2023年江苏省南通市通州区、如东县中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年江苏省南通市通州区、如东县中考数学二模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省南通市通州区、如东县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，最小的数是(    )
A. 0 B. −2 C. 1 D. − 3
2. 下列运算正确的是(    )
A. a+3a=4a2 B. 2a2⋅3a4=6a8 C. a8÷a2=a6 D. (2a3)2=4a5
3. 若把一个数用科学记数法表示后为−3.96×105，则这个数是(    )
A. −39600 B. −396000 C. 0.0000396 D. 0.00000396
4. 函数y= x−1中，自变量x的取值范围是(    )
A. x≠−1 B. x<1 C. x≤1 D. x≥1
5. 如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位：cm)，根据图中所示数据可计算出该几何体的全面积为(    )
A. 60πcm2
B. 66πcm2
C. 69πcm2
D. 78πcm2


6. 如图，在▱ABCD中，点E，点F在对角线AC上.要使△ADF≌△CBE，可添加下列选项中的(    )


A. DF=BE B. ∠DAF=∠BCE
C. AE=CF D. AE=EF
7. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°.按照如下步骤作图：
①分别以点A，B为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；
②作直线MN，交AC点D；
③以D为圆心，BC长为半径作弧，交AC的延长线于点E；
④连接BD，BE．
下列说法错误的是(    )


A. AD=DE B. ∠CBE=12∠A C. BC2=AC⋅CD D. CECD=35
8. 若关于x的不等式组2x+3>5x−a≤0恰有一个整数解，则实数a的取值范围是(    )
A. 2 9. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D为AB的中点，点E是边AC上一个动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，DF交边BC于点F.设AE的长为x，△DEF的面积为y，s=y−6，则s与x的函数图象大致为(    )
A.
B.
C.
D.
10. 已知实数a，b满足a2b2+2ab+2a+1=0，则ab(ab+2)+(b+1)2+2a的最小值为(    )
A. −34 B. −1 C. 34 D. 1
二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）
11. 正八边形每个外角的度数为______ ．
12. 若4a2−b2=12，2a−b=4，则2a+b= ______ ．
13. 某公司销售“黄金1号”玉米种子，若一次购买不超过2千克的种子，则种子价格为5元/千克，若一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折.若一次购买5千克种子，需付款______ 元.
14. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔30 2海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，此时B处与A处的距离为______ 海里(结果保留根号)．


15. 我国明代数学著作《算学宝鉴》中记载一个问题：“门厅一座，高广难知.长竿横进，门狭四尺.竖进过去，竿长二尺.两隅斜进，恰好方齐.请问三色，各该有几？”译文：现在有一座门(矩形)，不知道高度和宽度.如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺；拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺；沿对角线斜着进，恰好通过.问门的高度、宽度及竹竿的长度各是多少尺？设竹竿的长度为x尺，可列方程为______ ．
16. 如图，矩形ABCD中，点E，点F分别在边AB，BC上，线段AF与线段DE相交于点G，若AB=4，BC=6，AE=BF=3，则FG的长度为______ ．


17. 如图，双曲线y=kx与直线y=x相交于A，B两点，将直线y=x向上平移3个单位长度，所得的直线在第一象限内交双曲线y=kx于点C，交y轴正半轴于点D，若OB=2CD，则k的值为______ ．


18. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为边BC的中点，点F为边AB上的动点，以EF为一边在EF的右上方作等边三角形FEG，当CG最小时，△ECG的周长为______ ．


三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题11.0分)
(1)解方程组：2x+y=4x+2y=5；
(2)先化简，再求值：(1x+x2−2x+1x2−1)÷1x+1，其中x=−2．
20. (本小题10.0分)
国庆假期，小林和小明两家准备出去游玩，小林家准备从A，B，C这三条旅游线路中随机选择一条去游玩，小明家准备从B，C，D这三条旅游线路中随机选择一条去游玩．
(1)小林家选择线路A的概率为______ ；
(2)求小林和小明两家恰好选择同一条线路的概率．
21. (本小题10.0分)
如图，AE//BF，AC平分∠BAE，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，连接CD.判定四边形ABCD的形状并说明理由．

