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初中数学中考复习 专题15动点综合问题（原卷版）
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这是一份初中数学中考复习 专题15动点综合问题（原卷版），共29页。
决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品
专题15 动点综合问题
【典例分析】
【考点1】动点之全等三角形问题
【例1】如图，直线与轴和轴分别交于两点，另一条直线过点和点.
(1)求直线的函数表达式;
(2)求证: ;
(3)若点是直线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以为顶点的三角形与全等，求点的坐标.
【变式1-1】）如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)
【考点2】动点之直角三角形问题
【例2】（模型建立）
（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点.求证：；
（模型应用）
（2）已知直线：与坐标轴交于点、，将直线绕点逆时针旋转至直线，如图2，求直线的函数表达式；
（3）如图3，长方形，为坐标原点，点的坐标为，点、分别在坐标轴上，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限.若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标.
【变式2-1】（2019·辽宁中考模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(4，0)和点D(﹣1，0)，与y轴交于点C，过点C作BC平行于x轴交抛物线于点B，连接AC
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N作NQ垂直于BC交AC于点Q，连结MQ.
①求△AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；
②是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【变式2-2】如图，四边形ABCD是正方形，以DC为边向外作等边△DCE，连接AE交BD于点F，交CD于点G，点P是线段AE上一动点，连接DP、BP．
（1）求∠AFB的度数；
（2）在点P从A到E的运动过程中，若DP平分∠CDE，求证：AG•DP＝DG•BD；
（3）已知AD＝6，在点P从A到E的运动过程中，若△DBP是直角三角形，请求DP的长．
【考点3】动点之等腰三角形问题
【例3】（2019·湖南中考真题）如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连结，过点作的垂线交射线于点，连接．
（1）求的大小；
（2）问题探究：动点在运动的过程中，
①是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由．
②的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由．
（3）问题解决：
如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度．
【变式3-1】如图①，已知正方形边长为2，点是边上的一个动点，点关于直线的对称点是点，连结、、、.设AP=x.
（1）当时，求长；
（2）如图②，若的延长线交边于，并且，求证：为等腰三角形；
（3）若点是射线上的一个动点，则当为等腰三角形时，求的值.
【变式3-2】（2019·河南中考模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+3交y轴于点A，交x轴于点B（-3，0）和点C（1，0），顶点为点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E为x轴上一动点，若△AME的周长最小，请求出点E的坐标；
（3）点F为直线AB上一个动点，点P为抛物线上一个动点，若△BFP为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．
【变式3-3】（2019·广西中考真题）已知抛物线和直线都经过点，点为坐标原点，点为抛物线上的动点，直线与轴、轴分别交于两点．
（1）求的值；
（2）当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
（3）满足（2）的条件时，求的值．
【考点4】动点之相似三角形问题
【例4】在边长为的正方形中，动点以每秒个单位长度的速度从点开始沿边向点运动,动点以每秒个单位长度的速度从点开始沿边向点运动，动点比动点先出发秒,其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点的运动时间为秒.
如图，连接，若，求的值
如图，连接，当为何值时，
【变式4-1】已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC
（1）求过点A，B的直线的函数表达式；
（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．
【变式4-2】如图，已知抛物线经过A（－3，0）、B（8，0）、C（0，4）三点，点D是抛物线上的动点，连结AD与y轴相交于点E，连结AC，CD．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当AD平分∠CAB时．
①求直线AD所对应的函数表达式；
②设P是x轴上的一个动点，若△PAD与△CAD相似，求点P的坐标．
【考点5】动点之平行四边形问题（含特殊四边形）
【例5】（2019·广东中考模拟）如图，点O是平面直角坐标系的原点，点A（，3），AC⊥OA与x轴的交点为C．动点M以每秒个单位长度由点A向点O运动．同时，动点N以每秒3个单位长度由点O向点C运动，当一动点先到终点时，另一动点立即停止运动．
（1）写出∠AOC的值；
（2）用t表示出四边形AMNC的面积；
（3）求点P的坐标，使得以O、N、M、P为顶点的四边形是特殊的平行四边形？
【变式5-1】（2019·江西中考真题）在图1，2，3中，已知，，点为线段上的动点，连接，以为边向上作菱形，且．
（1）如图1，当点与点重合时，________°；
（2）如图2，连接．
①填空：_________（填“>”，“<”，“=”）；
②求证：点在的平分线上；
（3）如图3，连接，，并延长交的延长线于点，当四边形是平行四边形时，求的值．
【变式5-2】（2019·湖南中考真题）如图，二次函数的图象过原点，与x轴的另一个交点为
【变式5-3】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点是坐标原点，点坐标为，、两点关于直线对称，反比例函数图象经过点，点是直线上一动点.
