2024年吉林省长春市长春高新技术产业开发区中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成书于公元一世纪左右．书中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记作，则表示气温为（ ）
A. 零下B. 零下C. 零上D. 零上
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量，零上和零下相对，如果零上为正，那么零下就为负即可求解，正确理解正、负数的意义是解题的关键．
【详解】∵若气温为零上记作，
∴表示气温为零下，
故选：．
2. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“苔花如米小，也学牡丹开”，已知，若苔花的花粉直径约为，则用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故选：A
3. 如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是（ ）
A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 两点确定一条直线
C. 两点之间线段最短
D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了考查了直线的性质，由直线公理可直接得出答案，正确理解直线公理是解题的关键．
【详解】建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层转在一条直线上，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线，
故选：．
4. 如图所示，从①②③④中选取一个正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是正方体的展开图，正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1-4-1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2-2-2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3-3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1-3-2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．
详解】解：如图，
①能与阴影部分组成正方体展开图，
故选A
5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先解不等式2x﹣4≥0，得x≥2，根据在数轴上表示不等式解集的方法，大于向右，小于向左，有等号是实心点，没有等号是空心圈即可得出结论．
【详解】不等式2x﹣4≥0的解集是x≥2，
在数轴上表示如图：
故选：B．
【点睛】本题考查了解不等式的以及在数轴上表示不等式．
6. 如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，则OC的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：∵O为AB的中点，AB=1.6，
∴OB=AB=0.8，
在Rt△OCB中，sin∠OBC=，
∴OC=OB•sin∠OBC=0.8sin20°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
7. 如图，在中，．借助尺规在边上求作点，使得与的长度比等于，则下列尺规作图正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质定理，选项中，过点作于点，于点，利用面积法证明，可得结论，解题的关键是学会利用角平分线的性质定理解决问题．
【详解】解：选项中，过点作于点，于点，
由作图可知平分，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴点符合条件，符合题意；
其他选项均不符合题意；
故选：．
8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与函数的图象交于、两点，连接、，若的面积为3，则的值为（ ）
A. 6B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】设直线交轴于点，由两条直线的解析式即可得到两直线平行，根据两平行线之间的距离处处相等，可以知道和同底等高，面积相等，即可得到，再根据，解得的横坐标，代入求得纵坐标，把的坐标代入即可求得k的值．
【详解】设直线交轴于点，则，连接，
由题意可知，
，
，
解得：，
点在第二象限，
点横坐标为，
将代入，得，
点坐标为，
函数图象过点，将点坐标代入，
得，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数平移问题，两平行线之间的距离处处相等，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式等知识点，利用三角形面积求得的坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 因式分解：___．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式m即可：．
【详解】．
故答案为．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式，提公因式后确定另一个因式，是解决此类问题的关键．
10. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______．
【答案】####
【解析】
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
11. 如图，是正五边形的对角线，点在上．若，则的大小是______．
【答案】##72度
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的性质和等腰三角形的性质，根据正多边形求得内角为，进而根据等腰三角形的性质可得，，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴内角为，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质进行计算即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．明确和的最小值的情况是解题的关键．
如图，在截取，使得，连接，证明，则，由，可知当三点共线，且时，的值最小，如图，作于，则的最小值为，由，计算求解即可．
