江苏省连云港市灌云县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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时间：100分钟 满分：150分钟
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 购买一张彩票中奖B. 射击一千次，命中靶心
C. 太阳每天从西方升起D. 任意画一个三角形，其内角和是
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查必然事件、随机事件的意义和判定方法，根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可．
【详解】解：购买一张彩票，可能中奖，也可能不中奖，因此选项A不正确；
射击运动员射击一次，可能命中靶心，也可能命不中靶心，因此选项B不正确；
太阳每天只从东方升起，不会从西方升起，因此选项C不正确；
任意三角形的内角和都是180°，因此选项D正确；
故选：D．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【详解】解：A、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意；
C、D中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C、D不符合题意．
故选：B．
3. 某校从名学生中随机抽取名学生进行百米测试，下列说法正确的是（ ）
A. 该调查方式是普查B. 样本容量是C. 每名学生的百米测试成绩是个体D. 名学生的百米测试成绩是总体
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
【详解】解：A、该调查方式是抽样调查，故A不符合题意；
B、样本容量是，故B不符合题意；
C 、每名学生的百米测试成绩是个体，故C符合题意．
D 、名学生的百米测试成绩是总体，故D不符合题意；
故选：．
4. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）

A. 当时，它是菱形B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是正方形D. 当时，它是矩形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定等知识点，根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键．
【详解】A、∵四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形不一定是正方形，故本选项符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，故本选项不符合题意；
故选：C．
5. 如图，在中，是的中线，分别是的中点，连接．已知，则的长为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，能够使用2个中点得到中位线是解题的关键．利用中线得到，再由两个中点得到中位线，利用三角形中位线定理即可得到答案．
【详解】解：是的中线，，
，
∵分别是的中点，
∴是的中位线，
，
故选A．
6. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
；
故选：C
7. 如图，矩形被分割成4个直角三角形和1个小矩形后仍是中心对称图形．设上下两个直角三角形的面积都为，左右两个直角三角形的面积都为，中间小矩形的面积为，若对角线，则矩形的面积一定可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中心对称，矩形的性质，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识．如图，延长交于点，连接．证明四边形是平行四边形，推出，推出，可得，即可解决问题．
【详解】解：如图，延长交于点，连接．
由题意，，
，
∵，，
∴，
∵，
四边形平行四边形，
，
，
，
，
故选：A．
8. 如图，菱形的的边长为3，，对角线上有两个动点、（点在点的左侧），若，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识．连接交于点，作，使得，连接，，可推出的最小值为的长，再根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理即可求出的长，从而解决问题．
【详解】解：如图，连接交于点，作，使得，连接，，
则四边形是平行四边形，
，
，
的最小值为的长，
四边形是菱形，
，，
，，
是等边三角形，，
，
，
中，
．
的最小值为．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分，不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共70个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中的红球大约有________个．
【答案】21
【解析】
【分析】本题考查了根据数据描述求频数，理解题意，正确列式计算是解题的关键．根据红球出现的频率和球的总数，进行计算即可得到红球的个数．
【详解】解：根据题意得：（个），
∴袋子中的红球大约有21个，
故答案为：21．
10. 利用统计图表等整理和描述数据，有利于我们发现和探索数据中蕴含的规律，获取数据中的信息，不同的统计图从不同侧面描述了数据的特点，其中扇形图的特点是能够显示部分在总体中所占的百分比，折线图的特点是能够显示数据的______．
【答案】变化趋势
【解析】
【分析】根据折线统计图的特点进行解答即可．
【详解】解：折线图的特点是折线统计图能清楚地反映事物的变化趋势，
故答案：变化趋势．
【点睛】本题考查了折线图的特点，解题的关键是掌握折线统计图的特点．
11. 已知在中，比大，那么．的度数是______．
【答案】##110度
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的对角相等，邻角之和为，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
又，
，，
．
故答案为：．
12. 如图，下面是三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），小明转动每个转盘各一次，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，按事件发生的可能性从小到大排列为______________．（填序号）

