黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷将记录下你的自信、沉着、智慧和收获！请认真审题，看清要求，仔细答卷，规范书写，祝你取得优异的成绩！
一、选择题（每题3分，共计30分）
1．下列方程中，属于二元一次方程的是( )
A．B．C．D．
2．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的几何原理是（ ）

A．两点之间线段最短B．垂线段最短
C．两定确定一条直线D．三角形具有稳定性
3．在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．一个不等式组的解集为，那么在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图四个图形中，线段是的高的图是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，则下列不等式中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．等腰三角形两边长分别是和，则这个三角形的周长为( )
A．B．或C．D．
8．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，小明将几块六边形纸片分别剪掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和为720°，则对应的图形是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，共计30分）
11．方程4x-y=7中，用含的式子表示，则y=
12．用不等式表示：与的和是非负数 ．
13．已知三角形的两边分别为和，则第三边的取值范围是 ．
14．在平面直角坐标系内，点P（m-3，m-5）在第四象限中，则m的取值范围是
15．如图，是的高，，则 ．
16．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，若的面积是，则的面积是 ．
17．不等式组，所有整数解的和是 ．
18．在△ABC中，AD为BC边上的高，∠B＝50°，∠CAD＝15°,则∠BAC= .
19．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．
20．如图，在六边形中，若，与的平分线交于点G，则等于 ．
三、解答题（21、22每题8分，23题6分，24题8分，25、26、27题10分，共60分）
21．计算题：
(1)解方程组
(2)解一元一次不等式，并把解集在数轴上表示出来
22．如图，已知是的边上的中线．
(1)作出的边上的高；
(2)若的面积为，且边上的高为，求的长．
23．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？
24．某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动．该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．
(1)若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的支付费用为____________元，在乙超市的支付费用为____________元；
(2)假如你负责采购，你认为什么情况下到甲超市合算？
25．规定：以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，这些点叫做该图像的关联点．
(1)探究：在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有____________．（填序号）
(2)已知A、C两点是方程图象的关联点，B、C两点是方程图象的关联点，若点A在x轴上，点B在y轴上，求四边形的面积．
26．如图，已知是的角平分线，是的外角的平分线，延长，分别交于点F，P．
(1)求证：；
(2)小轩同学探究后提出等式：，请通过推理论证判断“小轩发现”是否正确；
(3)若，求的度数．
27．如图，中，，点在的延长线上，，于，交于点．
(1)如图1，请写出与的数量关系；
(2)如图2，若平分，，求证：；
(3)在(2)的条件下，如图3，连接，若是中点，是中点，，，，求的长．
1．D
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，即可得出结论．
【详解】A． 不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B． 不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C． 不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D． 是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选D．
【点睛】此题考查的是二元一次方程的判断，掌握二元一次方程的定义是解决此题的关键．
2．D
【分析】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点．
【详解】解：如图所示：可知点O、A、B构成了一个三角形，利用了三角形具有稳定性的特点．
选项A：错误；选项B：错误；选项C：错误；选项D：正确．
故选：D
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用．掌握相关结论即可．
3．A
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可．
【详解】解：A、∵，
∴长为的三条线段能组成三角形，符合题意；
B、∵，
∴长为的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
C、∵，
∴长为的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
D、∵，
∴长为的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
故选：A．
4．A
【分析】根据数轴上的点表示的数，右边的总是大于左边的数，这个解集就是不等式和的解集的公共部分．