（1）点的坐标为______；
（2）若点是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点是线段上一点（不与、重合），当四边形为菱形时，过点分别作直线和直线的垂线，垂足分别为、，当的值最小时，求出点坐标.
【考点6】动点之线段面积问题
【例6】如图已知平面内有一动点A，x轴上有一定点B（4，0），连接AB，且将线段AB绕B点逆时针旋转90°得到线段BC．
①当A点坐标为（1，1）时，求C点坐标；
②当A点在直线x=1上滑动时，求在此运动过程中△BOC的面积是否发生变化，若不变，请求出面积，若变化，请说明理由；
③若总条件中的动点A改为直线y=x上的动点A，其余条件都不变，请直接写出当A点在直线y=x上滑动时，点D（0，-2）到C点的最短距离．
【变式6-1】（2019·山东中考模拟）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在抛物线上，且，求点的坐标；
（3）如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值，并求出面积的最大值.
【变式6-2】如图，矩形中，，点是对角线上一动点（不与重合），连接，过点作，交射线于点，以线段为邻边作矩形，过点作。分别交于点。
（1）求证：的值；
（2）求的值；
（3）求矩形的面积的最小值。
【变式6-2】已知：在四边形中，，，，．
（）求四边形的面积．
（）点是线段上的动点，连接、，求周长的最小值及此时的长．
（）点是线段上的动点，、为边上的点，，连接、，分别交、 于点、，记和重叠部分的面积为，求的最值．
【达标训练】
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=2，AO=BO，P是直线CO上的一个动点，∠AOC=60°，当△PAB是以BP为直角边的直角三角形时，AP的长为（ ）
A．,1,2 B．,,2 C．,,1 D．，2
2．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P在直线AB上方，且满足S△PABS：矩形ABCD=1：3，则使△PAB为直角三角形的点P有( )个
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知抛物线具有如下性质:抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等.如图点的坐标为 , 是抛物线上一动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=1,CD=2,BC=3,点P为BC边上一动点,若△PAB与△PCD是相似三角形,则BP的长为 _____________
5．如图，于,于,，点为边上一动点，当＝________时，形成的与全等.
6．如图，矩形中，，，点是对角线上一动点，过点作于点，若点，，构成以为腰的等腰三角形时，则线段的长是__________．
7．如图，在矩形中， ，为中点，连接. 动点从点出发沿边向点运动，动点从点出发沿边向点运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接，设运动时间为（秒）. 则_____时，为直角三角形
8．如图，在中，已知，，是边上的一动点（不与点、重合）.连接，，边与交于点，当为等腰三角形时，则之长为_________.
9．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2），点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当四边形CDBF的面积最大时，E点的坐标为_____．
10．如图，直线经过的直角顶点的边上有两个动点，点以的速度从点出发沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点过点分别作，垂足分别为点.若，设运动时间为，则当___时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等．
11．如图，已知以点A(0，1)、C(1，0)为顶点的△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=90°，在坐标系内有一动点P（不与A重合），以P、B、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为____________.
12．如图，矩形中，，，点为中点，点为线段上一个动点，连接，将沿折叠得到，连接，，当为直角三角形时，的长为_____．
13．如图，中，, 分别是上动点，且，当=_______时，才能使和全等.
14．如图，已知sinO＝，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，则AP＝________．
15．如图，矩形中，，点是线段上一动点，连接，将沿直线折叠，点落到处，连接，，当为等腰三角形时，的长为__________．
16．如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，_ ．
三、解答题
17．如图，抛物线与x轴交于两点，与轴交于点.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点为线段上一动点，试求的最小值；
（3）点是轴左侧的抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标.
18．如图,在菱形中,=60°, AB=2,点E是AB上的动点,作∠EDQ=60°交BC于点Q,点P在AD上,PD=PE.
（1）求证：AE=BQ；
（2）连接PQ, EQ,当∠PEQ=90°时,求的值；
（3）当AE为何值时,△PEQ是等腰三角形.