【答案】③①②
【解析】
【分析】根据题意分别计算出①②③的概率即可求解．
【详解】解：①：“指针落在灰色区域内”的可能性为：；
②：“指针落在灰色区域内”的可能性为：；
③：“指针落在灰色区域内”的可能性为：
故答案为：③①②
【点睛】本题考查概率计算．掌握计算方法是解题关键．
13. 如图，E是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是 _____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了利用平行四边形性质求解，设两个阴影部分三角形的底为，高分别为，则为平行四边形的高，即可得出，进而得出结果．
【详解】解：设两个阴影部分三角形的底为，高分别为，则为平行四边形的高，
．
故答案为：4．
14. 在菱形中，，，则菱形的面积等于______．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理．由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，由菱形的面积公式可求解．
【详解】解：设与的交点为，
四边形是菱形，
，，，
，
，
菱形的面积，
故答案为：24．
15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是___．
【答案】
【解析】
【分析】连接CE，由矩形的性质得出∠ADC=90°，CD=AB=4，AD=BC=6，OA=OC，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，设DE=x，则CE=AE=6-x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：连接CE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD=AB=4，AD=BC=6，OA=OC，
∵EF⊥AC， ∴AE=CE，
设DE=x，则CE=AE=6-x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：，
解得：， 即；
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
16. 如图，在矩形中，，，，分别平分，交于点，，且，相交于点，连接并延长交于点，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质．延长交延长线于，由矩形的性质推出、角平分线定义，判定是等腰直角三角形，得到，由等腰三角形的性质推出，由推出，得到，求出，得到．
【详解】解：延长交延长线于，
四边形是矩形，
，，
，分别平分，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
∵，
，
，，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出1文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 学校为了解八年级学生每天晚上完成书面作业所需时间的情况，在八年级随机抽取若干名学生就某一天情况进行调查，绘制了如下两幅不完整的统计图表（A．小于或等于30分钟；B．大于30分钟小于等于60分钟；C．大于60分钟小于等于90分钟；D．大于90分钟）．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查的人数是______．扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是______；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校八年级共有1200名学生，则估计八年级在这一天晚上完成作业时间大于60分钟的人数是多少？
【答案】（1）60；
（2）图见解析 （3）660
【解析】
【分析】本题考查了统计知识，条形统计图和扇形统计图的信息关联，用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握扇形统计图和条形统计图的特点．
（1）用A部分的人数除以A部分所占百分比可得本次调查的人数；用乘B部分所占比例可得扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数；
（2）用本次调查的人数减去其他三组人数可得B部分的人数；
（3）用八年级总人数乘完成作业时间大于60分钟所占比例即可．
【小问1详解】
解：本次调查的人数是：（人），
本次调查的人数是60人；
B部分的人数为：（人），
，
扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是：；
【小问2详解】
解：补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：（人），
八年级在这一天晚上完成作业时间大于60分钟的人数约为660人．
18. 在一个不透明的箱子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，重复该操作，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）上表中的______，______；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是______；（精确到0.1）
（3）如果箱子中一共有30个白球，估计箱子里一共有多少个小球？
【答案】（1）0.62，122
（2）0.6 （3）箱子里一共有50个小球．
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（1）利用频率频数样本容量直接求解即可；
（2）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数．
【小问1详解】
解：，，
故答案为：
【小问2详解】
解：由表格的数据可得，
“摸到白球的”的概率的估计值是．
故答案为：；
【小问3详解】
解：（个），
答：箱子里一共有50个小球．
19. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上，的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）
（1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标______；
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标______．
（3）计算出的面积．
