北师大版 (2019)3.2 指数函数的图像和性质精品课时练习

这是一份北师大版 (2019)3.2 指数函数的图像和性质精品课时练习，文件包含北师大版数学高一必修第一册32-33对数函数的图象和性质分层练习原卷版docx、北师大版数学高一必修第一册32-33对数函数的图象和性质分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。

考查题型一 判断对数型函数图象
1．如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）．

【答案】
【分析】由对数函数的图象与性质判断
【详解】由题图可知，，，．
直线与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为，，，，
故答案为：
2．若函数的值域为，则函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由题意得，再结合的奇偶性和单调性分析即可.
【详解】∵，且的值域为，∴，当时，在上是增函数．又函数，所以为偶函数，图象关于y轴对称，
所以的大致图象应为选项A．
故选：A．
3．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性以及特殊值判断即可.
【详解】由已知得函数的定义域为，
∵
，∴为奇函数，令，则，
其中 ，
故，排除,令，，
其中，故，排除,
故选：.
4．如图，已知函数，则它的反函数的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用反函数的性质写出解析式，得，再由解析式选择图像即可.
【详解】由题意得，函数的反函数是，
这是一个在上的单调递增函数，且，所以只有选项C的图像符合.
故选：C.
5．已知，函数与的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】首先由得出，再分类讨论和的取值范围，根据指数函数和幂函数的图像即可得出答案．
【详解】因为，即，所以，当时，则，指数函数在上单调递减，且过点；对数函数在单调递增且过点，将的图像关于轴对称得到的图像，则在上单调递减且过点，故A符合题意；
当时，，
同理可得，指数函数在上单调递增，且过点，
在上单调递增且过点，故B符合题意；
故选：AB．
考查题型二 已知对数型函数图象，求参数的值或范围
1．已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由函数在定义域上单调递增，可得，排除A，C；代入,得，从而得答案.
【详解】解：由图象可得函数在定义域上单调递增，
所以，排除A，C；
又因为函数过点,
所以，解得．
故选：D
2．已知函数（为常数，其中）的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图象判断函数单调性，可判断a的范围，结合特殊值的函数值可判断c的范围，即得答案.
【详解】由函数图象可知函数为单调递减函数，结合可知，
当时，，当时，，故，
故选：D
3．已知函数的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由幂函数、指数函数、对数函数性质确定函数图象对应的函数式，确定的范围后，再确定，，的范围，从而得它们的大小关系．
【详解】由图象知最上方的图象是的图象，过点的是的图象，过点的是的图象，因此，，，，，，即，
故选：C．
4．（多选）函数的图象一定过（ ）
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】ABC
【分析】函数的图象就是把函数的图象向左平移2个单位，即得解.
【详解】因为，所以，所以对数函数经过点，经过第一、四象限，
函数的图象就是把函数的图象向左平移2个单位，
所以函数的图象经过一二三象限.
故选： ABC.
考查题型三 对数型函数恒过定点问题
1．函数（且）恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由对数函数的性质即可得解．
【详解】由于（且），则函数（且）恒过定点．
故选：D．
2．函数（且）的图象恒过的定点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数，对数函数的性质，令，求出函数恒过的点的坐标.
【详解】当时，恒等于0，恒等于1，
故恒等于，所以的图象恒过的定点是.
故选：B
3．若函数（且）的图象恒过点，且点在幂函数的图象上，则 ．
【答案】
【分析】先找到定点的坐标，通过点坐标求解幂函数的解析式，从而可求．
【详解】对于函数，令，解得，此时，
因此函数的图象恒过定点，设幂函数，
在幂函数的图象上，，解得．．则.
故答案为：
4．已知直线经过函数图象过的定点（其中均大于0），则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】首先求出定点坐标然后代入直线方程可得之间的关系，最后结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以函数图象过的定点为，将其代入直线方程得，即，
又，所以，
当且仅当即时，等号成立，故有最小值4.
故选：C.
考查题型四 比较对数式
1．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性得，由指数函数的性质得，即可比较.
【详解】，，
又，所以，即.
故选：A.
2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对数函数的单调性，结合媒介数比较大小即得.
【详解】依题意，，，而，
所以.
故选：D
3．已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指对数的函数性质判断各数的大小关系.
【详解】，
故选：D
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指数的运算及对数的运算，结合对数函数的性质即可求解.