19．已知：如图，∠B=90°AB∥DF，AB=3cm，BD=8cm，点C是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC⊥CE．
（1）试说明：∠ACB =∠CED
（2）当C为BD的中点时，ABC与EDC全等吗？若全等，请说明理由；若不全等，请改变BD的长（直接写出答案），使它们全等．
（3）若AC=CE ,试求DE的长
（4）在线段BD的延长线上，是否存在点C，使得AC=CE，若存在，请求出DE的长及△AEC的面积；若不存在，请说明理由．
20．如图1所示，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点．
求抛物线的函数表达式；
如图2所示，若点M是抛物线上一动点，且，求点M的坐标；
如图3所示，设点N是线段AC上的一动点，作轴，交抛物线于点P，求线段PN长度的最大值．
21．如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．
23．如图，平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为，抛物线经过、、三点，连接，线段交轴于点.
（1）求点的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点为线段上的一个动点（不与点、重合），直线与抛物线交于、两点（点在轴右侧），连接，当四边形的面积最大时，求点的坐标并求出四边形面积的最大值.
24．如图1,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,抛物线的顶点为轴于点．将抛物线平移后得到顶点为且对称轴为直的抛物线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2,在直线上是否存在点,使是等腰三角形?若存在,请求出所有点的坐标:若不存在,请说明理由；
(3)点为抛物线上一动点,过点作轴的平行线交抛物线于点，点关于直线的对称点为，若以为顶点的三角形与全等,求直线的解析式．
25．如图．在平面直角坐标系中．抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣2）．已知点E（m，0）是线段AB上的动点（点E不与点A，B重合）．过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P．交BC于点F．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）当线段EF，PF的长度比为1：2时，请求出m的值；
（3）是否存在这样的m，使得△BEP与△ABC相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
26．如图，已知一次函数的图像与x轴交于A（-6,0）与y轴相交于点B，动点P从A出发，沿x轴向x轴的正方向运动.
（1）求b的值，并求出△PAB为等腰三角形时点P的坐标；
（2）在点P出发的同时，动点Q也从点A出发，以每秒个单位的速度，沿射线AB运动，运动时间为t（s）；
①点Q的坐标（用含t的表达式表示）；
②若点P的运动速度为每秒k个单位，请直接写出当△APQ为等腰三角形时k的值.
27．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点B（6，8），动点M，N同时从O点出发，点M沿射线OA方向以每秒1个单位的速度运动，点N沿线段OB方向以每秒0.6个单位的速度运动，当点N到达点B时，点M，N同时停止运动，连接MN，设运动时间为t（秒）．
（1）求证△ONM～△OAB；
（2）当点M是运动到点时，若双曲线的图象恰好过点N，试求k的值；
（3）△MNB与△OAB能否相似？若能试求出所有t的值，若不能请说明理由．
28．如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（2，0），点B（0，2），动点D以1个单位长度/秒的速度从点A出发向x轴负半轴运动，同时动点E以个单位长度/秒的速度从点B出发向y轴负半轴运动，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F
（1）求∠OAB度数；
（2）当t为何值时，四边形ADEF为菱形，请求出此时二次函数解析式；
（3）是否存在实数t，使△AGF为直角三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
29．已知边长为4的正方形ABCD，顶点A与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点C，动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC→CB→BA方向顺时针折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．
⑴求出该反比例函数解析式；
⑵连接PD，当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时，求t值；
30．综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+3与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．点A坐标为（﹣1，0）．直线l为该抛物线的对称轴，且交直线BC于点D．抛物线上有一动点P，且横坐标为m（4＜m＜9），连接PD，过点P作PE⊥l于点E．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式．
（2）当△DEP与△BOC相似时，求m的值；
（3）如图2，点M为直线BC上一动点，是否存在点P，使得以点A，C，P．M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出此时点P和点M的坐标；若不存在，说明理由．
31．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其对称轴交抛物线于点，交轴于点，已知.
⑴求抛物线的解析式及点的坐标；
⑵连接为抛物线上一动点，当时，求点的坐标；
⑶平行于轴的直线交抛物线于两点，以线段为对角线作菱形，当点在轴上，且时，求菱形对角线的长.
