中考数学二轮精品专题复习 专题22　双变量含参不等式证明方法之消参减元法（原卷版)

专题22　双变量含参不等式证明方法之消参减元法

【例题选讲】

[例1]　已知函数f(x)＝ax2－x－ln．

(1)若f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线y＝2x＋1平行，求f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若函数f(x)在定义域内有两个极值点x1，x2，求证：f(x1)＋f(x2)＜2ln2－3．

[例2]　(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x＋aln x．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：<a－2．

[例3]　已知函数f(x)＝＋ln x．

(1)若函数f(x)在内有极值，求实数a的取值范围；

(2)在(1)的条件下，对任意t∈(1，＋∞)，s∈(0，1)，求证：f(t)－f(s)>e＋2－．

[例4]　已知函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若a≤－2，证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|．

【对点训练】

1．已知函数f(x)＝x2－x＋alnx(a>0)．

(1)若a＝1，求f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；

(2)讨论f(x)的单调性；

(3)若f(x)存在两个极值点x1，x2，求证：f(x1)＋f(x2)>．

2．已知函数，其中．

(1)讨论的单调性；

(2)若有两个极值点，，证明：．

3．已知函数．

(1)若在区间上存在不相等的实数，使成立，求的取值范围；

(2)若函数有两个不同的极值点，求证：．

4．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)设函数存在两个极值点，，且，若，求证：．

5．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数有两个极值点，求证：．

6．已知函数f(x)＝(ln x－k－1)x(k∈R)．

(1)若曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0平行，求k的值；

(2)若对于任意x1，x2∈(0，3]，且x1<x2，都有f(x1)＋<f(x2)＋恒成立，求实数k的取值范围．