22. (本小题9.0分)
某校举办知识抢答比赛，九(1)班组织甲、乙两组各10名同学进行班级内部初选，共10道选择题，答对8题以上(含8题)为优秀，对数据进行收集、整理、分析如下：
表1：甲、乙两组选手答题统计表
答对题数
5
6
7
8
9
10
甲组
1
0
1
5
2
1
乙组
0
0
4
3
2
1
表2：甲、乙两组选手答题分析表

平均数
中位数
众数
方差
优秀率
甲组
8
8
8
16
80%
乙组
8
a
7
1
b
(1)a= ______ ，b= ______ ；
(2)根据所学的统计知识，你认为哪组选手的成绩好，并写出至少两条你认为该组选手成绩好的理由．
23. (本小题10.0分)
如图，在⊙O中，弦AB垂直于半径OC，垂足为D，点E在OC的延长线上，且∠EAC=∠CAB．
(1)求证：直线AE是⊙O的切线；
(2)若OE=6，sin∠E=12，求图中阴影部分的面积．

24. (本小题12.0分)
某商品每件进价20元，在试销阶段该商品的日销售量y(件)与每件商品的日销售价x(元)之间的关系如图中的折线ABC所示(物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于45元)．
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若日销售单价x(元)为整数，则当日销售单价x(元)为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．

25. (本小题14.0分)
矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E为对角线AC上一点，过点E作EF⊥AD于点F，EG⊥AC交边BC于点G，将△AEF沿AC折叠得△AEH，连接HG．
(1)如图1，若点H落在边BC上，求证：AH=CH；
(2)如图2，若A，H，G三点在同一条直线上，求HG的长；
(3)若△EHG是以EG为腰的等腰三角形，求EF的长．


26. (本小题14.0分)
定义：在平面直角坐标系中，点P(x1,y1)是图形G1上的任意一点，点Q(x2,y2)是图形G2上的任意一点，若存在直线l：y=kx+b(k≠0)满足y1≤kx1+b且y2≥kx2+b(或满足y1≥kx1+b且y2≤kx2+b)，则称直线l：y=kx+b(k≠0)是图形G1与G2的“界线”．
例如：直线y=−x+4是函数y=4x(x>0)的图象与抛物线y=−x2的一条“界线”.已知点A(m,2)，B(m,−2)，C(m+4,−2)，D(m+4,2)．
(1)若m=−2，在直线①y=x+3，②y=−x+4，③y=−2x+7中，是函数y=6x(x>0)的图象与正方形ABCD的“界线”的有______ (填序号)；
(2)若点E的坐标是(0,4)，⊙E的半径为2 2，⊙E与正方形ABCD的“界线”有且只有一条，求“界线”l的函数关系式；
(3)若存在直线y=2x+b是函数y=x2+2x+3(−2≤x≤2)的图象与正方形ABCD的“界线”，求m的取值范围．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：最小的数是−2，
故选：B．
根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，进行比较．
此题主要考查了比较实数的大小，要熟练掌握任意两个实数比较大小的方法．(1)正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．(2)利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．

2.【答案】C 
【解析】解：A、a+3a=4a，故本选项计算错误，不符合题意；
B、2a2⋅3a4=6a6，故本选项计算错误，不符合题意；
C、a8÷a2=a6，本选项计算正确，符合题意；
D、(2a3)2=4a6，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项、单项式乘单项式、同底数幂的除法、积的乘方法则计算，判断即可．
本题考查的是合并同类项、单项式乘单项式、同底数幂的除法、积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：−3.96×105=−396000．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4.【答案】D 
【解析】解：由题意得，x−1≥0，
解得x≥1．
故选：D．
根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