【答案】（1）图见解析，点
（2）图见解析，点
（3）5
【解析】
【分析】本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握网格的特征作出符合要求的图形．
（1）根据中心对称的定义，分别作，，的对称点，再连成三角形即可；
（2）作出将，，绕点顺时针方向旋转后得到的对应点，再连成三角形即可；
（3）根据割补法即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求，点的坐标；
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图所示，，点的坐标；
故答案为：；
【小问3详解】
解：的面积．
20. 如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定等知识．由菱形的性质得，，然后证明得到，，即可得出结论．
【详解】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
又延长至点，
∴，
四边形是平行四边形．
21. 如图，，分别为的中线，，交于点，点，分别是，的中点．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线定理．连接，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【详解】证明：连接，
，分别为的中线，点，分别是，的中点，
，，，，
∴，，
∴．
22. 如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，．求证：四边形是矩形；
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定．根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
23. 如图，．
（1）请用直尺和圆规完成以下基本作图：在射线上截取，作的平分线，交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图、菱形的判定等知识点，正确运用尺规作出图形以及掌握菱形的判定定理是解题的关键．
（1）根据尺规作图和题目要求作图即可；
（2）先根据平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定定理说明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答．
【小问1详解】
如图即为所求；
【小问2详解】
，
，
平分．
，
，
，
又，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形．
24. 在四边形中，如果两条对角线，交于点，，则．如图，若四边形是菱形，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接，并延长交于点．若，求菱形的周长．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、对角线互相垂直的四边形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识．连接，先证是的中位线，得，，则是的中位线，得，，然后由求出的长，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
四边形是菱形，
，，，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
∴，，
是的中位线，
，，
在四边形中，，
，
即，
，
，
，
，
菱形的周长．
25. 如图，已知在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点，，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并证明
（3）在矩形中内部有一动点，满足，求的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）当是等腰直角三角形时，四边形是一个正方形，理由见解析
（3）的最小值是13．
【解析】
【分析】本题考查角平分线的定义，矩形的判定，正方形的判定，线段和的最小值，熟练掌握以上知识是解关键．
（1）根据双角平分线可得即可得证；
（2）四边形要变成一个正方形，则，即即可；
（3）先根据题意求出的面积，从而求出边上的高，即可确定点的位置，再利用轴对称即可求出最小值．
【小问1详解】
证明：，，
，，
是外角的平分线，
，
，
，
，
四边形为矩形；
【小问2详解】
解：当是等腰直角三角形时，四边形是一个正方形，理由如下：
由（1）知四边形为矩形，
是等腰直角三角形，，
，
四边形是正方形；
【小问3详解】
解：，
，
即，
解得，
即点在平行于且到的距离为4的直线上，如图：
作点关于点所在直线的对称点，连接，此时的值最小为的长，
，
，
的最小值为13．
26. 已知，中，，，，的垂直平分线分别交、于点，垂足为．
（1）如图1，连接、．求证：四边形为菱形．
（2）如图1，求长．
（3）如图2，动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止，在运动过程中，点的速度为每秒，点的速度为每秒，设运动时间为秒，若当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定、三角形全等的判定与性质、一元一次方程的应用、矩形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）证明得出，推出四边形为平行四边形，结合即可得证；
（2）设菱形的边长，则，由勾股定理计算即可得出答案；
（3）分情况讨论可得只有当点在上，点在上时，四点才能构成平行四边形，利用平行四边形的性质列方程求解即可．
【小问1详解】
证明：四边形是矩形，
，
，，
垂直平分，
，
在和中，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形；
【小问2详解】
解：设菱形的边长，则，
在中，，由勾股定理得：，
解得：，
；
【小问3详解】
解：由作图可以知道，在上时，在上，此时四点不能构成平行四边形；同理，在上时，在或上，此时四点也不能构成平行四边形，
只有当点在上，点在上时，四点才能构成平行四边形，
，
点的速度为每秒，点的速度为每秒，设运动时间为秒，
，，
，
解得：，
以四点为顶点的四边形是平行四边形时，．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
93
b
295
480
601
摸到白球的频率
0.59
a
0.61
0.59
0.60
0.601