2023-2024学年山东省济南市天桥区泺口实验中学八年级（下）月考数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年山东省济南市天桥区泺口实验中学八年级（下）月考数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.若aA. ab<0B. a+b>0C. ac3.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为( )
A. a2−16+3a=(a−4)(a+4)+3aB. 10x2−5x=5x(2x−1)
C. x2−4x+4=x(x−4)+4D. a(m+n)=am+an
4.不等式x>4的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(1,4)，如果将点A向右平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标为( )
A. (1,2)B. (1,6)C. (−1,4)D. (3,4)
6.多项式12a3b−8ab2c的公因式是( )
A. 4a2B. 4abcC. 2a2D. 4ab
7.下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是( )
A. x2+4B. x2−1C. x+9D. x2−6x
8.下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是( )
A. 9x2−16y2B. 4x2−4x+1C. x2+xy+y2D. 9−3x+x2
9.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α(0°<α<180°)得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD=25°，则旋转角α的度数是( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
10.如图，将点A1(1,1)向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；将点A2向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3；将点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点A4…按这个规律平移得到点An，则点A2024的横坐标为( )
A. 22024B. 22024−1C. 22023−1D. 22003+1
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.用适当的符号表示下列关系：a是正数______．
12.分解因式：a2+4a= ．
13.若m>n，则m−n______0(填“>”或“=”或“<”)．
14.如图是一次函数y=kx+b的图象，则关于x的不等式kx+b<0的解集为______．
15.如图，将周长为10cm的△ABC沿BC方向平移得到△DEF，连接AD，四边形ABFD的周长为15cm，则平移的距离为______cm．
16.如图，长方形ABCD中，AB=5，BC=12，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处.当△CEB′为直角三角形时，BE的长为______．
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
解下列不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来：−x−1≤3x−5．
18.(本小题6分)
解不等式组x−3(x−1)>11+3x2>x−1，并写出它的所有非负整数解．
19.(本小题18分)
因式分解：
(1)8m2n+2mn
(2)−15a3b2+9a2b2−3ab3
(3)4a2−1
(4)a2−4ab+4b2
(5)3x3−12x
(6)mx2+2m2x+m3
20.(本小题6分)
先分解因式，再求值：2x(a−2)−y(2−a)，其中a=2，x=1.5，y=−2．
21.(本小题6分)
在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,2)，B(3,1)．
(1)C点的坐标为______；
(2)将三角形ABC先向下平移4个单位，再向左平移3个单位，得到三角形A1B1C1，画出三角形A1B1C1；
(3)三角形A1B1C1的面积为______．
22.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,5)，将△ABO绕原点O顺时针方向旋转90°，得到△A1B1O，请在坐标系中画出△A1B1O，并写出点A1的坐标．
23.(本小题10分)
创建文明城市，构建美好家园.为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶.若购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元．
(1)求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元；
(2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
24.(本小题10分)
阅读以下材料
材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2
再将“A”还原，得原式=(x+y+1)2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：(x−y)2−2(x−y)+1= ______；
(2)因式分解：(a2−4a+2)(a2−4a+6)+4；
(3)求证：无论n为何值，式子(n2−2n−3)(n2−2n+5)+17的值一定是一个不小于1的数．
25.(本小题10分)
阅读理解：
例1.解方程|x|=2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|=2的解为x=±2．