5.【答案】D 
【解析】解：由三视图可知，这个圆柱的底面直径为6，高为10，
∴圆柱的表面积=2×π×32+10×2π×3=78π(cm2).
故选：D．
判断出几何体是圆柱，求出圆柱的表面积即可．
本题考查由三视图判断几何体，几何体的表面积等知识，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．

6.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAF=∠BCE，
添加AE=CF，
∴AF=CE，
在△ADF与△CBE中，
AD=BC∠DAF=∠BCEAF=CE，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
故选：C．
由平行四边形的性质可得AD=BC，∠DAF=∠BCE.根据全等三角形的判定可添加AE=CF．
考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

7.【答案】D 
【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−∠A)=72°，
由题意得：BC=DE，MN是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠A=∠DBA=36°，
∴∠DBC=∠ABC−∠DBA=36°，
∴∠CDB=∠A+∠DBA=72°，
∴∠CDB=∠ACB=72°，
∴BD=BC，
∴AD=DB=BC=DE，
∵BD=DE，
∴∠DBE=∠DEB=12(180°−∠CDB)=54°，
∴∠CBE=∠DBE−∠DBC=18°，
∴∠CBE=12∠A，
∵∠CBD=∠A=36°，∠DCB=∠ACB，
∴△BCD∽△ACB，
∴BCAC=CDCB，
∴BC2=AC⋅CD，
∵△BCD是顶角为36°的等腰三角形，
∴△BCD是黄金三角形，
∴CDBC= 5−12，
∴CDDE= 5−12，
∴点C是DE是黄金分割点，
∴CECD=DCDE= 5−12，
故A、B、C都不符合题意，D符合题意；
故选：D．
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC=∠ACB=72°，再根据题意可得：BC=DE，MN是AB的垂直平分线，从而可得DA=DB，进而可得∠A=∠DBA=36°，然后利用角的和差关系可得∠DBC=36°，从而利用三角形的外角性质可得∠CDB=∠ACB=72°，进而可得BD=BC，再根据等量代换可得BD=DE，从而可得∠DBE=∠DEB=54°，进而可得∠CBE=18°，即可判断A、B，然后证明△BCD∽△ACB，从而利用相似三角形的性质可得BCAC=CDCB，即可判断C，最后利用黄金三角形的定义可得△BCD是黄金三角形，从而可得CDBC= 5−12，进而可得CDDE= 5−12，再根据黄金分割的定义，即可判断D，即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，作图−复杂作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及黄金分割是解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：2x+3>5①x−a≤0②，
解不等式①，得：x>1，
解不等式②，得：x≤a，
∵关于x的不等式组2x+3>5①x−a≤0②恰有1个整数解，
∴这个整数解是2，
∴2≤a<3，
故选：B．
先解出不等式组的解集，然后根据不等式组恰有1个整数解，即可得到a的取值范围．
本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．

9.【答案】A 
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2=10，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD=5，
又sinA=BCAB=810=45，sinB=ACAB=610=35，
过点点E作EM⊥AB于M，过点F作FN⊥AB于N，延长ED到H，使ED=DH，连接BH，FH，如图：

