2024年江苏省连云港市灌云县实验中学中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．）
1. －5的相反数是( )
A. B. C. 5D. -5
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【详解】-5的相反数是5．
故选C．
【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键．
2. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图看到的列数和面数即可判断出来．
【详解】主视图可以看到两列三个面，左边有两个面，右边一个面．
故选：C．
【点睛】本题主要考查三视图的判断，掌握三视图的定义是解题的关键,主视图是从物体的正面看得到的视图．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则和二次根式加减运算法则、完全平方公式分解计算得出答案．
【详解】解：A．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B．，原计算正确，故该选项符合题意；
C．，原计算错误，故该选项不符合题意；
D．，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，二次根式加减运算以及完全平方公式，掌握这些运算法则是解题的关键．
4. 某校为了丰富校园文化，举行初中生书法大赛，决赛设置了7个获奖名额，共有13名选手进入决赛，选手决赛得分均不相同，小颖知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，需要知道这13名同学成绩的（ ）
A. 众数B. 中位数C. 平均数D. 方差
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由题意可知，共有13名选手进入决赛，决赛设置了7个获奖名额，因此小颖知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，只要知道这组数据的中间的数即可，即知道这组数据的中位数．故选：B
考点：中位数．
5. 估计的值在（ ）．
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
【答案】C
【解析】
【分析】先估算的大小，再估算的大小．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了无理数大小的估算，解题的关键利用夹逼法估算出的大小．
6. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
【详解】∵和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，
∴在Rt△ACB中，AB=
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，
∴=，
故选A．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
7. 如图，矩形中，动点E从点B出发，沿折线运动到点D停止，过点E作交于点F，设点E的运动路程为，，则y与x对应关系的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质等知识，当时，证明四边形是矩形，即可求出y与x的函数关系；当时，证明，根据相似三角形的性质即可求出y与x的函数关系，即可求解．
【详解】解：矩形中，，，，
当E在上时，即，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，即；
当E在上时，即，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴符合题意的函数图象是选项A，
故选：A．
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，是函数图象上的两点，过点B作x轴的垂线与射线交于点C．若，则k的值为（ ）
A. 4B. 6C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据根据，得，求出．作轴于点，设直线与轴交于点，根据，得，所以，即可得到点点，，代入即可求出答案．
【详解】解：如图，作轴于点，设直线与轴交于点，

点，，，
点，，，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴点，，
点A，是函数图象上的两点，
∴，
解得，
∴
故选：B．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．）
9. 使有意义的x取值范围是__________．
【答案】x≠1##x＜1或x＞1##x＞1或x＜1
【解析】
【分析】根据分式的分母不等于0解答即可.
【详解】解：要使有意义，只需1-x≠0，即x≠1，
故答案为：x≠1.
【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟知分式的分母不等于0是解答的关键．
10. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
分析】直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
11. 一个不透明袋子中装有10个球，其中有5个红球，3个白球，2个黑球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机取出1个球，则它是白球的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用白球的个数除以球的总数即可得到答案．
【详解】解：∵一共有10个球，其中白球有3个，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是白球的概率是，
故答案为：．
12. 某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法表示为_____．
【答案】1.64×10﹣6
【解析】
【分析】根据科学记数法要求，将一个数字写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【详解】解：0.00000164＝1.64×10﹣6，
故答案是：1.64×10﹣6．
【点睛】本题考查了小数的科学记数法表示，熟记指数n是左边第一个非零数字前面数字零个数的相反数是解题的关键．
13. 圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为______°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆锥的侧面展开图以及扇形的弧长公式，圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为，
∴底面周长为：

解得：，
故答案为：
14. 如图，AE是正八边形ABCDEFGH的一条对角线，则∠BAE=_____°．
【答案】67.5
【解析】
【详解】试题分析：∵图中是正八边形，
∴各内角度数和=（8﹣2）×180°=1080°，
∴∠HAB=1080°÷8=135°，
∴∠BAE=135°÷2=67.5°．
故答案为67.5．
考点：多边形的内角
15. 点在以y轴为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据点在以y轴为对称轴的二次函数的图象上，得到的值，然后求得的值，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：∵点在以y轴为对称轴的二次函数的图象上，
∴
∴y=-x2+2，
∴点在二次函数y=-x2 +2的图象上，
∴=m+（-m2+2）=，
∴当a=时，a+b取得最大值，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16. 如图，在矩形ABCD中，，点E是线段BC上的一个动点，连接AE，将沿着AE翻折得到，其中点G是的平分线与EF延长线的交点，若点E从点B运动到点C，则点G的运动路径长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意易得，从而，因为四边形是矩形，判断点G的轨迹是一条线段，其长度等于CK的长度，在中，根据勾股定理求出DK，得出结论；
【详解】解：如图，点G最后位置如图所示，作交的延长线于点，作，
由题意知，，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
点G到CD的距离是定值，所以点G的轨迹是一条线段，其长度等于CK的长度，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
点G的路径长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的折叠问题，涉及知识点：勾股定理、三角形全等的判定及性质，矩形的判定定理，解题关键分析出点G的轨迹．
三、解答题（本题共11小题，共102分．解答时写出必要的证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】先进行零指数幂运算、特殊角的三角函数运算、立方根运算、负整数指数幂运算，再进行加减运算即可求解.
