2024年吉林省长春市南关区九年级下学期质量调研题数学试题（一模）（原卷版+解析版）

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本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页，全卷满分120分．考试时间为120分钟．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 下列各数在数轴上表示的点距离原点最近的是（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最小即为距离原点最近， 即可作答．
【详解】解：∵在数轴上的位置距离原点最近，
∴绝对值最小的即为距离原点最近，
∵，，
又∵，
∴位置距离原点最近，
故选：C．
2. 国家统计局年月日发布了《中华人民共和国年国民经济和社会发展统计公报》．初步核算，全年国内生产总值为亿元．这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：．
3. 榫卯是我国古代木制建筑、家具等的主要结构方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据主视图是从正面观察到的图形，进行判断即可．
【详解】解：该几何体的主视图是：
．
故选：A．
4. 已知，下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了幂运算，解题关键是熟练掌握幂的运算法则；
根据同底数幂相乘、合并同类项、负指数和积乘方法则逐项计算即可．
【详解】解：A. ，计算正确，符合题意；
B. 不是同类项，不能合并，不符合题意；
C. 原计算错误，不符合题意；
D. 原计算错误，不符合题意；
故选：A．
5. 如图，、、、四点均在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理，，求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解，
本题考查了，圆周角定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
6. 如图，简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了简车的工作原理，简车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆的半径长为6米，．则简车盛水桶到达的最高点C到水面的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查垂径定理、解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形是解题的关键．连接交于点E，由题意和垂径定理得，利用锐角三角函数求得，再由求解即可．
【详解】解：连接交于点E，
由题意得，，
在中，，即，
∴，
∴简车盛水桶到达的最高点C到水面的距离是，
故选：B．
7. 如图，在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图知，平分，垂直平分运用垂直平分线性质，三角形内角和定理等角对等边性质求解即可．
【详解】由图知，平分，垂直平分
∴，故A选项正确，不符合题意；
∴，，
中，
∴
∴，故B项正确，不符合题意；
∵，
∴
∴，故C项正确，不符合题意；
∴
∴，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查尺规作角平分线和中垂线，三角形内角和定理，中垂线定理，角平分线定义，等角对等边性质，熟悉相关定理是解题的关键．
8. 如图，矩形的边在轴正半轴上，边在第一象限，，．当点在反比例函数的图象上时，的中点也恰好在的图象上．则的值是（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是解答本题的关键．设D点坐标为，则，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出即可求解．
【详解】解：设D点坐标为，则，
∵E是的中点，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 因式分解：x2+2x=_________．
【答案】x(x+2)．
【解析】
【分析】直接提取公因式x即可．
【详解】解：原式=x（x+2），
故答案为x（x+2）．
【点睛】此题考查的是提公因式法分解因式，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
10. 位于天定山的长春冰雪新天地年底普通成人票价为元/位，大学生票价为元/位，则位普通成人和位大学生的总票价为______元．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列代数式．理解题意，正确的列代数式是解题的关键．
由题意知，位普通成人和位大学生的总票价为元，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，位普通成人和位大学生的总票价为元，
故答案为：．
11. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
由根的判别式可直接得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
12. 如图，将一副直角三角板按图中方式摆放，保持两条斜边互相平行，则的度数为______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先由平行线的性质得到，再根据三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 我国木雕艺术历史悠久，如图的实物木雕图可以看作扇环形，其中，，，则此木雕所用扇环形木板材的面积为______．（结果用分数表示，保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积，用扇形的面积减去扇形的面积即可．
【详解】解：根据题意，得木雕所用扇环形木板材的面积为，
故答案为：．
14. 掷实心球是中考体育考试项目之一．小明在训练馆试掷时，鹰眼系统记录了他掷出的实心球在空中运动的轨迹，运动轨迹是抛物线的一部分（如下图）．根据运动的轨迹得到实心球运动的水平距离（米）与竖直高度（米）的数据如下表①：
表①：
表②：
长春市中考体育考试评分标准（男生版）如上表②，依此标准小明此次试掷的中考得分是______．
【答案】7.2
【解析】
【分析】由表①得抛物线顶点坐标为，设抛物线的解析式为，抛物线经过点，代入可得抛物线解析式，当时，得到的值，在表②找出对应的分数，即可求解，
