2024年浙江省绍兴市新昌县部分学校中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年浙江省绍兴市新昌县部分学校中考数学一模试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数为无理数的是( )
A. 0.618B. 227C. 5D. 3−27
2.下列运算结果正确的是( )
A. x4+x4=2x8B. (−2x2)3=−6x6C. x6÷x3=x3D. x2⋅x3=x6
3.我国自主研制的全球最大集装箱船“地中海泰莎”号的甲板面积近似于4个标准足球场，可承载240000吨的货物.数字240000用科学记数法可表示为( )
A. 2.4×105B. 0.24×106C. 2.4×106D. 24×104
4.如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=80∘，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为( )
A. 60∘B. 65∘C. 70∘D. 75∘
5.某市为缓解交通拥堵，决定修建高架快速路，原计划用20个月完成这项工程，实际提前2个月完成该工程，求实际每月的工作效率比原计划提高的百分比？若设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是x%，根据题意可列方程为( )
A. 118=120(1+x%)B. 120=118(1−x%)
C. 20=18(1+x%)D. 18=20(1−x%)
6.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F.若FB=FE=2，FC=1，则AC的长是( )
A. 5 22
B. 3 52
C. 4 53
D. 5 23
7.清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍.则下列说法错误的是( )
A. 乙提速后每分钟攀登30米
B. 乙攀登到300米时共用时11分钟
C. 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟
D. 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米．
8.如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯(无盖)高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是( )
A. 73厘米B. 10厘米C. 8 2厘米D. 8厘米
9.如图，一把梯子AB斜靠在墙上，端点A离地面的高度AC长为1m时，∠ABC=45∘.当梯子底端点B水平向左移动到点B′，端点A沿墙竖直向上移动到点A′，设∠A′B′C=α，则AA′的长可以表示为m.( )
A. 2sinα
B. 2sinα−1
C. 2csα−1
D. 2tanα−1
10.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．点P，Q分别在边AB、AD上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为( )
A. 8B. 10C. 12D. 16
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：2x2−8x=____.
12.若分式3x+5有意义，则x的取值范围是______.
13.在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为25，则n=______.
14.如图，将周长为12的△ABC沿BC边向右平移3个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为______.
15.如图，工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，则这个小孔的直径AB是______毫米．
16.如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形．
(1)若遮阳棚完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60∘的太阳光照射下，CE在地面的影子有__________米(影子完全落在地面).
(2)长支杆与短支杆的长度比(即CE与AD的长度比)是__________.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算： 8+(13)−1−4sin45∘−( 3−π)0.
四、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0.
(1)当c=b−2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的b，c的值，并求此时方程的根．
19.(本小题6分)
如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连结AE，DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF=EF.
(1)求证：AD=CE.
(2)若CD=5，AC=6，求△AEB的面积.
20.(本小题8分)
文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴.成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项.为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的师生共有______人，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；
(3)该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数.
21.(本小题8分)
如图，一次函数y1=k1x+b(k1≠0)的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，与反比例函数y2=k2x(k2≠0)的图象交于点C(−4,−2)，D(2,m).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)结合图象，请直接写出不等式k1x+b22.(本小题10分)
在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，延长ED至点F，使得DF=DE，连结BF.
(1)求证：四边形BCEF是平行四边形.
(2)BG⊥CE于点G，连结CF，若G是CE的中点，CF=6，tan∠BCG=3，
①求CG的长.
②求平行四边形BCEF的周长.
23.(本小题10分)
在直角坐标系中，设函数y=(x−m)(x−n)(m,n是实数).
(1)当m=1时，若该函数的图象经过点(2,6)，求函数的表达式．
(2)若n=m−1，且当x≤−2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
(3)若该函数的图象经过(0,a)，(3,b)两点(a,b是实数).当2≤m24.(本小题12分)
如图，AB是⊙O的直径，PA，PC是⊙O的两条切线，点A，C为切点，延长PC，AB相交于点D，若BD=1，CD=3，点F为弧AB的中点，连接AC.
