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2023-2024学年山东省济南市莲河学校片区联盟八年级（下）第二次月考数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年山东省济南市莲河学校片区联盟八年级（下）第二次月考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各式：① 2，② 13，③ 8，④ 27中，最简二次根式有 ( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.下列二次根式中，不能与 2合并的是( )
A. 12B. 8C. 24D. 18
3.如图，矩形的两条对角线的一个夹角为60°，两条对角线的长度的和为36cm，则这个矩形的一条较短边的长度为( )
A. 18cm
B. 15cm
C. 5cm
D. 9cm
4.要使式子 m+1m−1有意义，则m的取值范围是( )
A. m>−1B. m⩾−1C. m>−1且m≠1D. m⩾−1且m≠1
5.如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P，则∠P=( )
A. 90°B. 45°C. 30°D. 22.5°
6.下列计算正确的是( )
A. 12÷1 3= 123= 4=2B. 212÷ 12= 5
C. 33−42=3+4=7D. −16 −2= 162= 8=2 2
7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE//AC，若AC=8，则四边形CODE的周长为( )
A. 16
B. 8
C. 12
D. 10
8.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是( )
A. 108°
B. 72°
C. 90°
D. 100°
9.化简( 2−x)2+|x−2|结果为( )
A. 0B. 2x−4C. 4−2xD. 4
10.在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠ADB的平分线交AB于点E，交AC于点G.过点E作EF⊥BD于点F，∠EDM交AC于点M.下列结论：
①AD=( 2+1)AE；
②四边形AEFG是菱形；
③BE=2OG；
④若∠EDM=45°，则GF=CM．
其中正确的个数有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知 3−x+ x−3−1=y，则xy= ______．
12.已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的周长为______cm．
13.若最简二次根式3x−102x+y−5和 x−3y+11是同类二次根式，则xy的平方根______．
14.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为______．
15.已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.E、F分别是边AD、CD上的点，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，则EF的长为______cm．
16.如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E，F分别为边BC，CD上动点，且BE+DF=6，连接BF，AE交于点G，连接DG，则线段DG长度的最小值为______．
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
计算： 24÷ 3− 12× 18+ 32．
18.(本小题7分)
如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形．
(1)若a=1，b= 2，求如图1中两个正方形的面积之和；
(2)若m= 5，n= 3，求如图2中AF的长；
19.(本小题7分)
已知，m= 5+1，n= 5−1.求值：
(1)nm2+mn2；
(2)求m2+mn+n2的值．
20.(本小题8分)
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作BD的平行线交AB的延长线于点E．
(1)求证：AC=CE．
(2)连接OE，如果CE=13，AD=12，求△OAE的面积．
21.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是菱形，对角线DB=6，DH⊥AB于H，∠ABC=120°，
(1)求菱形ABCD的周长．
(2)求DH的长．
22.(本小题8分)
如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F．
(1)求证：△DAF≌△ECF；
(2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度数．
23.(本小题7分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，BM//DN，且分别交对角线AC于点M，N，连接MD，BN．
(1)求证：∠DMN=∠BNM；
(2)若∠BAC=∠DAC.求证：四边形BMDN是菱形．
24.(本小题10分)
如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF//BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．
(1)若CE=8，CF=6，求OC的长；
(2)连接AE、AF.问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
25.(本小题12分)
细心观察图，认真分析下列各式，然后解答问题．
( 1)2+1=2，S1= 12；( 2)2+1=3，S2= 22；( 3)2+1=4，S3= 32；…
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律．
(2)推算出OA10的长．
(3)求S12+S22+⋯+S102的值．
26.(本小题12分)
已知：正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在的直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．
(1)如图1，当点P在对角线AC上时，请你猜想PE与PB有怎样的数量关系，并加以证明；
(2)如图2，当点P运动到CA的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
(3)如图2，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．
