中考数学复习课件 小专题1　常见全等模型

这是一份中考数学复习课件 小专题1　常见全等模型，共40页。PPT课件主要包含了本节内容思维导图，共边共直线型，公共边AC，共顶点共角型，∠BAC＝∠DAE，公共角∠A，公共角∠EAC，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个正方形等内容，欢迎下载使用。

平移模型中，有一组边共线或部分重合，另外两组边分别平行，常要在移动方向上加(或减)公共线段，得到线段相等，或利用平行线的性质得到对应角相等．
1．(2022·宜宾) 已知：如图，点A，D，C，F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝EF.求证：AD＝CF.
所给图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，重合的点就是全等三角形的对应点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．此模型分为以下两类情况：
公共边BC，∠AOB＝∠DOC
2．(2023·长沙) 如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E.(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)若AE＝6，CD＝8，求BD的长．
1．共顶点旋转型(含手拉手模型)此模型可看成是由三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的，在旋转过程中，两个三角形无重叠或有重叠，找等角或运用角的和差得到等角．(注：遇到共顶点，等线段考虑用旋转)
(1)无重叠型(2)有重叠型
∠1＝∠2⇔∠BAC＝∠DAE
2．不共顶点旋转型所给图形是一个中心对称图形，一个三角形绕对称中心旋转180°，则可得到另一个三角形，两个三角形有一组边共线，构造线段相等，并利用平行线性质找到对应角相等．
3．(2023·大连) 如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于点F.BC＝DE，AC＝AE，∠ACF＋∠AED＝180°.求证：AB＝AD.
4．(2023·临沂)如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB＋BD.(1)写出AB与BD的数量关系．
(2)延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF.求证：EF⊥AB.
(3)在(2)的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH.
半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半．思想方法：通过旋转(或截长补短)构造全等三角形，实现线段的转化．解题思路：一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系．[半角模型(题中出现角度之间的半角关系)：利用旋转→证全等→得到相关结论]
(一)90°－45°型
1．正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF＝45°.结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④△AEF的周长＝2AB；⑤EC，FC分别平分∠BEF和∠EFD.
2．等腰直角三角形半角模型条件：△ABC是等腰直角三角形，∠DAE＝45°.结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG＝90°；④DE2＝BD2＋EC2.
5．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，若BD＝3，CE＝4，S△ADE＝15，则△ABD与△AEC的面积之和为 (　　)A．36 B．21C．30 D．22
将△AEC顺时针方向旋转90°至△AFB，过点A作AH⊥BC于点H，得出∠ABF=∠ACD=45°，∠BAF=∠CAE，AE=AF，由“SAS”可证△DAE≌△DAF，由全等三角形的判定与性质得出DE=DF，由勾股定理求出DE的长，根据三角形的面积可求出答案．
6．如图，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC，DC(或它们的延长线)于点M，N.(1)如图1，求证：MN＝BM＋DN；
(1)证明：图1中，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，∴△ABE≌△ADN.∴AE＝AN，∠ABE＝∠D.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝90°.∴∠ABE＝∠ABC＝90°.∴E，B，M三点共线．∴∠EAM＝90°－∠NAM＝90°－45°＝45°.又∵∠NAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM.又∵AM＝AM，∴△AEM≌△ANM(SAS)．∴ME＝MN.∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴MN＝DN＋BM.
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图2所示的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
(二)60°－30°型或120°－60°型
1．等边三角形半角模型(120°－60°型)
条件：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，且BD＝CD，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°.结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④△AEF的周长＝2AB；⑤ED，FD分别平分∠BEF和∠EFC.
2．等边三角形半角模型(60°－30°型)
7．在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有点M，N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC.探究：当点M，N分别在直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系.(1)如图1，当点M，N边AB，AC上，且DM＝DN时，BM，NC，MN之间的数量关系是________________；
由DM=DN，∠MDN=60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CD=BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM,NC,MN之间的数量关系 BM+NC=MN.
(2)如图2，点M，N在边AB，AC上，且当DM≠DN时，猜想(1)问的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
解： (2)猜想：结论仍然成立．证明：图2中，在NC的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1.∵∠M1CD＝∠MBD＝∠ABC＋∠CBD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1(SAS)．∴DM＝DM1，∠MDB＝∠M1DC.∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠MDN＝∠M1DN＝60°.又∵DN＝DN，∴△MDN≌△M1DN(SAS)．∴MN＝M1N＝M1C＋NC＝BM＋NC.∴BM＋NC＝MN.
(3)如图3，当M，N分别在边AB，CA的延长线上时，探索BM，NC，MN之间的数量关系如何？并给出证明．
解： (3) NC－BM＝MN.证明：图3中，在CN上截取CM1＝BM，连接DM1.由(2)得△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MDB＝∠M1DC.∴∠M1DN＝∠MDN＝60°.又∵DN＝DN，∴△MDN≌△M1DN(SAS)．∴MN＝M1N.∴NC－CM1＝M1N，即NC－BM＝MN.
条件：∠BAC＝2α，AB＝AC，∠DAE＝α.结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF＝180°－2α.
(1)求证：BF＝EF－ED；
(2)连接AC，若∠B＝80°，∠DEC＝70°，求∠ACF的度数．
(2)解：∵AB＝BC，∠B＝80°，∴∠ACB＝50°.∵AD∥BC，∴∠ECB＝∠DEC＝70°.而∠B＝∠BCD＝80°，∴∠DCE＝10°.∴∠BCF＝30°.∴∠ACF＝∠ACB－∠BCF＝20°.
同在一条直线上出现三个相等的角，其中两个角的一边落在该直线上，第三个角的顶点落在该直线上．在一线三等角模型中，常利用三角形的内角和等于180°和同角(等角)的余角(补角)相等证明角相等．基本图形有以下三种：(已知∠1＝∠2＝∠3，两个三角形中有一组边相等)
1．一线三等锐角型：△APC≌△BDP
2.一线三等钝角型：△APC≌△BDP
9．(1)如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E.证明：DE＝BD＋CE.
(1)证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.∵∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD.又∵AB＝CA，∴△ADB≌△CEA(AAS)．∴BD＝AE，AD＝CE.∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
(2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
(2)解：成立．证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α.∴∠DBA＝∠CAE.又∵∠BDA＝∠AEC＝α，AB＝AC. ∴△ADB≌△CEA(AAS)．∴BD＝AE，AD＝CE.∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
(3)拓展与应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点(D，A，E三点互不重合)，F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．