(1)连接OP交AC于点M，求证：∠ACB=∠AMO；
(2)设∠OCB=α，求tanα的值；
(3)若点G与点F关于圆心O对称，连接CG，求CG的长.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵3−27=−3，
∴0.618；227；3−27均为有理数， 5是无理数．
故选：C.
明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．
本题考查实数的分类，明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．题目难度较小，多为考卷中第一题．
2.【答案】C
【解析】解：A.x4+x4=2x4，故此选项不合题意；
B.(−2x2)3=−8x6，故此选项不合题意；
C.x6÷x3=x3，故此选项符合题意；
D.x2⋅x3=x5，故此选项不合题意．
故选：C.
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：240000=2.4×105，
故选：A.
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了作图-基本作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可得∠ACB的度数，由邻补角关系求出∠ACD度数，观察作图过程可得CE平分∠ACD，利用角平分线定义而可得∠DCE的度数．
【解答】
解：∵BA=BC，∠B=80∘，
∴∠A=∠ACB=12×(180∘−80∘)=50∘，
∴∠ACD=180∘−∠ACB=130∘，
观察作图过程可知：
CE平分∠ACD，
∴∠DCE=12∠ACD=65∘，
∴∠DCE的度数为65∘，
故选：B.
5.【答案】A
【解析】解：设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是x%，
由题意可得：118=120(1+x%)，
故选：A.
根据结果比原计划提前2个月完成交货，即可列出相应的分式方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠ACE+∠BCF=90∘，
∵BF⊥CD，
∴∠CFB=90∘，
∴∠CBF+∠BCF=90∘，
∴∠ACE=∠CBF，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC=∠CFB=90∘，
∴△ACE∽△CBF，
∴ACBC=CEBF，
∵FB=FE=2，FC=1，
∴CE=CF+EF=3，BC= CF2+BF2= 12+22= 5，
∴AC 5=32，
∴AC=3 52，
故选：B.
连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB=90∘，根据相似三角形的判定和性质定理以及勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂直的定义，正确的识别图形是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：甲的速度为：(300−100)÷20=10(米/分)，
10×3=30(米/分)，
即乙提速后每分钟攀登30米，故选项A不符合题意；
乙攀登到300米时共用时：2+(300−30)÷30=11(分钟)，故选项B不符合题意；
设y甲=k1x+b1，y乙=k2x+b2，
由函数图象得：100=b1300=20k1+b1，
解得k1=10b1=100，
∴y甲=10x+100，
∵乙提速后，乙的速度是甲登上速度的3倍，
∴乙提速后的速度为：30米/分，
∴乙从A到B的时间为：(300−30)÷30=9，
∴t=2+9=11，
∴B(11,300)，
∴30=2k2+b2300=11k2+b2，
解得k2=30b2=−30，
∴y乙=30x−30，
(3)当y甲=y乙时，
则10x+100=30x−30，
解得x=6.5，
即从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟，故选项C不符合题意；
从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了：6.5×10+30+30×(6.5−2)=65+30+135=230(米)，故选项D符合题意．
故选：D.
根据图象可得甲的速度，进而得出乙提速后的速度；利用乙提速后的速度可得提速后所用时间，进而得出乙攀登到300米时共用时间；别求出甲和乙提速后y和x之间的函数关系式，进而判断C、D.
本题主要考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，以及两直线交点问题，读懂题意，理解图象中每个拐点的意义是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图所示：最短路径为：P→A′，将圆柱展开，
PA′= PE2+EA′2= (16÷2)2+(6−1.5+1.5)2=10cm，
最短路程为PA′=10cm.
故选：B.
由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子沿的最短距离即可解答．
此题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
9.【答案】B
【解析】解：由题意得：∠ACB=90∘，AB=A′B′，
在Rt△ACB中，AC=1m，∠ABC=45∘，
∴AB=ACsin45∘=1 22= 2(m)，
∴AB=A′B′= 2m，
在Rt△A′CB′中，∠A′B′C=α，
∴A′C=A′B′⋅sinα= 2sinα(m)，
∴AA′=A′C−AC=( 2sinα−1)m，
故选：B.
