吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

这是一份吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：本试卷共3页，总分150分，考试时间120分钟．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若复数满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知向量．若，则（ ）
A．-6B．-2C．3D．6
3．已知的顶点坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，一个用斜二测画法画出来的三角形是一个边长为的正三角形，则原三角形的面积是（ ）
A．B．C．D．
5．在中，为AC上一点，为BE上任意一点，若，则的最小值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
6．已知正方体的外接球的体积为，点为棱AB的中点，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知三角形三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，满足，且，则三角形ABC的形状为（ ）
A．顶角为120°的等腰三角形B．顶角为的等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
8．如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆.使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9．在正方体中，下列结论正确的有（ ）
A．和所成的角是B．AC和所成的角是
C．和所成的角是D．和所成的角是
10．下列说法中正确的是（ ）
A．如果平面平面，直线平面，直线平面，则
B．C．平行四边形是一个平面
D．从正方体的8个顶点中任取4个不同的顶点，这4个顶点可能是每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点
11．如图，某圆柱的轴截面ACED是一个边长为4的正方形，点B，F分别为的中点，则（ ）
A．多面体ABCFDE的体积为B．平面平面ACF
C．直线BD与直线AF所成的角为D．点到平面BDE的距离为
三、填空题（本题共4个小题，每题5分，共15分）
12．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______
13．若复数为虚数单位）为纯虚数，则______
14．已知正方体的棱长为2，P为正方形ABCD内的一动点（包含边界），E、F分别是棱、棱的中点．若平面BEF，则AP的取值范围是______
四、解答题（本大题共5小题，共77分。其中15题满分13分，16，17题满分15分，18，19题满分17分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等．
（1）求圆柱的表面积；
（2）求三棱柱的体积．
16．（15分）由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为平行四边形，为AC与BD的交点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）设平面与底面ABCD的交线为，求证：．
17．（15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，角的平分线交边BC于点，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积．
18．（17分）如图，已知等腰梯形ABCD中（图1），是BC的中点，，将沿着AE翻折（图2），使得直线AB与CD不在同一个平面，得到四棱锥
（1）求直线DC与所成的角的大小；
（2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．（17分）“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：），游客在乘坐舱升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC，伦敦眼与建筑之间的距离AB为12（单位：10m），游客在乘坐舱P看建筑BC的视角为．
（1）当游客在乘坐舱与伦敦眼在同一水平面看建筑BC的视角为时，拍摄效果最好．若此时测得建筑物BC的高度为（单位），求视线PC的长度；
（2）当乘坐舱P在伦敦眼的最高点时，视角，求建筑BC的高度．