吉林省长春市长春汽车经济技术开发区2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份吉林省长春市长春汽车经济技术开发区2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．与双曲线有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．在等差数列中，，，则（ ）
A．B．C．1D．4
4．已知椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为，且三角形为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（ ）
A．B．C．D．
8．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（ ）

A．4B．3C．2D．1
二、多选题
9．已知曲线，，则（ ）
A．的长轴长为4B．的渐近线方程为
C．与的焦点坐标相同D．与的离心率互为倒数
10．已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．当取得最大值时，D．
11．过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与的另外两个交点分别为，则（ ）
A．的准线方程是
B．过的焦点的最短弦长为2
C．直线过定点
D．若直线过点，则的面积为24
三、填空题
12．若抛物线C ：上的一点到焦点的距离为，到轴的距离为3，则 .
13．公差为的等差数列的首项为，前项和为，且满足，则 ．
14．如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为 ．
四、解答题
15．在等差数列中，的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最大值和取得最大值时的值.
16．已知点P是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动直线l过与椭圆交于A、B两点，求的周长.
17．已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程．
18．已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为．
(1)求的方程和焦点坐标；
(2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求．
19．已知椭圆的离心率，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值.
参考答案：
1．A
【分析】由抛物线方程求出的值，从而可求出其焦点坐标.
【详解】由于抛物线的方程为，
所以，，则
所以抛物线的焦点坐标是，
故选：A.
2．B
【分析】先求得双曲线的焦点坐标，再根据椭圆的长轴长为6求解.
【详解】解：双曲线的焦点坐标为：，
即椭圆的焦点为，
又长轴长为6，即，
所以椭圆的方程为，
故选：B
3．D
【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.
【详解】等差数列中，，，
所以，解得.
故选：D
4．A
【分析】根据题意，结合椭圆离心率的定义，即可求求解.
【详解】如图所示，椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为， 为等边三角形，
则椭圆的离心率为.
故选：A.

5．D
【分析】由两圆的位置关系得出，进而联立两圆方程得出公切线方程.
【详解】圆：的圆心，圆：可化为
，，则其圆心为，半径为，
因为圆与圆相内切，所以，即，故.
由，可得，
即与的公切线方程为.
故选：D
6．A
【分析】利用点差法求解.
【详解】解：设，则，
两式相减得直线的斜率为，
又直线过点，
所以直线的方程为，
经检验此时与双曲线有两个交点.
故选：A
7．B
【分析】根据题意分析可得直线与渐近线平行，结合平行关系运算求解.
【详解】双曲线可得，，，
所以双曲线的渐近线方程为，右焦点为，
因为直线与只有一个交点，所以直线与双曲线的渐近线平行，
所以，解得.
故选：B.
8．B
【分析】由已知点在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求的最小值.
【详解】设抛物线的方程为，因为，，所以点在抛物线上，所以，故，所以抛物线的方程为，所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，在方程中取可得，所以点在抛物线内，过点作与准线垂直，为垂足，点作与准线垂直，为垂足，则，所以，当且仅当直线与准线垂直时等号成立，所以的最小值为3，
故选：B.
9．BD
【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可得.
【详解】由，即为：，故焦点在轴上，
长轴长为，故A错误；
焦点坐标为，离心率为，
对，渐近线方程为，故B正确；
焦点坐标为，与的焦点坐标不相同，故C错误；
离心率为，与的离心率互为倒数，故D正确.
故选：BD.
10．ABC
【分析】由等差数列的求和公式结合已知条件可得，，从而得且，进而可得出答案．
【详解】等差数列的前项和为，
，所以，
，所以，所以且，
所以等差数列是递减数列，且当时，取得最大值．
故D正确，ABC错误．
故选：ABC．
11．AC
【分析】由题可得抛物线为，进而判断A；利用焦点弦的方程结合抛物线的定义结合条件可判断B；设直线为，联立抛物线利用韦达定理结合条件可得m、n的数量关系，可判断C；由直线过点可得直线为，进而结合点到直线的距离和弦长公式求解，进而判断D.
【详解】将代入中得，即，
则抛物线为，
所以的准线方程是，故A正确；
抛物线的焦点为，可设过的焦点的直线为，
联立x=ty+1y2=4x，可得，设交点为，
则，，
所以，即过C的焦点的最短弦长为4，故B不正确；
设，，直线为，
联立，可得：，
所以，，
又，
所以，
因为，，即，
所以，
化简整理得，
即，得，
所以直线为，
所以直线过定点，故C正确；
若直线过点，则，即，，
所以，，
直线为，即，
所以，
点到直线的距离为，
所以，故D不正确.
故选：AC.
12．2
【分析】由抛物线的定义可得，解之即可求得.
【详解】抛物线C ：上的一点到焦点的距离为，
该点到准线的距离为.
又该点到轴的距离为3，
，解之可得或，
又.
故答案为：.
13．
【分析】根据通项公式化简已知，结合求和公式整体代入可得.
【详解】由题知，，整理得，
所以.
故答案为：
14．/
【分析】根据各半椭圆方程可得，，的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周长.
【详解】由，是半椭圆的焦点，得，，
由是半椭圆的焦点，得，
则，，
所以的周长为.
故答案为：
15．(1)
(2),.
【分析】（1）根据通项公式列方程组求出首项和公差即可得通项公式；
（2）根据等差数列的求和公式，结合二次函数性质可解.
【详解】（1）记数列的公差为，则，解得，
所以.
（2）由（1）知，，
所以，当时，取得最大值.
16．(1)
(2)20
【分析】（1）根据焦距可求，根据所过点可求，进而得到方程；
（2）利用椭圆的定义可得的周长为，代入可得答案.
【详解】（1）设焦距为，由，得，
又椭圆过，∴，
得，
∴椭圆的标准方程为；
（2）动直线l过与椭圆交于A、B两点，
∴，，
∴，
∴的周长为20.

17．(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义求解；
（2）设点代入抛物线方程，然后利用点差法求解直线的斜率，然后根据点斜式即可解得直线的方程；
【详解】（1）因为，
所以，
故抛物线的方程为．
（2）

易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，
则
两式相减得，整理得．
因为的中点为，所以，
所以直线的方程为，即.
18．(1)方程为，左、右焦点坐标分别为
(2)
【分析】（1）根据双曲线虚轴长以及离心率联立方程组即可得出的方程；
（2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理以及弦长公式计算可得.
【详解】（1）因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以，
又，
联立解得，，
所以的方程为，左、右焦点坐标分别为．
（2）由（1）知，
根据题意易得过的直线斜率存在，
设的直线方程为，如下图所示：
联立，化简得，
所以，
因为中点横坐标为3，所以，
解得，所以，
则，
则．
19．(1)
(2)16
【分析】根据离心率的值和定义可以求出之间的关系式，待定系数法设出椭圆方程后把已知点代入求解即可.
设出直线方程后，联立直线和椭圆方程，消元化简后，可得，利用弦长公式求出弦长，再利用点到直线距离公式求出三角形的高，的面积可用直线斜率进行表达，通过换元转化为一元二次函数，求出最值即可.
【详解】（1）椭圆的离心率，
则，即，
所以，椭圆方程为.
将点代入方程得，
故所求方程为.
（2）点在椭圆内，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由得.
设，则.
.
点到的距离.
令，则则.
因为，所以当时，是所求最大值.

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
A
D
A
B
B
BD
ABC
题号
11









答案
AC