根据题意可得：∠ACB=90∘，AB=A′B′，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而求出A′B′的长，再在Rt△A′CB′中，利用锐角三角函数的定义求出A′C的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：①在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，
∴BC=AD=20，
当p与B重合时，BA′=BA=12，
CA′=BC−BA′=20−12=8，
②当Q与D重合时，
由折叠得A′D=AD=20，
由勾股定理，得
CA′= A′D2−CD2= 202−122=16，
CA′最远是16，CA′最近是8，点A′在BC边上可移动的最大距离为16−8=8，
故选：A.
根据翻折的性质，可得BA′与AP的关系，根据线段的和差，可得A′C，根据勾股定理，可得A′C，根据线段的和差，可得答案．
本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．
11.【答案】2x(x−4)
【解析】解：原式=2x(x−4).
故答案为：2x(x−4).
直接提取公因式2x，进而得出答案．
此题主要考查了提公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12.【答案】x≠−5
【解析】解：根据题意，得
x+5≠0，
解得，x≠−5；
故答案是：x≠−5.
分式有意义，分母不为零．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
13.【答案】3
【解析】解：这个不透明的盒子中装有2+n个球，
又∵从中随机摸出一个球，它是白球的概率为25，
∴22+n=25，
解得n=3，
故答案为3.
先求出这个不透明的盒子中装有2+n个球，根据概率公式列出算式22+n=25，从而求出答案．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn.
14.【答案】18
【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF，
∴AD=CF=2，
∴四边形ABFD的周长
=AB+BC+DF+CF+AD
=△ABC的周长+AD+CF
=12+3+3
=18.
故答案为：18.
根据平移的性质，对应点的连线AD、CF都等于平移距离，再根据四边形ABFD的周长=△ABC的周长+AD+CF代入数据计算即可得解．
本题考查了平移的性质，主要利用了对应点的连线等于平移距离，结合图形表示出四边形ABFD的周长是解题的关键．
15.【答案】6 3
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，也考查了勾股定理.
已知钢珠的直径是12毫米，本题是有关圆的半径，弦长，弦心距之间的运算，通常是利用垂径定理，转化为解直角三角形问题．
有关圆的半径，弧长，弦长之间的计算一般是转化为解直角三角形．
【解答】
解：连接OA，通过圆心O，作弦AB的垂线交AB于C
则在Rt△OAC中，OA=6mm，OC=9−6=3mm
AC2+OC2=OA2，即AC2+32=62，
∴AC=3 3mm
∴AB=6 3mm.
故答案为6 3.
16.【答案】2
2：1

【解析】【分析】
本题主要考查了平行投影、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
(1)过C作与水平地面呈60∘的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS//CE，ES//CK可得四边形CESK是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得KS的长即可．
(2)由题意可知：支杆的长支杆长度都一样，短支杆的长度也一样，则OB=BC，即B为OC的中点，又因为OC=CE，即可说明AD的长度为长支杆的一半即可．
【解答】
解：(1)过C作与水平地面呈60∘的直线KC交MN的延长线于K，
分别过K、E作KS//CE，ES//CK，
∴四边形CESK是平行四边形，
∴KS=CE=2，即CE在地面上影子的长为2米．
故答案为：2.
(2)∵OB=BC，
∴BC=12OC
又∵OC=CE
∴BC=12CE
∵AD=BC，
∴AD=12CE
∴CE：AD=2：1.
故答案为：2：1.
17.【答案】解：原式=2 2+3−4× 22−1
=2 2+3−2 2−1
=2.
【解析】先计算 8、(13)−1、( 3−π)0，再代入特殊角的函数值算乘法，最后算加减．
本题考查了实数的混合运算，掌握“a0=1(a≠0)”、“a−p=1ap(a≠0,p是正整数)”、特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
18.【答案】解：(1)∵c=b−2，
∴△=b2−4c=b2−4(b−2)=(b−2)2+4，
∵(b−2)2≥0，
∴△=(b−2)2+4>0.
