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浙教版七年级数学下册专题15分式的定义及分式的基本性质压轴题十种模型全攻略(原卷版+解析)
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这是一份浙教版七年级数学下册专题15分式的定义及分式的基本性质压轴题十种模型全攻略(原卷版+解析)，共32页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17043" 【典型例题】 PAGEREF _Tc17043 \h 1
\l "_Tc26135" 【考点一 判断是否是分式】 PAGEREF _Tc26135 \h 1
\l "_Tc7604" 【考点二 分式有无意义】 PAGEREF _Tc7604 \h 2
\l "_Tc4371" 【考点三 分式的值为0】 PAGEREF _Tc4371 \h 4
\l "_Tc9794" 【考点四 求分式的值】 PAGEREF _Tc9794 \h 6
\l "_Tc7937" 【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】 PAGEREF _Tc7937 \h 7
\l "_Tc14669" 【考点六 最简分式】 PAGEREF _Tc14669 \h 8
\l "_Tc5243" 【考点七 判断分式变形是否正确】 PAGEREF _Tc5243 \h 10
\l "_Tc7598" 【考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 PAGEREF _Tc7598 \h 11
\l "_Tc10002" 【考点九 求使分式变形成立的条件】 PAGEREF _Tc10002 \h 13
\l "_Tc31837" 【考点十 将分式的分子分母各项系数化为整数】 PAGEREF _Tc31837 \h 14
\l "_Tc18116" 【过关检测】 PAGEREF _Tc18116 \h 15
【典型例题】
【考点一 判断是否是分式】
例题：（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）式子，，，，中是分式的有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考开学考试）下列式子中不是分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）在式子，，，，，中，分式的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点二 分式有无意义】
例题：（2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考阶段练习）若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023秋·山东日照·八年级校考期末）代数式有意义，则实数x的取值范围是________．
2．（2022·江苏无锡·八年级期末）当x＝____时，分式无意义，当x＝____时，分式的值为0．
【考点三 分式的值为0】
例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式的值为0，则的值（ ）
A．2B．1C．D．
【变式训练】
1．（2023春·江苏连云港·八年级校考期中）当_____时，分式的值为零．
2．（2022秋·江西南昌·八年级南昌市第十九中学校考期末）当x的取值满足______时，分式有意义______时，分式无意义______时，式子的值为0．
3．（2023春·八年级课时练习）当x取什么值时，分式满足下列要求：
(1)无意义
(2)有意义；
(3)值为0．
【考点四 求分式的值】
例题：（2023·上海长宁·统考一模）已知，那么的值为______．
【变式训练】
1．（2023秋·北京·八年级校联考期末）若，且，则的值是_________．
2．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）已知，则代数式的值为______．
【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】
例题：（2023春·八年级课时练习）若表示一个整数，则整数可取值共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级期中）分式的值是整数，则正整数的值等于______．
2．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）已知的值为正整数，则整数m的值为_____________.
【考点六 最简分式】
例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）下列各分式中是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·广西贺州·七年级期末）在下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南平顶山·八年级期末）下列各分式中，最简分式是（ ）
A．B．C．D．
【考点七 判断分式变形是否正确】
例题：（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）下列代数式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
例题：（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）对于分式，若将x，y的值都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）．
A．扩大到原来的3倍B．扩大到原来的9倍
C．不变D．无法确定
【变式训练】
1．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）把分式中的x，y均扩大为原来的5倍，则分式的值（ ）
A．为原分式值的B．为原分式值的
C．为原分式值的5倍D．不变
2．（2023秋·江西南昌·八年级校联考期末）如果把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的
C．扩大为原来的9倍D．保持不变
【考点九 求使分式变形成立的条件】
例题：（2023春·八年级课时练习）分式变形中的整式_____．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）若成立，则x的取值范围是_____．
2．（2023春·八年级课时练习）根据分式的基本性质填空：．______
【考点十 将分式的分子分母各项系数化为整数】
例题：（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆市南渝中学校校考阶段练习）不改变分式的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为______．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）利用分式的基本性质把下列各式的分子、分母中各项的系数都变为整数．
（1）； （2）．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）代数式，，，，中，属于分式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）下列各式中，化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023秋·山东德州·八年级统考期末）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．若式子有意义，则x的取值范围是或
B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值不变
C．分式的值不可能等于0
D．若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个
二、填空题
6．（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）若，则分式_____．
7．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）分式，，的最简公分母是______________；
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）若，那么________；如果分式的值为0，则的值是_______．
9．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有的值之和为______．
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知y1＝，y2＝，y3＝，y4＝，…，yn＝，请计算y2020＝_____（请用含x的代数式表示）．
三、解答题
11．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）约分：
(1)；
(2)．
12．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）通分：
(1)与；
(2)与．
13．（2023春·江苏·八年级专题练习）求下列各分式的值：
（1），其中． （2），其中．
14．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知：代数式．
(1)当为何值时，该式无意义？
(2)当为何整数时，该式的值为正整数？
15．（2023春·江苏·八年级专题练习）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：=1+． 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．例如：像，，…，这样的分式是假分式；像，，…，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：；．解决下列问题：