【详解】解：
=1+2×-2+2
=1+1-2+2
=2
【点睛】本题考查含特殊角的三角函数值的混合运算，涉及零指数幂、特殊角的三角函数、立方根、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答的关键.
18. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】分式方程两边同乘3(x+1)，解出x的解，再检验解是否满足.
【详解】解：方程两边都乘，
得：，
解得：，
经检验是方程的解，
原方程的解为．
【点睛】本题考查的知识点是分式方程的求解，解题关键是解出的解要进行检验.
19. 解不等式组：．
【答案】x＞2
【解析】
【分析】首先分别求出每一个不等式的解集，然后确定它们解集的公共部分即可．
【详解】解：
由3x≥x+2，解得x≥1，
由x+4＜2（2x﹣1），解得x＞2，
所以不等式组的解集为x＞2．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20. 某学校开展学生读书月活动，为了了解学生每天读书情况，教务处随机抽取了部分学生，了解他们每天读书时长情况，并按时长分为4个等级：A．少于5分钟、B．5分钟到15分钟、C．大于15分钟到30分钟、D．30分钟以上，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有___________人；
（2）请你将图（2）补充完整；
（3）D所对应的圆心角的度数为___________；
（4）如果该校有名学生，请你根据调查数据估计，该校每天读书时长超过15分钟的学生大约有多少人？
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
（4）人
【解析】
【分析】（1）用B等级的人数除以其人数占比即可得到这次被调查的学生人数；
（2）先求出C等级的人数，然后补全统计图即可；
（3）用乘以D等级的人数占比即可得到答案；
（4）用乘以样本中C等级和D等级的人数占比之和即可得到答案．
【小问1详解】
解：人，
∴这次被调查的学生共有人，
故答案为：
【小问2详解】
解：由（1）得C等级的人数为人，
补全统计图如下所示：
【小问3详解】
解：D所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：；
【小问4详解】
解：人，
∴该校每天读书时长超过15分钟的学生大约有人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．
21. 一张圆桌旁设有4个座位，甲先坐在了如图所示的座位上，乙、丙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．
（1）丙坐在②号座位的概率是 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求乙与丙不相邻而坐的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）列出树状图找到所有的等可能性的结果数，然后找到乙与丙不相邻的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵丙坐到①、②、③三个座位上的可能性相同，
∴丙坐在②号座位的概率是；
【小问2详解】
解：列树状图如下所示：
由树状图可知共有6种等可能的结果，乙与丙两人不相邻而坐的结果有2种
∴P（乙与丙不相邻面坐，即乙与丙不相邻而坐的概率为
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图或列表法求解概率，解题的关键在于能够熟练掌握概率计算公式．
22. 【阅读材料】
【解答问题】
请你判断小明的作法是否正确，并说明理由．
【答案】小明的作法正确，理由见解析
【解析】
【分析】先利用基本作图得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，，再根据平行线的性质得到，进而得到，得到，所以，然后根据菱形的判定方法可判断四边形为菱形．
【详解】解：小明的作法正确，理由如下：
由作法得垂直平分，
，，，
，
，
，
，
，
四边形为菱形．
【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的判定．
23. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1，是我国古代农用工具(墨子•备城门)，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，且米，．当点位于最高点时°；；当点从最高点逆时针旋转到达最低点，求此时水桶上升的高度．参考数据：，，

【答案】此时水桶上升的高度约为米
【解析】
【分析】过作，过作于作于，根据对顶角相等得出，，根据得出，进而即可求解．
【详解】解：过作，过作于，作于，如图所示：
则，
，，
，，
米，，
米， 米，
，
米， 米，
米，
即此时水桶上升的高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的性质应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
24. 如图，在中，，点O在上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，过点D作半圆O的切线，交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，求半圆O的半径长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠BDF+∠ADO=90°，再结合∠ADO=∠OAD，推出∠BDF=∠B，即可；
（2）过F作FG⊥BD于G，先利用三角函数求出BG=DG，再过点O作OH⊥AD于H，在△AOH中，求出AO即可.