例2.解不等式|x−1|>2，在数轴上找出|x−1|=2的解(如图)，因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为−1或3，所以方程|x−1|=2的解为x=−1或x=3，因此不等式|x−1|>2的解集为x<−1或x>3．

参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x−2|=3的解为______．
(2)解不等式：|x−2|≤1．
(3)解不等式：|x−4|+|x+2|>8．
26.(本小题10分)
在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC，垂足为N，∠EMF=135°、将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：

(1)当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；
(2)当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别直接写出线段BE，CF，BM之间的数量关系______；______．
(3)在(1)和(2)的条件下，∠BEM=60°，AB= 2+1，直接写出CF的长______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵a∴ab>0，
∴选项A不符合题意；
∵a∴a+b<0，
∴选项B不符合题意；
a∴选项C不符合题意；
∵a∴a+c∴选项D符合题意．
故选：D．
根据不等式的性质以及有理数的加减法和乘除法法则，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的性质：(1)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；(3)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
3.【答案】B
【解析】解：A、a2−16+3a=(a−4)(a+4)+3a，等号的右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、10x2−5x=5x(2x−1)，符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
C、x2−4x+4=x(x−4)+4，等号的右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、a(m+n)=am+an，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：B．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
本题考查了因式分解的意义，关键是熟练掌握定义，区别开整式的乘除运算．
4.【答案】D
【解析】解：不等式x>4的解集在数轴上表示，
故选：D．
根据不等式解集在数轴上的表示方法进行判断即可．
本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上的表示方法是正确解答的前提．
5.【答案】D
【解析】解：∵点A(1,4)向右平移2个单位长度得到点A′，
∴A′的坐标为(3,4)．
故选：D．
向右平移2个长度单位，即点A的横坐标加2，纵坐标不变，得到点A′的坐标即可．
本题主要考查了坐标与图形变化−平移，在平面直角坐标系中，点的平移变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：多项式12a3b−8ab2c的公因式是4ab，
故选：D．
确定公因式的系数，取各项系数的最大公因数；确定字母及字母的指数，取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各相同字母的指数取其指数最低的，由此确定公因式即可．
本题考查了公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由平方差公式的结构特征可知，x2−1=(x+1)(x−1)可利用平方差公式，
故选：B．
根据平方差公式的结构特征，即a2−b2=(a+b)(a−b)进行解答即可．
本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
8.【答案】B
【解析】解：A选项，没有积的2倍，故该选项不符合题意；
B选项，原式=(2x−1)2，故该选项符合题意；
C选项，第二项不是积的2倍，故该选项不符合题意；
D选项，第二项不是积的2倍，故该选项不符合题意；
故选：B．
利用完全平方公式的结构特点，逐个判断得结论．
本题主要考查了因式分解−运用公式法，掌握因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意，
∵DE⊥AC，∠CAD=25°，
∴∠ADE=90°−25°=65°，
由旋转的性质可得∠B=∠ADE，AB=AD，
∴∠ADB=∠B=65°，
∴∠BAD=180°−65°−65°=50°，
∴旋转角α的度数是50°；
故选：B．
先求出∠ADE的度数，然后由旋转的性质和等腰三角形的性质分析求解．
本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算．
10.【答案】B
【解析】解：点A1的横坐标为1=21−1，
点A2的横坐为标1+2=3=22−1，
点A3的横坐标为1+2+4=7=23−1，
点A4的横坐标为1+2+4+8=15=24−1，
……，
∴点An的横坐标为2n−1，
∴点A2024的横坐标为22024−1，
故选：B．
根据平移方式先求得A1，A2，A3，A4的横坐标，找到规律，即点An的横坐标为2n−1，进而可求得A2024的横坐标．
本题考查了点坐标规律探索，平移的性质，解答本题的关键是熟练掌握平移的性质．
11.【答案】a>0
【解析】解：a是正数可表示为a>0，
故答案为：a>0．
根据正数大于0，利用不等式表示出来即可．
