2023年黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校中考模拟数学试题（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校中考模拟数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的倒数是（    ）

A．3 B． C． D．

2．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．下面的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

4．如图，是由小立方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（    ）

A． B． C． D．

5．抛物线y＝﹣3（x﹣4）2+5的顶点坐标是（   ）

A．（4，5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（﹣4，﹣5）

6．方程解是（    ）

A． B． C． D．

7．如图所示，是的直径，点C在的延长线上，与相切，切点为D，如果，那么等于（    ）．

A．15° B．20° C．35° D．55°

8．某型号的手机连续两次降阶，每个售价由原来的1185元降到580元，设平均每次降价的百分率为x，则列出方程正确的是 (     )

A． B．

C． D．

9．将抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线为（    ）

A． B．

C． D．

10．如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．将数据62000000用科学记数法表示为______．

12．函数中，自变量x的取值范围是_____．

13．计算：______．

14．分解因式：=_______________．

15．不等式组的解集是__________．

16．反比例函数的图像经过点，则的值为______．

17．一个扇形的圆心角为，半径为4，则此扇形的面积是______．

18．在一个不透明的布袋中装有2个白球和3个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出两个球，摸到两个球是黄球的概率为______．

19．在中，，的角平分线与边所夹的锐角为，则______度．

20．在正方形中，点分别在边上，连接，，交于点为垂足，，则线段的长度为______．

三、解答题

21．先化简，再求代数式的值，其中．

22．如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点A，B均在小正方形的顶点上．

(1)在图中画出一个以线段为一边的等腰，且为钝角三角形；

(2)在图中画一个，点D在小正方形的顶点上，，且的面积等于14；

(3)连接，请直接写出的长．

23．某校在疫情期间对线上教学学生满意度方面进行了抽样调查，宋老师根据调查数据绘制了如图所示不完整统计图．请根据统计图回答下面问题：

(1)本次抽样调查的人数有多少人？

(2)请通过计算补全条形统计图；

(3)根据本次调查情况，若全校有学生1200人，请估计有多少学生为满意．

24．如图，平行四边形中，点分别为的中点，连接．

(1)如图1，求证：

(2)如图2，连接，若平分，请直接写出图中线段的长度等于的线段．

25．某学校计划组织名师生参加哈尔滨冰雪节，感受冰雪艺术的魅力，出租公司现有甲、乙两种型号的客车可供租用，且每辆乙型客车的租金比每辆甲型客车少60元，若该校租用3辆甲种客车，4辆乙种客车，则需付租金1720元．

(1)该出租公司每辆甲、乙两型客车的租金各为多少元？

(2)若学校计划租用6辆客车，租车的总租金不超过1560元，那么最多租用甲型客车多少辆？

26．如图，内接于，连接，．

(1)如图1，求证：；

(2)如图2，点在上，连接，点是上一点，连接，若，求证：；

(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，，，求的长．

27．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，直线与x轴相交于点C，且点C与点A关于y轴对称．

(1)求直线的解析式；

(2)点P为线段上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）

(3)在（2）的条件下，点Q为线段延长线上一点，，连接交于点E，点D在第一象限，连接、，且，，过点D作x轴的平行线交于点F，连接并延长交y轴于点M，连接，若平分，求点P的坐标．

参考答案：

1．A

【分析】根据倒数的定义直接求解即可得到答案．

【详解】解：的倒数是，

故选：A．

【点睛】本题考查倒数定义，熟记倒数定义是解决问题的关键．

2．C

【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的险滩、积的乘方以及幂的乘方运算法则对各项进行计算判断即可得到答案．

【详解】解：A. ，故原选项计算错误，不符合题意；

B. 与不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；

C. ，计算正确，符合题意；

D. ，故原选项计算错误，不符合题意．

故选：C．

【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的险滩、积的乘方以及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．

3．C

【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．

故选C．

4．C

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

【详解】解：从正面看易得第一列有2个正方形，第二、三列各有一个正方形．

故选：C．

【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

5．A

【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．

【详解】解：∵抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣4）2+5，

∴其顶点坐标为：（4，5）．

故选：A．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．

6．D

【分析】根据分式方程解法直接求解即可得到答案．

【详解】解：，

方程两边同时乘以得，

，

检验：当时，，

是原分式方程的解，

故选：D．

【点睛】本题考查分式方程解法，熟记解分式方程的步骤是解决问题的关键．

7．B

【分析】如图：连接，由圆周角定理可得，根据切线的性质定理可得，最后根据直角三角形的性质即可解答．

【详解】解：如图，连接，则

∵是的切线，

∴，即，

∴．

故选B．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质定理、直角三角形的性质等知识点，熟练运用相关知识是解题的关键．

