2024年河北省邢台市信都区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年河北省邢台市信都区中考二模数学试题（原卷版+解析版），文件包含2024年河北省邢台市信都区中考二模数学试题原卷版docx、2024年河北省邢台市信都区中考二模数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷共8页，总分120分．考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置．
3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题．
5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共16小题，1~6小题，每小题3分；7~16小题，每小题⒉分，共计38分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 已知等式的值为0，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的运算．根据有理数的加法、减法、乘法和除法运算法则计算即可判断．
【详解】解：∵，，，，
观察四个选项，选项B符合题意，
故选：B．
2. 借助圆规，可得图中最长的线段是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用圆规量出四条线段，再进行比较即可．
此题考查了比较线段的长短，会用圆规度量各线段是本题的关键．
【详解】通过用圆规比较图中的四条线段，其中最长的，
故选：C．
3. 如图，若表示一个无理数，则可以是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】观察数轴可知，且a是无理数，依次排查各个选项即可．
本题考查了实数与数轴及无理数的估算．无限不循环小数叫做无理数．通常情况下，开方开不尽的数是无理数．熟练掌握无理数的概念及会估算无理数的范围是解题的关键．
【详解】观察数轴可知，且a是无理数．
A、，故不符合题意；
B、，但是有理数，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，且是无理数，故符合题意；
故选：D．
4. 如图，已知点在直线上，、两点在直线上，且，是个钝角，若，则、两直线的距离可以是（ ）

A. 8B. 6C. 5D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线之间的距离的定义即可得到答案．
本题考查了平行线之间的距离，两条平行线中，过其中一条直线上任意一点向另外一条直线作垂线，这个点和垂足之间的线段的长就是这两条平行线之间的距离．熟练掌握平行线之间距离的概念是解题的关键．
【详解】根据平行线之间的距离的定义可得、两直线的距离应该小于5，
故选：D．
5. 把分解因式时，提出公因式后，另一个因式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查提公因式法分解因式．将提取公因式，据此即可求解．
【详解】解：
故选：A．
6. 边长相等的两个正五边形无重叠，无缝隙拼在一起得到了图，对图有以下两种说法：
①是轴对称图形
②是中心对称图形
对于这两种说法，其中（ ）

A. ①对，②不对B. ①不对，②对
C. ①、②均对D. ①、②圴不对
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：题图，既是轴对称图形又是中心对称图形，①、②的说法均对．
故选：C．
7. 已知，，若点与点在反比例函数的图象上，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象与性质．根据反比例函数图象与性质，将，代入函数表达式得到等式，整理即可得到答案．
【详解】解：点与点在反比例函数的图象上，
，
整理得，
故选：B．
8. 如图是正方体的表面展开图，现将部分面上分别标注数字，若正方体朝上的面标注的数字是1，则正方体朝下的面标注的数字是（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字特征．注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
【详解】解：其中面“2”与面“1”相对，
所以正方体朝上的面标注的数字是1，则正方体朝下的面标注的数字为2，
故选：A．
9. 如图，有三张扑克牌，其中一张正面朝上，两张反面朝上，现随意将三张扑克牌中的一张正反面翻转一次，则出现两张正面朝上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单概率的计算，明确题意，知道只有对调反面朝上的2张扑克牌才能使3张扑克牌中出现2张正面朝上，是解答本题的关键．任意将其中1张扑克牌正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张扑克牌才能使3张扑克牌中出现2张正面朝上，据此即可作答．
【详解】∵任意将其中1张扑克牌正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张扑克牌才能使3张扑克牌中出现2张正面朝上，
∴，
故选：A．
10. 某企业2023年人均纯收入8万元，计划2031年人均纯收入比2023年翻两番（即为2023年人均纯收入的4倍），那么2031年人均纯收入用科学记数法表示为（ ）
A. 元B. 元
C. 元D. 元
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】解：人均纯收入8万元，翻两番为元，