32．如图，已知直线与抛物线交于点、两点，抛物线与轴另一交点为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为直线上一动点，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点作匀速运动，设运动时间为.当与相似时，求出点的运动时间；
（3）点是位于直线上方轴上一点，点为直线上一点，点为第一象限内抛物线上一动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
33．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴是x＝﹣1，且与x轴交于E点．
（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图2，连接AD，设点P是线段AD上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点G，交x轴于点H，连接AG、GD，当△ADG的面积为1时，
①求点P的坐标；
②连接PC、PE，探究PC、PE的数量关系和位置关系，并说明理由;
（3）设M为抛物线上一动点，N为抛物线的对称轴上一动点，Q为x轴上一动点，当以Q、M、N、E为顶点的四边形为正方形时，请直接写出点Q的坐标．
34．已知二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若，求这个二次函数的关系式；
（3）在（2）的基础上，将直线先绕点C旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，Q是直线n上的动点，是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，求出所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
35．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+2向下平移1个单位后，得到直线l2，l2交x轴于点A，点P是直线l1上一动点，过点P作PQ∥y轴交l2于点Q
（1）求出点A的坐标；
（2）连接AP，当△APQ为以PQ为底边的等腰三角形时，求点P和点Q的坐标；
（3）点B为OA的中点，连接OQ、BQ，若点P在y轴的左侧，M为直线y＝﹣1上一动点，当△PQM与△BOQ全等时，求点M的坐标．
36．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，直线与直线关于轴对称，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动.当点出发后，过点作交折线于点，以为边向上作等边，设与重叠部分图形的面积为.点运动的时间为秒.
（1）写出坐标：点（ ），（ ），（ ）；
（2）当点在线段上时，求与之间的函数关系式；
（3）求出以点、、为顶点的三角形是直角三角形时的值；
（4）直接写出点运动的路径长为 .
37．如图，在矩形中，点为原点，点的坐标为，点的坐标为，抛物线经过点、，与交于点．
备用图
⑴求抛物线的函数解析式；
⑵点为线段上一个动点（不与点重合），点为线段上一个动点，，连接，设，的面积为．求关于的函数表达式；
⑶抛物线的顶点为，对称轴为直线，当最大时，在直线上，是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
38．如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OB＝4，D是OB的中点，点E是弧BC上的动点，连接AE，DE．
（1）当点E是弧BC的中点时，求△ADE的面积；
（2）若 ，求AE的长；
（3）点F是半径OC上一动点，设点E到直线OC的距离为m，当△DEF是等腰直角三角形时，求m的值.
39．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，动点从原点O出发，沿着轴正方向移动，以为斜边在第一象限内作等腰直角三角形，设动点的坐标为.
(1)当时，点的坐标是 ；当时，点的坐标是 ；
(2)求出点的坐标(用含的代数式表示)；
(3)已知点的坐标为，连接、，过点作轴于点，求当为何值时，当与全等.
40．如图所示抛物线过点，点，且
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；
（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3∶5两部分，求点的坐标.
41．如图，在中，，，．现在有动点从点出发，沿线段向终点运动，动点从点出发，沿折线向终点运动．如果点的速度是秒，点的速度是秒．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为秒．
如图，在上，当为多少秒时，以点、、为顶点的三角形与相似？
如图，在上，是否存着某时刻，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
42．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，），点B在轴正半轴上，∠ABO=30°，动点D从点A出发，沿着射线AB方向以每秒3个单位的速度运动，过点D作DE⊥轴，交轴于点E，同时，动点F从定点C（，）出发沿轴正方向以每秒1个单位的速度运动，连结DO，EF，设运动时间为秒.
（1）当点D运动到线段AB的中点时，
①求的值；
②判断四边形DOFE是否是平行四边形，请说明理由；
（2）点D在运动过程中，以点D，O，F，E为顶点的四边形是矩形，求出满足条件的的值；
（3）过定点C做直线 ⊥轴，与线段DE所在的直线相交于点M，连结EC，MF，若四边形ECFM为平行四边形，请直接写出点E的坐标.
43．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值．
（3）当PH＝2时，求点P的坐标．
44．如图，矩形 的顶点 、、 都在坐标轴上，点 的坐标为 ， 是 边的中点．
（1）求出点 的坐标和 的周长；（直接写出结果）
（2）若点 是矩形 的对称轴 上的一点，使以 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点 的坐标；
（3）若 是 边上一个动点，它以每秒 个单位长度的速度从 点出发，沿 方向向点 匀速运动，设运动时间为 秒．是否存在某一时刻，使以 、、 为顶点的三角形与 相似或全等? 若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
45．如图，在△ABC中，已知，直线，动点E从点C开始沿射线CB方向以每秒的速度运动，动点F也同时从点C开始在直线CM上以每秒的速度运动，R是线段AB上任意一点，设运动时间为秒.
（1）求CD的长.
（2）当t为多少时，为等腰三角形？
（3）当t为多少时，与全等，并简要说明理由.
