吉林省长春汽车经济技术开发区第三中学2024-2025学年高二上学期9月考试 数学试题

这是一份吉林省长春汽车经济技术开发区第三中学2024-2025学年高二上学期9月考试 数学试题，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高二数学学科试卷
注意事项：本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．圆的圆心坐标是（ ）
A．B．
C．D．
2．从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（ ）
A．3个都是男生B．至少有1个男生C．3个都是女生D．至少有1个女生
3．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现偶数点”，事件 “出现3点或4点”，则事件A与B的关系为（ ）
A．相互独立事件B．相互互斥事件
C．即相互独立又相互互斥事件D．既不互斥又不相互独立事件
4．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412 451 312 533 224 344 151 254 424 142
435 414 335 132 123 233 314 232 353 442
据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ）
A．0.4B．0.45C．0.55D．0.6
5．直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．过点与圆相切的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
7．集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为，，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（ ）
A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D．小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
10．以下四个命题为真命题的是（ ）
A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为
B．直线的倾斜角的范围是
C．直线与直线之间的距离是.
D．点在直线上运动，，，则时的最大值是
11．平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（ ）
A．点的轨迹的方程是
B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是
C．直线与点的轨迹相离
D．已知点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是4
三、填空题（本题共4个小题，每题5分，共15分.）
12．圆的半径为 .
13．在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是，则这段时间内线路正常工作的概率为 .
14．如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为 m.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.其中15题满分13分，16，17题满分15分，18，19题满分17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）；
(2)若认定评分在80,90内的学生为“运动爱好者”，评分在90,100内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率.
16．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上.
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程.
17．已知圆，直线.
(1)若直线l被圆截得弦长为，求直线l的方程；
(2)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦的中点M的轨迹方程.
18．已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为.
(1)求直线的方程和点C的坐标；
(2)求的面积．
19．甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响.
(1)求甲在一局中得2分的概率；
(2)求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率；
(3)求游戏经过两局就结束的概率.
1．D
【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标.
【详解】圆，即，
所以圆心为.
故选：D
2．B
【分析】根据题意及必然事件的概念即可得解．
【详解】从5个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件，
故选：B．
3．A
【分析】根据相互独立事件、互斥事件的定义确定正确选项.
【详解】由于表示“出现的点数为4”，所以事件A与B不是互斥事件，
由，，，有，
所以事件A与B是相互独立事件，不是互斥事件.
故选：A
4．C
【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果.
【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：
533 224 344 254 424 435 335 233 232 353 442共11组，
因此，所求概率为.
故选：C.
5．B
【分析】方法一：由直线的方向量求出直线斜率，然后利用点斜式可求出直线方程；方法二：由已知可得直线的一个法向量为，则设直线为，再将代入求出，从而可得直线方程.
【详解】方法一 ∵直线的一个方向向量为，∴，
∴直线的方程为，即．
方法二 由题意知直线的一个法向量为，
∴直线的方程可设为，将点代入得，
故所求直线的方程为．
故选：B
6．B
【分析】先判定点在圆上结合直线与圆的位置关系计算即可.
【详解】因为，所以P在圆O上，则P为切点，
所以切线的斜率满足，
设切线的倾斜角，则，即.
故选：B
7．B
【分析】首先根据直线平行，求的值，再利用古典概型概率公式，即可求解.
【详解】从A，B中各任意取一个数相加，有种情况，
当直线，则，则，
当时，从中取一个数相加为的有，2种情况，
当时，从中取一个数相加为的有，2种情况，
所以满足条件的有4种情况，
所以满足条件的概率.
故选：B
8．C
【分析】根据条件，先求的有关值，再求对应事件的概率.
【详解】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，
且.
恰好能答对两道题为事件，且两两互斥，
所以
，
整理得，他三道题都答错为事件，
故.
故选：C.
9．ACD
【分析】在四个选项中分别列出小明与小华获胜的情况，由此判断两人获胜是否为等可能事件．
【详解】解：对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平
对于B，恰有一枚正面向上包括(正，反反，正)两种情况，而两枚都正面向上仅有(正，正)一种情况，
所以游戏不公平
对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平
对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：（6,6），（6,8），（8,6），（8,8）；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平．
故选：ACD．
【点睛】本题考查等可能事件的判断，考查运算求解能力，是基础题．
10．BD
【分析】A.讨论直线过原点和不过原点两种情况求直线方程；B.根据一般式直线方程求直线的斜率，再根据三角函数求斜率的范围，即可求解倾斜角的范围；C.根据平行线间距离公式，即可求解；D.利用对称性，结合三点共线，即可求解.
【详解】A.过点，且过点的直线方程为，
若直线不过原点，设，，得，即，
所以满足条件的直线方程为或，故A错误；
B. 直线的斜率，因为，
所以，则倾斜角的范围是，故B正确；
C.直线，即与直线之间的距离，故C错误；
D.设点关于的对称点为，
则，解得：，即，
如图，，当三点共线时，等号成立，
所以的最大值为，故D正确.