（1）写出一个假分式为： ；
（2）将分式化为整式与真分式的和的形式为： ；（直接写出结果即可）
（3）如果分式的值为整数，求x的整数值．
专题15 分式的定义及分式的基本性质压轴题十种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17043" 【典型例题】 PAGEREF _Tc17043 \h 1
\l "_Tc26135" 【考点一 判断是否是分式】 PAGEREF _Tc26135 \h 1
\l "_Tc7604" 【考点二 分式有无意义】 PAGEREF _Tc7604 \h 2
\l "_Tc4371" 【考点三 分式的值为0】 PAGEREF _Tc4371 \h 4
\l "_Tc9794" 【考点四 求分式的值】 PAGEREF _Tc9794 \h 6
\l "_Tc7937" 【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】 PAGEREF _Tc7937 \h 7
\l "_Tc14669" 【考点六 最简分式】 PAGEREF _Tc14669 \h 8
\l "_Tc5243" 【考点七 判断分式变形是否正确】 PAGEREF _Tc5243 \h 10
\l "_Tc7598" 【考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 PAGEREF _Tc7598 \h 11
\l "_Tc10002" 【考点九 求使分式变形成立的条件】 PAGEREF _Tc10002 \h 13
\l "_Tc31837" 【考点十 将分式的分子分母各项系数化为整数】 PAGEREF _Tc31837 \h 14
\l "_Tc18116" 【过关检测】 PAGEREF _Tc18116 \h 15
【典型例题】
【考点一 判断是否是分式】
例题：（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）式子，，，，中是分式的有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】形如“，且中含有字母”这样的代数式叫分式，根据分式的定义逐一分析判断即可．
【详解】解：式子，，，，中是分式的有
∴分式有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式的概念，掌握“分式的概念”是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考开学考试）下列式子中不是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的定义，逐个判断得结论．
【详解】解：解：选项A、C、D的分母中都含有未知数，故它们都是分式；
是整式．所以不是分式的是B．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的定义．分式需同时满足三个条件：（1）的形式；（2）分子、分母都是整式；（3）分母中含有字母．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）在式子，，，，，中，分式的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】式子，， 中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；
，，中分母中含有字母，因此是分式．
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式，掌握分母里含有字母是分式区别于整式的标志是解题的关键
【考点二 分式有无意义】
例题：（2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考阶段练习）若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件即可得出答案．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·山东日照·八年级校考期末）代数式有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】
【分析】由代数式有意义的条件可得：且，求解即可得到答案．
【详解】∵代数式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握分式有意义的条件与零指数幂的底数不能为零是解题的关键．
2．（2022·江苏无锡·八年级期末）当x＝____时，分式无意义，当x＝____时，分式的值为0．
【答案】 -1 1
【分析】根据分式有意义的条件和分式值为0的条件列方程和不等式即可得答案．
【详解】解：由题意得使分式无意义时，
则
x=-1，
当分式的值为0时，
则，
，
∴x=1．
故答案为：-1；1
【点睛】本题考查分式的值为零的条件及分式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0，分式的值为0，则分子为0，分母不为0．
【考点三 分式的值为0】
例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式的值为0，则的值（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，可得：，据此求出的值即可．
【详解】解：分式的值为0，
，
由①，可得：或，
由②，可得：，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
【变式训练】
1．（2023春·江苏连云港·八年级校考期中）当_____时，分式的值为零．
【答案】4
【分析】根据分式的值为零的条件可进行求解．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴，解得．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查分式的值为零，熟练掌握分式的值为0的条件是解题的关键．
2．（2022秋·江西南昌·八年级南昌市第十九中学校考期末）当x的取值满足______时，分式有意义______时，分式无意义______时，式子的值为0．
【答案】 ； ； ．
【分析】根据分母不为零时分式有意义，分母为零时分式无意义，分子且分母时分式的值为0，列方程或不等式可求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：；
由题意得：，
解得：，
由题意得：，且，
解得：；
故答案为：，，．
【点睛】此题主要考查了分式有意义和分式值为零的条件，分式有意义的条件是分母不等于零；分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
3．（2023春·八年级课时练习）当x取什么值时，分式满足下列要求：
(1)无意义
(2)有意义；
(3)值为0．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，分式的值为0
【分析】（1）根据分式无意义的条件：分母为零，即可列式求解；
（2）根据分式有意义的条件：分母不为零，即可列不等式求解；
（3）根据分式值为零的条件：分母不为零且分子为零，即可列式求解．
【详解】（1）解：当分式无意义，则根据分式无意义的条件得：
，即，解得，
当时，分式无意义；
（2）解：当分式有意义，则根据分式有意义的条件得：
，即，解得，
当时，分式有意义；
（3）解：当分式，则，
即，解得，
当时，分式值为零．
【点睛】本题考查分式的综合运用，掌握分式有意义、无意义及值为零的条件，根据题意得到相应的方程及不等式求解是解决问题的关键．
【考点四 求分式的值】
例题：（2023·上海长宁·统考一模）已知，那么的值为______．
【答案】
【分析】由得把代入化简即可得出结果．
【详解】解：由得
把代入
故答案为：
【点睛】本题主要考查求分式的值，求出之间的关系，然后代入分式中求解即可．
【变式训练】
1．（2023秋·北京·八年级校联考期末）若，且，则的值是_________．
【答案】
【分析】已知等式变形后，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解∶，且，
，
原式．
故答案为∶．
【点睛】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）已知，则代数式的值为______．
【答案】##
【分析】将代数式的分子分母同时除以，然后将已知等式代入进行计算即可求解．
【详解】解：∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的性质，整体代入是解题的关键．
【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】
例题：（2023春·八年级课时练习）若表示一个整数，则整数可取值共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】D
【分析】由x是整数，也表示一个整数，可知x+1为4的约数，即x+1=±1，±2，±4，从而得出结果．
【详解】解：∵x是整数，也表示一个整数，
∴x+1为4的约数，
即x+1=±1，±2，±4，
∴x=-2，0，-3，1，-5，3．
则整数x可取值共有6个．
故选：D．
【点睛】本题考查了此题首先要根据分式值是整数的条件，能够根据已知条件分析出x+1为4的约数，是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级期中）分式的值是整数，则正整数的值等于______．
【答案】2或3或5
【分析】根据分式的值是整数可知4是（m-1）的倍数，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：或或，
∴或3或5，
故答案为2或3或5．
【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的值是解题的关键．
2．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）已知的值为正整数，则整数m的值为_________________________.