根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】
解：① 2，② 13= 33，③ 8=2 2，④ 27= 147，
故其中的最简二次根式为①，共1个．
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：A、原式= 22，不合题意；
B、原式=2 2，不合题意；
C、原式=2 6，符合题意；
D、原式=3 2，不合题意，
故选C
原式各项化简，找出与 2不是同类项的即可．
此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD,OA=OB=12AC=12BD，∠ABC=90°，
∵两条对角线的长度的和为36cm，
∴AC=BD=18cm，
∴OA=OB=9cm，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=9cm，
∴BC= AC2−AB2= 243cm>9cm，
故选：D．
先由矩形的性质得到AC=BD,OA=OB=12AC=12BD，∠ABC=90°，再求出AC=BD=18cm，即可求出OA=OB=9cm，证明△AOB是等边三角形，得到AB=OA=9cm，则由勾股定理可得BC= AC2−AB2= 243cm>9cm，据此可得答案．
本题主要考查了矩形的性质，掌握勾股定理，等边三角形的性质与判定是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，属于基础题．
根据分式有意义，分母不为0，二次根式的被开方数是非负数，可以求出m的范围．
【解答】
解：根据题意得：m+1⩾0m−1≠0,
解得：m⩾−1且m≠1．
故选：D．
5.【答案】D
【解析】【分析】
根据正方形的性质得到∠DAC=∠ACD=45°，由作图知，∠CAP=12∠DAC=22.5°，根据三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，角平分线定义，正确的理解题意是解题的关键．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠ACD=45°，
由作图知，∠CAP=12∠DAC=22.5°，
∴∠P=180°−∠ACP−∠CAP=22.5°，
故选D．
6.【答案】B
【解析】解；A、 12÷1 3= 36=6，计算错误，故本选项不符合题意；
B、 212÷ 12= 5，计算正确，故本选项符合题意；
C、 32+42=5，计算错误，故本选项不符合题意；
D、 −16和 −2没有意义，本选项不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的乘法法则和除法法则结合选项求解，选出正确选项．
本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法法则和除法法则是关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵CE//BD，DE//AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OC=12AC=4，
∴四边形CODE是菱形，
∴DE=CE=OC=OD=4，
∴四边形CODE的周长=4×4=16；
故选：A．
先证明四边形CODE是平行四边形，再根据矩形的性质得出OC=OD，然后证明四边形CODE是菱形，即可求出周长．
本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定定理．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明PD=PC是解决问题的关键．由菱形的性质得出∠ADP=∠CDP=1212∠ADC，PA=PC，再由线段垂直平分线的性质得出PA=PD，证出PD=PC，得出∠PCD=∠CDP=36°，由外角性质即可求出∠CPB．
【解答】
解：连接PA，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADP=∠CDP=12∠ADC=36°，
∵BD所在直线是菱形的对称轴，
∴PA=PC，
∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，
∴PA=PD，
∴PD=PC，
∴∠PCD=∠CDP=36°，
∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；
故选：B．
9.【答案】C
【解析】解：∵ 2−x有意义，
∴2−x≥0，
解得：x≤2，
∴原式=2−x+2−x=4−2x，
故选：C．
利用二次根式的定义可得2−x≥0，然后再利用二次根式性质、绝对值的性质进行计算即可．
此题主要考查了二次根式的性质，以及绝对值的性质，关键是掌握( a)2=a(a≥0)．
10.【答案】A
【解析】解：∵DE平分∠ADB，EF⊥BD，AE⊥AD，
∴AE=EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∴EF=BF，
设AE=x，则BE= 2x，
∴AD=AB=AE+BE=( 2+1)x=( 2+1)AE，故①正确；
在△AEG和△FEG中，
AE=FE∠AEG=∠FEGEG=EG，
∴△AEG≌△FEG(SAS)，
∴AG=FG，∠AEG=∠FEG，
∵AG//EF，
∴∠FEG=∠AGE，
∴∠AGE=∠AEG，
∴AE=AG，
∴四边形AEFG是菱形，故②正确；
由①②知，AG=x，AB=( 2+1)x，
∴AO=AB 2=( 22+1)x，
∴OG=AO−AG= 22x=12BE，故③正确；
∵BD=AC=2OA=( 2+2)x，EF=BF=AE=x，
∴DF=( 2+1)x=CD，
∵四边形AEFG是菱形，
∴∠EFG=∠BAC=45°，
∴∠DFG=45°=∠DCM，
∵∠EDM=45°=∠ODC，
∴∠GDF=∠MDC，
∴△GDF≌△MDC(ASA)，
∴GF=CM，故④正确．
故选：A．
设AE=x，则BE= 2x，可算出AD=( 2+1)x=( 2+1)AE，故①正确；先证明△AEG≌△FEG，再由AG//EF得∠AGE=∠AEG，即AE=AG，四边形AEFG是菱形，故②正确；由AG=x，AB=( 2+1)x得AO=AB 2=( 22+1)x，可求出OG= 22x=12BE，故③正确；由四边形AEFG是菱形证明△GDF≌△MDC，即可得GF=CM，故④正确．
此题考查了正方形的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大．设出未知数、利用好正方形的性质是解决此题的关键．
11.【答案】13
【解析】解：∵ 3−x+ x−3−1=y，
∴3−x≥0，x−3≥0，
∴x≥3，x≤3，
∴x=3，
∴y=−1，
∴xy=3−1=13，
故答案为：13．