本题考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练待定系数法求函数解析式及二次函数的性质解题．
【详解】解：由表①得在小明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2.25米，
由当时，；当时，，
可得对称轴为直线，
则当时，实心球在空中取得最大高度，
通过图表可得当时，，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
当时，，抛物线经过点，
把代入，得，解得，
∴抛物线的解析式为，
把代入，解得或（不符合题意，舍去），
由表②得，米对应分数为7.2，
故答案为：7.2．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的乘法混合运算，实数的混合运算，正确的计算是解题的关键．利用乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则进行化简，再把字母的取值代入即可．
【详解】解：
当时，．
16. 今年是甲辰龙年，同时也是中国红十字会成立120周年，为此中国邮政发行了特种含龙图案的邮票2枚和纪念邮票1枚．如图，现有三张正面印有这三枚邮票图案的不透明卡片、、，卡片除正面图案不同外其余均相同．将这三张卡片正面向下洗匀，小宇从中随机抽取两张卡片．请用画树形图或列表的方法，求小宇抽出的两张卡片都是龙图案的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可．
【详解】解：根据题意画出树状图，如图所示：
∵共有6种等可能的情况数，则两张卡片都是龙图案的情况数有2种，
∴两张卡片都是龙图案的概率为：．
故答案为：．
17. 刚过去的冬天最热门的地方莫过于哈尔滨冰雪大世界了，冰天雪地的环境吸引着众多游客的到来．春节期间李老师一家从长春乘坐高铁去哈尔滨，返回时乘坐大巴车．已知去时高铁行驶的路程为，比返回时大巴车行驶的路程多，而高铁的平均速度比大巴车平均速度的2倍还多，乘坐大巴车所花时间是乘坐高铁时间的2倍．求大巴车的平均速度．
【答案】大巴车的平均速度为．
【解析】
【分析】此题考查了分式方程的应用，设大巴车的平均速度为，列出，解方程检验即可，解题的关键读懂题意，列出分式方程．
【详解】解：设大巴车的平均速度为，
由题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：大巴车的平均速度为．
18. 如图，在中，，是的角平分线，点是的中点．过点作，作射线交于点，连结．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，直接写出矩形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）矩形的面积为60
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，根据正切求边长，全等三角形的性质与判定；
（1）证明，得出即可得证四边形是平行四边形，根据三线合一证明，即可证明四边形是矩形；
（2）根据已知条件得出，进而根据矩形的面积公式，即可求解．
【小问1详解】
证明：，
．
点是的中点
．
．
．
四边形是平行四边形．
又，是的角平分线，
．
四边形 是矩形．
【小问2详解】
解：∵，,是的角平分线，
∴
∵，
∴
∴矩形的面积为
19. 3月11日邯郸3名初中生杀人埋尸案发生后，为加强学生法治观念，某校开展了“普法知识”竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中，，，，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：
七年级组同学的分数分别为：94，91，93，90；
八年级组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：
（1）填空：______，______，______．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“普法知识”竞赛中，哪个年级学生成绩更好？请说明理由．（至少写出两条理由）
（3）该校七年级有学生400名，八年级有学生500名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生的总人数．
【答案】（1）92；94；
（2）八年级竞赛成绩更好，理由见解析
（3）估计这两个年级优秀学生的总人数约为565人
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是正确理解中位数与众数的定义．
（1）结合条形统计图、扇形统计图、七、八年级C组同学的分数，即可；
（2）对比中位数和优秀率，即可；
（3）求出七、八年级优秀人数，再相加即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴中位数是第10位、第11位的平均数，
观察条形统计图可得，中位数在C组，
∴，
观察扇形统计图和八年级C组同学的分数得：
，，
故答案为：92，94，；
【小问2详解】
解：八年级竞赛成绩更好，理由
根据题意得：八年级的中位数和优秀率比七年级高，
∴八年级竞赛成绩更好；
【小问3详解】
解：七年级优秀人数为（人），八年级优秀人数为（人），
（人），
∴这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为565人．
20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中画的中线．
（2）在图②边上找一点，连结，使平分的面积．
（3）在图③中的内部找一点，使．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析 （3）画图见解析
【解析】
【分析】（）找出线段的中点， 连接即可；
（）找出线段的中点， 连接即可；
（）通过相似三角形的性质作高的三等分点，连接，即可；
【小问1详解】
如图，根据网格特征找出中点，连接即可，
∴即为所求；
【小问2详解】
找出线段的中点， 连接即可，
∴即为所求；
【小问3详解】
根据网格特征可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点即为所求．
21. 子涵同学在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为的柜子里．她把碗按下图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里．
【探究发现】子涵同学测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表：
【建立模型】
（1）请根据表中信息，在如图②的平面直角坐标系中描出对应点，并指出这些点的分布规律．
（2）求与的函数关系式，并求当碗的个数量为12个时这摞碗的总高度．