本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的表示方法是解题关键．
12.【答案】a(a+4)
【解析】解：a2+4a=a(a+4)．
故答案为：a(a+4)．
直接提取公因式a，进而分解因式得出即可．
本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
13.【答案】>
【解析】解：不等式m>n两边都减去n，得m−n>0．
故答案为：>．
根据不等式的性质解答即可．
本题主要考查不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质．
14.【答案】x>2
【解析】解：根据图象可知，当x=2时，y=kx+b=0，
∴不等式kx+b<0的解集为x>2，
故答案为：x>2．
根据一次函数的图象即可确定不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
15.【答案】2.5
【解析】解：∵将周长为10cm的△ABC沿BC方向平移得到△DEF，四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=AD+CF+10=15，AD=CF，
∴2AD=5，
解得：AD=2.5，
故答案为：2.5．
根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=AD+CF+10=15，即可得出答案．
本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键．
16.【答案】 5−12或1
【解析】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连接AC，
在Rt△ABC中，AB=5，BC=12，
∴AC= 52+122=13，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=5，
∴CB′=8，
设BE=x，则EB′=x，CE=12−x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+82=(12−x)2，
解得x=103，
∴BE=103；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=5．
故答案为：103或5．
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连接AC，先利用勾股定理计算出AC=13，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=5，可计算出CB′=8，设BE=x，则EB′=x，CE=12−x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
17.【答案】解：−x−1≤3x−5；
−x−3x≤−5+1，
−4x≤−4，
x≥1，
．
【解析】根据题意通过移项、合并同类项、系数化为1、即可得到答案．
本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
18.【答案】解：x−3(x−1)>11+3x2>x−1，
解不等式①得，x<1，
解不等式②得，x>−3，
所以不等式组的解集是−3所以不等式组的非负整数解是0．
【解析】分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分，再写出范围内的非负整数解即可．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
19.【答案】解：(1)原式=2mn(4m+1)；
(2)原式=−3ab2(5a2−3a+b)；
(3)原式=(2a+1)(2a−1)；
(4)原式=(a−2b)2；
(5)原式=3x(x2−4)
=3x(x+2)(x−2)；
(6)原式=m(x2+2mx+m2)
=m(x+m)2．
【解析】(1)利用提公因式法即可求解；
(2)利用提公因式法即可求解；
(3)利用公式法即可求解；
(4)利用公式法即可求解；
(5)综合利用提公因式法和公式法即可求解；
(6)综合利用提公因式法和公式法即可求解．
本题考查了因式分解，掌握各类分解方法是解题关键．
20.【答案】解：由题意，∵2x(a−2)−y(2−a)=(a−2)(2x+y)，
∴当x=1.5，y=−2，a=2时，2x(a−2)−y(2−a)=(2−2)(2×1.5−2)=0．
【解析】依据题意，先将2x(a−2)−y(2−a)变形为(a−2)(x+y)，进而代入已知条件可以得解．
本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并理解是关键．
21.【答案】(3,4) 3
【解析】解：(1)C点的坐标为(3,4)．
故答案为：(3,4)；
(2)如图所示：
(3)△A1B1C1的面积=12×2×3=3．
(1)根据坐标系写出点C的坐标即可；
(2)根据平移的性质，将三角形ABC先向下平移4个单位，再向左平移3个单位，得到三角形A1B1C1；
(3)根据三角形的面积即可求解．
本题考查了平移作图，写出点的坐标，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键．
22.【答案】解：如图，△A1B1O即为所求．

由图可得，点A1的坐标为(5,−1)．
【解析】根据旋转的性质作图，即可得出答案．
本题考查作图−旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，
由题意可得2x+3y=4205x+y=400，
解得x=60y=100，
答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；
(2)设A型垃圾桶a个，
由题意可得：60a+100(200−a)≤15200，
a≥120，
答：至少需购买A型垃圾桶120个．
【解析】(1)设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，根据购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元，列出二元一次方程组，即可求解；