先根据二次根式有意义的条件为被开方数大于等于零，得出关于x的不等式组，再求x的值进而得到y的值，再计算即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．
12.【答案】20
【解析】解：如图所示：
∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，AC=6cm，S菱形ABCD=24cm2，
∴BD=8cm，AO=3cm，BO=4cm，
在Rt△ABO中，AB2=AO2+BO2，
即有AB2=32+42，
解得：AB=5cm，
∴菱形的周长=4×5=20cm．
故答案为：20．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出另一条对角线的长度，再根据勾股定理可求出边长，继而可求出周长．
本题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题用到的知识点为：①菱形的四边形等，菱形的对角线互相垂直且平分，②菱形的面积等于对角线乘积的一半．
13.【答案】±2 3
【解析】解；∵3x−102x+y−5是二次根式，
∴3x−10=2，
∴x=4，
∵最简二次根式3x−102x+y−5和 x−3y+11是同类二次根式，
∴2×4+y−5=4−3y+11，
∴y=3，
∴xy=3×4=12，
∵12的平方根是±2 3，
∴xy的平方根是±2 3，
故答案为：±2 3．
据二次根式的定义得到3x−10=2得到x=4，再由同类二次根式的定义得到2×4+y−5=4−3y+11，则y=3，据此根据平方根的定义求解即可．
本题考查二次根式的定义，最简二次根式的定义，平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
14.【答案】20
【解析】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM=12CD=12AB=2.5，
∵AB=5，AD=12，
∴AC= 52+122=13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO=12AC=6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，
故答案为：20．
根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．
本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．
15.【答案】5
【解析】解：连接EF，
∵OD=OC，
∵OE⊥OF
∴∠EOD+∠FOD=90°
∵正方形ABCD
∴∠COF+∠DOF=90°
∴∠EOD=∠FOC
而∠ODE=∠OCF=45°
∴△OFC≌△OED，
∴OE=OF，CF=DE=3cm，则AE=DF=4cm，
根据勾股定理得到EF= CF2+AE2=5cm．
故答案为5．
连接EF，根据条件可以证明△OED≌△OFC，则OE=OF，CF=DE=3cm，则AE=DF=4cm，根据勾股定理得到EF= CE2+CF2= 32+42=5cm．
根据已知条件以及正方形的性质求证出两个全等三角形是解决本题的关键．
16.【答案】3 2
【解析】解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=6，∠ABC=∠C=90°，
∴BE+DF=6=CF+DF，
∴BE=CF，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABG=∠CBF+∠ABG=90°，
∴∠AGB=90°，即AE⊥BF，
∴当点G为正方形对角线交点时，线段DG的长度最小，
∵AB=6，
∴正方形对角线为6 2，
∴DG长度的最小值为3 2，
故答案为：3 2．
先根据正方形的性质证明△ABE≌△BCF(SAS)，再由全等三角形的性质得出∠BAE=∠CBF，继而证明AE⊥BF，当点G为正方形对角线交点时，线段DG的长度最小，再根据正方形的性质求解即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
17.【答案】解：原式= 24÷3− 12×18+4 2
= 8− 9+4 2
=2 2−3+4 2
=6 2−3．
【解析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，然后把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18.【答案】解：(1)∵a=1，b= 2，
∴a2=1,b2=( 2)2=2，
∴图1中两个正方形的面积之和为a2+b2=1+2=3；
(2)∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴∠B=∠E=90°，∠ACB=∠ECF=45°，
∴∠ACF=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2，
在Rt△CEF中，由勾股定理得CF2=CE2+EF2
在Rt△ACF中，由勾股定理得AF2=AC2+CF2，
∴AF2=m2+m2+n2+n2=2( 5)2+2( 3)2=16，
∴AF=4或AF=−4(舍去)．
【解析】(1)分别求出两个正方形面积，然后求和即可得到答案；
(2)先由正方形的性质得到∠B=∠E=90°，∠ACB=∠ECF=45°，则∠ACF=90°，再利用勾股定理得到AF2=m2+m2+n2+n2=2( 5)2+2( 3)2=16，则AF=4．
本题主要考查了二次根式的应用，关键是正方形的性质，勾股定理的应用．
19.【答案】解：(1)∵m= 5+1，n= 5−1，
∴m+n= 5+1+ 5−1=2 5，mn=( 5+1)( 5−1)=5−1=4，
∴nm2+mn2
=mn(m+n)
=4×2 5
=8 5；
(2)由(1)得m+n=2 5，mn=4，
∴m2+mn+n2
=(m+n)2−mn
=(2 5)2−4
=20−4
=16．
【解析】(1)先求出m+n=2 5，mn=4，再根据nm2+mn2=mn(m+n)进行求解即可；
(2)根据(1)得m+n=2 5，mn=4，再根据m2+mn+n2=(m+n)2−mn进行求解即可．
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握相关运算．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，AC=BD，
∴BE//CD．
∵BD//CE，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∴BD=CE，
∴AC=CE．
(2)解：连接OE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，BC=AD=12，AB=CD，
在Rt△ABC中，AC=CE=13，则AB= AC2−BC2=5，
∵四边形BDCE是平行四边形，
∴BE=CD=AB=5，
∴AE=10，