【详解】解：数轴上表示与2之间的部分，并且包含2，不包含，在数轴上可表示为：
故选：A
【点睛】此题考查了数轴上表示不等式的解集，解题关键是掌握用数轴上的点表示数．
5．D
【分析】本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形的高线的定义是解题的关键； 三角形的高是从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段，据此求解即可．
【详解】解：根据三角形高的定义可知四个选项中只有D选项中线段是的高，
故选：D．
6．C
【分析】不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析判断即可．
【详解】解：∵，
∴A. ，正确，该选项下不符合题意；
B. ，正确，该选项下不符合题意；
C. ，故该选项不正确，符合题意；
D. ，正确，该选项下不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．
7．D
【分析】根据等腰三角形腰的情况分类讨论，然后根据三角形的三边关系进行取舍，最后求出三角形的周长即可．
【详解】解：若腰长为时，
∵5＋5＜12
∴此时不能构成三角形，舍去；
若腰长为时，
∵5＋12＞12
∴此时能构成三角形
则这个三角形的周长为5＋12＋12=29cm
故选D．
【点睛】此题考查的是等腰三角形的定义、构成三角形的条件和求三角形的周长，掌握等腰三角形的定义和三角形的三边关系是解决此题的关键．
8．C
【分析】本题主要考查了三角形的内角和，熟悉掌握三角形的内角和公式是解题的关键．利用三角形的内角和，代入已知条件求出角的度数，逐一判断是否有直角即可．
【详解】解：A：，代入，
得：，
，故此选项不符合题意；
B：，根据得：
，
，故此选项不符合题意；
C：，
∴，
∴为钝角三角形，故此选项符合题意；
D：代入，
得：，
，故此选项不符合题意；
故选：C．
9．B
【分析】根据新多边形的内角和为720°，n边形的内角和公式为（n-2）•180°，由此列方程求n．
【详解】解：设这个新多边形的边数是n，
则（n-2）•180°=720°，
解得：n=6，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．
10．A
【分析】根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组：，解之即可得出x的取值范围．
【详解】解：依题意，得：
，
由①得：
，
由②得：＞，
＞
＞，
所以不等式组的解集为：．
故选：A
【点睛】本题考查了程序框图中的一元一次不等式组的应用，找准不等关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
11．4x-7
【分析】将x看做已知数，求出y即可．
【详解】解：4x-y=7
解得：y=4x-7
故答案为4x-7．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数，y看做未知数．
12．
【分析】“与的和”表示为，非负数即大于等于0，进而得出不等式．
【详解】解：由题意可得：
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．
13．
【分析】利用“三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边”，可求出c的取值范围．
【详解】解：∵72=5，2+7=9，
∴第三边c的取值范围为5＜c＜9．
故答案为：5＜c＜9．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，牢记“三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边”是解题的关键．
14．3＜m＜5
【分析】根据点所处的位置可以判定其横纵坐标的正负，进而能得到关于m的一元一次不等式组，求解即可．
【详解】解：∵点P（m﹣3，m﹣5）在第四象限，
∴
解得：3＜m＜5．
故答案为3＜m＜5．
【点睛】本题考查了点的坐标及一元一次不等式组的解法，解题的关键是根据点所处的位置得到有关m的一元一次不等式组．
15．
【分析】根据三角形的面积公式解答即可．
【详解】因为AD、CE、BF是△ABC的三条高，AB=5，BC=4，AD=3，
所以可得： BC•AD=AB•CE，
可得：CE= ．
故答案为：．
【点睛】此题考查三角形的面积，解题关键是根据同一三角形面积相等来分析．
16．1
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可．
【详解】解：∵在中，是边上的中线，的面积是，
∴，
∵E是的中点，
∴，
故答案为：1．
17．
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为，
∴所有整数解的和为，
故答案为：．
18．55°或25°
【分析】根据AD的不同位置，分两种情况进行讨论：AD在△ABC的内部，AD在△ABC的外部，分别求得∠BAC的度数．
【详解】①如图，当AD在△ABC的内部时，
∵AD⊥BC，∠B=50°，
∴∠BAD=40°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=40°+15°=55°；
②如图，当AD在△ABC的外部时，
∵AD⊥BC，∠B=50°，
∴∠BAD=40°，
∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=40°-15°=25°；
故答案为25°或55°
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是进行分类讨论，解题时注意：三角形的内角和为180°．
19．120
【详解】 解：∵360÷30=12，
∴他需要走12次才会回到原来的起点，
即一共走了12×10=120米，
故答案为：120．
20．##70度
【分析】本题主要考查了多边形的内角和，角平分线的定义，三角形内角和，解题的关键是根据六边形的内角和为，，求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和求出结果即可．
【详解】解：六边形的内角和是：，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴．