故选：BD
11．ACD
【分析】对于A：设点Px,y，结合题意分析求解即可；对于B：分析可知点在圆内，结合圆的性质分析求解；对于C：求圆心到直线的距离，即可判断；对于D：分析可知当时，取到最小值，四边形面积取最小值，运算求解即可.
【详解】对于选项A：设点Px,y，
因为，整理可得，故A正确；
对于选项B：因点的轨迹方程是，圆心是，半径是，
且，可知点在圆内，
过点的直线被圆所截得的弦最短时，点是弦的中点，
根据垂径定理得弦的最小值是，故B错误；
对于选项C：圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，故C正确；
对于选项D：因为四边形面积，
由数形分析可知：当时，取到最小值，
所以四边形面积取最小值，故D正确；
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：对于BD：先判断点、线与圆的位置关系，进而结合圆的性质分析最值.
12．
【分析】将圆的一般式方程化为标准式方程求半径即可.
【详解】易知，所以半径为.
故答案为：
13．0.91##
【分析】首先求出线路不能正常工作的概率，利用对立事件即可求出线路正常工作的概率.
【详解】线路不能正常工作的概率为：
，
∴能够正常工作的概率为，
故答案为：0.91.
14．
【分析】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,根据题意可以求出找到一个点的坐标,这样可以求出圆的方程,最后可以求出当水面下降1m后,水面宽的大小.
【详解】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示：
由题意可知：设圆的方程为：(其中为圆的半径),因为拱顶离水面2m,水面宽12m,所以设,代入圆的方程中得：,所以圆的方程为：
,当水面下降1m后,设代入圆的方程中得：
.
故答案为：
【点睛】本题考查了圆的方程的实际应用,考查了数学运算能力和阅读能力.
15．(1)，中位数是分
(2)
【分析】（1）根据频率之和为求得，根据中位数的求法求得中位数.
（2）先按分层抽样计算出、抽取的人数，然后利用列举法求得所求概率.
【详解】（1）依题意，，解得.
前三组的频率为，
所以中位数为分.
（2）的频率为，的频率为，两者的比例是，
所以抽取的名学生中，中的有人，记为；
在中的有人，记为；
从中抽取人，基本事件有，
共种，其中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的是：
，共种，故所求概率为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据斜率关系，再应用点斜式求出直线方程；
（2）根据矩形求出外接圆的圆心及半径得出圆的标准方程.
【详解】（1）因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为
又因为点在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为，
即
（2）由，解得点A的坐标为
因为矩形ABCD两条对角线的交点为
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又，
从而矩形ABCD外接圆的方程为
17．(1)或.
(2)
【分析】（1）由弦长得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出m的值，得直线方程；
（2）设动点Mx,y，由几何关系得动点M满足的向量关系，可求得轨迹方程.
【详解】（1）圆化为标准方程为，
圆心C0,1，半径，
设圆心到直线l的距离为d，因为弦长为，则，解得，
所以，解得，故直线方程为或.
（2）直线，直线过定点，且斜率存在，
设弦AB的中点Mx,y，
则，所以，即，
点也满足方程，此时点与点重合，直线l的斜率不存在，不合题意，
所以弦的中点M的轨迹方程为.
18．(1)，，
(2).
【分析】（1）设点的坐标是，由的中点在直线上，求得点的坐标，再求出点关于直线的对称点即可求得直线的方程，联立方程组求出点坐标.
（2）利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积.
【详解】（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上，
于是，解得，即点，
设关于直线的对称点为，则有，解得，即，
显然点在直线上，直线的斜率为，
因此直线的方程为，即，
由，解得，则点，
所以直线的方程为，点C的坐标为.

（2）由（1）得，点到直线的距离，
所以的面积.
19．(1)13
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可画出树状图，得到甲得2分情况有9种，从而可求解；
（2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：①第一局甲得2分，第二局甲得1分，则第一局乙丙得负一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，然后求出每种情况的概率从而可求解；
（3）游戏经过两局就结束总共有4种情况：①仅1人得3分，②有2人得分为3分，③仅1人得4分，④有2人分别得4分，然后求出每种情况的概率从而可求解.
【详解】（1）根据题意，画出树状图，如图：

所以每局中共有种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）：
（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、
（石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、
（布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、
一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率.
（2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：
①第一局甲得2分，第二局甲得1分：
则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分；
由（1）中树状图可知满足情况有：
第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、
第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）
此时概率为种情况，
②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，
则乙第一局得1分，第二局得负1分；则丙第一局得1分，第二局得负1分；
由（1）中树状图可知满足情况有：
第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）
第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、
此时概率为，
综上所述：游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率.
（3）游戏经过两局就结束总共有4种情况：
①仅1人得3分，记事件为A，则；
②有2人得分为3分，记事件为B，
③仅1人得4分，记事件C：
一人得4分，另两人各负2分：，
一人得4分，一人得负2分，一人得1分：，
一人得4分，另两人各1分：，
；
④有2人分别得4分，记为事件D：则
综上所述：游戏经过两局就结束的概率.