在Rt△AEM中，AE=x，sinA=EMAE，
∴EM=AE⋅sinA=4x5，
∴S△ADE=12AD⋅EM=12×5⋅4x5=2x，
设BF=a，则CF=BC−BF=8−a，
在Rt△BFN中，AF=a，sinB=FNBF，
∴FN=BF⋅sinB=3a5，
∴S△DBF=12BD⋅FN=12×5×3a5=3a2，
在△AED和△BHD中，
AD=BD∠ADE=∠BDHED=DH，
∴△AED≌△BHD(SAS)，
∴AE=BH=x，
在Rt△BFH中，BF=a，BH=x，
由勾股定理得：FH2=BF2+BH2=a2+x2，
在Rt△CEF中，CE=AC−AE=6−x，CF=8−a，
由勾股定理的：FE2=CE2+CF2=(6−x)2+(8−a)2，
∵ED=DH，DF⊥DE，
∴DF为线段EH的垂直平分线，
∴FH=FE，
∴a2+x2=(6−x)2+(8−a)2，
∴a=25−3x4，
∴S△DBF=3a2=75−9x8，
∴S△ADE+S△DBF=2x+75−9x8=75+7x8，
∴CF=8−a=8−25−3x4=3x+74，
∴S△CEF=12CE⋅CF=12(6−x)⋅3x+74=18(−3x2+11x+42)，
而S△ABC=12AC⋅BC=12×6×8=24，
∴y=S△ABC−(S△ADE+S△DEF+S△CEF)，
即：y=24−75+7x8−18(−3x2+11x+42)，
整理得：y=38x2−94x+758，
∵s=y−6，
∴s=38x2−84x+758−6=38x2−94x+278=38(x−3)2，
当x=0时，s=278，当x=6时，s=278，顶点坐标为(3,0)．
∴该函数与y轴交于点(0,278)，顶点为(3,0)，且过点(6,278)．
故选：A．
先求出AB=10，则AD=BD=5，sinA=45，sinB=35，过点点E作EM⊥AB于M，过点F作FN⊥AB于N，延长ED到H，使ED=DH，连接BH，FH，则EM=4x5，S△ADE=2x，设BF=a，则CF=8−a，FN=3a5，S△DEF=3a2，证△AED和△BHD全等得AE=BH=x，再利用勾股定理得FH2=a2+x2，FE2=(6−x)2+(8−a)2，再证FH=FE，进而a=25−3x4，则S△DEF=75−9x8，S△CEF=18(−3x2+11x+42)，据此可得y=S△ABC−(S△ADE+S△DEF+S△CEF)=38x2−94x+758，然后再根据s=y−6得s=38x2−94x+278=38(x−3)2，最后根据函数的解析式及题目中的选项即可得出答案．
此题主要考查了二次函数的图象，解答此题的关键是利用三角形的面积公式求出函数的解析式；难点是分别用x的代数式表示出△ADE、△DBF和△CEF的面积．

10.【答案】B 
【解析】解：∵a2b2+2ab+2a+1=0，
∴ab(ab+2)+(b+1)2+2a
=a2b2+2ab+(b+1)2+2a
=(a2b2+2ab+2a+1)+[(b+1)2−1]
=0+[(b+1)2−1]
=(b+1)2−1，
∵(b+1)2≥0，
∴(b+1)2−1≥−1，
∴ab(ab+2)+(b+1)2+2a的最小值为−1．
故选：B．
首先把ab(ab+2)+(b+1)2+2a化成(a2b2+2ab+2a+1)+[(b+1)2−1]，然后把a2b2+2ab+2a+1=0代入(a2b2+2ab+2a+1)+[(b+1)2−1]，再根据偶次方的非负性质，求出ab(ab+2)+(b+1)2+2a的最小值即可．
此题主要考查了偶次方的非负性质的应用，解答此题的关键是要明确：任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．

11.【答案】45° 
【解析】解：因为任何一个多边形的外角和都是360°，
所以正八边形的每个外角的度数是：360°÷8=45°．
故答案为：45°．
利用多边形的外角和等于360度即可得出答案．
本题主要考查了多边形的外角和定理，熟记任何一个多边形的外角和都是360°是解题的关键．

12.【答案】3 
【解析】解：∵4a2−b2=(2a−b)(2a+b)=12，2a−b=4，
∴2a+b=4a2−b22a−b
=124
=3．
故答案为：3．
原式利用平方差公式分解，把已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了求代数式的值，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

13.【答案】22 
【解析】解：(1)由题意可得，当0≤x≤2时，y=5x，
当x>2时，y=5×2+(x−2)×5×0.8=4x+2，
即y=5x(0≤x≤2)4x+2(x>2)，
当x=5时，y=4×5+2=22，
故答案为：22．
根据“玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折”可以得到函数关系式，求得即可．【点评】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