∴S△OAE=12S△ACE=12×12×AE×BC=30．
【解析】(1)由矩形的性质得到AB//CD，AC=BD，进而证明四边形BDCE是平行四边形，即可证明AC=CE；
(2)先由矩形的性质和勾股定理得到OA=OC，AB=5，再由平行四边形的性质和矩形的性质得到BE=CD=AB=5，则AE=10，即可得到S△OAE=12S△ACE=12AE⋅BC=30．
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，三角形中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC，∠ABD=12∠ABC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD=6，
∴菱形ABCD的周长=AB+AD+CD+BC=4×6=24；
(2)由(1)得△ABD是等边三角形，
∵DH⊥AB，
∴AH=12AB=3，
∴DH= AD2−AH2=3 3．
【解析】(1)根据菱形的性质得到AB=AD=CD=BC，∠ABD=12∠ABC=60°，则可证明△ABD是等边三角形，得到AB=BD=6，据此可得答案；
(2)由三线合一定理得到AH=12AB=3，由勾股定理可得DH= AD2−AH2=3 3．
本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，关键是菱形性质的应用．
22.【答案】解：(1)证明：已知矩形ABCD沿对角线AC折叠，
则AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°，
在△DAF和△ECF中，
∠DFA=∠EFC∠D=∠EDA=EC，
∴△DAF≌△ECF(AAS)；
(2)∵△DAF≌△ECF，
∴∠DAF=∠ECF=40°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠EAB=∠DAB−∠DAF=90°−40°=50°，
∵∠EAC=∠CAB，
∴∠CAB=25°．
【解析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，翻折变换等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
(1)根据AAS证明三角形全等即可；
(2)利用全等三角形的性质求解即可．
23.【答案】证明：(1)连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵BM//DN，
∴∠MBO=∠NDO，
在△BOM和△DON中
∠MBO=∠NDOOB=OD∠BOM=∠DON
∴△BOM≌△DON(ASA)，
∴BM=DN，
∴四边形BMDN为平行四边形，
∴BN//DM，
∴∠DMN=∠BNM；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠BCA=∠DAC，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
【解析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
(1)连接BD，交AC于点O，证明△BOM≌△DON，推出四边形BMDN为平行四边形，得到BN//DM，即可得证；
(2)先证明四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，进而得到MN⊥BD，即可得证．
24.【答案】(1)证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∵EF//BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF；
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，
∴∠ECF=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF= CE2+CF2=10，
∴OC=OE=12EF=5；
(2)解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
连接AE、AF，如图所示：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【解析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；
(2)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
此题主要考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF=90°是解题关键．
25.【答案】解：(1)( n)2+1=n+1，Sn= n2.(n是正整数)
(2)由(1)得，( n)2=n，即OAn2=n，
∴OA10= 10．
(3)S12+S22+…+S102=( 12)2+( 22)2+…+( 102)2=1+2+3+4+…+104=554．
【解析】(1)利用已知可得OAn2，注意观察数据的变化，
(2)结合(1)中规律即可求出OA102的值即可求出，
(3)将前10个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出．
本题主要考查勾股定理以及作图的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识，此题难度不大．
26.【答案】(1)解：猜想：PE=PB，
理由：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，
又∵PC=PC，
∴△PDC≌△PBC(SAS)，
∴PD=PB，
∵PE=PD，
∴PE=PB．
(2)解：(1)中的结论成立．
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，
又∵PC=PC，
∴△PDC≌△PBC(SAS)，
∴PD=PB，
∵PE=PD，
∴PE=PB．
(3)：①PE=PB，②PE⊥PB．
【解析】【分析】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
(1)利用三角形全等即可解决问题．
(2)证明△PDC≌△PBC(SAS)，即可解决问题．
(3)如图3所示：结论：①PE=PB，②PE⊥PB.利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】
(1)(2)见答案；
(3)解：如图3所示：结论：①PE=PB，②PE⊥PB．
理由：设PB交EC于J．
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，∠BCD=∠BCE=90°，
∴∠DCP=∠BCP，
又∵PC=PC，
∴△PDC≌△PBC(SAS)，