【详解】解：如图，在截取，使得，连接，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线，且时，值最小，
如图，作于，则的最小值为，
∵，即，解得，
∴的最小值为5，
故答案为：5．
14. 如图，将一个含的直角三角板放在平面直角坐标系的第一象限，使直角顶点的坐标为，点在轴上，过点，作抛物线，且点为抛物线的顶点.要使这条抛物线经过点，那么抛物线要沿对称轴向下平移________个单位．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的图像与性质，求解平移后的抛物线解析式是解题的关键．如图，过作轴于，由抛物线的顶点为，求出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质证明，从而得到的坐标，再写出向下平移个单位后的抛物线的解析式，代入的坐标即可得到答案．
【详解】解：如图，过作轴于，
抛物线的顶点为，
对称轴为：，
，
，
解得：，
抛物线为：，点，
，，
，
，
，
，，
，
，设抛物线向下平移个单位后过点，
过点，
，
解得：，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先计算括号内的单项式乘以多项式、平方差公式，合并同类项，再根据多项式除以单项式法则计算，最后代入数值计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
，
，
当时，
原式．
16. 春和景明，阳光和煦，小明和小亮相约周末外出游玩．现有三个景点可供游客选择，：长春净月潭国家森林公园，：长春市动植物公园，：长影世纪城．请用画树状图（或列表）的方法求小明和小亮两名同学恰好选择同一景点游玩的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查画树状图求概率．根据题意，先画出树状图，然后求出总额情况数和符合题意的情况数，再求概率即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种情况，其中符合题意的有3种情况，
故小明和小亮两名同学恰好选择同一景点游玩的概率为．
17. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完，这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？
【答案】甲每分钟输22个数据，乙每分钟输11个数据．
【解析】
【分析】设乙每小时输x个数据，根据题意列出分式方程，求解并检验，然后用各自的数据除以60即可得出答案．
【详解】解：设乙每小时输x个数据，根据题意得：
，
解得x＝660，
经检验x＝660是原方程的解．

∴甲每小时输1320个数据．
1320÷60＝22（个），
660÷60＝11（个）．
答：甲每分钟输22个数据，乙每分钟输11个数据．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
18. 如图，在中，．以为直径的交于点，点是的中点，连结．
（1）求证：为的切线．
（2）若，，则弧的长为______．（结果保留）
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）连结，利用圆周角定理得到，利用直角三角形的斜边上的中线的性质得到，再利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质得到，再利用切线的判定定理解答即可；
（2）利用直角三角形性质和圆周角定理求得，利用圆的弧长公式解答即可得出结论．
【小问1详解】
证明：连结，如图，
为直径，
．
，
点为中点，
，
．
，
，
，
，
，
即．
是半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：，，
，
．
，
．
弧的长为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，圆的弧长公式，连接经过切点的半径是解决此类问题的常添加的辅助线．
19. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．点都在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图中，作出与线段平行的线段，使点都在格点上；
（2）在图中，以为腰作等腰．
（3）在图中，作出，使的面积为，且点不在格点上．
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析； （3）作图见解析．
【解析】
【分析】（）利用平移变换性质作出图形；
（）根据等腰三角形的定义画出图形；
（）取，，连接，在上取一点，连接，，即为所求；
本题考查了作图-应用与设计作图，平行线的判定和性质，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【小问1详解】
如图，根据平移即可，
∴即为所求；
【小问2详解】
如图，根据网格特点
根据网格特点，
∴即为所求；
【小问3详解】
如图，取，，使得，连接，在上取一点，连接，，根据面积和差求得，
∴即为所求．
20. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为了解学生在停课不停学中的阅读情况（七、八年级学生人数相同），某周从七、八年级学生中分别随机抽查了名同学，调查了他们周一至周五的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表：
参加阅读学生的平均阅读时间折线统计图
（1）根据上述统计图表，八年级周一至周五平均阅读时间的中位数为______分钟；
（2）若七年级参加阅读人数的方差为，八年级参加阅读人数的方差为，则______（填“”，“”或“”）；
（3）请你结合周一至周五阅读人数统计表，估计该校七、八年级共名学生中，周一至周五平均每天有多少人进行阅读？
【答案】（1）；
（2）；
（3）估计该校七、八年级共名学生中，周一至周五平均每天有人进行阅读．
【解析】
【分析】（）根据八年级周一至周五平均阅读时间排序即可求出中位数；
（）根据统计表中数据得出七年级参加阅读人数的平均数，再按照方差的计算公式计算即可；
（）用抽样中七八年级周一至周五参加阅读的人数之和除以七八年级的抽样人数之和的倍除以，再乘以，计算即可；
本题考查了根据统计图表计算或分析中位数、方差等统计量，以及根据抽样结果对总体数据作出估计，熟练掌握相关统计知识及其应用是解题的关键．
【小问1详解】
解：八年级周一至周五平均阅读时间为，，，，，
数据从小到大排序，，，，，
∴八年级周一至周五平均阅读时间的中位数为分钟，
故答案为：；
【小问2详解】
七年级阅读人数为：，，，，，
则参加阅读人数的平均数为，
∴七年级参加阅读人数的方差为；
八年级阅读人数为：，，，，
则参加阅读人数的平均数为，
∴七年级参加阅读人数的方差为；
∴，
故答案为：；
【小问3详解】
（人）
答：估计该校七、八年级共名学生中，周一至周五平均每天有人进行阅读．