∴2031年人均纯收入用科学记数法表示为元．
故选：B．
11. 已知：在四边形中，，如图，求证，四边形是菱形．
证明：，，
四边形是平行四边形，
又…………，
四边形是菱形
在以上证明过程中，“…………”可以表示的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的定义判定即可，“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”， 熟练掌握菱形的定义是解题的关键．
【详解】根据“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”，可得“…………”可以表示的是．
故选C．
12. 若，，则可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算．将，代入各项逐个计算判断即可．
【详解】∵，，
则A项，，故A项符合题意；
B项，，故B项不符合题意；
C项，，故C项不符合题意；
D项，，故D项不符合题意；
故选：A．
13. 如图，在正方形内，确定一个点，使、、、均为等腰三角形，则点的个数为（ ）
A. 1B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的判定，中垂线的性质．
作、、、的中垂线，则中垂线上的点到线段两端点的距离相等，分别以、为圆心，正方形的边长为半径画圆，每个圆与两条中垂线各有2个交点，共8个交点，根据半径都相等，8个交点的位置都满足、、、均是等腰三角形，再加上两条中垂线的交点，也满足、、、均是等腰三角形，共有9个点，其中在正方形内部的点有5个据此作答即可．
【详解】解：如图，作、、、的中垂线，
①分别以、为圆心，正方形的边长为半径画圆，每个圆与两条中垂线各有2个交点，共8个交点，
根据中垂线的性质以及圆内半径相等，8个交点的位置都满足、、、均是等腰三角形；
②两条中垂线的交点，也满足、、、均是等腰三角形；
∴满足构成等腰三角形的所有点的个数为：；
其中在正方形内部的点有5个，
故选：D．
14. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解．
【详解】解：根据题意得，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
15. 如图，两个透明的正方体器皿，其中小正方体的器皿棱长是大正方体棱长的，将小正方体器皿放置大正方体器皿的底部，现先向小正方体器皿内匀速注水，注满后，再向大正方体器皿内以同样的速度注水，直到液面刚好没过小正方体器皿．设注水时间为，两个器皿内水面之差为，则与之间关系的大致图象是（ ）

A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查函数的图象．根据题意可以得到各段内的函数图象，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】解：向小正方体器皿内匀速注水，注满后，两个器皿内水面之差为最大，
注满后，再向大正方体器皿内以同样的速度注水，两个器皿内水面之差随着的增加而缓慢减少，直到为0，
设小正方体的器皿棱长为，则大正方体棱长为，
小正方体的体积为，
则大正方体中直到液面刚好没过小正方体器皿时的体积为，
∴小正方体器皿注满水后，再向大正方体器皿内以同样的速度注水的时间是向小正方体器皿注水时间的倍，
观察四个选项，选项C符合题意，
故选：C．
16. 如图，在矩形铁片上，截下一个正六边形，其中点、在边上，点在矩形的内部，点、在边上，点在边上，若，则的长可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查正多边形，连接分别相交于点，由正六边形的性质求出得证明，得，解直角三角形求出，同理可得，得到，故可得结论
【详解】解：∵六边形正六边形，
∴
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
如图，连接分别相交于点，
则四边形与四边形是矩形，
∴，
∵
∴，
∴
同理可得，，
∴
∵点在矩形的内部，
∴
故选：D
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．其中17小题2分，18、19每小题两个空，每个空2分）
17. 如图，有A、B、C三个城镇，A城镇位于C城镇正北方向，且到C城镇，B城镇位于C城镇正东方向，且到C城镇，点M，点C被湖水陆一隔开，若点M是的中点，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上中线，勾股定理；解题的关键在于能够熟练掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．先根据勾股定理求出的长，再根据“直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半”即可求出的长．
【详解】解：由题意得，，，
，
点M是的中点，
．
故答案为：．
18. 如图，已知，根据几何作图的痕迹，解决下列问题：

（1）______；
（2）若，则______°．
【答案】 ①. ②. 44
【解析】
【分析】（1）由作图痕迹可知是线段的垂直平分线，由此可得；
（2）由作图痕迹可知是的角平分线，由此得，根据三角形内角和定理求出的度数，即可得的度数．
本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，以及三角形内角和定理．熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的尺规作图法是解题的关键．