【答案】7或9
【分析】根据分式的性质即可求出答案．
【详解】解：∵的值为正整数，
∴或3，
∴整数的值为7或9，
故答案为：7或9．
【点睛】本题主要考查分式的值为正整数，分母中的整数字母取值的问题，按照数的整除特点来解题是解答此题的关键．
【考点六 最简分式】
例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）下列各分式中是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式，符合题意；
C、，不是最简分式，不符合题意；
D、，不是最简分式，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
【变式训练】
1．（2022·广西贺州·七年级期末）在下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据最简分式的定义，逐项分析判断即可求解．
【详解】A、原式，故A不是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式，符合题意；
C、原式，故C不是最简分式，不符合题意；
D、原式，故D不是最简分式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查最简分式，解题的关键是正确理解最简分式的定义，最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式．
2．（2022·河南平顶山·八年级期末）下列各分式中，最简分式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】判断分式是否是最简分式，看分式的分子分母能否进行因式分解，是否能约分．
【详解】解：A项可化简为，故错误；
B项可化简为，故错误；
C项可化简为，故错误；
D项是最简分式，故正确．
故选D．
【点睛】此题考查了最简分式，掌握分式在化简时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式是解题的关键．
【考点七 判断分式变形是否正确】
例题：（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
【变式训练】
1．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质分别计算后判断即可．
【详解】A．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误；
B． ，故原选项错误；
C．分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变，故原选项正确；
D．，故原选项错误；
故选C
【点睛】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
2．（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）下列代数式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用分式的基本性质计算后判断正误．
【详解】解：，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项错误；
，D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．
【考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
例题：（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）对于分式，若将x，y的值都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）．
A．扩大到原来的3倍B．扩大到原来的9倍
C．不变D．无法确定
【答案】A
【分析】x，y都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和，用和代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．
【详解】解：，
∴将x，y的值都扩大到原来的3倍，分式的值扩大到原来的3倍．
故选：A
【点睛】此题考查的知识点是分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
【变式训练】
1．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）把分式中的x，y均扩大为原来的5倍，则分式的值（ ）
A．为原分式值的B．为原分式值的
C．为原分式值的5倍D．不变
【答案】A
【分析】根据分式的性质，变形计算即可．
【详解】分式中的x，y均扩大为原来的5倍，得
，
故选A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．
2．（2023秋·江西南昌·八年级校联考期末）如果把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的
C．扩大为原来的9倍D．保持不变
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，可得答案．
【详解】解：把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，
∴，
∴分式的值保持不变，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质变形是解题的关键．
【考点九 求使分式变形成立的条件】
例题：（2023春·八年级课时练习）分式变形中的整式_____．
【答案】##
【分析】依据，即可得到分式变形中的整式．
【详解】解：，
分式变形中的整式．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）若成立，则x的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据分式的性质及成立的条件可直接进行求解．
【详解】解：若成立，则有，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查分式成立的条件及性质，熟练掌握分式的成立的条件及性质是解题的关键．
2．（2023春·八年级课时练习）根据分式的基本性质填空：．______
【答案】
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以，即可求得．
【详解】解：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，熟练掌握和运用分式的基本性质是解决本题的关键．
【考点十 将分式的分子分母各项系数化为整数】
例题：（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆市南渝中学校校考阶段练习）不改变分式的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为______．
【答案】
【分析】根据分式的性质“分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变”，分子和分母同时乘以10，即可获得答案．
【详解】解：分式，
分子、分母同时乘以10，
则有原式．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的性质，理解并掌握分式的性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质求解即可．
【详解】解：给分式的分子和分母同乘以12，得：
==，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解答的关键是熟知分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）利用分式的基本性质把下列各式的分子、分母中各项的系数都变为整数．
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据分式的基本性质，分子分母都乘以最小公倍数12，分式的值不变；
（2）根据分式的基本性质，分子分母都乘以最小公倍数50，分式的值不变．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式
【点睛】本题主要考查分式的基本性质的应用，分式的基本性质是分式约分和通分的依据，需要熟练掌握．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用分式有意义的条件分别分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零．
【详解】解：A．当时，，此时没有意义，故本选项不合题意；
B．∵，
∴，
∴当x为任意实数时，一定有意义，故本选项符合题意；
C．当时，，此时没有意义，故本选项不合题意；
D．当时，，没有意义，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题关键．