21. 蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据，用函数图象表示如下．
（1）电池充满电时的电量为______千瓦时；
（2）求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）在电量允许的情况下，如果在某段连续行驶时间里，汽车消耗了10千瓦时的电量，直接写出这段时间连续行驶路程的取值范围．
【答案】（1）60 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用．
（1）观察图象可直接得出答案；
（2）设所对应的函数关系式为，将代入，用待定系数法求解即可；
（3）分别求出在段消耗了10千瓦时的电量时和在段消耗了10千瓦时的电量时对应的路程即可．
【小问1详解】
解：由图可知，电池充满电时的电量为60千瓦时，
故答案为：60；
【小问2详解】
设所对应的函数关系式为，将代入得
解得
；
【小问3详解】
当在段消耗了10千瓦时的电量时，
(千米)
当在段消耗了10千瓦时的电量时，
（千米）
．
22. 如图，是等边的外接圆．
【问题原型】如图，连结，延长交弦于点，交于点．连结、．求证：；
【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下：
∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形，
∴，，
∴，则为等边三角形，
同理可得：也为等边三角形，
∴．
【方法应用】如图2，若为上任意一点，连结，，，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【拓展提升】如图③，若的半径为，且为上一点，且，则四边形的面积的是______．
【答案】【方法应用】结论成立，证明见解析；【拓展提升】．
【解析】
【分析】【方法应用】延长到，使，证明，，得出 为等边三角形， 即可解答；
【拓展提升】连接，由得且四边形的面积等于以为边长的等边三角形的面积，作于，连接，作的延长线于，求出，利用勾股定理求出和，即可求出，再利用等边面积公式求出以为边长的等边三角形的面积，即可解答此题．
【详解】【方法应用】结论成立，
延长到，使， 如图，
∵为等边三角形,
∴，，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，即；
【拓展提升】
如图连接，由得，且四边形的面积等于以为边长的等边三角形的面积，
作于，
∴，
连接，作的延长线于，
∵为等边三角形的中心点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴以为边的等边三角形的面积为：，
∴四边形的面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
23. 如图，在中，，．动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度向终点运动，点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，作点关于的对称点为，以为邻边构造．点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒．
（1）求线段的长（用含的代数式表示）；
（2）连结，则的最小值是______；
（3）当是菱形时，求的值；
（4）连结，当与的一条边平行或垂直时，直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）的最小值是，
（3）；
（4）或．
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
（）分两种情况讨论即可求解；
（）关于的对称点为，则，由勾股定理得即可求解；
（）由关于的对称点为，，，得是等腰直角三角形，在根据菱形的性质即可求解；
（）分当时和当两种情况即可．
【小问1详解】
解：当在线段上时，即，
，
当在线段上时，即，
，
综上可知：；
【小问2详解】
解：如图，
∵关于的对称点为，
∴，
由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
∴当时，有最小值，
∴的最小值是，
故答案为：；
【小问3详解】
解：设与交于点，如图，
∵关于的对称点为，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
当是菱形时，，
∴，
∴（舍去）或；
【小问4详解】
解：如图，当时，
，即
解得：；
当，此时与重合，
∴，解得．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点在抛物线上，点的横坐标为，点的坐标为，以为对角线作矩形，使轴．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当时，求抛物线在矩形内部的图象（包含边界）的最大值与最小值的差；
（3）当抛物线与矩形的边恰好有4个交点时，求的取值范围；
（4）当点在抛物线对称轴左侧时，若矩形的边或与抛物线交于点（点不与点重合），连结，若与坐标轴恰好有一个交点时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）最大值与最小值的差为2
（3）或
（4）或或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用．
（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）当时，可得,结合图形即可求得答案；
（3）当，解得：，当，解得，即可得出答案；
（4）分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别列方程或不等式即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点
∴，解得
∴抛物线所对应的函数表达式为；
【小问2详解】
当时，则，
∴
把代入得，
∴，
∵以为对角线作矩形，使轴，
∴，
如图，
∴抛物线在矩形内部的图象（包含边界）的最大值为4，最小值为2，
∴最大值与最小值的差为;
【小问3详解】
由题意得：，，
当，解得：
∴；
当，解得
∴
综上：或；
【小问4详解】
∵
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∵点在抛物线对称轴左侧，
∴，且，
由题意得：，，
当时，如图，矩形的边与抛物线交于点，连结,则与坐标轴没有交点，不符合题意；
当时，矩形的边与抛物线交于点，连接交轴于点，如图，
则，
∴；
当时，矩形的顶点刚好在抛物线上，即点与点重合，连接恰好经过点，如图，
设的解析式为，把，代入，
得
解得
∴的解析式为，
∴，
解得：，
∵，
∴；
当时，矩形的边与抛物线交于点，连接与轴交于点，如图，
则，
解得：或（舍去）．
综上，的取值范围为或或．年级
参加阅读人数
周一
周二
周三
周四
周五
七年级
八年级
合计