【详解】，则，，则．因为，所以，
因为，所以．又，，
所以，故．
故选：A.
（多选题）5．若函数，设，，，则，，的大小关系不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】利用对数函数的单调性，对a，b进行估值，再对c估值，即可判断a，b，c大小进行判断，结合二次函数的单调性即可判断.
【详解】因为，，
所以，又，所以，
因为函数在上单调递增，所以，即A，B，C不正确，D正确.
故选：ABC.
考查题型五 求对数型函数或对数型复合函数的定义域
1．设集合，，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解对数不等式得集合A，解分式不等式得集合B，然后利用交集的运算求解即可.
【详解】由，得，所以，
或，所以，即.
故选：C
2．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据分式分母不为零、偶次根式被开方数大于等于零和对数真数大于零可构造不等式求得结果.
【详解】由题意得：，解得：，的定义域为：
故答案为
3．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据真数大于零及根号下大于等于零列出条件，解出即可.
【详解】由题知，，解得或.
所以函数的定义域为.
故答案为：.
4．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】由题知，解不等式即可得答案.
【详解】要使函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为，
故答案为：.
5．已知函数定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据抽象函数定义域先求解函数，再解对数式不等式，可得函数的定义域.
【详解】因为函数定义域为，由得
定义域为，则函数的定义域满足，解得
定义域为.
故答案为：.
考查题型六 求对数型函数或对数型复合函数的值域
1．函数的值域为（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的性质，先求函数的范围，再求函数的值域.
【详解】由知，，值域是．
故选：C
2．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求对数型函数值域可得集合M，结合集合交运算即可求得结果.
【详解】因为，所以定义域为，
所以，即，所以.
故选：D.
3．已知，，则的值域为（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】令，利用对数运算的性质与对数函数的单调性确定t的取值范围，再根据条件求新函数的值域.
【详解】令，则，又，
所以原函数可变为，，
所以，，所以的值域为.
故选：A.
4．已知函数，在上的值域为（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】通过换元令，，则问题转换为求二次函数的值域问题．
【详解】因为函数，，令，则.
所以原函数转化为,又对称轴为，
所以当时，函数取得最小值，当或时，函数取得最大值为，
所以所求函数的值域为，
故选：A．
（多选题）5．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为B．为奇函数
C．在定义域上是增函数D．的值域为
【答案】AB
【分析】根据对数函数的定义域，奇函数的定义，复合函数的单调性，利用函数的单调性求值域依次判断即可.
【详解】对于选项,函数的定义域为，解得，
即的定义域为，所以正确；
对于选项,，即为奇函数，所以正确；
对于选项,，在上为单调递减，根据复合函数的单调性可知在定义域上是减函数，
所以不正确；
对于选项,因为的定义域为，所以，即，所以不正确；
故选：.
6．函数值域为 .
【答案】
【分析】确定函数定义域为，变换，利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】函数的定义域为，
，
当且仅当，即时等号成立，故值域为.
故答案为：.
7．若函数的值域为R，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据对数函数的值域列不等式，从而求得的取值范围.
【详解】依题意，函数的值域为R，
所以，解得.
故答案为：
考查题型七 已知对数型函数或对数型复合函数的最值，求参数
1．已知函数在上的最大值是2，则a等于
【答案】2
【分析】利用对数函数单调性结合条件进行分类讨论分别求出最大值，进而即得.
【详解】当时，函数在上单调递增，则，解得，
当时，函数在上单调递减，则，无解，
综上，a等于.
故答案为：2.
2．设常数且，若函数在区间上的最大值为1，最小值为0，则实数 .
【答案】2
【分析】通过对与分别判断函数的单调性，求出函数的最大值与最小值，进而求解.
【详解】当时，函数在区间上单调递增，
所以，解得
当时，函数在区间上单调递减，
所以，无解
故答案为：2
3．已知且，函数有最小值，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据对数函数的性质可得当时函数无最小值，不符合题意；当时，利用基本不等式求出在上的最小值，利用对数函数的性质求出在上的值域为，列出不等式，解之即可.
【详解】当时，x在（0，a）上单调递增，所以值域为（-∞，1），
故函数f（x）无最小值，不符合题意；
当时，上有，
所以，当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为
x在（0，a）上单调递减，所以值域为（1，+∞），
故函数f（x）有最小值只需，即，所.
故答案为：.