2．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）代数式，，，，中，属于分式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】判断分式的依据是：两个整式相除，看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】根据分式的定义可知，是分式，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解决本题的关键．
3．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）下列各式中，化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可．
【详解】解：A、，故错误，不合题意；
B、，故错误，不合题意；
C、，故错误，不合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质的应用，要熟练掌握．
4．（2023秋·山东德州·八年级统考期末）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，即，
故选D．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
5．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．若式子有意义，则x的取值范围是或
B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值不变
C．分式的值不可能等于0
D．若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个
【答案】A
【分析】直接利用分式的定义以及分式的性质、分式有意义的条件分别分析得出答案．
【详解】A. 若式子有意义，则x的取值范围是且，故原选项不正确，符合题意；
B. 分式中的x、y都扩大原来的2倍，，所以分式的值不变，故原选项正确，不符合题意；
C. 分式，当且时，此分式的值不等于0，此时x无解，所以分式的值不可能等于0，故原选项正确，不符合题意；
D. 若表示一个整数，则整数x可取值是，共有4个，故原选项正确，不符合题意；
故选：A
【点睛】此题主要考查了分式的性质、分式的值为0的条件、分式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．
二、填空题
6．（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）若，则分式_____．
【答案】
【分析】由可得，然后代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的求值，属于常考题型，掌握求解的方法是解题的关键．
7．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）分式，，的最简公分母是______________；
【答案】
【分析】各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母，据此即可求解．
【详解】解： ，，的最简公分母是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母．
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）若，那么________；如果分式的值为0，则的值是_______．
【答案】 7 1
【分析】将的两边分别平方，用完全平方公式展开即可求得的值，根据分式的值为0可得分子为0，分母不为0，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
，
∴，
∵分式的值为0，
∴，，
∴，
故答案为：7，1．
【点睛】本题主要考查了分式的求值、完全平方公式以及分式值为0，熟练掌握分式为0的条件及完全平方公式是解题的关键．
9．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有的值之和为______．
【答案】0
【分析】根据为整数，分式的意义一一分析可能成立的情况，选出的值再求和即可．
【详解】解：
，
为整数，分式的值也为整数，
当时，分式，符合题意；
当时，分式值，符合题意；
当时，分式值，符合题意；
当时，分式值，符合题意；
满足条件的的值为、、、，
所有满足条件的数的和为，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是读懂题意能按要求分情况讨论分式的值．
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知y1＝，y2＝，y3＝，y4＝，…，yn＝，请计算y2020＝_____（请用含x的代数式表示）．
【答案】
【分析】通过计算发现运算结果，，循环出现，则y2020＝y1＝．
【详解】解：∵y1＝，
∴y2＝＝＝，y3＝＝＝，y4＝＝＝，……，
∴运算结果，，循环出现，
∵，
∴y2020＝y1＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．
三、解答题
11．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）约分：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分式的性质进行约分运算，即可求解；
（2）根据分式的性质进行约分运算，即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了利用分式的性质进行约分运算，熟练掌握和运用分式的性质是解决本题的关键．
12．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）通分：
(1)与；
(2)与．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】先确定分式的最简公分母，再通分即可．
【详解】（1）解：∵与的最简公分母是，
∴=，=；
（2）解：∵与的最简公分母是，
∴=，=．
【点睛】本题考查的是分式的通分，解题的关键是确定最简公分母．
13．（2023春·江苏·八年级专题练习）求下列各分式的值：
（1），其中． （2），其中．
【答案】（1） -2；（2）
【分析】（1）将分式化为整式相除形式，把带代入计算即可；
（2）将分式化为整式相除形式，把代入计算即可．
【详解】（1）
当时，
原式
；
（2）
当时，
原式
．
【点睛】本题考查了求分式的值，解题的思路是把字母的值代入计算即可，注意分式的实质是两个整式相除，故可以将分式变形后代入，以简化运算．
14．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知：代数式．
(1)当为何值时，该式无意义？
(2)当为何整数时，该式的值为正整数？
【答案】(1)
(2)或0
【分析】（1）根据分母等于0计算即可；
（2）根据值为整数进行判断求解即可；
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：；
（2）解：代数式的值为正整数，
或，
解得：或0．
【点睛】本题主要考查了分式的值，准确分析，列出方程是解题的关键．
15．（2023春·江苏·八年级专题练习）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：=1+． 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．例如：像，，…，这样的分式是假分式；像，，…，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：；．解决下列问题：
（1）写出一个假分式为： ；
（2）将分式化为整式与真分式的和的形式为： ；（直接写出结果即可）
（3）如果分式的值为整数，求x的整数值．
【答案】（1）；（2）1+；（3）x=0，1，3，4
【分析】（1）根据定义即可求出答案．
（2）根据题意给出的变形方法即可求出答案．
（3）先将分式化为真分式与整式的和，然后根据题意即可求出x的值．
【详解】解：（1）根据题意，是一个假分式；
故答案为：（答案不唯一）．
（2）；
故答案为：；
（3）∵，
∴x2=±1或x2=±2，
∴x=0，1，3，4；
【点睛】本题考查学生的阅读能力，解题的关键是正确理解真假分式的定义，本题属于基础题型．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17043" 【典型例题】 PAGEREF _Tc17043 \h 1
\l "_Tc26135" 【考点一 判断是否是分式】 PAGEREF _Tc26135 \h 1
\l "_Tc7604" 【考点二 分式有无意义】 PAGEREF _Tc7604 \h 2
\l "_Tc4371" 【考点三 分式的值为0】 PAGEREF _Tc4371 \h 4
\l "_Tc9794" 【考点四 求分式的值】 PAGEREF _Tc9794 \h 6
\l "_Tc7937" 【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】 PAGEREF _Tc7937 \h 7
\l "_Tc14669" 【考点六 最简分式】 PAGEREF _Tc14669 \h 8
\l "_Tc5243" 【考点七 判断分式变形是否正确】 PAGEREF _Tc5243 \h 10