8．D

【分析】根据题意可直接列式排除选项即可．

【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得：

；

故选D．

【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键是根据题意得到方程即可．

9．B

【分析】根据函数图像的平移法则“左加右减、上加下减”直接求解即可得到答案．

【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线为，

故选：B．

【点睛】本题考查函数图像平移，熟记函数图像的平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键．

10．C

【分析】根据平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质逐项验证即可得到答案．

【详解】解：A、，，

四边形是平行四边形，

，

，

，

与的关系不确定，

不正确，不符合题意；

B、，，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，

不正确，不符合题意；

C、，

，

，

，

，

正确，符合题意；

D、

，

由可得，

与的关系不确定，

不正确，不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．

11．

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．

【详解】解：62000000，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．

12．x≠﹣1

【详解】根据分式有意义的条件是分母不为0，可得x+1≠0，

解得x≠﹣1，

故答案为：x≠﹣1．

【点睛】考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．

13．

【分析】首先化简二次根式，进而合并求出即可．

【详解】解：原式．

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．

14．a（a﹣b）．

【详解】解：=a（a﹣b）．

故答案为a（a﹣b）．

【点睛】本题考查因式分解-提公因式法．

15．

【分析】先求出两个不等式的解集，取两个解集的公共部分即为不等式组的解集.

【详解】解：，

解不等式①，得：，

解不等式②，得：，

∴不等式组的解集为，

故答案为．

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，确定两个不等式解集的公共部分是解题的关键.

16．

【分析】根据反比例函数图像与性质，将代入表达式即可得到答案．

【详解】解：反比例函数的图像经过点，

，解得，

故答案为：．

【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，将点的坐标代入表达式求解是解决问题的关键．

17．

【分析】利用扇形的面积公式计算即可．

【详解】解：由题意可得，，

故答案为：．

【点睛】本题考查扇形的面积公式，熟记扇形的面颊公式是解题的关键．

18．

【分析】根据列举法求两步概率问题的方法，列表求解即可得到答案．

【详解】解：将白球表示为B1、B2；将黄球表示为H1、H2、H3，列表如下：

由表可知，共有20种等可能的情况，其中，两个都是黄球的情况有6种，

（摸到两个球是黄球），

故答案为：．

【点睛】本题考查列表法解两步概率问题，熟练列出列表中各种等可能情况是解决问题的关键．

19．或

【分析】根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得到，当时，根据三角形外角的性质得到，即可求得，代入即可得到答案；当时，根据三角形内角和定理得到，即可求得，代入即可得到答案．

【详解】解：设的角平分线交于点，

①当时，如图1所示：

，

，

，

，

，

，

；

②当时，如图2所示：

，

，

，

，

，

，

；

综上所述，的度数为或，

故答案为：或．

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键．

20．

【分析】在正方形中，由题意得到，设正方形边长为，得，过作于，可得，则，在中，由勾股定理，解得，在中，由勾股定理得到，即可得到答案

【详解】解：在正方形中，交于点为垂足，，

，

，即，

设正方形边长为，

则，解得，

过作于，如图所示：

，

，

，

，

在和中，

，

，

，

在中，，则，即，

令得，即，解得，

在中，，则，

（舍）；；

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查求线段长问题，涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及等腰三角形性质等知识，难度较大，灵活运用相关性质与判定求解线段长是解决问题的关键．

21．，

【分析】根据分式运算法则先化简，再结合所给的字母的值代入求解即可得到答案．

【详解】解：

，

，

原式．

【点睛】本题考查分式的化简求值以及特殊角的三角函数值运算，熟练掌握分式的运算法则及特殊角的三角函数是解决问题的关键．

22．（1）见解析；（2）见解析；（3）

【分析】（1）过B作铅直线BH，过A作水平线AH两线交于H，根据勾股定理求出AB=，取A水平向右5个格点为点C，连结AC，与BC即可；

（2）过C作BC的垂线CE，使CE=2，连结BE，在BE上取AD=7个网格，连结CD即可；

（3）连结AD，过A作AF⊥BD于F，根据勾股定理可求AD=．

【详解】解：（1）过B作铅直线BH，过A作水平线AH两线交于H，

∵BH=4，AH=3

∴AB=，

取A水平向右5个格点为点C，连结AC，与BC，

 ∴AC=AB=5，

∵∠BAC=∠H+∠HBA=90°+∠HBA符合题意；

∴△ABC为钝角等腰三角形，

（2）∵BC=

过C作BC的垂线CE，使CE=2，连结BE，

在BE上取BD=7个网格，连结CD，

则∠CBD满足，且S△BCD=×点C到BD的距离4=

（3）连结AD，

过A作AF⊥BD于F，

∵AF=4，BF=3，

∴DF=DB-BF=7-3=4，

∴AD=．

【点睛】本题考查网格作图，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数，三角形面积，掌握网格作图，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数，三角形面积是解题关键．