14.【答案】20 3 
【解析】解：过P作PD⊥AB，垂足为D，
∵一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔～30 2海里的A处，
∴∠MPA=∠PAD=45°，
∴PD=AP⋅sin∠PAD=30 2× 22=30(海里)，
∵∠BPD=60°，
∴∠B=60°．
在Rt△BDP中，由勾股定理，得
BP=PDsinB=30 32=20 3(海里)，
故答案为：20 3．
根据题意得出∠MPA=∠PAD=45°，从而知PD=AP⋅sin∠PAD=30 2，由∠BPD=∠PBD=60°根据BP=PDsinB，即可求出即可．
此题主要考查了方向角含义、勾股定理的运用，正确记忆三角函数的定义得出相关角度是解决本题的关键．

15.【答案】(x−4)2+(x−2)2=x2 
【解析】解：由竹竿的长度为x尺，则门宽(x−4)尺，门高(x−2)尺，
根据题意得(x−4)2+(x−2)2=x2．
故答案为：(x−4)2+(x−2)2=x2．
由题意得门宽(x−4)尺，门高(x−2)尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程．
本题考查了勾股定理的应用，一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

16.【答案】2511 
【解析】解：如图，延长AF，DC交于点H，
∵AB=4，BC=6，AE=BF=3，
∴CF=3，AF= AB2+BF2= 16+9=5，
∵AB//CD，
∴△ABF∽△HCF，
∴ABCH=BFCF=AFFH，
∴4CH=33=5FH
∴CH=4，FH=5，
∴AH=10，DH=8，
∵AB//CD，
∴△AEG∽△HDG，
∴AGGH=AEDH，
∴AGGH=38，
∴AG=3011，
∴GF=2511，
故答案为：2511．
由勾股定理可求AF的长，通过证明△ABF∽△HCF，可求FH，CH的长，通过证明△AEG∽△HDG，可求AG的长，即可求解．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．

17.【答案】4 
【解析】解：如图，过点B、点C分别作y轴的垂线，垂足分别为M、N，
直线y=x向上平移3个单位长度得到直线CD，则直线CD的关系式为y=x+3，OD=3，即D(0,3)，
∵AB//CD，CN⊥y轴，BM⊥y轴，
∴△BOM∽△CDN，
∴DNOM=CNBM=CDOB=12，
设DN=m，CN=n，则OM=2m，BM=2n，
∴点B(−2n,−2m)，C(n,3+m)，
∵点B(−2n,−2m)在直线y=x上，
∴−2n=−2m，
即m=n，
∵点B、点C在反比例函数y=kx的图象上，
∴−2n×(−2m)=k=n⋅(3+m)，
由于n≠0，
解得m=1，
∴n=1，
∴点C(1,4)，
∴k=4，
故答案为：4．
根据平行线的性质以及相似三角形的性质可得DNOM=CNBM=CDOB=12，设合适的未知数，分别表示点C，点B的坐标，代入可求出未知数的值，确定点C的坐标，进而求出k的值即可．
本题考查一次函数、反比例函数图象的交点，掌握反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．