【详解】解：（1）连接OD，
∵DF和半圆相切，
∴OD⊥DF，
∴∠BDF+∠ADO=90°，
∵∠ADO=∠OAD，
∴∠OAD+∠BDF=90°，又∠C=90°，
∴∠OAD+∠B=90°，
∴∠BDF=∠B，
∴BF=DF；
（2）过F作FG⊥BD于G，则GF垂直平分BD，
∵，
∴BF=DF=2，
∵，，∠C=90°，
∴AB=，
∴cs∠B==，
∴，解得：BG==DG，
∴AD=AB-BD=，
过点O作OH⊥AD于H，
∴AH=DH=AD=，
∵cs∠BAC=，
∴AO=，
即半圆O的半径长为.
【点睛】本题考查了切线性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
25. 某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元；购进甲商品1件和乙商品2件共需70元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件50元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共60件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润．
【答案】（1）甲、乙两种商品每件的进价分别是10元、30元；（2）当购进甲商品48件，乙商品12件时可获得最大利润720元．
【解析】
【分析】（1）根据购进甲商品2件和乙商品1件共需50元，购进甲商品1件和乙商品2件共需70元可以列出相应的方程组，从而可以求得甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元；
（2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题．
【详解】（1）设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，
，得，
答：甲、乙两种商品每件的进价分别是10元、30元；
（2）设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品（60-m）件，设卖完甲、乙两种商品商场的利润为w元，
则w=（20-10）m+（50-30）（60-m）=-10m+1200，
∵m≥4（60-m），
解得：m≥48，
∴当m=48时，w取得最大值，最大利润为：-10×48+1200=720元，
∴60-m=12，
答：当购进甲商品48件，乙商品12件时可获得最大利润720元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（－1，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D为第一象限的抛物线上一点，
①过点D作DE⊥AB，垂足为点E，求线段DE长的取值范围；
②若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图形，求此时点D的坐标．
【答案】（1）；
（2）①0＜DE≤；②
【解析】
【分析】（1）直接用待定系数法将A、B、C三点的坐标代入即可；
（2）①作直线LM∥AB，与抛物线相切于D，交y轴于M，此时D到AB的距离最大，过A作AN⊥LM于N，可知直线LM与抛物线有唯一交点，此时△=0，可求出M点的坐标，进而根据，列式求出AN的长，即可求解；②分当AFGD是矩形和菱形时满足要求，从而求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（－1，0）．
∴
解得
∴抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
解：①作直线LM∥AB，与抛物线相切于D，交y轴于M，此时D到AB的距离最大，过A作AN⊥LM于N，
设直线AB的解析式为y=kx+4，则直线LM的解析式为y=kx+n，
∵直线AB过A、B点，
∴0=2k+4，解得k=-2
∴直线LM的解析式为y=-2x+n，
∵直线LM与抛物线相切，只有一个交点，
∴，
即
∴△=
∴n=6，
∴M（0，6），
则AM=6-4=2
∵LM∥AB
∴，
∴
∴，即
∴AN=
∴DE=AN=
∵D在第一象限，
∴0②当AFGD是矩形时，满足四边形AFGD既是轴对称图形，又是中心对称图形，
此时对称轴x=
∴D（1，4）
当四边形AFGD是菱形时，满足四边形AFGD既是轴对称图形，又是中心对称图形，如图，
设直线FD的解析式为y=，D点坐标为（x，），G（x，-2x+4）
∴
解得x=
∴D（ ）
故D点坐标为(1，4)或()
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与直线的交点，三角函数、中心对称和轴对称等知识，明确二次函数与直线有唯一交点时，△=0是解题的关键．
27. 我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝270°，∠D＝30°，AB＝BC，求证：四边形ABCD是“准筝形”；
（2）小军同学研究 “准筝形”时，思索这样一道题：如图2，“准筝形”ABCD，AD＝BD，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝5，CD＝3，求AC长；
小军研究后发现，可以CD为边向外作等边三角形，构造手拉手全等模型，用转化的思想来求AC.请你按照小军的思路求的AC的长.