23．(1)40

(2)补全条形统计图见解析

(3)180

【分析】（1）根据非常满意8人占直接解答即可得到答案；

（2）算出满意人数，补全条形统计图即可得到答案；

（3）利用样本估计总体即可．

【详解】（1）解：根据扇形统计图与条形统计图数据关联可知，本次抽样调查的人数有人；

（2）解：由（1）知总人数为40人，则满意人数为人，补全条形统计图如下：

（3）解：（人），

答：根据本次调查情况，若全校有学生1200人，估计有学生为满意．

【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，两图结合得到数据关联是解题的关键．

24．(1)证明见解析

(2)图中线段的长度等于的线段

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，再根据点分别为的中点，得到，，由平行四边形的判定即可得到四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质即可得到；

（2）根据角平分线及平行线的性质即可得到是等腰三角形，再结合（1）中结论即可得到答案．

【详解】（1）证明：在平行四边形中，，，

点分别为的中点，

，，

四边形是平行四边形，

；

（2）解：平分，

，

在平行四边形中，，

，

，即是等腰三角形，

，

点分别为的中点，

，

由(1)知，

，

图中线段的长度等于的线段．

【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、中点定义、角平分线定义、等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．

25．(1)该出租公司每辆甲型客车的租金为280元，则每辆乙型客车的租金为220元

(2)最多租用甲型客车4辆

【分析】（1）设该出租公司每辆甲型客车的租金为，则每辆乙型客车的租金为元，根据题意建立方程求出其解就可以了；

（2）设租用甲型客车辆，则乙型客车辆，根据题意建立不等式求出其解就可以了．

【详解】（1）解：设该出租公司每辆甲型客车的租金为，则每辆乙型客车的租金为元，

由题意得，解得：

乙型客车的租金为220元；

答：该出租公司每辆甲型客车的租金为280元，则每辆乙型客车的租金为220元；

（2）解：设租用甲型客车辆，则乙型客车辆，

由题意得，解得，

最多租用甲型客车4辆．

【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及解法的运用，一元一次不等式的运用，再解答时求出甲、乙客车的租金是关键．

26．(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）过点作，如图所示，由垂径定理可知：，再由得到，即可得证；

（2）延长交于，如图所示，由（1）知，从而由等腰三角形“三线合一”得到，且，从而得到，即可有

，由内错角相等两直线平行得到，进而，即；

（3）连接，延长交于点，证明，利用勾股定理即可解答．

【详解】（1）证明：过点作，如图所示：

由垂径定理可知，，

在和中，

，

，

，

；

（2）证明：延长交于，如图所示：

由（1）知，

根据，从而由等腰三角形“三线合一”得到，且，

，

，

，

，

，

，

，

，即；

（3）解：如图，连接，延长交于点，

根据（2）中可得，

，

，

，

，

，

，

，

在与中，

 ，

，

，

，

，

，

，

，

，且为直径，

，

．

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．

27．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）求出点坐标，根据题意得到点坐标，即可解答；

（2）利用，即可解答；

（3）分别过点、、作轴垂线交于点、、，延长分别和轴、相交于点、，过点作的垂线交于点，作的角平分线交于点，根据三角函数解直角三角形，结合相似三角形，求出点、点坐标，求出直线的表达式后联立直线的表达式求出点的坐标即可．

【详解】（1）解：当时，，

当时，可得，解得，

，，

根据题意，可得，

设直线的解析式为，

将，代入，

可得，

解得，

直线的解析式为；

（2）解：如图，过点作的垂线段交于点，

点P的横坐标为t，

，

，

，，，

，，

，

即；

（3）如下图，分别过点、、作轴垂线交于点、、，延长分别和轴、相交于点、，过点作的垂线交于点，作的角平分线交于点

，，，

，，

，，

设

又，

，

，即，

在和中

，

，（全等三角形对应边相等），

，，

，，

，

，

在和中

（全等三角形对应边相等），

点的纵坐标为，

平行轴，

点、点的纵坐标也为

把代入直线表达式，

得，

，

，

，

，即，

，

，，

，

又，

，

，

，

平分时时，

，

（两个三角形高相同，面积之比等于底边之比），

（角平分线上的点到角两边的距离相等，故两个三角形高相等，面积之比等于底边之比），

，

，

，

，

，

，，

，

设，则，，

，，

，

，

，，

点横坐标点横坐标

又

设直线的表达式为，

将点、点坐标代入得，

解得，

直线的表达式为，

联立直线和直线的表达式，

解得

【点睛】本题考查了一次函数综合，结合相似三角形、勾股定理、三角函数解直角三角形知识点，数形结合、画出图象分析、推理和计算是解题的关键．