18.【答案】5+ 7 
【解析】解：以CE为一边在正方形ABC内作等边△CEH，连接FH，
过点H作HP⊥BC于点P，过点F作FT⊥HP于点T，
 
∵四边形ABCD为正方形，且边长为4，
∴BC=4，∠B=90°，
∵点E为BC的中点，
∴BE=CE=2，
∵△EFG和△CEH均为等边三角形，HP⊥BC，
∴EF=EG，EH=EC，∠FEG=∠CEH=60°，EP=PC=1，
∵HP⊥BC，FT⊥HP，∠B=90°，
∴四边形BFTP为矩形，
∴FB=TP，BP=FT=BE+EP=3，
∵∠FEG=∠CEH=60°，
∴∠FEG+∠HEG=∠CEH+∠HEG，
即：∠FEH=∠CEG，
在△EFH和△EGC中，
EF=EG∠FEH=∠CEGEH=EC，
∴△EFH≌△EGC(SAS)，
∴FH=CG，
∵∠FEH=90°，
∴FH≥FT，
∴当点H与点T重合时，FH=BP=3为最小，
即CG为最小，最小值为3，
在Rt△HEP中，EP=1，∠EHP=30°，
∴EH=2EP=2，
由勾股定理得：HP= EH2−EP2= 3，
∴FB= 3，
在Rt△BEF中，BE=2，FB= 7，
由勾股定理的：EF= BE2+BF2= 7，
∴EG=EF= 7，
∴△ECG的周长为：EG+EC+CG= 7+2+3=5+ 7．
即当CG最小时，△ECG的周长为5+ 7．
故答案为：5+ 7．
以CE为一边在正方形ABC内作等边△CEH，连接FH，过点H作HP⊥BC于点P，过点F作FT⊥HP于点T，先证四边形BFTP为矩形，再证△EFH和△EGC全等得FH=CG，再由∠FEH=90°得FH≥FT，由此可得出当点H与点T重合时，FH=BP=3为最小，即CG为最小，最小值为3，然后再求出FB，EF即可得出当CG最小时，△ECG的周长．
此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握正方形及等边三角形的性质，难点是正确的作出辅助线，构造全等三角形．

19.【答案】解：2x+y=4①x+2y=5②，
①×2得：4x+2y=8③，
③−②得：3x=3，
解得：x=1，
把x=1代入②得：1+2y=5，
解得：y=2，
故原方程组的解是：x=1y=2；
(2)(1x+x2−2x+1x2−1)÷1x+1
=[1x+(x−1)2(x−1)(x+1)]÷1x+1
=(1x+x−1x+1)⋅(x+1)
=x+1+x2−xx(x+1)⋅(x+1)
=x2+1x(x+1)⋅(x+1)
=x2+1x，
当x=−2时，
原式=(−2)2+1−2
=−52． 
【解析】(1)利用加减消元法进行求解即可；
(2)利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算可．
本题主要考查分式的化简求值，解二元一次议程组，解答的关键是对相应的知识的掌握．

20.【答案】13 
【解析】解：(1)小林家选择线路A的概率为13，
故答案为：13；
(2)画树状图如下：

共有9种等可能的结果，小林和小明两家恰好选择同一条线路的有2种结果，
所以两家两家恰好选择同一条线路的概率为29．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21.【答案】解：四边形ABCD是菱形，理由如下：
∵AE//BF，
∴∠ADB=∠CBD，
又∵BD平分∠ABF，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
同理：AB=BC，
∴AD=BC，
又∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形． 
【解析】由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB，证出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行线的性质、角平分线定义、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定是解决问题的关键．

22.【答案】8  60% 
【解析】解：(1)乙组数据的中位数a=8+82=8，优秀率b=3+2+110×100%=60%，
故答案为：8、60%；
(2)甲选手成绩好，
理由：1.甲优秀率高于乙；2.甲方差大于乙，比乙更有潜力(答案不唯一)．
(1)根据中位数和优秀率的概念求解即可；
(2)从优秀率和方差、众数方面求解(答案不唯一，合理均可)．
本题主要考查方差、中位数和众数，解题的关键是掌握方差、中位数和众数的意义．

