值为______．
9．如图，在平行四边形ABCD中，，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是_____．
专题11 平行四边形中动点问题全攻略
例1．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____．
【答案】
【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，
得矩形BHFM，
∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH，
∵AB=6，5BE=AE，
∴AE=5，BE=，
由折叠的性质可知：GE=AE=5，GF=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABN=∠A=45°，
∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，
∴EN=BN=BE=1，AM=BM=AB=6，
∴FH=BM=6，
在Rt△GEN中，根据勾股定理，得
，
∴，
解得GN=±7（负值舍去），
∴GN=7，
设MF=BH=x,则GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x，
在Rt△GFH中，根据勾股定理，得
，
∴，
解得x=，
∴AF=AM+FM=6+=．
∴AF长度为．
故答案为：．
例2.如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为（ ）
A．5B．7C．D．
【答案】A
【详解】解：如图：连接，作，
∵四边形是平行四边形，
∴，∴且，
∴，∴；
∵M是中点，∴，∴，∴；
∵折叠，∴，∴当 三点共线时，的长度最小，
∴此时，
故选：A．
例3．如图，菱形ABCD的边长为8，∠BAD＝60°，点E是边AB上一动点，点F是对角线AC上一动点，则EF+BF的最小值为（ ）
A．8B．4C．4D．4
【答案】C
【详解】如图，连接交于，过作于，交于，
四边形是菱形，是对角线，
点是点关于的对称点，
点E是边AB上一动点，点F是对角线AC上一动点，
，
当点与点重合， 点与点重合时，取得最小值，
最小值为的长，
菱形ABCD的边长为8，∠BAD＝60°，
，
，
．
取得最小值为: ．
故答案为：C．
例4．如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．
【答案】3
【详解】解：如图，过作交的延长线于点，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时，线段的和最小，
∵，，
∴，
即：的最小值等于3；
故答案为：3．
例5.如图，在平行四边形ABCD中，，，点H、G分别是边DC、BC上的动点，其中点H不与点C重合，连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为______．
【答案】
【详解】如图，连接AG，
因为点E为AH的中点，点F为GH的中点，
所以EF=，故EF的最小值，
只有当AG取得最小值时，才能成立，AG的最小值为垂线段AG，
过点A作AM⊥BC，垂足为M，
因为，，
所以BM=2，
AM=，
故EF的最小值为=
故答案为：．
【变式训练1】如图，菱形ABCD的对角线，面积为24，△ABE是等边三角形，若点P在对角线AC上移动，则的最小值为（ ）
A．4B．4C．2D．6
【答案】C
【详解】解：如图，连接BD交AC于O，连接PB．
∵S菱形ABCD=•AC•BD，
∴24=×12×BD，
∴BD=4，
∵OA=AC=6，OB=BD=2，AC⊥BD，
∴AB=，
∵AC与BD互相垂直平分，
∴PD=PB，PE+PD=PE+PB，
∵PE+PB≥BE，
∴当E、P、B共线时，PE+PD的值最小，最小值为BE的长，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2，
∴PD+PE的最小值为2，
故选：C．
【变式训练2】如图，在矩形中，，，为上两点，且，则四边形周长的最小值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【详解】解：如图，作交AD于M，作M关于BC的对称点，连接，，
∴，
在矩形ABCD中，，
∴四边形APQM为平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
若使其周长最小，即最小，即：即为所求，
∵，，
∴，，
∴在中，，
故最小值为：．
故选B．
【变式训练3】如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：连接，如图：
点为的中点，点为的中点，
是的中位线，
，
当最小时，最小，当最大时，最大，
当时，最小，此时也最小，如图：
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
最小为；
当与重合时，最大，此时也最大，过作于，如图：
同上可得是等腰直角三角形，，
，
，
，
最大为；
的最大值与最小值的差为，
故选：B．
【变式训练4】如图，在中，，线段绕点B旋转到，连接，E为的中点，连接，设的最大值为m，最小值为n，则（ ）
A．3.6B．4.8C．5D．6
【答案】D
【详解】解：由旋转的性质可得出．
如图，取的中点F，连接．
∵，
∴，
∴是等边三角形．
∵E、F分别是的中点，
∴．
如图，当在上方时，
此时，如果C、E、F三点共线，则有最大值，最大值为，即；
如图，当在下方时，
此时，如果C、E、F三点共线时，有最小值，最小值为，即，
∴．
故选D．
课后训练
1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE＝，则CD+EF的最小值为( )
A．﹣B．3﹣C．1+D．3
【答案】B
【详解】解：如图，过C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于N；过C1作C1C2∥AB，且C1C2＝，过C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的长度即为所求最小值，
∵C1C2∥DE，C1C2＝DE，
∴四边形C1DEC2是平行四边形，
∴C1D＝C2E，
又∵CC1关于AB对称，
∴CD＝C1D，
∴CD+EF＝C2F，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴CN＝，AN＝3，
过C2作C2M⊥AB，则C2M＝C1N＝CN＝，
∴C2M∥C1N，C1C2∥MN，