46．（1）如图1，中，，点在数轴-1处，点在数轴1处，，，则数轴上点对应的数是 ．
（2）如图2，点是直线上的动点，过点作垂直轴于点，点是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形时点的坐标为 ．
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专题15 动点综合问题
【典例分析】
【考点1】动点之全等三角形问题
【例1】如图，直线与轴和轴分别交于两点，另一条直线过点和点.
(1)求直线的函数表达式;
(2)求证: ;
(3)若点是直线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以为顶点的三角形与全等，求点的坐标.
【变式1-1】）如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)
【考点2】动点之直角三角形问题
【例2】（模型建立）
（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点.求证：；
（模型应用）
（2）已知直线：与坐标轴交于点、，将直线绕点逆时针旋转至直线，如图2，求直线的函数表达式；
（3）如图3，长方形，为坐标原点，点的坐标为，点、分别在坐标轴上，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限.若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标.
【变式2-1】（2019·辽宁中考模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(4，0)和点D(﹣1，0)，与y轴交于点C，过点C作BC平行于x轴交抛物线于点B，连接AC
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N作NQ垂直于BC交AC于点Q，连结MQ.
①求△AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；
②是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【变式2-2】如图，四边形ABCD是正方形，以DC为边向外作等边△DCE，连接AE交BD于点F，交CD于点G，点P是线段AE上一动点，连接DP、BP．
（1）求∠AFB的度数；
（2）在点P从A到E的运动过程中，若DP平分∠CDE，求证：AG•DP＝DG•BD；
（3）已知AD＝6，在点P从A到E的运动过程中，若△DBP是直角三角形，请求DP的长．
【考点3】动点之等腰三角形问题
【例3】（2019·湖南中考真题）如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连结，过点作的垂线交射线于点，连接．
（1）求的大小；
（2）问题探究：动点在运动的过程中，
①是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由．
②的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由．
（3）问题解决：
如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度．
【变式3-1】如图①，已知正方形边长为2，点是边上的一个动点，点关于直线的对称点是点，连结、、、.设AP=x.
（1）当时，求长；
（2）如图②，若的延长线交边于，并且，求证：为等腰三角形；
（3）若点是射线上的一个动点，则当为等腰三角形时，求的值.
【变式3-2】（2019·河南中考模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+3交y轴于点A，交x轴于点B（-3，0）和点C（1，0），顶点为点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E为x轴上一动点，若△AME的周长最小，请求出点E的坐标；
（3）点F为直线AB上一个动点，点P为抛物线上一个动点，若△BFP为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．
【变式3-3】（2019·广西中考真题）已知抛物线和直线都经过点，点为坐标原点，点为抛物线上的动点，直线与轴、轴分别交于两点．
（1）求的值；
（2）当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
（3）满足（2）的条件时，求的值．
【考点4】动点之相似三角形问题
【例4】在边长为的正方形中，动点以每秒个单位长度的速度从点开始沿边向点运动,动点以每秒个单位长度的速度从点开始沿边向点运动，动点比动点先出发秒,其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点的运动时间为秒.
如图，连接，若，求的值
如图，连接，当为何值时，
【变式4-1】已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC
（1）求过点A，B的直线的函数表达式；
（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．
【变式4-2】如图，已知抛物线经过A（－3，0）、B（8，0）、C（0，4）三点，点D是抛物线上的动点，连结AD与y轴相交于点E，连结AC，CD．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当AD平分∠CAB时．
①求直线AD所对应的函数表达式；
②设P是x轴上的一个动点，若△PAD与△CAD相似，求点P的坐标．
【考点5】动点之平行四边形问题（含特殊四边形）
【例5】（2019·广东中考模拟）如图，点O是平面直角坐标系的原点，点A（，3），AC⊥OA与x轴的交点为C．动点M以每秒个单位长度由点A向点O运动．同时，动点N以每秒3个单位长度由点O向点C运动，当一动点先到终点时，另一动点立即停止运动．
（1）写出∠AOC的值；
（2）用t表示出四边形AMNC的面积；
（3）求点P的坐标，使得以O、N、M、P为顶点的四边形是特殊的平行四边形？
【变式5-1】（2019·江西中考真题）在图1，2，3中，已知，，点为线段上的动点，连接，以为边向上作菱形，且．
（1）如图1，当点与点重合时，________°；
（2）如图2，连接．
①填空：_________（填“>”，“<”，“=”）；
②求证：点在的平分线上；
（3）如图3，连接，，并延长交的延长线于点，当四边形是平行四边形时，求的值．
【变式5-2】（2019·湖南中考真题）如图，二次函数的图象过原点，与x轴的另一个交点为
【变式5-3】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点是坐标原点，点坐标为，、两点关于直线对称，反比例函数图象经过点，点是直线上一动点.