故答案为：．
21．(1)
(2)，数轴见解析
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集：
（1）利用加减消元法求解即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
【详解】（1）解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
22．(1)解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的高；
（1）根据三角形中高的定义来作高线；
（2）先求出的面积，再根据三角形的面积公式求得即可．
【详解】（1）解：如图所示：为 的边上的高．
（2）是的边上的中线，的面积为，
的面积为，
边上的高为，
．
．
23．可以做成甲乙两种小盒各30个，60个．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将300张长方形硬纸片和150张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可．
【详解】解：设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，
由题意得，，
解得，
答：可以做成甲乙两种小盒各30个，60个．
24．(1)300，240
(2)当时，选择甲超市更优惠．
【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的实际应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
（1）根据甲、乙两家超市的优惠方案分别进行计算即可；
（2）设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元， 可得当时， 显然此时选择乙超市更优惠，当时 再分三种情况讨论即可．
【详解】（1）解： 甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元），
∵乙超市全部按标价的8折售卖，
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元），
（2）设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元，又当时，可得
当时，
显然此时选择乙超市更优惠，
当时，
当时，则 解得：
∴当时，两家超市的优惠一样，
当时，则 解得：
∴当时，选择乙超市更优惠，
当时，则 解得：
∴当时，选择甲超市更优惠．
综上：当时，选择甲超市更优惠．
25．(1)①③
(2)
【分析】本题主要考查了坐标与图形，解二元一次方程组，二元一次方程解的定义：
（1）将①；②；③三点，分别代入方程，利用图象的关联点定义即可解决问题；
（2）根据图象的关联点定义得到点C是方程组的解，，解方程组求出点C的坐标，再根据在x轴上的点纵坐标为0，在y轴上的点，横坐标为0，求出点，坐标，进而可以利用割补法求四边形的面积；
【详解】（1）解：将①；②；③三点，分别代入方程，
①，
②，
③，
在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有①③，
故答案为：①③；
（2）解：∵，两点是方程图象的关联点，，两点是方程图象的关联点，
，
解得，
，
点在轴上，
当时，，
，
，
点在轴上，
当时，，
，
，
四边形的面积．
26．(1)证明见解析
(2)“小轩发现”正确，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，根据三角形的外角的性质即可证明结论；
（2）根据（1）中的结论变形后可得结论；
（3）根据三角形的外角和角平分线的定义，综合已知，等量代换可得结论．
【详解】（1）证明：∵是的平分线，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴；
（2）由（1）知，
∴，
即：
∴“小轩发现”是正确的；
（3）在中，，
在中，，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角性质的应用，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
27．(1) ；(2) 见解析；(3) .
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得∠DBE=180°－∠E－∠BDE=90°－∠BDE，∠A=180°－∠ACB－∠ABC=90°－∠ABC，再结合已知条件即可证出结论；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理证出∠A=∠FEB，再结合（1）的结论可证∠FEB=∠DBE，根据平行线的判定证出EF∥BD，从而证出∠EFC=∠ACB=90°，再根据垂直的定义即可证出结论；
（3）连接AD、DF，根据三角形中线的性质可知S△ABF=S△BCF=2S△BCG，结合已知条件即可求出S△BCG=，再根据等高时，面积比等于底之比即可求出S△BDG=8，再根据三角形的面积公式即可求出结论．
【详解】解：（1）∠A=∠DBE，理由如下
∵
∴∠E=90°
∴∠DBE=180°－∠E－∠BDE=90°－∠BDE
∵
∴∠A=180°－∠ACB－∠ABC=90°－∠ABC
∵
∴∠A=∠DBE
（2）∵平分，
∴∠ABF=∠EBF
∵
∴∠A=180°－∠ABF－∠AFB=180°－∠EBF－∠EFB=∠FEB
由（1）知∠A=∠DBE
∴∠FEB=∠DBE
∴EF∥BD
∴∠EFC=∠ACB=90°，
∴；
（3）连接AD、DF
∵是中点，是中点，
∴S△ABF=S△BCF=2S△BCG
∵
∴S△ADF=S△ABF=3S△BCG，BC：CD==2:3
∴BC：BD=2:5
∵
∴
∴S△BCG=
∵S△BCG：S△BDG=BC：BD
即：S△BDG=2:5
解得S△BDG=8
∴BG·DE=8
∵
∴BG2=8
解得BG=4或-4（不符合实际，舍去）
即BG=4．
【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理、平行线的判定及性质和三角形的面积关系，掌握三角形的内角和定理、平行线的判定及性质和等高时，面积比等于底之比是解决此题的关键．