4．若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】由的取值范围求出的范围，依题意利用换底公式及参变分离可得对于任意恒成立，根据对勾函数的性质求出，即可得到，再根据对数函数的性质计算可得.
【详解】解：因为不等式对于任意恒成立，
即不等式对于任意恒成立，因为，所以，所以不等式对于任意恒成立，令，，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，所以或，
解得或，即；
故答案为：
5．已知函数 且．
(1)解关于x的不等式f（x）＞0；
(2)当a＞1时，若f（x）在[﹣1，1]上的最大值为2，求a的值．
【答案】(1)答案见解析；(2)
【分析】（1）求出函数的定义域，分a＞1、0＜a＜1分别求解即可；
（2）先根据复合函数的单调性判断出f（x）在[﹣1，1]上为增函数，
即可求得f（x）max＝f（1）＝lga3＝2，即可解得a的值．
【详解】（1）由，可得﹣2＜x＜2，即函数f（x）的定义域为（﹣2，2）．
f（x）＝lga（2+x）﹣lga（2﹣x）＝lga，
当a＞1时，f（x）＞0⇔lga＞0⇔＞1，解得0＜x＜2，
当0＜a＜1时，f（x）＞0⇔lga＞0⇔0＜＜1，解得﹣2＜x＜0，
所以当a＞1时，f（x）＞0的解集为（0，2）；
当0＜a＜1时，f（x）＞0的解集为（﹣2，0）；
（2）当a＞1时，y＝lga（2+x）在定义域上为增函数，y＝﹣lga（2﹣x）在定义域上也为增函数，
所以f（x）＝lga（2+x）﹣lga（2﹣x）在（﹣2，2）上为增函数，
所以f（x）＝lga（2+x）﹣lga（2﹣x）在[﹣1，1]上为增函数，
所以f（x）max＝f（1）＝lga3﹣lga1＝lga3＝2，所以a2＝3，
解得a＝．
考查题型八 求对数型函数或对数型复合函数的单调性
1．若在区间上单调递增，则可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复合函数的单调性可知函数在上单调递减，且过原点，进而得在上单调递增，即可求解.
【详解】函数在R上单调递减，函数在上单调递增，
又函数的定义域为，
所以函数在上单调递减，且过原点，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
故选：D.
（多选题）2．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为B．在区间上单调递减
C．的值域为D．图象关于点中心对称
【答案】BC
【分析】对于A，直接由解析式求解定义域即可，对于B，根据复合函数单调性的判断方法判断即可，对于C，由函数的单调性求解其值域，对于D，根据函数的定义域判断.
【详解】对于A，由，得，所以函数的定义域为，所以A错误；
对于B，，令，可得该函数在单调递减，
又由于函数在定义域内单调递增，所以复合函数在单调递减，所以B正确；
对于C，，令，该函数在单调递减，所以，
所以，所以函数的值域为，所以C正确；
对于D，因为函数的定义域为，所以图象不可能关于点中心对称，所以D错误；
故选：BC.
3．函数的严格增区间为 .
【答案】
【分析】根据复合函数“同增异减”的法则，即可求解.
【详解】设，，函数的定义域需满足，得，
根据复合函数“同增异减”的法则，可知，外层函数为单调递减函数，
要求复合函数的单调增区间，只需内层函数单调递减，即，
综上可知，，即函数的严格增区间为.
故答案为：
4．（1）求函数的单调区间．
（2）讨论函数的单调性．
【答案】（1）递增区间为，递减区间为；（2）递增区间为，递减区间为.
【分析】（1）根据对数函数性质，先求得函数的定义域，再结合二次函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，即可求解；
（2）设且，可得，结合二次函数的图象与性质，以及对数函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，函数，
设，令，即，解得或，
又由在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又由函数在定义域内单调递减，
结合复合函数单调性的判定方法，
可得函数的单递增区间为，单调递减区间为.
（2）由函数，
设且，可得，
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增，又由函数在定义域内单调递减，
所以当，即上函数单调递增；
当，即上函数单调递减，
即函数的递增区间为，递减区间为.
考查题型九、已知对数型函数单调性，求参数的取或取值范围
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解不等式得到，，然后求交集即可.
【详解】令，解得，所以，，.
故选：A.