∴MN＝C1C2＝，
∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°，
∴∠MC2E＝∠A＝30°，
在Rt△C2ME中，ME＝，C2M＝1，C2E＝2，
∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣﹣1＝2﹣，
∴EF，
∴C2F．
故选：B．
2．如图，中，，点、分别在边、上，，且，若，，则的长度为_________________．
【答案】
【详解】解：如图，连接，过点E作于M，
在中，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
将顺时针旋转得，连接，则，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
过点N作交的延长线于点G，
∵，
∴，
∴CG=
∴
∴
∴
故答案为．
3．如图，在平行四边形ABCD中，BC=6，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，点F为BC上一点，点G为BE上一点，连接CG，FG，则CGFG的最小值为_________．
【答案】
【详解】在上取一点，使，
平分，
，
，
当、、在同一直线上，且时，
最小，最小值为．
，，，，
，．故答案为：．
4．如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______．
【答案】
【详解】解：如图，延长到，使得，连接，过点作于点．
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
点在射线上运动，当点与重合时，的值最小，
在中，，，，
，
．
的最小值为．
故答案为：．
5．如图，在平行四边形ABCD中，，是锐角，于点E，，F是CD的中点，连接BF，EF．若，则DE的长为______．

【答案】4
【详解】解：如图，延长BF交AD的延长线于Q，连接BE，设DE=x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ∥BC，AD=BC=5，
∴∠Q=∠CBF，
∵DF=FC，∠DFQ=∠BFC，
∴△BCF≌△QDF（AAS），
∴BC=DQ，QF=BF，
∵∠EFB=90°，
∴EF⊥QB，
∴EQ=BE=x+5，
∵CE⊥AD，BC∥AD，
∴CE⊥BC，
∴∠DEC=∠ECB=90°，
∵CE2=EB2-BC2，
∴，
整理得：x2+10x-56=0，
解得x=4或-14（舍弃），
∴DE=4．
故答案为：4．
6．如图，在平行四边形中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是______．
【答案】
【详解】解：如图，以AB为边向右作等边△ABK，由可知点K在BC上，连接EK，
∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，
∴∠ABF＝∠KBE，
∴△ABF≌△KBE（SAS），
∴AF＝EK，
根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，EK的值最小，即AF的值最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAK＝∠AKB＝60°，
∴∠AKE＝30°，
∵AB＝AK＝2，
∴AE＝AK＝1，
∴EK＝，
∴AF的最小值为．
故答案为：．
7．如图，在平面直角坐标系中，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，已知，，，，则D点的坐标为_______．
【答案】（-2，8）
【详解】过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，
∵四边形ABOC是平行四边形，
∴AC=OB，AC∥OB，
∴∠OGC=∠BOE，
∵AD∥y轴，
∴∠DAC=∠OGC，
∴∠BOE=∠DAC，
在△BOE和△CAD中，
，
∴△BOE≌△CAD（AAS），
∴OE=AD=2，BE=CD=8，
∵S△ABD=6，
∴AD•BF=6，
∴×2×BF=6，
∴BF=6，
∴EF=BE-BF=2，
∵∠ADB=135°，
∴∠BDF=45°，
∴BF=DF=6，
∵DF+OE=6+2=8
∴D（-2，8），
故答案为：（-2，8）．
8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是▱ABCD内一动点，且S△PBC＝S△PAD，则PA＋PD的最小值为______．
【答案】
【详解】解：如图所示，过点P作直线，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于E，交BC于F，连接，则，垂直于直线l，
∴，
∴当、P、D三点共线时，PA+PD有最小值，即，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD=BC，
∴，
∵AB=6，∠AFB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAF=30°，
∴BF=3，
∴，
∵S△PBC＝S△PAD，
∴，
∴，
又∵AE+EF=AF，
∴，
∴，
∴，
∴PA+PD的最小值为，
故答案为：．
9．如图，在平行四边形ABCD中，，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是_____．
【答案】
【详解】解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．
∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，
∴∠ABF＝∠KBE，
∴△ABF≌△KBE（SAS），
∴AF＝EK，
根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，
∵∠BAK＝60°，
∴∠EAK＝75°，
∵∠AEK＝90°，
∴∠AKE＝15°，
∵TA＝TK，
∴∠TAK＝∠AKT＝15°，
∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，
设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET＝a，
在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，
∴a2+（2a+a）2＝4，
∴a＝，
∴EK＝2a+a＝，
∴AF的最小值为：．
故答案为：．