23.【答案】(1)证明：连接OA，如图，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵弦AB垂直于半径OC，
∴∠OCA+∠CAB=90°，
∴∠OAC+∠CAB=90°．
∵∠EAC=∠CAB，
∴∠OAC+∠EAC=90°，
即∠OAE=90°，
∴OA⊥AE，
∵OA为⊙O的半径，
∴直线AE是⊙O的切线；
(2)解：连接OB，如图，
∵OA=OB，OD⊥AB，
∴∠AOB=2∠AOE，AD=BD=12AB．
∵sin∠E=12，sinE=OAOE，
∴∠E=30°，OAOE=12．
∴OA=12OE=3．
∵∠AOE=90°−∠E=60°，
∴∠AOB=120°．
在Rt△OAD中，
∵cos∠AOD=ODOA，
∴OD=OA⋅cos60°=32，
∴AD= OA2−OD2=3 32，
∴AB=2AD=3 3．
∴图中阴影部分的面积=S扇形OAB−S△OAB
=120π×32360−12×3 3×32
=3π−9 34． 
【解析】(1)连接OA，利用同圆的半径相等，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
(2)连接OB，利用直角三角形的边角关系定理和特殊角的三角函数值求得∠E的度数，OA的长度，利用等腰三角形的三线合一的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理求得线段OD，AB，∠AOB的值，再利用图中阴影部分的面积=S扇形OAB−S△OAB解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形和三角形的面积，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．

24.【答案】解：(1)设y=kx+b，
当20≤x≤30时，把(20,200)，(30,100)代入得：
20k+b=20030k+b=100，
解得k=−10b=400，
∴y=−10x+400；
当30 30k+b=10045k+b=40，
解得k=−4b=220，
∴y=−4x+220；
综上所述，y=−10x+400(20≤x≤30)−4x+220(30 (2)设销售利润为w元，
当20≤x≤30时，w=(x−20)(−10x+400)=−10x2+600x−8000=−10(x−30)2+1000，
∴当x=30时，w最大为1000元；
当30 ∵x为整数，
∴x=37或x=38时，w取最大值−4×14+1225=1224(元)；
综上所述，当日销售单价为37元或38元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润是1224元；
(3)由(2)知，当20≤x≤30时，该商品每天的销售利润最大为1000元；
∴只有在30 ∴−4(x−37.5)2+1225≥1200，
解得35≤x≤40，
∴销售单价x的取值范围是35≤x≤40． 
【解析】(1)设y=kx+b，分两种情况用待定系数法可得答案；
(2)设销售利润为w元，根据总利润等于每件利润乘以销售量，分两种情况列函数关系式，求出w的最大值，即可得到答案；
(3)结合(2)可得−4(x−37.5)2+1225≥1200，即可解得x的范围．
本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．

25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB，
由翻折的性质得：∠DAC=∠HAC，
∴∠ACH=∠HAC，
∴AH=CH；
(2)如图2，A，H，G三点在同一条直线上，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB，
由翻折的性质得：∠DAC=∠GAC，
∴∠ACB=∠GAC，
∴AG=CG，
∵EG⊥AC，
∴E是AC的中点，
∴AE=CE，
在矩形ABCD中，
∵AB=6，BC=AD=8，∠B=∠D=90°，
∴AC= AB2+BC2=10，
∴AE=CE=12AC=5，
∵EF⊥AD，
∴EF//CD，
∴F是AD的中点，
∴AF=DF=12AD=4，EF=12CD=3，
由翻折可知：EH=EF=3，AH=AF=4，
∴GH=AG−AH=CG−4，
在Rt△ABG中，BG=BC−CG=8−CG，AB=6，
根据勾股定理得：AG2=AB2+BG2，
∴CG2=62+(8−CG)2，
∴CG=254，
∴HG=254−4=94；
(3)当△EHG是以EG为腰的等腰三角形时，分两种情况：
①当EG=EH，设EF=x，
∴EF=EH=EG=x，

∵EF⊥AD，
∴EF//CD，
∴△AEF∽△ACD，
∴AEAC=AFAD=EFCD，
∴AE10=AF8=x6，
∴AE=53x，AF=43x，
∴AH=AF=43x，
∵∠AHE=∠CEG=90°，∠HAE=∠GCE，EH=EH，
∴△AHE≌△CGE(AAS)，
∴AH=CE，
∴43x=10−53x，
∴x=103，
∴EF=103；
②当EG=HG，