(2)设A型垃圾桶a个，根据总费用不超过15200元，列出不等式，即可求解．
本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24.【答案】(x−y−1)2
【解析】(1)解：令x−y=A，
原式=A2−2A+1=(A−1)2，
将“A”还原，得原式=(x−y−1)2；
故答案为：(x−y−1)2；
(2)解：令a2−4a=A，
原式=(A+2)(A+6)+4
=A2+8A+12+4
=(A+4)2，
将“A”还原，得：
原式=(a2−4a+4)2=(a−2)4；
(3)证明：令n2−2n=A，
原式=(A−3)(A+5)+17
=A2+2A−15+17
=A2+2A+2
=(A+1)2+1，
将A=n2−2n还原，
原式=(n2−2n+1)2+1=(n−1)4+1，
因为无论n为何值(n−1)4≥0，
所以(n−1)4+1≥1
即式子(n2−2n−3)(n2−2n+5)+17的值一定是一个不小于1的数．
(1)将“x−y”看成整体，令x−y=A，则原式=A2−2A+1(A−1)2，再将“A”还原，得原式=(x−y−1)2；
(2)将“a2−4a”看成整体，令a2−4a=A，则原式=(A+2)(A+6)+4=A2+8A+12+4=(A+4)2，再将“A”还原，得：原式=(a2−4a+4)2=(a−2)4；
(3)先由(n2−2n−3)(n2−2n+5)+17，运用整体思想，再即可得到式子(n2−2n−3)(n2−2n+5)+17的值一定是一个不小于1的数．
本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
25.【答案】x=−1或x=5
【解析】解：(1)∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为−1或5，
∴方程|x−2|=3的解为：x=−1或x=5，
故答案为：x=−1或x=5．
(2)在数轴上找出|x−2|=1的解，如图：
∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3，
∴方程|x−2|=1的解为x=1或x=3，
∴不等式|x−2|≤1的解集为1≤x≤3．
(3)在数轴上找出|x−4|+|x+2|=8的解，
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和−2对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值，
∵在数轴上4和−2对应的点的距离为6，
∴满足方程的x对应的点在4的右边或−2的左边，
若x对应的点在4的右边，可得x=5；
若x对应的点在−2的左边，可得x=−3，
∴方程|x−4|+|x+2|=8的解是x=5或x=−3，
∴不等式|x−4|+|x+2|>8的解集为x>5或x<−3．
(1)利用在数轴上到−2对应的点的距离等于5的点对应的数为5或−1，求解即可；
(2)先求出|x−2|=1的解，再求|x−2|≤1的解集即可；
(3)先在数轴上找出|x−4|+|x+2|=8的解，即可得出不等式|x−4|+|x+2|>8的解集．
本题主要考查了绝对值，不等式，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是理解|x1−x2|表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离．
26.【答案】BE−CF=BM CF−BE=BM 1+ 33或1− 33
【解析】解：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠C=45°，
∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC，∠B=90°，
∴BM=MN，∠B=∠MNF，
在四边形ABMN中，∠BMN=360°−90°−90°−45°=135°，
∵∠EMF=135°，
∴∠BME=∠NMF，
∴△BME≌△NMF(ASA)，
∴BE=NF，
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵CN=CF+NF，
∴BE+CF=BM；
(2)如图2，同(1)的方法可证NC=NM=BM，
∵NC=NF−CF，
∴BE−CF=BM；
如图3，同(1)的方可证NC=NM=BM，
∵NC=CF−NF，
∴CF−BE=BM．
故答案为：BE−CF=BM，CF−BE=BM；
(3)在Rt△ABM和Rt△ANM中，
BM=NMAM=AM，
∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL)，
∴AB=AN= 2+1，
在Rt△ABC中，BC=AB= 2+1，
∴AC= 2AB=2+ 2，
∴CN=AC−AN=2+ 2−( 2+1)=1，
在Rt△CMN中，CM= 2CN= 2，
∴BM=BC−CM= 2+1− 2=1，
在Rt△BME中，∠BEM=60°，
∴∠BME=30°，
∴ME=2BE，
∵BE2+BM2=ME2，
∴BE2+12=4BE2，
∴BE= 33，
①由(1)知，如图1，BE+CF=BM，
∴CF=BM−BE=1− 33．
②由(2)知，如图2，
∵∠BAC=45°>∠BEM，
∴∠BEM=60°不成立；
③由(2)知，如图3，CF−BE=BM，
∴CF=BM+BE=1+ 33，
故答案为：1+ 33或1− 33．
(1)根据角平分线的性质可证BM=MN，再证明△BME≌△NMF，得出BE=NF，即可得出结论；
(2)仿照(1)的方法即可得出结论；
(3)先证明Rt△ABM≌Rt△ANM，求出AB=AN= 2+1，即可求出CN，CM，最后求出BM，再利用勾股定理求出BE，然后根据(1)(2)的结论求解即可．
此题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解本题的关键．

2023-2024学年山东省济南市天桥区泺口实验中学八年级（下）月考数学试卷（含解析）

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