【详解】（1）由作图痕迹可知是线段的垂直平分线，
，
故答案为：．
（2）由作图痕迹可知是的角平分线，
，
中，，，
，
，
故答案为：44．
19. 在平面直角坐标系中，有直线（，为常数）和抛物线（，为常数）
（1）直线经过的定点坐标为______；
（2）若无论取何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是______．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，分类讨论、数形结合是解题的关键．
（1）求得直线过定点；
（2）求得抛物线与轴的交点为，，然后分两种情况讨论即可求得a的取值．
【详解】解：（1）∵直线，当时，，
∴直线经过定点坐标为；
故答案为：；
（2）∵抛物线与轴的交点为，，
当时，无论为何值，函数和的图象总有公共点，
∴满足题意；
当时，
∵无论为何值，直线和抛物线总有公共点，
∴时，，即，
解得，
∴满足题意；
综上，当或时，抛物线与直线总有公共点．
故答案为：或．
三、解答题（共7小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 已知整式．
（1）当，求整式的值；
（2）若整式比整式大，求整式．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】本题考查了求代数式的值，整式的加减运算．
（1）将，代入计算即可求解；
（2）根据题意得，计算即可求解．
【小问1详解】
解：当时，；
【小问2详解】
解：由题意得．
21. 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动减去，同时区就会自动加上，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是4和，如图．
例如：第一次按键后，，两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，若区、区的代数式的值相等，求的值；
（2）已知，从初始状态按4次后，若把区的代数式作分子，区的代数式作分母得到一个分式，请将这个分式化简．
【答案】（1）或者
（2）
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律问题、分式的化简和解一元二次方程的知识，
（1）根据题意列出算式，再进一步得出一元二次方程，解方程即可；
（2）根据A区、B区的计算结果列出分式，结合完全平方公式进行化简即可．
【小问1详解】
A区显示的结果为：；
B区显示的结果为：，
根据区、区的代数式的值相等可得：，
整理得：，
解得：，，
即的值为或者；
【小问2详解】
设从初始状态按4次后，
A区显示的结果为：；
B区显示的结果为：，
根据题意有分式：，
化简结果为：．
22. 甲、乙两个绿化小组各有6名队员，分别按1~6号编号，一段时间内把各名队员的植树棵数进行统计并制成如图所示的尚不完整的统计表和折线统计图．
（1）若，请补充完整折线统计图，并从折线统计图上判断哪一组植树情况比较稳定；
（2）若甲、乙两组植树棵数的中位数相等，求的最小值．
【答案】（1）补全图形见详解，乙组植树情况比较稳定
（2）25
【解析】
【分析】本题考查了折线图，中位数的求解方法等知识，
（1）根据数据补全图形，折线图较为平缓的则情况比较稳定，据此作答即可；
（2）结合中位数的求解方法，先求出甲组的中位数，再将乙组数据从小到大排列，分若大于25时，若等于25时，若小于25时等三种情况逐步分析即可作答；
【小问1详解】
若，补全折线统计图：
从折线统计图上可以看出乙组植树情况比较稳定；
【小问2详解】
甲组植树棵数为：21，24，25，25，27，28，中位数为25，
乙组植树棵数为：23，24，25，25，27，，
若大于25时，满足乙组中位数为25，
若等于25时，也满足乙组中位数为25，
若小于25时，乙组的数据从小到大有三种排列方式：
第一种：，23，24，25，25，27， 此时中位数小于25；
第二种： 23，，24，25，25，27， 此时中位数小于25；
第三种： 23，24，，25，25，27， 此时中位数小于25；
此时都不符合要求，
则要使中位数也是25，因此最小为25，
答：的最小值为25．
23. 如图，在平行四边形中，，点、分别在、上，沿折叠平行四边形，使点、互相重合，点落在点的位置．
（1）连接，，求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定等知识，
（1）根据平行四边形的性质和折叠的性质证明，，，即可得到结果；
（2）根据题意可得，得到，再根据点与点重合，得到，结合三角形内角和定理即可得到结果；
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
由折叠的性质可得，，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为折痕，点与点重合，
∴，
∴，
∴．
24. 【阅读理解】在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．例点从原点出发连续移动2次：都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．
【应用】点从原点出发连续移动次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了次．
（1）当时，若点恰好落在直线上，求的值；
（2）无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，，，