2．函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若关于实数t的不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】由函数是定义在上的偶函数，不等式可化为，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可．
【详解】函数是定义在上的偶函数，则，
又，则，即为，
即，即，
又因在区间上单调递增，
所以，则或，解得或，
所以的取值范围是．
故选：A．
3．已知函数，且．
(1)求的定义域；
(2)当时，求使的的解集．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据对数型函数的定义域直接列不等式求解；
（2）由，判断函数单调性，根据单调性解不等式.
【详解】（1）由，
得，解得，
所以函数的定义域为；
（2）由已知得，
又由函数在上单调递增，且，
所以函数在上单调递增，
又，所以的解集为，即.
4．若函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】分和两种情况，结合指、对数函数的单调性运算求解.
【详解】因为，则有：
当时，可得，解得；
当时，可得，则，解得；
综上所述：不等式的解集为.
故答案为：.
5．不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由对数函数的性质列不等式组求解集即可.
【详解】由题设，
则，即，可得.
故答案为：
6．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据对数函数的性质，把原不等式转化为不等式组，即可求解.
【详解】因为，可得对数函数为单调递增函数，
则原不等式等价于，解得，即原不等式的解集为.
故答案为：.
7．若函数（其中a为常数，且）满足，则的解集是 .
【答案】
【分析】由对数函数的单调性判定a的范围解不等式即可.
【详解】∵，∴是减函数，即，
则由可得，解之得.
故答案为：.
考查题型十 对数型函数的单调性、奇偶性综合应用
1．下列函数中与函数的定义域､单调性与奇偶性均一致的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】先分析的定义域、单调性、奇偶性，然后对选项中的函数逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】令，的定义域为，在上递增，
，所以是奇函数.
A选项中，在上不是单调函数，不符合题意.
B选项中，的定义域为，在上递增，且为奇函数，符合题意.
、是非奇非偶函数，所以CD选项不符合题意.
故选：B
2．设函数y=的图象与的图象关于直线y=x对称，若，实数m的值为 ．
【答案】1
【分析】根据题意求出，从而列出方程，求出.
【详解】∵，函数y=的图象与的图象关于直线y=x对称
∴，∴，∴
∴．
故答案为：1
3．若函数是R上的奇函数，则a的值为 ．
【答案】．
【解析】由奇函数的定义求解．
【详解】∵是奇函数，∴，
恒成立，∴，
时，的定义域均为，满足题意，
故答案为：．
4．已知函数 .
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并予以证明；
(3)求使的x的取值范围.
【答案】(1)；(2)f（x）为奇函数，证明见解析；(3)答案见解析
【分析】（1）根据对数函数的定义域，即可求出函数的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；
（3）根据对数函数的性质解不等式即可.
【详解】（1）要使函数有意义，则，∴的定义域为.
（2）函数定义域为，关于原点对称，
又∵，∴为奇函数.
（3）即，，
当时，由于函数是定义域上的增函数，
原不等式等价为，即，又的定义域为，
，当时，由于函数是定义域上的减函数，
原不等式等价为：，即，又的定义域为，，
综上，使的x的取值范围为：
当时为；
当时为.
5．已知函数且.
(1)求的定义域，判断的奇偶性并给出证明；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)定义域为，奇函数，证明见解析；(2)答案见解析
【分析】（1）根据对数的真数为正数列式可解得定义域；根据函数奇偶性的定义判断并证明的奇偶性；
（2）不等式化简后，分类讨论底数，根据对数函数的单调性可解得结果.
【详解】（1）令，解得，则的定义域为.
因为，
所以为奇函数；
（2），即.
因为.
令，易得在上单调递增.
当时，在上单调递减，则，解得
当时，在上单调递增，则，解得.
综上，当时，实数的取值范围是；当时，实数的取值范围是.
考查题型十一 对数型函数模型的应用
1．中国的技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率（单位：）取决于信道宽度（单位：）､信道内信号的平均功率（单位：）、信道内部的高斯噪声功率（单位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度变为原来倍，而将信噪比从提升至，则大约增加了（ ）（附：）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用对数减法与换底公式可求得结果.
【详解】当时，；
当时，信道宽度变为原来倍，.
因为.
故选：D.
2．声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ）
A．105倍B．108倍C．1010倍D．1012倍
【答案】B
【解析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，根据题意得出，，计算求的值.
【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，
，，
，，所以，
因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍.
故选：B
3．某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长10%，若要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，则至少需要经过 年．（参考数据：取，）
【答案】12
【分析】由于林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长10%，那么假设该林区当前的木材蓄积量为1，则经过x年的木材蓄积量为，由于要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，可令，解不等式，再计算取精确值即可.