\l "_Tc7598" 【考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 PAGEREF _Tc7598 \h 11
\l "_Tc10002" 【考点九 求使分式变形成立的条件】 PAGEREF _Tc10002 \h 13
\l "_Tc31837" 【考点十 将分式的分子分母各项系数化为整数】 PAGEREF _Tc31837 \h 14
\l "_Tc18116" 【过关检测】 PAGEREF _Tc18116 \h 15
【典型例题】
【考点一 判断是否是分式】
例题：（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）式子，，，，中是分式的有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考开学考试）下列式子中不是分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）在式子，，，，，中，分式的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点二 分式有无意义】
例题：（2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考阶段练习）若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023秋·山东日照·八年级校考期末）代数式有意义，则实数x的取值范围是________．
2．（2022·江苏无锡·八年级期末）当x＝____时，分式无意义，当x＝____时，分式的值为0．
【考点三 分式的值为0】
例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式的值为0，则的值（ ）
A．2B．1C．D．
【变式训练】
1．（2023春·江苏连云港·八年级校考期中）当_____时，分式的值为零．
2．（2022秋·江西南昌·八年级南昌市第十九中学校考期末）当x的取值满足______时，分式有意义______时，分式无意义______时，式子的值为0．
3．（2023春·八年级课时练习）当x取什么值时，分式满足下列要求：
(1)无意义
(2)有意义；
(3)值为0．
【考点四 求分式的值】
例题：（2023·上海长宁·统考一模）已知，那么的值为______．
【变式训练】
1．（2023秋·北京·八年级校联考期末）若，且，则的值是_________．
2．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）已知，则代数式的值为______．
【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】
例题：（2023春·八年级课时练习）若表示一个整数，则整数可取值共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级期中）分式的值是整数，则正整数的值等于______．
2．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）已知的值为正整数，则整数m的值为_____________.
【考点六 最简分式】
例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）下列各分式中是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·广西贺州·七年级期末）在下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南平顶山·八年级期末）下列各分式中，最简分式是（ ）
A．B．C．D．
【考点七 判断分式变形是否正确】
例题：（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）下列代数式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
例题：（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）对于分式，若将x，y的值都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）．
A．扩大到原来的3倍B．扩大到原来的9倍
C．不变D．无法确定
【变式训练】
1．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）把分式中的x，y均扩大为原来的5倍，则分式的值（ ）
A．为原分式值的B．为原分式值的
C．为原分式值的5倍D．不变
2．（2023秋·江西南昌·八年级校联考期末）如果把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的
C．扩大为原来的9倍D．保持不变
【考点九 求使分式变形成立的条件】
例题：（2023春·八年级课时练习）分式变形中的整式_____．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）若成立，则x的取值范围是_____．
2．（2023春·八年级课时练习）根据分式的基本性质填空：．______
【考点十 将分式的分子分母各项系数化为整数】
例题：（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆市南渝中学校校考阶段练习）不改变分式的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为______．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）利用分式的基本性质把下列各式的分子、分母中各项的系数都变为整数．
（1）； （2）．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）代数式，，，，中，属于分式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）下列各式中，化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023秋·山东德州·八年级统考期末）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．若式子有意义，则x的取值范围是或
B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值不变
C．分式的值不可能等于0
D．若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个
二、填空题
6．（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）若，则分式_____．
7．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）分式，，的最简公分母是______________；
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）若，那么________；如果分式的值为0，则的值是_______．
9．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有的值之和为______．
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知y1＝，y2＝，y3＝，y4＝，…，yn＝，请计算y2020＝_____（请用含x的代数式表示）．
三、解答题
11．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）约分：
(1)；
(2)．
12．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）通分：
(1)与；
(2)与．
13．（2023春·江苏·八年级专题练习）求下列各分式的值：
（1），其中． （2），其中．
14．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知：代数式．
(1)当为何值时，该式无意义？
(2)当为何整数时，该式的值为正整数？
15．（2023春·江苏·八年级专题练习）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：=1+． 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．例如：像，，…，这样的分式是假分式；像，，…，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：；．解决下列问题：
（1）写出一个假分式为： ；
（2）将分式化为整式与真分式的和的形式为： ；（直接写出结果即可）
（3）如果分式的值为整数，求x的整数值．
专题15 分式的定义及分式的基本性质压轴题十种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17043" 【典型例题】 PAGEREF _Tc17043 \h 1
\l "_Tc26135" 【考点一 判断是否是分式】 PAGEREF _Tc26135 \h 1
\l "_Tc7604" 【考点二 分式有无意义】 PAGEREF _Tc7604 \h 2
\l "_Tc4371" 【考点三 分式的值为0】 PAGEREF _Tc4371 \h 4