∴△>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴△=b2−4c=0，
若b=2，c=1，方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=−1.
【解析】(1)计算判别式的值得到△=(b−2)2+4，则可判断△>0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；
(2)利用方程有两个相等的实数根得到△=b2−4c=0，设b=2，c=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可(答案不唯一).
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
19.【答案】(1)证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD=12AB，
∵CF⊥DE，DF=EF.
∴CE=CD，
∴AD=CE.
(2)解：由(1)知，CE=CD=12AB=5，
∴AB=10，
在Rt△ABC中，BC= AB2−AC2=8，
∴BE=BC+EC=13，
∴S△AEB=12BE⋅AC=12×13×6=39.
【解析】(1)根据直角三角形斜边中线的性质得到CD=AD=12AB，根据线段垂直平分线的选择得到CE=CD，于是得到结论．
(2)根据直角三角形斜边中线的性质得到AB=2AD=10，由勾股定理得到BC= AB2−AC2=8，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
20.【答案】300
【解析】解：(1)本次调查的师生共有：60÷20%=300(人)，
“文明宣传”的人数为：300−60−120−30=90(人)，
补全条形统计图如下：
故答案为：300；
(2)在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数为：360∘×120300=144∘；
(3)1500×80%×90300=360(名)，
答：估计参加“文明宣传”项目的师生人数大约为360名．
(1)根据“清洁卫生”的人数和所占的百分比求出样本容量，再用样本容量减去其他三个项目的人数，可得“文明宣传”的人数，进而补全条形统计图；
(2)用360∘乘“敬老服务”所占的百分比即可得出“敬老服务”对应的圆心角度数；
(3)用参加志愿者服务的人数乘样本中参加“文明宣传”的人数所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.【答案】解：(1)∵反比例函数y2=k2x(k2≠0)的图象交于点C(−4,−2)，D(2,m).
∴k2=−4×(−2)=2m，
∴m=4，k2=8，
∴反比例函数的解析式为：y2=8x，
∵一次函数y1=k1x+b的图象经过点C(−4,−2)，D(2,4)，
∴−4k1+b=−22k1+b=4，解得k1=1b=2，
∴一次函数的解析式为y1=x+2；
(2)由图象可知，不等式不等式k1x+b【解析】(1)将C、D两点代入一次函数的解析式中即可求出一次函数的解析式，然后将点D代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式；
(2)根据图象即可求出该不等式的解集．
本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是熟练运用待定系数法以及数形结合的思想，本题属于中等题型．
22.【答案】(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE//BC，DE=12BC，
∵DF=DE=12EF，
∴EF//BC，EF=BC，
∴四边形BCEF是平行四边形；
(2)解：①设BG与FC交于点H，
∵G是CE的中点，
∴EC=2EG=2CG，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴FB=EC，EF=BC，FB//EC，
设EG=CG=x，则FB=EC=2x，
∵FB//EC，
∴△FBH∽△CGH，
∴FBCG=FHHC=BHGH=21，
∵FH+HC=CF=6，
∴FH=4，HC=2，
∵tan∠BCG=BGCG=3，
∴BG=3CG=3x，
∵BH=2GH，BG=BH+GH，
∴BH=2x，GH=x，
∴GH=CG=x，
∵BG⊥CE，
∴△GHC是等腰直角三角形，
∵HC=2，
∴GH=CG=x= 22HC= 2，
②由①得x= 2，
∴FB=EC=2x=2 2，
在Rt△BCG中，根据勾股定理得：
BC= BG2+CG2= (3x)2+x2= 10x=2 5，
∴平行四边形BCEF的周长=2(BC+FB)=2(2 5+2 2)=4 5+4 2.
【解析】(1)根据三角形中位线定理证明EF//BC，EF=BC，进而可以解决问题；
(2)①设BG与FC交于点H，设EG=CG=x，则FB=EC=2x，证明△FBH∽△CGH，得FBCG=FHHC=BHGH=21，所以FH=4，HC=2，由tan∠BCG=BGCG=3，得BG=3CG=3x，即可求得CG的长；
②由①得CG，然后证明△GHC是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出x的值，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△FBH∽△CGH.