（1）点的坐标为______；
（2）若点是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点是线段上一点（不与、重合），当四边形为菱形时，过点分别作直线和直线的垂线，垂足分别为、，当的值最小时，求出点坐标.
【考点6】动点之线段面积问题
【例6】如图已知平面内有一动点A，x轴上有一定点B（4，0），连接AB，且将线段AB绕B点逆时针旋转90°得到线段BC．
①当A点坐标为（1，1）时，求C点坐标；
②当A点在直线x=1上滑动时，求在此运动过程中△BOC的面积是否发生变化，若不变，请求出面积，若变化，请说明理由；
③若总条件中的动点A改为直线y=x上的动点A，其余条件都不变，请直接写出当A点在直线y=x上滑动时，点D（0，-2）到C点的最短距离．
【变式6-1】（2019·山东中考模拟）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在抛物线上，且，求点的坐标；
（3）如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值，并求出面积的最大值.
【变式6-2】如图，矩形中，，点是对角线上一动点（不与重合），连接，过点作，交射线于点，以线段为邻边作矩形，过点作。分别交于点。
（1）求证：的值；
（2）求的值；
（3）求矩形的面积的最小值。
【变式6-2】已知：在四边形中，，，，．
（）求四边形的面积．
（）点是线段上的动点，连接、，求周长的最小值及此时的长．
（）点是线段上的动点，、为边上的点，，连接、，分别交、 于点、，记和重叠部分的面积为，求的最值．
【达标训练】
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=2，AO=BO，P是直线CO上的一个动点，∠AOC=60°，当△PAB是以BP为直角边的直角三角形时，AP的长为（ ）
A．,1,2 B．,,2 C．,,1 D．，2
2．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P在直线AB上方，且满足S△PABS：矩形ABCD=1：3，则使△PAB为直角三角形的点P有( )个
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知抛物线具有如下性质:抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等.如图点的坐标为 , 是抛物线上一动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=1,CD=2,BC=3,点P为BC边上一动点,若△PAB与△PCD是相似三角形,则BP的长为 _____________
5．如图，于,于,，点为边上一动点，当＝________时，形成的与全等.
6．如图，矩形中，，，点是对角线上一动点，过点作于点，若点，，构成以为腰的等腰三角形时，则线段的长是__________．
7．如图，在矩形中， ，为中点，连接. 动点从点出发沿边向点运动，动点从点出发沿边向点运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接，设运动时间为（秒）. 则_____时，为直角三角形
8．如图，在中，已知，，是边上的一动点（不与点、重合）.连接，，边与交于点，当为等腰三角形时，则之长为_________.
9．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2），点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当四边形CDBF的面积最大时，E点的坐标为_____．
10．如图，直线经过的直角顶点的边上有两个动点，点以的速度从点出发沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点过点分别作，垂足分别为点.若，设运动时间为，则当___时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等．
11．如图，已知以点A(0，1)、C(1，0)为顶点的△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=90°，在坐标系内有一动点P（不与A重合），以P、B、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为____________.
12．如图，矩形中，，，点为中点，点为线段上一个动点，连接，将沿折叠得到，连接，，当为直角三角形时，的长为_____．
13．如图，中，, 分别是上动点，且，当=_______时，才能使和全等.
14．如图，已知sinO＝，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，则AP＝________．
15．如图，矩形中，，点是线段上一动点，连接，将沿直线折叠，点落到处，连接，，当为等腰三角形时，的长为__________．
16．如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，_ ．
三、解答题
17．如图，抛物线与x轴交于两点，与轴交于点.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点为线段上一动点，试求的最小值；
（3）点是轴左侧的抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标.
18．如图,在菱形中,=60°, AB=2,点E是AB上的动点,作∠EDQ=60°交BC于点Q,点P在AD上,PD=PE.
（1）求证：AE=BQ；
（2）连接PQ, EQ,当∠PEQ=90°时,求的值；
（3）当AE为何值时,△PEQ是等腰三角形.