\l "_Tc9794" 【考点四 求分式的值】 PAGEREF _Tc9794 \h 6
\l "_Tc7937" 【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】 PAGEREF _Tc7937 \h 7
\l "_Tc14669" 【考点六 最简分式】 PAGEREF _Tc14669 \h 8
\l "_Tc5243" 【考点七 判断分式变形是否正确】 PAGEREF _Tc5243 \h 10
\l "_Tc7598" 【考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 PAGEREF _Tc7598 \h 11
\l "_Tc10002" 【考点九 求使分式变形成立的条件】 PAGEREF _Tc10002 \h 13
\l "_Tc31837" 【考点十 将分式的分子分母各项系数化为整数】 PAGEREF _Tc31837 \h 14
\l "_Tc18116" 【过关检测】 PAGEREF _Tc18116 \h 15
【典型例题】
【考点一 判断是否是分式】
例题：（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）式子，，，，中是分式的有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】形如“，且中含有字母”这样的代数式叫分式，根据分式的定义逐一分析判断即可．
【详解】解：式子，，，，中是分式的有
∴分式有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式的概念，掌握“分式的概念”是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考开学考试）下列式子中不是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的定义，逐个判断得结论．
【详解】解：解：选项A、C、D的分母中都含有未知数，故它们都是分式；
是整式．所以不是分式的是B．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的定义．分式需同时满足三个条件：（1）的形式；（2）分子、分母都是整式；（3）分母中含有字母．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）在式子，，，，，中，分式的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】式子，， 中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；
，，中分母中含有字母，因此是分式．
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式，掌握分母里含有字母是分式区别于整式的标志是解题的关键
【考点二 分式有无意义】
例题：（2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考阶段练习）若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件即可得出答案．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·山东日照·八年级校考期末）代数式有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】
【分析】由代数式有意义的条件可得：且，求解即可得到答案．
【详解】∵代数式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握分式有意义的条件与零指数幂的底数不能为零是解题的关键．
2．（2022·江苏无锡·八年级期末）当x＝____时，分式无意义，当x＝____时，分式的值为0．
【答案】 -1 1
【分析】根据分式有意义的条件和分式值为0的条件列方程和不等式即可得答案．
【详解】解：由题意得使分式无意义时，
则
x=-1，
当分式的值为0时，
则，
，
∴x=1．
故答案为：-1；1
【点睛】本题考查分式的值为零的条件及分式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0，分式的值为0，则分子为0，分母不为0．
【考点三 分式的值为0】
例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式的值为0，则的值（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，可得：，据此求出的值即可．
【详解】解：分式的值为0，
，
由①，可得：或，
由②，可得：，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
【变式训练】
1．（2023春·江苏连云港·八年级校考期中）当_____时，分式的值为零．
【答案】4
【分析】根据分式的值为零的条件可进行求解．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴，解得．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查分式的值为零，熟练掌握分式的值为0的条件是解题的关键．
2．（2022秋·江西南昌·八年级南昌市第十九中学校考期末）当x的取值满足______时，分式有意义______时，分式无意义______时，式子的值为0．
【答案】 ； ； ．
【分析】根据分母不为零时分式有意义，分母为零时分式无意义，分子且分母时分式的值为0，列方程或不等式可求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：；
由题意得：，
解得：，
由题意得：，且，
解得：；
故答案为：，，．
【点睛】此题主要考查了分式有意义和分式值为零的条件，分式有意义的条件是分母不等于零；分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
3．（2023春·八年级课时练习）当x取什么值时，分式满足下列要求：
(1)无意义
(2)有意义；
(3)值为0．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，分式的值为0
【分析】（1）根据分式无意义的条件：分母为零，即可列式求解；
（2）根据分式有意义的条件：分母不为零，即可列不等式求解；
（3）根据分式值为零的条件：分母不为零且分子为零，即可列式求解．
【详解】（1）解：当分式无意义，则根据分式无意义的条件得：
，即，解得，
当时，分式无意义；
（2）解：当分式有意义，则根据分式有意义的条件得：
，即，解得，
当时，分式有意义；
（3）解：当分式，则，
即，解得，
当时，分式值为零．
【点睛】本题考查分式的综合运用，掌握分式有意义、无意义及值为零的条件，根据题意得到相应的方程及不等式求解是解决问题的关键．
【考点四 求分式的值】
例题：（2023·上海长宁·统考一模）已知，那么的值为______．
【答案】
【分析】由得把代入化简即可得出结果．
【详解】解：由得
把代入
故答案为：
【点睛】本题主要考查求分式的值，求出之间的关系，然后代入分式中求解即可．
【变式训练】
1．（2023秋·北京·八年级校联考期末）若，且，则的值是_________．
【答案】
【分析】已知等式变形后，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解∶，且，
，
原式．
故答案为∶．
【点睛】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）已知，则代数式的值为______．
【答案】##
【分析】将代数式的分子分母同时除以，然后将已知等式代入进行计算即可求解．
【详解】解：∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的性质，整体代入是解题的关键．
【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】
例题：（2023春·八年级课时练习）若表示一个整数，则整数可取值共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】D
【分析】由x是整数，也表示一个整数，可知x+1为4的约数，即x+1=±1，±2，±4，从而得出结果．
【详解】解：∵x是整数，也表示一个整数，
∴x+1为4的约数，
即x+1=±1，±2，±4，
∴x=-2，0，-3，1，-5，3．
则整数x可取值共有6个．
故选：D．
【点睛】本题考查了此题首先要根据分式值是整数的条件，能够根据已知条件分析出x+1为4的约数，是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级期中）分式的值是整数，则正整数的值等于______．
【答案】2或3或5
【分析】根据分式的值是整数可知4是（m-1）的倍数，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：或或，
∴或3或5，
故答案为2或3或5．
【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的值是解题的关键．
2．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）已知的值为正整数，则整数m的值为_________________________.