∴PD=PB，∠1=∠2，
∵PE=PD，
∴PE=PB，∠E=∠2，
∴∠1=∠E，
∵∠CJB=∠PJE，
∴∠BCJ=∠JPE=90°，
∴PB⊥PE，PB=PE．
1.下列各式：① 2，② 13，③ 8，④ 27中，最简二次根式有 ( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.下列二次根式中，不能与 2合并的是( )
A. 12B. 8C. 24D. 18
3.如图，矩形的两条对角线的一个夹角为60°，两条对角线的长度的和为36cm，则这个矩形的一条较短边的长度为( )
A. 18cm
B. 15cm
C. 5cm
D. 9cm
4.要使式子 m+1m−1有意义，则m的取值范围是( )
A. m>−1B. m⩾−1C. m>−1且m≠1D. m⩾−1且m≠1
5.如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P，则∠P=( )
A. 90°B. 45°C. 30°D. 22.5°
6.下列计算正确的是( )
A. 12÷1 3= 123= 4=2B. 212÷ 12= 5
C. 33−42=3+4=7D. −16 −2= 162= 8=2 2
7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE//AC，若AC=8，则四边形CODE的周长为( )
A. 16
B. 8
C. 12
D. 10
8.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是( )
A. 108°
B. 72°
C. 90°
D. 100°
9.化简( 2−x)2+|x−2|结果为( )
A. 0B. 2x−4C. 4−2xD. 4
10.在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠ADB的平分线交AB于点E，交AC于点G.过点E作EF⊥BD于点F，∠EDM交AC于点M.下列结论：
①AD=( 2+1)AE；
②四边形AEFG是菱形；
③BE=2OG；
④若∠EDM=45°，则GF=CM．
其中正确的个数有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知 3−x+ x−3−1=y，则xy= ______．
12.已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的周长为______cm．
13.若最简二次根式3x−102x+y−5和 x−3y+11是同类二次根式，则xy的平方根______．
14.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为______．
15.已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.E、F分别是边AD、CD上的点，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，则EF的长为______cm．
16.如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E，F分别为边BC，CD上动点，且BE+DF=6，连接BF，AE交于点G，连接DG，则线段DG长度的最小值为______．
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
计算： 24÷ 3− 12× 18+ 32．
18.(本小题7分)
如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形．
(1)若a=1，b= 2，求如图1中两个正方形的面积之和；
(2)若m= 5，n= 3，求如图2中AF的长；
19.(本小题7分)
已知，m= 5+1，n= 5−1.求值：
(1)nm2+mn2；
(2)求m2+mn+n2的值．
20.(本小题8分)
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作BD的平行线交AB的延长线于点E．
(1)求证：AC=CE．
(2)连接OE，如果CE=13，AD=12，求△OAE的面积．
21.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是菱形，对角线DB=6，DH⊥AB于H，∠ABC=120°，
(1)求菱形ABCD的周长．
(2)求DH的长．
22.(本小题8分)
如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F．
(1)求证：△DAF≌△ECF；
(2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度数．
23.(本小题7分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，BM//DN，且分别交对角线AC于点M，N，连接MD，BN．
(1)求证：∠DMN=∠BNM；
(2)若∠BAC=∠DAC.求证：四边形BMDN是菱形．
24.(本小题10分)
如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF//BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．
(1)若CE=8，CF=6，求OC的长；
(2)连接AE、AF.问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
25.(本小题12分)
细心观察图，认真分析下列各式，然后解答问题．
( 1)2+1=2，S1= 12；( 2)2+1=3，S2= 22；( 3)2+1=4，S3= 32；…
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律．
(2)推算出OA10的长．
(3)求S12+S22+⋯+S102的值．
26.(本小题12分)
已知：正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在的直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．
(1)如图1，当点P在对角线AC上时，请你猜想PE与PB有怎样的数量关系，并加以证明；
(2)如图2，当点P运动到CA的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
(3)如图2，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．
根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】
解：① 2，② 13= 33，③ 8=2 2，④ 27= 147，
故其中的最简二次根式为①，共1个．
