高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词优秀一课一练

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考查题型一 判断全称量词命题与存在量词命题
（多选题）1．下列语句是全称量词命题的是（ ）
A．对任意实数x，x2+1≥2B．有一个实数a，a不能取对数
C．每一个向量都有方向吗D．等边三角形的三条边相等
【答案】AD
【分析】根据全称量词命题的定义逐个分析判断
【详解】ABD是命题，C不是命题，其中A中含有全称量词，所以是全称量词命题，B是存在量词命题，所以A正确，BC错误，D中隐藏了全称量词“所有”，也是全称量词命题，所以D正确，
故选：AD
2．（多选）下列命题是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是（ ）
A．有一个x∈R，使得x2>3成立B．对有些x∈R，x2>3成立
C．任选一个x∈R，都有x2>3成立D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立
【答案】ABD
【分析】根据特称命题的定义即可得正确答案.
【详解】命题“∃x∈R，x2>3”中∃x∈R表示有些、有的、存在的意思，是特称命题，故选项ABD正确；
选项C中任选一个x∈R，表示对所有的x∈R是全称命题，故选项C不正确；
故选：ABD
3．下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．平行四边形的对边相等B．同位角相等
C．任何实数都存在相反数D．存在实数没有倒数
【答案】D
【分析】利用全程量词和存在量词的定义，找出命题中对应的量词即可得出ABC为全称量词命题，D选项为存在量词命题.
【详解】根据全称量词和存在量词的定义可知，
A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题；
B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题；
C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题；
D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题.
故选：D
考查题型二 全称量词命题与存在量词命题的否定及真假判断
1．命题“∀x∈R，x2−2x≥0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x2−2x<0B．∀x∉R，x2−2x≥0
C．∃x∈R，x2−2x≥0D．∀x∈R，x2−2x<0
【答案】A
【分析】由全称命题的否定可以直接得出结果.
【详解】由全称命题的否定可知：原命题的否定为∃x∈R,x2−2x<0.
故选：A
2．命题“∃x0∈xx>0，x02=x0−1”的否定是（ ）
A．∃x0∈xx>0，x02≠x0−1B．∃x0∉xx>0，x02=x0−1
C．∀x∈xx>0，x2≠x−1D．∀x∉xx>0，x2=x−1
【答案】C
【分析】由特称命题的否定形式即可求解.
【详解】命题“∃x0∈xx>0，x02=x0−1”是特称命题，其否定形式为：∀x∈xx>0，x2≠x−1.
故选：C
3．下列四个命题中假命题是（ ）
A．∀x∈R，x2+3<0B．∀x∈N，x2>1
C．∃x∈Z，使x5<1D．∃x∈Q，x2=3
【答案】ABD
【分析】根据全称命题与存在性命题的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由∀x∈R，x2+3>0，所以A为假命题；
对于B中，当x=0时，x2<1，所以B为假命题；
对于C中，当x=0时，x5<1，所以C为真命题；
对于D中，由x2=3，解得x=±3，其中±3都为无理数，所以D为假命题.
故选：ABD.
4．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．∀x∈R，x2＋2x＋1>0 B．∃x∈N，2x为偶数
C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的概念，结合命题的意义判定真假，从而做出判定.
【详解】对A，是全称量词命题，但不是真命题(当x=−1时结论不成立），故A不正确；
对B，是真命题(当x=0时2x即为偶数)，但不是全称量词命题，故B不正确；
对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；
对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，
故选：C.
考查题型三 根据命题的真假求参数的取值范围
1．已知命题p：∃x∈R，x2+8x+a=0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．016 C．a<0D．a≥4
【答案】B
【分析】根据原命题为假可知其否定为真，由一元二次方程无根可构造不等式求得结果.
【详解】若命题p为假命题，则其否定∀x∈R，x2+8x+a≠0为真命题，
∴Δ=64−4a<0，解得：a>16.
故选：B.
2．“∀x∈−2,1，x2−2a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≤0B．a≥1C．a≤2D．a≥3
【答案】D
【分析】先计算出∀x∈−2,1，x2−2a≤0为真命题的充要条件a≥2，从而得到答案.
【详解】∀x∈−2,1，x2≤2a，只需y=x2在x∈−2,1上的最大值小于等于2a，
其中ymax=4，故2a≥4，解得a≥2，
因为a≥3⇒a≥2，但a≥2⇒a≥3，
所以a≥3是“∀x∈−2,1，x2−2a≤0”为真命题的一个充分不必要条件，C正确；
其他三个选项均不是充分不必要条件.
故选：D
3．已知命题p：∃x≤2，2x－1≥a是真命题，则a的最大值为________．
【答案】3
【分析】结合命题真假，得出2x－1的范围，再根据不等式求出最值
【详解】当x≤2时，2x－1≤3，当且仅当x＝2时取“＝”，即x＝2时，(2x－1)max＝3，又“∃x≤2，2x－1≥a”是真命题，于是得a≤3，所以a的最大值为3．
4.已知命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．
【答案】[3，＋∞)
【分析】命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化，求参数范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式求范围．
【详解】解： 因为¬q为假命题，所以q为真命题，
命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，为真命题，则m≥xmax，即m≥3，
命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，为真命题，则m≥xmin，即m≥1，
因为命题p、q同时为真命题，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≥3，,m≥1，))解得m≥3，
故实数m的取值范围是[3，＋∞)．
1．设命题p:∀x∉Q,x+1∉Q，则¬p为
A．∃x0∉Q,x0+1∈QB．∀x∈Q,x+1∈Q
C．∀x∉Q,x+1∈QD．∃x0∈Q,x0+1∈Q
【答案】A
【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即¬p: ∃x0∉Q,x0+1∈Q．
故选：A．
2．已知命题p:∃x∈R,x2+ax+1<0，若p为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．(−2,2)B．(−∞,−2)∪(2,+∞)C．[−2,2]D．(−∞,−2]∪[2,+∞)
【答案】B
【解析】由命题p为真命题，则Δ>0，解不等式得出实数a的取值范围即可．
【详解】命题p:∃x∈R,x2+ax+1<0为真命题，则Δ=a2−4>0，解得a>2或a<−2
故选：B
3．已知命题p:∃x∈R，x2+1<2x；命题q:不等式x2−2x−1>0恒成立，那么命题（ ）
A．p且q是真命题B．p或q是假命题
C．q是真命题D．¬p是假命题
【答案】B
【解析】判断出命题p、q的真假，然后利用复合命题的真假可判断各选项的正误.
【详解】对于命题p，∵x2+1−2x=x−12≥0，即x2+1≥2x，命题p为假命题；
对于命题q，当x=0时，x2−2x−1=−1<0，命题q为假命题.
所以，p且q是假命题，p或q是假命题，¬p是真命题.
故选：B.