19．已知：如图，∠B=90°AB∥DF，AB=3cm，BD=8cm，点C是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC⊥CE．
（1）试说明：∠ACB =∠CED
（2）当C为BD的中点时，ABC与EDC全等吗？若全等，请说明理由；若不全等，请改变BD的长（直接写出答案），使它们全等．
（3）若AC=CE ,试求DE的长
（4）在线段BD的延长线上，是否存在点C，使得AC=CE，若存在，请求出DE的长及△AEC的面积；若不存在，请说明理由．
20．如图1所示，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点．
求抛物线的函数表达式；
如图2所示，若点M是抛物线上一动点，且，求点M的坐标；
如图3所示，设点N是线段AC上的一动点，作轴，交抛物线于点P，求线段PN长度的最大值．
21．如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．
23．如图，平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为，抛物线经过、、三点，连接，线段交轴于点.
（1）求点的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点为线段上的一个动点（不与点、重合），直线与抛物线交于、两点（点在轴右侧），连接，当四边形的面积最大时，求点的坐标并求出四边形面积的最大值.
24．如图1,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,抛物线的顶点为轴于点．将抛物线平移后得到顶点为且对称轴为直的抛物线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2,在直线上是否存在点,使是等腰三角形?若存在,请求出所有点的坐标:若不存在,请说明理由；
(3)点为抛物线上一动点,过点作轴的平行线交抛物线于点，点关于直线的对称点为，若以为顶点的三角形与全等,求直线的解析式．
25．如图．在平面直角坐标系中．抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣2）．已知点E（m，0）是线段AB上的动点（点E不与点A，B重合）．过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P．交BC于点F．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）当线段EF，PF的长度比为1：2时，请求出m的值；
（3）是否存在这样的m，使得△BEP与△ABC相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
26．如图，已知一次函数的图像与x轴交于A（-6,0）与y轴相交于点B，动点P从A出发，沿x轴向x轴的正方向运动.
（1）求b的值，并求出△PAB为等腰三角形时点P的坐标；
（2）在点P出发的同时，动点Q也从点A出发，以每秒个单位的速度，沿射线AB运动，运动时间为t（s）；
①点Q的坐标（用含t的表达式表示）；
②若点P的运动速度为每秒k个单位，请直接写出当△APQ为等腰三角形时k的值.
27．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点B（6，8），动点M，N同时从O点出发，点M沿射线OA方向以每秒1个单位的速度运动，点N沿线段OB方向以每秒0.6个单位的速度运动，当点N到达点B时，点M，N同时停止运动，连接MN，设运动时间为t（秒）．
（1）求证△ONM～△OAB；
（2）当点M是运动到点时，若双曲线的图象恰好过点N，试求k的值；
（3）△MNB与△OAB能否相似？若能试求出所有t的值，若不能请说明理由．
28．如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（2，0），点B（0，2），动点D以1个单位长度/秒的速度从点A出发向x轴负半轴运动，同时动点E以个单位长度/秒的速度从点B出发向y轴负半轴运动，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F
（1）求∠OAB度数；
（2）当t为何值时，四边形ADEF为菱形，请求出此时二次函数解析式；
（3）是否存在实数t，使△AGF为直角三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
29．已知边长为4的正方形ABCD，顶点A与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点C，动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC→CB→BA方向顺时针折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．
⑴求出该反比例函数解析式；
⑵连接PD，当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时，求t值；
30．综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+3与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．点A坐标为（﹣1，0）．直线l为该抛物线的对称轴，且交直线BC于点D．抛物线上有一动点P，且横坐标为m（4＜m＜9），连接PD，过点P作PE⊥l于点E．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式．
（2）当△DEP与△BOC相似时，求m的值；
（3）如图2，点M为直线BC上一动点，是否存在点P，使得以点A，C，P．M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出此时点P和点M的坐标；若不存在，说明理由．
31．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其对称轴交抛物线于点，交轴于点，已知.
⑴求抛物线的解析式及点的坐标；
⑵连接为抛物线上一动点，当时，求点的坐标；
⑶平行于轴的直线交抛物线于两点，以线段为对角线作菱形，当点在轴上，且时，求菱形对角线的长.