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：A、原式= 22，不合题意；
B、原式=2 2，不合题意；
C、原式=2 6，符合题意；
D、原式=3 2，不合题意，
故选C
原式各项化简，找出与 2不是同类项的即可．
此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD,OA=OB=12AC=12BD，∠ABC=90°，
∵两条对角线的长度的和为36cm，
∴AC=BD=18cm，
∴OA=OB=9cm，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=9cm，
∴BC= AC2−AB2= 243cm>9cm，
故选：D．
先由矩形的性质得到AC=BD,OA=OB=12AC=12BD，∠ABC=90°，再求出AC=BD=18cm，即可求出OA=OB=9cm，证明△AOB是等边三角形，得到AB=OA=9cm，则由勾股定理可得BC= AC2−AB2= 243cm>9cm，据此可得答案．
本题主要考查了矩形的性质，掌握勾股定理，等边三角形的性质与判定是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，属于基础题．
根据分式有意义，分母不为0，二次根式的被开方数是非负数，可以求出m的范围．
【解答】
解：根据题意得：m+1⩾0m−1≠0,
解得：m⩾−1且m≠1．
故选：D．
5.【答案】D
【解析】【分析】
根据正方形的性质得到∠DAC=∠ACD=45°，由作图知，∠CAP=12∠DAC=22.5°，根据三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，角平分线定义，正确的理解题意是解题的关键．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠ACD=45°，
由作图知，∠CAP=12∠DAC=22.5°，
∴∠P=180°−∠ACP−∠CAP=22.5°，
故选D．
6.【答案】B
【解析】解；A、 12÷1 3= 36=6，计算错误，故本选项不符合题意；
B、 212÷ 12= 5，计算正确，故本选项符合题意；
C、 32+42=5，计算错误，故本选项不符合题意；
D、 −16和 −2没有意义，本选项不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的乘法法则和除法法则结合选项求解，选出正确选项．
本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法法则和除法法则是关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵CE//BD，DE//AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OC=12AC=4，
∴四边形CODE是菱形，
∴DE=CE=OC=OD=4，
∴四边形CODE的周长=4×4=16；
故选：A．
先证明四边形CODE是平行四边形，再根据矩形的性质得出OC=OD，然后证明四边形CODE是菱形，即可求出周长．
本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定定理．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明PD=PC是解决问题的关键．由菱形的性质得出∠ADP=∠CDP=1212∠ADC，PA=PC，再由线段垂直平分线的性质得出PA=PD，证出PD=PC，得出∠PCD=∠CDP=36°，由外角性质即可求出∠CPB．
【解答】
解：连接PA，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADP=∠CDP=12∠ADC=36°，
∵BD所在直线是菱形的对称轴，
∴PA=PC，
∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，
∴PA=PD，
∴PD=PC，
∴∠PCD=∠CDP=36°，
∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；
故选：B．
9.【答案】C
【解析】解：∵ 2−x有意义，
∴2−x≥0，
解得：x≤2，
∴原式=2−x+2−x=4−2x，
故选：C．
利用二次根式的定义可得2−x≥0，然后再利用二次根式性质、绝对值的性质进行计算即可．
此题主要考查了二次根式的性质，以及绝对值的性质，关键是掌握( a)2=a(a≥0)．
10.【答案】A
【解析】解：∵DE平分∠ADB，EF⊥BD，AE⊥AD，
∴AE=EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∴EF=BF，
设AE=x，则BE= 2x，
∴AD=AB=AE+BE=( 2+1)x=( 2+1)AE，故①正确；
在△AEG和△FEG中，
AE=FE∠AEG=∠FEGEG=EG，
∴△AEG≌△FEG(SAS)，
∴AG=FG，∠AEG=∠FEG，
∵AG//EF，
∴∠FEG=∠AGE，
∴∠AGE=∠AEG，
∴AE=AG，
∴四边形AEFG是菱形，故②正确；
由①②知，AG=x，AB=( 2+1)x，
∴AO=AB 2=( 22+1)x，
∴OG=AO−AG= 22x=12BE，故③正确；
∵BD=AC=2OA=( 2+2)x，EF=BF=AE=x，
∴DF=( 2+1)x=CD，
∵四边形AEFG是菱形，
∴∠EFG=∠BAC=45°，
∴∠DFG=45°=∠DCM，
∵∠EDM=45°=∠ODC，
∴∠GDF=∠MDC，
∴△GDF≌△MDC(ASA)，
∴GF=CM，故④正确．
故选：A．
设AE=x，则BE= 2x，可算出AD=( 2+1)x=( 2+1)AE，故①正确；先证明△AEG≌△FEG，再由AG//EF得∠AGE=∠AEG，即AE=AG，四边形AEFG是菱形，故②正确；由AG=x，AB=( 2+1)x得AO=AB 2=( 22+1)x，可求出OG= 22x=12BE，故③正确；由四边形AEFG是菱形证明△GDF≌△MDC，即可得GF=CM，故④正确．
此题考查了正方形的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大．设出未知数、利用好正方形的性质是解决此题的关键．
11.【答案】13
【解析】解：∵ 3−x+ x−3−1=y，
∴3−x≥0，x−3≥0，
∴x≥3，x≤3，
∴x=3，
∴y=−1，
∴xy=3−1=13，
故答案为：13．
先根据二次根式有意义的条件为被开方数大于等于零，得出关于x的不等式组，再求x的值进而得到y的值，再计算即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．
12.【答案】20
【解析】解：如图所示：
∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，AC=6cm，S菱形ABCD=24cm2，