【答案】7或9
【分析】根据分式的性质即可求出答案．
【详解】解：∵的值为正整数，
∴或3，
∴整数的值为7或9，
故答案为：7或9．
【点睛】本题主要考查分式的值为正整数，分母中的整数字母取值的问题，按照数的整除特点来解题是解答此题的关键．
【考点六 最简分式】
例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）下列各分式中是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式，符合题意；
C、，不是最简分式，不符合题意；
D、，不是最简分式，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
【变式训练】
1．（2022·广西贺州·七年级期末）在下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据最简分式的定义，逐项分析判断即可求解．
【详解】A、原式，故A不是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式，符合题意；
C、原式，故C不是最简分式，不符合题意；
D、原式，故D不是最简分式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查最简分式，解题的关键是正确理解最简分式的定义，最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式．
2．（2022·河南平顶山·八年级期末）下列各分式中，最简分式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】判断分式是否是最简分式，看分式的分子分母能否进行因式分解，是否能约分．
【详解】解：A项可化简为，故错误；
B项可化简为，故错误；
C项可化简为，故错误；
D项是最简分式，故正确．
故选D．
【点睛】此题考查了最简分式，掌握分式在化简时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式是解题的关键．
【考点七 判断分式变形是否正确】
例题：（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
【变式训练】
1．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质分别计算后判断即可．
【详解】A．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误；
B． ，故原选项错误；
C．分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变，故原选项正确；
D．，故原选项错误；
故选C
【点睛】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
2．（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）下列代数式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用分式的基本性质计算后判断正误．
【详解】解：，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项错误；
，D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．
【考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
例题：（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）对于分式，若将x，y的值都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）．
A．扩大到原来的3倍B．扩大到原来的9倍
C．不变D．无法确定
【答案】A
【分析】x，y都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和，用和代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．
【详解】解：，
∴将x，y的值都扩大到原来的3倍，分式的值扩大到原来的3倍．
故选：A
【点睛】此题考查的知识点是分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
【变式训练】
1．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）把分式中的x，y均扩大为原来的5倍，则分式的值（ ）
A．为原分式值的B．为原分式值的
C．为原分式值的5倍D．不变
【答案】A
【分析】根据分式的性质，变形计算即可．
【详解】分式中的x，y均扩大为原来的5倍，得
，
故选A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．
2．（2023秋·江西南昌·八年级校联考期末）如果把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的
C．扩大为原来的9倍D．保持不变
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，可得答案．
【详解】解：把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，
∴，
∴分式的值保持不变，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质变形是解题的关键．
【考点九 求使分式变形成立的条件】
例题：（2023春·八年级课时练习）分式变形中的整式_____．
【答案】##
【分析】依据，即可得到分式变形中的整式．
【详解】解：，
分式变形中的整式．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）若成立，则x的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据分式的性质及成立的条件可直接进行求解．
【详解】解：若成立，则有，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查分式成立的条件及性质，熟练掌握分式的成立的条件及性质是解题的关键．
2．（2023春·八年级课时练习）根据分式的基本性质填空：．______
【答案】
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以，即可求得．
【详解】解：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，熟练掌握和运用分式的基本性质是解决本题的关键．
【考点十 将分式的分子分母各项系数化为整数】
例题：（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆市南渝中学校校考阶段练习）不改变分式的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为______．
【答案】
【分析】根据分式的性质“分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变”，分子和分母同时乘以10，即可获得答案．
【详解】解：分式，
分子、分母同时乘以10，
则有原式．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的性质，理解并掌握分式的性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质求解即可．
【详解】解：给分式的分子和分母同乘以12，得：
==，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解答的关键是熟知分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）利用分式的基本性质把下列各式的分子、分母中各项的系数都变为整数．
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据分式的基本性质，分子分母都乘以最小公倍数12，分式的值不变；
（2）根据分式的基本性质，分子分母都乘以最小公倍数50，分式的值不变．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式
【点睛】本题主要考查分式的基本性质的应用，分式的基本性质是分式约分和通分的依据，需要熟练掌握．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用分式有意义的条件分别分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零．
【详解】解：A．当时，，此时没有意义，故本选项不合题意；