32．如图，已知直线与抛物线交于点、两点，抛物线与轴另一交点为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为直线上一动点，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点作匀速运动，设运动时间为.当与相似时，求出点的运动时间；
（3）点是位于直线上方轴上一点，点为直线上一点，点为第一象限内抛物线上一动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
33．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴是x＝﹣1，且与x轴交于E点．
（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图2，连接AD，设点P是线段AD上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点G，交x轴于点H，连接AG、GD，当△ADG的面积为1时，
①求点P的坐标；
②连接PC、PE，探究PC、PE的数量关系和位置关系，并说明理由;
（3）设M为抛物线上一动点，N为抛物线的对称轴上一动点，Q为x轴上一动点，当以Q、M、N、E为顶点的四边形为正方形时，请直接写出点Q的坐标．
34．已知二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若，求这个二次函数的关系式；
（3）在（2）的基础上，将直线先绕点C旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，Q是直线n上的动点，是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，求出所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
35．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+2向下平移1个单位后，得到直线l2，l2交x轴于点A，点P是直线l1上一动点，过点P作PQ∥y轴交l2于点Q
（1）求出点A的坐标；
（2）连接AP，当△APQ为以PQ为底边的等腰三角形时，求点P和点Q的坐标；
（3）点B为OA的中点，连接OQ、BQ，若点P在y轴的左侧，M为直线y＝﹣1上一动点，当△PQM与△BOQ全等时，求点M的坐标．
36．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，直线与直线关于轴对称，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动.当点出发后，过点作交折线于点，以为边向上作等边，设与重叠部分图形的面积为.点运动的时间为秒.
（1）写出坐标：点（ ），（ ），（ ）；
（2）当点在线段上时，求与之间的函数关系式；
（3）求出以点、、为顶点的三角形是直角三角形时的值；
（4）直接写出点运动的路径长为 .
37．如图，在矩形中，点为原点，点的坐标为，点的坐标为，抛物线经过点、，与交于点．
备用图
⑴求抛物线的函数解析式；
⑵点为线段上一个动点（不与点重合），点为线段上一个动点，，连接，设，的面积为．求关于的函数表达式；
⑶抛物线的顶点为，对称轴为直线，当最大时，在直线上，是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
38．如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OB＝4，D是OB的中点，点E是弧BC上的动点，连接AE，DE．
（1）当点E是弧BC的中点时，求△ADE的面积；
（2）若 ，求AE的长；
（3）点F是半径OC上一动点，设点E到直线OC的距离为m，当△DEF是等腰直角三角形时，求m的值.
39．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，动点从原点O出发，沿着轴正方向移动，以为斜边在第一象限内作等腰直角三角形，设动点的坐标为.
(1)当时，点的坐标是 ；当时，点的坐标是 ；
(2)求出点的坐标(用含的代数式表示)；
(3)已知点的坐标为，连接、，过点作轴于点，求当为何值时，当与全等.
40．如图所示抛物线过点，点，且
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；
（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3∶5两部分，求点的坐标.
41．如图，在中，，，．现在有动点从点出发，沿线段向终点运动，动点从点出发，沿折线向终点运动．如果点的速度是秒，点的速度是秒．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为秒．
如图，在上，当为多少秒时，以点、、为顶点的三角形与相似？
如图，在上，是否存着某时刻，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
42．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，），点B在轴正半轴上，∠ABO=30°，动点D从点A出发，沿着射线AB方向以每秒3个单位的速度运动，过点D作DE⊥轴，交轴于点E，同时，动点F从定点C（，）出发沿轴正方向以每秒1个单位的速度运动，连结DO，EF，设运动时间为秒.
（1）当点D运动到线段AB的中点时，
①求的值；
②判断四边形DOFE是否是平行四边形，请说明理由；
（2）点D在运动过程中，以点D，O，F，E为顶点的四边形是矩形，求出满足条件的的值；
（3）过定点C做直线 ⊥轴，与线段DE所在的直线相交于点M，连结EC，MF，若四边形ECFM为平行四边形，请直接写出点E的坐标.
43．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值．
（3）当PH＝2时，求点P的坐标．
44．如图，矩形 的顶点 、、 都在坐标轴上，点 的坐标为 ， 是 边的中点．
（1）求出点 的坐标和 的周长；（直接写出结果）
（2）若点 是矩形 的对称轴 上的一点，使以 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点 的坐标；
（3）若 是 边上一个动点，它以每秒 个单位长度的速度从 点出发，沿 方向向点 匀速运动，设运动时间为 秒．是否存在某一时刻，使以 、、 为顶点的三角形与 相似或全等? 若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
45．如图，在△ABC中，已知，直线，动点E从点C开始沿射线CB方向以每秒的速度运动，动点F也同时从点C开始在直线CM上以每秒的速度运动，R是线段AB上任意一点，设运动时间为秒.
（1）求CD的长.
（2）当t为多少时，为等腰三角形？
（3）当t为多少时，与全等，并简要说明理由.
46．（1）如图1，中，，点在数轴-1处，点在数轴1处，，，则数轴上点对应的数是 ．
（2）如图2，点是直线上的动点，过点作垂直轴于点，点是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形时点的坐标为 ．
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