∴BD=8cm，AO=3cm，BO=4cm，
在Rt△ABO中，AB2=AO2+BO2，
即有AB2=32+42，
解得：AB=5cm，
∴菱形的周长=4×5=20cm．
故答案为：20．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出另一条对角线的长度，再根据勾股定理可求出边长，继而可求出周长．
本题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题用到的知识点为：①菱形的四边形等，菱形的对角线互相垂直且平分，②菱形的面积等于对角线乘积的一半．
13.【答案】±2 3
【解析】解；∵3x−102x+y−5是二次根式，
∴3x−10=2，
∴x=4，
∵最简二次根式3x−102x+y−5和 x−3y+11是同类二次根式，
∴2×4+y−5=4−3y+11，
∴y=3，
∴xy=3×4=12，
∵12的平方根是±2 3，
∴xy的平方根是±2 3，
故答案为：±2 3．
据二次根式的定义得到3x−10=2得到x=4，再由同类二次根式的定义得到2×4+y−5=4−3y+11，则y=3，据此根据平方根的定义求解即可．
本题考查二次根式的定义，最简二次根式的定义，平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
14.【答案】20
【解析】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM=12CD=12AB=2.5，
∵AB=5，AD=12，
∴AC= 52+122=13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO=12AC=6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，
故答案为：20．
根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．
本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．
15.【答案】5
【解析】解：连接EF，
∵OD=OC，
∵OE⊥OF
∴∠EOD+∠FOD=90°
∵正方形ABCD
∴∠COF+∠DOF=90°
∴∠EOD=∠FOC
而∠ODE=∠OCF=45°
∴△OFC≌△OED，
∴OE=OF，CF=DE=3cm，则AE=DF=4cm，
根据勾股定理得到EF= CF2+AE2=5cm．
故答案为5．
连接EF，根据条件可以证明△OED≌△OFC，则OE=OF，CF=DE=3cm，则AE=DF=4cm，根据勾股定理得到EF= CE2+CF2= 32+42=5cm．
根据已知条件以及正方形的性质求证出两个全等三角形是解决本题的关键．
16.【答案】3 2
【解析】解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=6，∠ABC=∠C=90°，
∴BE+DF=6=CF+DF，
∴BE=CF，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABG=∠CBF+∠ABG=90°，
∴∠AGB=90°，即AE⊥BF，
∴当点G为正方形对角线交点时，线段DG的长度最小，
∵AB=6，
∴正方形对角线为6 2，
∴DG长度的最小值为3 2，
故答案为：3 2．
先根据正方形的性质证明△ABE≌△BCF(SAS)，再由全等三角形的性质得出∠BAE=∠CBF，继而证明AE⊥BF，当点G为正方形对角线交点时，线段DG的长度最小，再根据正方形的性质求解即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
17.【答案】解：原式= 24÷3− 12×18+4 2
= 8− 9+4 2
=2 2−3+4 2
=6 2−3．
【解析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，然后把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18.【答案】解：(1)∵a=1，b= 2，
∴a2=1,b2=( 2)2=2，
∴图1中两个正方形的面积之和为a2+b2=1+2=3；
(2)∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴∠B=∠E=90°，∠ACB=∠ECF=45°，
∴∠ACF=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2，
在Rt△CEF中，由勾股定理得CF2=CE2+EF2
在Rt△ACF中，由勾股定理得AF2=AC2+CF2，
∴AF2=m2+m2+n2+n2=2( 5)2+2( 3)2=16，
∴AF=4或AF=−4(舍去)．
【解析】(1)分别求出两个正方形面积，然后求和即可得到答案；
(2)先由正方形的性质得到∠B=∠E=90°，∠ACB=∠ECF=45°，则∠ACF=90°，再利用勾股定理得到AF2=m2+m2+n2+n2=2( 5)2+2( 3)2=16，则AF=4．
本题主要考查了二次根式的应用，关键是正方形的性质，勾股定理的应用．
19.【答案】解：(1)∵m= 5+1，n= 5−1，
∴m+n= 5+1+ 5−1=2 5，mn=( 5+1)( 5−1)=5−1=4，
∴nm2+mn2
=mn(m+n)
=4×2 5
=8 5；
(2)由(1)得m+n=2 5，mn=4，
∴m2+mn+n2
=(m+n)2−mn
=(2 5)2−4
=20−4
=16．
【解析】(1)先求出m+n=2 5，mn=4，再根据nm2+mn2=mn(m+n)进行求解即可；
(2)根据(1)得m+n=2 5，mn=4，再根据m2+mn+n2=(m+n)2−mn进行求解即可．
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握相关运算．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，AC=BD，
∴BE//CD．
∵BD//CE，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∴BD=CE，
∴AC=CE．
(2)解：连接OE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，BC=AD=12，AB=CD，
在Rt△ABC中，AC=CE=13，则AB= AC2−BC2=5，
∵四边形BDCE是平行四边形，
∴BE=CD=AB=5，
∴AE=10，
∴S△OAE=12S△ACE=12×12×AE×BC=30．
【解析】(1)由矩形的性质得到AB//CD，AC=BD，进而证明四边形BDCE是平行四边形，即可证明AC=CE；
(2)先由矩形的性质和勾股定理得到OA=OC，AB=5，再由平行四边形的性质和矩形的性质得到BE=CD=AB=5，则AE=10，即可得到S△OAE=12S△ACE=12AE⋅BC=30．