B．∵，
∴，
∴当x为任意实数时，一定有意义，故本选项符合题意；
C．当时，，此时没有意义，故本选项不合题意；
D．当时，，没有意义，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题关键．
2．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）代数式，，，，中，属于分式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】判断分式的依据是：两个整式相除，看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】根据分式的定义可知，是分式，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解决本题的关键．
3．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）下列各式中，化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可．
【详解】解：A、，故错误，不合题意；
B、，故错误，不合题意；
C、，故错误，不合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质的应用，要熟练掌握．
4．（2023秋·山东德州·八年级统考期末）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，即，
故选D．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
5．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．若式子有意义，则x的取值范围是或
B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值不变
C．分式的值不可能等于0
D．若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个
【答案】A
【分析】直接利用分式的定义以及分式的性质、分式有意义的条件分别分析得出答案．
【详解】A. 若式子有意义，则x的取值范围是且，故原选项不正确，符合题意；
B. 分式中的x、y都扩大原来的2倍，，所以分式的值不变，故原选项正确，不符合题意；
C. 分式，当且时，此分式的值不等于0，此时x无解，所以分式的值不可能等于0，故原选项正确，不符合题意；
D. 若表示一个整数，则整数x可取值是，共有4个，故原选项正确，不符合题意；
故选：A
【点睛】此题主要考查了分式的性质、分式的值为0的条件、分式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．
二、填空题
6．（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）若，则分式_____．
【答案】
【分析】由可得，然后代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的求值，属于常考题型，掌握求解的方法是解题的关键．
7．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）分式，，的最简公分母是______________；
【答案】
【分析】各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母，据此即可求解．
【详解】解： ，，的最简公分母是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母．
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）若，那么________；如果分式的值为0，则的值是_______．
【答案】 7 1
【分析】将的两边分别平方，用完全平方公式展开即可求得的值，根据分式的值为0可得分子为0，分母不为0，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
，
∴，
∵分式的值为0，
∴，，
∴，
故答案为：7，1．
【点睛】本题主要考查了分式的求值、完全平方公式以及分式值为0，熟练掌握分式为0的条件及完全平方公式是解题的关键．
9．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有的值之和为______．
【答案】0
【分析】根据为整数，分式的意义一一分析可能成立的情况，选出的值再求和即可．
【详解】解：
，
为整数，分式的值也为整数，
当时，分式，符合题意；
当时，分式值，符合题意；
当时，分式值，符合题意；
当时，分式值，符合题意；
满足条件的的值为、、、，
所有满足条件的数的和为，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是读懂题意能按要求分情况讨论分式的值．
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知y1＝，y2＝，y3＝，y4＝，…，yn＝，请计算y2020＝_____（请用含x的代数式表示）．
【答案】
【分析】通过计算发现运算结果，，循环出现，则y2020＝y1＝．
【详解】解：∵y1＝，
∴y2＝＝＝，y3＝＝＝，y4＝＝＝，……，
∴运算结果，，循环出现，
∵，
∴y2020＝y1＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．
三、解答题
11．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）约分：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分式的性质进行约分运算，即可求解；
（2）根据分式的性质进行约分运算，即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了利用分式的性质进行约分运算，熟练掌握和运用分式的性质是解决本题的关键．
12．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）通分：
(1)与；
(2)与．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】先确定分式的最简公分母，再通分即可．
【详解】（1）解：∵与的最简公分母是，
∴=，=；
（2）解：∵与的最简公分母是，
∴=，=．
【点睛】本题考查的是分式的通分，解题的关键是确定最简公分母．
13．（2023春·江苏·八年级专题练习）求下列各分式的值：
（1），其中． （2），其中．
【答案】（1） -2；（2）
【分析】（1）将分式化为整式相除形式，把带代入计算即可；
（2）将分式化为整式相除形式，把代入计算即可．
【详解】（1）
当时，
原式
；
（2）
当时，
原式
．
【点睛】本题考查了求分式的值，解题的思路是把字母的值代入计算即可，注意分式的实质是两个整式相除，故可以将分式变形后代入，以简化运算．
14．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知：代数式．
(1)当为何值时，该式无意义？
(2)当为何整数时，该式的值为正整数？
【答案】(1)
(2)或0
【分析】（1）根据分母等于0计算即可；
（2）根据值为整数进行判断求解即可；
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：；
（2）解：代数式的值为正整数，
或，
解得：或0．
【点睛】本题主要考查了分式的值，准确分析，列出方程是解题的关键．
15．（2023春·江苏·八年级专题练习）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：=1+． 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．例如：像，，…，这样的分式是假分式；像，，…，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：；．解决下列问题：
（1）写出一个假分式为： ；
（2）将分式化为整式与真分式的和的形式为： ；（直接写出结果即可）
（3）如果分式的值为整数，求x的整数值．
【答案】（1）；（2）1+；（3）x=0，1，3，4
【分析】（1）根据定义即可求出答案．
（2）根据题意给出的变形方法即可求出答案．
（3）先将分式化为真分式与整式的和，然后根据题意即可求出x的值．
【详解】解：（1）根据题意，是一个假分式；
故答案为：（答案不唯一）．
（2）；
故答案为：；
（3）∵，
∴x2=±1或x2=±2，
∴x=0，1，3，4；
【点睛】本题考查学生的阅读能力，解题的关键是正确理解真假分式的定义，本题属于基础题型．
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