（3）如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，，设D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）AC＝7； （3）或或．
【解析】
【分析】（1）由四边形内角和定理求出∠B=60°，由AB=CB，即可得出结论；
（2）)以CD为边作等边△CDE，连接BE，过点E作EF⊥BC于F，证△ADC≌△BDE得AC=BE，求出∠CEF=30°，由直角三角形性质得出CF=CE=，由勾股定理求出EF=再由勾股定理即可得出答案；
（3）过点C作CH⊥AB，交AB延长线于H，设BH=x，求出∠BCH=30°，由直角三角形的性质得出HC=x， BC=2BH=2x，构建方程求出x，进而得出AC的长，分三种情况，分别求解即可．
【小问1详解】
证明：在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∵∠A+∠C＝270°，∠D＝30°，
∴∠B＝360°﹣（∠A+∠C+∠D）＝360°﹣（270°+30°）＝60°
又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是“准筝形”
【小问2详解】
解：以CD为边作等边△CDE，连接BE，过点E作EF⊥BC于F，如图2所示，
则DE＝DC＝CE＝3，∠CDE＝∠DCE＝60°，
∵AD＝BD，∠BAD＝∠BCD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠ADB+∠BDC＝∠CDE+∠BDC，即∠ADC＝∠BDE，
在△ADC和△BDE中，，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴AC＝BE，
∵∠BCD＝∠DCE＝60°，
∴∠ECF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵∠EFC＝90°，
∴∠CEF＝30°，
∴CF＝CE＝，
由勾股定理得：EF＝＝＝，BF＝BC+CF＝5+＝，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE＝＝7，
∴AC＝7；
【小问3详解】
解：过点C作CH⊥AB，交AB延长线于H，设BH=x，如图3所示，
∠ABC=120°，CH⊥AH，
∠BCH=30°，
.HC=x， BC=2BH=2x=，
x=，HC=3，
又∠A=45°，
△HAC是等腰直角三角形，
HA=HC=3， AB=，
AC=HC=3，
如图4所示，
当AB=AD=，∠BAD=60°时，连接BD，过点C作CG⊥BD，交BD延长线于点G，过点A作AK⊥BD，则BD=，∠ABD=60°， BK=AB= ()，
∠ABC= 120°，
∠CBG=60°=∠CBH，
在△CBG和△CBH中，
，
，
GC=HC=3，
在中，由勾股定理得，AK= ，
， ，，
S四边形ABCD ；
②图5所示，
当BC=CD=2，∠BCD=60°时，连接BD，作CG⊥BD于点G， AK⊥BD于K，如
则BD=2，， AK=，
，，
S四边形ABCD=；
③如图6所示，
当AD=CD=AC=3，∠ADC=60°时，作DM⊥AC于M，则DM= ，
，
，
S四边形ABCD
综上所述，四边形A BCD的面积为或或．
【点睛】本题是考查了“准筝形”的判定与性质、四边形内角和定理、全等三角形的判定与性质含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握准筝形的判定与性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
老师的问题：
已知：如图，直线，点A在上，点在上．
求作：菱形，使点，分别在，上

小明的作法：
（1）分别以A和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点；
（2）作直线，分别交，于，；
（3）连接，．
四边形就是所求作的菱形．