【详解】假设该林区当前的木材蓄积量为1，则经过x年的木材蓄积量为．
由于要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍
则可得，得．因为，所以，故至少需要经过12年．
故答案为：12.
考查题型十三 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1．下列函数增长速度最快的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】根据基本初等函数的性质，以及初等函数的增长速度，即可求解.
【详解】由函数为单调递增的指数函数，函数为二次函数，为递增的对数函数，为递增的一次函数，
根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质，可得指数函数增长速度最快．
故选：A.
（多选题）2．设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （ ）
A．的增长速度最快， 的增长速度最慢
B．的增长速度最快， 的增长速度最慢
C．的增长速度最快， 的增长速度最慢
D．的增长速度最快， 的增长速度最慢
【答案】ACD
【分析】做出三个函数的图象，结合图象，即可求解
【详解】画出函数的图象，如图所示，
结合图象，可得三个函数中，
当时，函数增长速度最快，增长速度最慢.
所以选项B正确；选项ACD不正确.
故选：ACD.

（多选）3．根据三个函数，，，以下四个选项正确的是（ ）
A．的增长速度始终不变 B．的增长速度越来越快
C．的增长速度越来越快 D．的增长速度越来越慢
【答案】ACD
【分析】运用数形结合的思想画出三个函数即可判断三个函数增长速度快慢.
【详解】
由图可知A、C、D正确．
故选：ACD.
4．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且.

(1)请指出图中曲线分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断的大小．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）直接根据图像得到答案.
（2）计算得到，，根据图像得到当时，，当时，，得到答案.
【详解】（1）对应的函数为，对应的函数为
（2）因为，，，，所以，，所以，，从图像上可以看出：当时，，所以.
当时，，所以.
又由函数的单调性易知，，
所以.
1．已知函数，则函数的值域为 ．
【答案】
【分析】先求出函数的定义域，由对数函数和二次函数的性质即可求解．
【详解】由于，
由，得，解得，
即函数的定义域为,．
，
又，
，
，
故函数的值域为，
故答案为：
2．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案.
【详解】变形为：，即在上恒成立，
若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；
当时，画出两个函数的图像，

要想满足在上恒成立，只需，即，
解得：，综上：实数a的取值范围是.
故选：C
3．如图所示为函数的图像，则其解析式可能为（ ）
A． B． C．D．
【答案】BC
【分析】根据函数的奇偶性，排除选项，再结合特殊值，以及函数值的分布，排除选项，即可判断.
【详解】由题图可得函数的定义域为，且为偶函数，选项中的函数为奇函数，故选项错误；
对于选项，定义域为，且，是偶函数，当时，，令得函数在上只有一个零点，又，与图像不符，故选项错误；
对于B选项，定义域为，且，是偶函数，
当时，，令得函数在上只有一个零点，当1时，，满足图象，故选项正确；
对于选项，定义域为，且，是偶函数，
当时，，满足图象，故选项正确.
故选:BC.
4．已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为 .
【答案】或.
【分析】由已知可得在上递增，再由偶函数的性质将不等式转化为，则可得，再对数的性质要求得结果
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，
所以在上递增，因为是定义在上的偶函数，
所以由，得，
所以，所以或，
所以或，
解得或，所以不等式的解集为或.
故答案为：或.
5．已知函数且．
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得函数在区间，上为增函数，且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当时，存在，使得函数在区间，上为增函数，且最大值为2；
当 时，存在使得函数在区间，上为增函数，且最大值为2
【分析】（1）由题意可得恒成立，再根据，且△，求得的范围．
（2）分类讨论的范围，利用二次函数的性质，求得的范围．
【解答】解：（1）函数且的定义域为，故恒成立，
，且△，求得．
（2）①当时，要使函数在区间，上为增函数，
则函数在，上恒正，且为增函数，
故且，求得，此时，最小值（2）．
此时，的最大值为（3），．
②当 时，要使函数在区间，上为增函数，
则函数在，上恒正，且为减函数．
故，求得，最小值（3），
此时，的最大值为（3），求得．
③当时，，在，上单调递减，
最小值（3），不满足题意．
综合①②③，当时，存在，使得函数在区间，上为增函数，且最大值为2；
当 时，存在使得函数在区间，上为增函数，且最大值为2．