过点G作GO⊥HE，
设EF=a，
∵EC=10−53a，
∵∠AHE=∠CEG=90°，∠HAE=∠GCE，
∴△AHE∽△CGE，
∴EG=34EC=34(10−53a)=152−54a，
∵∠GOE=∠EHA，∠OGE=90°−∠OEG=∠HAE，
∴△OGE∽△HEA，
∴OEAH=EGAE，
∵AHAE=ADAC=45，
∴AH=45AE，
∴OE=45EG=45(152−54a)=6−a，
∴HE=2OE=12−2a=EF，
∴12−2a=a，
∴a=4，
∴EF=4，
综上所述：EF的长为103或4． 
【解析】(1)根据矩形的性质和翻折的性质证明∠ACH=∠HAC，即可解决问题；
(2)结合(1)的方法，再利用勾股定理即可求HG的长；
(3)当△EHG是以EG为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当EG=EH，②当EG=HG，结合(2)的方法，利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质即可解决问题．
本题属于四边形的综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，翻折的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．

26.【答案】② 
【解析】解：(1)当m=−2时，点A(−2,2)，B(−2,−2)，C(2,−2)，D(2,2)，
如图1，直线y=−x+4与正方形ABCD有一个交点，与函数y=6x(x>0)没有交点，
∴y=−x+4是函数y=6x(x>0)的图象与正方形ABCD的“界线”；
故答案为：②；
(2)∵⊙E与正方形ABCD的“界线”有且只有一条，
∴⊙E与正方形ABCD有且只有一个公共点，
如图2，当正方形ABCD与⊙E唯一一个公共点是A时，过点A作AF⊥y轴交于F点，连接EA，
∵⊙E的半径是2 2，
∴AE=2 2，
∵A(m,2)，E(0,4)，
∴OF=2，OE=4，
∴EF=2，
∴AF=2，
∴A(2,2)，
∵直线l是⊙E与正方形ABCD的唯一“界线”，
∴直线l与⊙E相切且经过点A，
∴直线l⊥AE，
∴直线l经过O、A两点，
∴直线l的解析式为y=x，
当公共点是点D时，同理可得直线l的解析式为y=−x，
综上所述：“界线”l的解析式为y=x或y=−x；
(3)①联立方程y=2x+by=x2+2x+3，
整理得，x2+3−b=0，
当直线与抛物线有唯一公共点，则Δ=−4(3−b)=0，
∴b=3，
∴y=2x+3，
当y=2时，x=−12，
∵若存在直线y=2x+b是“界线”，
∴m≥−12；
②当x=−2时，y=3，
若直线y=2x+b恰好经过点(−2,3)，b=7，
∴此时直线y=2x+7，
当y=−2时，x=−92，
∵若存在直线y=2x+b是“界线”，
∴m+4≤−92，
解得m≤−172；
综上所述：m≥−12或m≤−172．
(1)根据“界线”的定义，直线与函数最多有一个公共点，并且两个函数在“界线”两侧，画出图形即可判断；
(2)当正方形ABCD与⊙E唯一一个公共点是A时，过点A作AF⊥y轴交于F点，连接EA，求出A(2,2)，根据直线l是⊙E与正方形ABCD的唯一“界线”，可知直线l与⊙E相切且经过点A，则直线l⊥AE，直线l经过O、A两点，求出直线l的解析式为y=x，当公共点是点D时，同理可得直线l的解析式为y=−x，由此可求l的解析式；
(3)分两种情况讨论：①联立方程y=2x+by=x2+2x+3，整理得，x2+3−b=0，当直线与抛物线有唯一公共点，利用判别式求出b=3，确定直线解析式为y=2x+3，当y=2时，x=−12，若存在直线y=2x+b是“界线”，则m≥−12；②若直线y=2x+b恰好经过点(−2,3)，求出b=7，此时直线y=2x+7，当y=−2时，x=−92，若存在直线y=2x+b是“界线”，m+4≤−92，求出m≤−172．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄清“界线”的定义与图形之间的关系，数形结合、分类讨论是解题的关键．