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，三角形中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC，∠ABD=12∠ABC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD=6，
∴菱形ABCD的周长=AB+AD+CD+BC=4×6=24；
(2)由(1)得△ABD是等边三角形，
∵DH⊥AB，
∴AH=12AB=3，
∴DH= AD2−AH2=3 3．
【解析】(1)根据菱形的性质得到AB=AD=CD=BC，∠ABD=12∠ABC=60°，则可证明△ABD是等边三角形，得到AB=BD=6，据此可得答案；
(2)由三线合一定理得到AH=12AB=3，由勾股定理可得DH= AD2−AH2=3 3．
本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，关键是菱形性质的应用．
22.【答案】解：(1)证明：已知矩形ABCD沿对角线AC折叠，
则AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°，
在△DAF和△ECF中，
∠DFA=∠EFC∠D=∠EDA=EC，
∴△DAF≌△ECF(AAS)；
(2)∵△DAF≌△ECF，
∴∠DAF=∠ECF=40°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠EAB=∠DAB−∠DAF=90°−40°=50°，
∵∠EAC=∠CAB，
∴∠CAB=25°．
【解析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，翻折变换等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
(1)根据AAS证明三角形全等即可；
(2)利用全等三角形的性质求解即可．
23.【答案】证明：(1)连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵BM//DN，
∴∠MBO=∠NDO，
在△BOM和△DON中
∠MBO=∠NDOOB=OD∠BOM=∠DON
∴△BOM≌△DON(ASA)，
∴BM=DN，
∴四边形BMDN为平行四边形，
∴BN//DM，
∴∠DMN=∠BNM；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠BCA=∠DAC，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
【解析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
(1)连接BD，交AC于点O，证明△BOM≌△DON，推出四边形BMDN为平行四边形，得到BN//DM，即可得证；
(2)先证明四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，进而得到MN⊥BD，即可得证．
24.【答案】(1)证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∵EF//BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF；
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，
∴∠ECF=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF= CE2+CF2=10，
∴OC=OE=12EF=5；
(2)解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
连接AE、AF，如图所示：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【解析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；
(2)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
此题主要考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF=90°是解题关键．
25.【答案】解：(1)( n)2+1=n+1，Sn= n2.(n是正整数)
(2)由(1)得，( n)2=n，即OAn2=n，
∴OA10= 10．
(3)S12+S22+…+S102=( 12)2+( 22)2+…+( 102)2=1+2+3+4+…+104=554．
【解析】(1)利用已知可得OAn2，注意观察数据的变化，
(2)结合(1)中规律即可求出OA102的值即可求出，
(3)将前10个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出．
本题主要考查勾股定理以及作图的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识，此题难度不大．
26.【答案】(1)解：猜想：PE=PB，
理由：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，
又∵PC=PC，
∴△PDC≌△PBC(SAS)，
∴PD=PB，
∵PE=PD，
∴PE=PB．
(2)解：(1)中的结论成立．
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，
又∵PC=PC，
∴△PDC≌△PBC(SAS)，
∴PD=PB，
∵PE=PD，
∴PE=PB．
(3)：①PE=PB，②PE⊥PB．
【解析】【分析】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
(1)利用三角形全等即可解决问题．
(2)证明△PDC≌△PBC(SAS)，即可解决问题．
(3)如图3所示：结论：①PE=PB，②PE⊥PB.利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】
(1)(2)见答案；
(3)解：如图3所示：结论：①PE=PB，②PE⊥PB．
理由：设PB交EC于J．
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，∠BCD=∠BCE=90°，
∴∠DCP=∠BCP，
又∵PC=PC，
∴△PDC≌△PBC(SAS)，
∴PD=PB，∠1=∠2，
∵PE=PD，
∴PE=PB，∠E=∠2，
∴∠1=∠E，
∵∠CJB=∠PJE，
∴∠BCJ=∠JPE=90°，
∴PB⊥PE，PB=PE．
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