23.【答案】解：(1)当m=1时，则y=(x−1)(x−n)，
把点(2,6)代入y=(x−1)(x−n)得，6=(2−1)(2−n)，
∴n=−4，
∴y=(x−1)(x+4)，即y=x2+3x−4；
(2)∵y=(x−m)(x−n)，
∴抛物线与x轴的交点为(m,0)，(n,0)，
∴抛物线的对称轴为直线x=m+n2，
∵n=m−1，
∴对称轴为直线x=m−12，
∵抛物线开口向上且当x≤−2时，y随x的增大而减小，
∴m−12≥−2，
∴m≥−32；
(3)∵函数的图象经过(0,a)，(3,b)两点(a,b是实数)，
∴a=mn，b=(3−m)⋅(3−n)，
∴ab=mn⋅(3−m)⋅(3−n)
=m(3−m)⋅n(3−n)
=[−(m−32)2+94][−(n−32)2+94]，
∵2≤m∴0<−(m−32)2+94≤2，
0≤−(n−32)2+94<2，
∴0【解析】(1)根据待定系数法即可求得；
(2)求得抛物线与x的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线x=m−12，根据二次函数的性质即可得出m−12≥−2，解得即可；
(3)把(0,a)，(3,b)两点代入y=(x−m)(x−n)，表示出a和b，然后将ab配方可得．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
24.【答案】(1)证明：∵PA，PC是⊙O的两条切线，
∴AB⊥AP，OC⊥CP，PA=PC，
∵OA=OB，
∴点O、P在线段AC的垂直平分线上，
∴OP垂直平分AC，即∠AMO=90∘，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠ACB=∠AMO.
(2)解：∵∠ACB=90∘，∠OCD=90∘，
∴∠BCD=∠ACO=∠OAC，
∵∠D=∠D，
∴△DCA∽△DBC，
∴ACBC=CDBD=31=3，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴tan∠OCB=tan∠OBC=tanα=ACBC=3.
(3)解：连接CF，FG，如图所示：
∵点G与点F关于圆心O对称，
∴GF过圆心，且为⊙O的直径，
∴∠GCF=90∘，
由(2)得△DCA∽△DBC，
∴CDBD=ADCD，
即31=AB+13，
∴AB=8，
又∵ACBC=3，
∴设BC=k，AC=3k，由BC2+AC2=AB2得，
∴k2+(3k)2=82，
即10k2=64，
∴k=4 105(舍去负值)，
即BC=4 105，AC=12 105，
如图，过点A作AH⊥CF，垂足为H，连接AF，BF，如图所示：
∵点F为AB的中点，
∴AF=BF，∠ACF=∠BCF=45∘，
∴AH=CH= 22AC=12 55，
∴AF= 22AB=4 2，
FH= AF2−AH2= (4 2)2−(12 55)2=4 55，
∴CF=CH+FH=12 55+4 55=16 55，
在Rt△CFG中，CG2=FG2−CF2=82−(16 55)2=64−2565=645，
∴CG=85 5(负值舍去).
【解析】(1)根据切线性质得出PA=PC，由OA=OB，得出点O、P在线段AC的垂直平分线上，证明∠AMO=90∘，根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB=90∘，证明∠ACB=∠AMO；
(2)证明△DCA∽△DBC，得出ACBC=CDBD=31=3，求出tan∠OCB=tan∠OBC=tanα=ACBC=3即可；
(3)连接CF，FG，由△DCA∽△DBC，得出CDBD=ADCD，求出AB=8，根据ACBC=3，设BC=k，AC=3k，根据BC2+AC2=AB2列出方程，求出k=4 105，得出BC=4 105，AC=12 105，过点A作AH⊥CF，垂足为H，连接AF，BF，求出CF=CH+FH=12 55+4 55=16 55，最后根据勾股定理求出结果即可．
本题主要考查了圆与三角形的综合，三角形相似的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的判断，圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质和定理，灵活应用．