①若点、点位于直线的两侧，求的取值范围；
②若点关于直线的对称点落在轴上，直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）①；②．
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，求一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质．
（1）根据平移方式，求得点的坐标为，代入求解即可；
（2）①根据平移方式，求得点的坐标为，代入求得，令，求得直线的解析式为，分别经过点、点即可求得的取值范围；
②画出图形根据等腰三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：已知，其中，按甲方式移动了次，则按乙方式移动了次，
根据平移方式，点的坐标为，
由题意得，
解得；
【小问2详解】
解：①设这条直线的解析式为，点按甲方式移动了次，又点从原点出发连续移动次，则点按乙方式移动了次，
∴点按甲方式移动了次后得到的点的坐标为，点按乙方式移动了次，得到点的坐标为，
由题意得，即，
∵无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
若点、点位于直线的两侧，
情况一：直线恰好经过，代入得，即，
情况一：直线恰好经过，代入得，即，
∴若点、点位于直线的两侧，的取值范围是；
②点关于直线的对称点落在轴上，
记直线与轴、轴的交点为，
过点作轴于点，连接，与直线交于点，如图，
根据题意得，，
∴，
∴，
根据轴对称的性质得，，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴且，
∴点与点重合，
∴，
∴．
25. 如图1，在矩形中，，，点在射线上（不与点重合），以为圆心，为半径向上作半圆，半圆交延长线于点．
（1）若，是半圆上一点，则、两点之间距离的最小值为______．
（2）如图2，连接交半圆于点，在接交半圆于点，若点恰好是的中点，求的长；【注：，】
（3）连接，若半圆与的边有两个交点，求的取值范围．
【答案】（1）8 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，交圆O于点M，此时、两点之间距离最小，结合勾股定理即可作答；
（2）交于点N，点恰好是的中点，即有，，证明，可得，根据，可得，结合弧长公式即可作答；
（3）两个临界点：第一个，设与半圆O相切于点G，连接，此时半圆与的边有一个交点，随着半径的增大，半圆与的边有两个个交点，利用面积，在中，可得；第二个：随着半圆的半径继续扩大，当半圆O经过点B时， 此时半圆与的边又只有一个交点，结合，在中，，问题随之得解．
【小问1详解】
连接，交圆O于点M，如图，此时、两点之间距离最小，
∵在矩形中，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：8；
【小问2详解】
交于点N，如图，
∵点恰好是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴结合，有，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
设与半圆O相切于点G，连接，如图，
此时，半圆与的边有一个交点，
随着半径的增大，半圆与的边有两个个交点，
∵与半圆O相切于点G，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴；
随着半圆的半径继续扩大，当半圆O经过点B时，如图，
此时，半圆与的边又只有一个交点，
此时有：，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴半圆与的边有两个交点时，
的取值范围为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，弧长公式，圆的基本性质，三角函数，勾股定理以及垂径定理的推论等知识，问题的难点在第（3）问，确定临界点，是解答本题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，从原点的正上方8个单位处向右上方发射一个小球，小球在空中飞行后，会落在截面为矩形的平台上（包括端点），把小球看作点，其飞行的高度与飞行的水平距离满足关系式．其中，，．
（1）求的值；
（2）求的取值范围；
（3）若落在平台上的小球，立即向右上方弹起，运动轨迹形成另一条与形状相同的拋物线，在轴有两个点、，且，，从点向上作轴，且．若沿抛物线下落的小球能落在边（包括端点）上，求抛物线最高点纵坐标差的最大值是多少？
【答案】（1）；
（2）；
（3）抛物线最高点纵坐标差的最大值是．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）将代入，即可求解；
（2）将，分别代入，计算即可求解；
（3）设抛物线的解析式为，若抛物线经过点，时，求得最大值为，抛物线经过点，时，求得最大值为，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：由题意得，，
∴当抛物线经过点时，，
解得；
当抛物线经过点时，，
解得；
∴的取值范围为；
【小问3详解】
解：由题意得，，，，
设抛物线的解析式为，
若抛物线经过点，时，
有，
解得，
∵，
∴此时抛物线的最大值为；
若抛物线经过点，时，
有，
解得，
∵，
∴此时抛物线的最大值为；
∴抛物线最高点纵坐标差的最大值是．编号
1
2
3
4
5
6
甲组
24
25
27
28
25
21
乙组
23
27
25
25
24