【结论应用】请帮子涵同学算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？
【答案】[图见解析]；（1）这些点在一条直线上
（2）当碗的个数为12个时，这摞碗的总高度为22厘米
[结论应用]：一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
（1）描点并连线，观察这些点的分布特点；
（2）利用待定系数法求出与的函数关系式，将代入函数关系式，求出对应的值即可；
（3）将函数关系式代入，求出的最大值即可．
【详解】[建立模型]
解：（1）如图，
这些点在一条直线上．
（2）设与之间的函数关系式为．
将点、代入，得
解得
与之间的函数关系式为．
时，．
当碗的个数为12个时，这摞碗的总高度为22厘米．
[结论应用]
时，，
所以一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里．
22. 【问题提出】如图①，在正方形中，、分别是边和对角线上的点，，从而，______．
【思考探究】如图②，在矩形中，，，、分别是边和对角线上的点，，若，求的长．
【拓展延伸】如图③，在菱形中，，对角线，交的延长线于点，、分别是菱形高和对角线上的点，，，直接写出的长．
【答案】问题提出：
思考探究：
拓展延伸：
【解析】
【分析】[问题提出]根据正方形的性质得出，进而根据相似三角形的性质得出，即可求解；
[思考探究]证明得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据已知条件得出，进而即可求解；
[拓展延伸] 连接，设交于点，根据菱形的性质，勾股定理求得，进而得出，结合题意可得，即可得出，进而根据，得出，根据，得出，证明，即可证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：[问题提出]∵四边形是正方形，是对角线，
∴
∵
∴，
故答案为：．
[思考探究]解：如图②
在矩形中，
∵
∴，，
∵
∴，
∴
∴
∴
又∵，则
∴
∴
∵，，则，
∴
[拓展延伸]如图所示，连接，设交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵
∴，则，
∴，
∵
∴，即
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
解得：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
23. 如图，为菱形对角线的交点，，．动点从点出发，先沿以每秒5个单位长度的速度运动，然后沿以每秒个单位长度的速度继续运动．当点不与点、、重合时，过点作交于点，分别过点、作、的垂线，这两垂线相交于点．设点的运动时间为秒．
（1）求点到的距离并写出的正弦值．
（2）用含的代数式表示的长．
（3）当点在的内部时，求的取值范围．
（4）当点在菱形的一边上时，直接写出的值．
【答案】（1），
（2）当（或在上）时，．
当（或在上）时，．
当（或在上）时，
（3）
（4），，
【解析】
【分析】（1）如图1，过点D作于N，先根据勾股定理得：，最后利用面积法和正弦的定义可得结论；
（2）分两种情况：①当点P在边上时，如图2，根据等腰三角形的性质，判定和平行线的性质可得；②当点P在对角线上时，如图3，利用平行线分线段成比例定理可得的长；
（3）先计算分界点时t的值，当P在边上，且Q与O重合时，当P在边AD上，且点O在PM上，根据三角函数的定义可得t的值，从而得结论；
（4）存在三种情况：如图7，点M在边上，延长交于K；如图8，点M在边上，延长交于K；如图9，点M在边上，延长交于K；分别根据三角函数列式可解答．
【小问1详解】
解：（1）如图1，过点D作于N，
∵四边形是菱形，
∴，2，，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴4，
∴，即点D到的距离是4，
；
【小问2详解】
分两种情况：
①当点P在边上时，如图2，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当点P在对角线上时，如图3，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
当点P在对角线上时，如图4，
同理得：，
综上，；
【小问3详解】
当P在边上，且Q与O重合时，如图5，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴t；
当P在边上，且点O在上，如图6，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，当点O在的内部时，t的取值范围是：；
【小问4详解】
如图7，点M在边上，延长交于K，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知：，
由平行于，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴或(舍）；
如图8，点M在边上，延长交于K，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：t；
如图9，点M在边上，延长交于K，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
∴，
∴，
解得：t；
综上，t的值为或或．
【点睛】本题是四边形的综合题，涉及菱形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，菱形的面积等知识，以及分类讨论的数学思想，根据题意分类并作出对应的图形是解题关键．
24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（、是常数）经过点、，点在该抛物线上．
（1）求该抛物线对应的函数表达式并写出顶点的坐标．
（2）当点关于轴的对称点在直线上时，求的值．
（3）过点作轴于点，当时，在线段上取点，点坐标为，当的周长最小时，求这个最小值以及点的坐标．
（4）点也在该抛物线上，当抛物线在两点之间部分（含、两点）对应的函数最大值与最小值差为时，直接写出所有满足条件的的值．
【答案】（1），
（2）
（3）最小值为，交点
（4），
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）将点关于轴的对称点为代入直线的解析式即可；
（3）点关于直线的对称点为，关于轴的对称点，与的交点为，与轴的交点为时，的周长最小，最小值为，直线与直线的交点为；
（4）①当时，最大值为3，最小值为，可得；②当时，最大值为，最小值为，此时不存在；③当时，最大值为，最小值为，此时不存在；④当时，最大值为3，最小值为，解得；⑤当时，最大值为3，最小值为，此时无解．
【小问1详解】
解：将点、代入，
，
解得，
抛物线的解析式为，
，
顶点为；
【小问2详解】
解：点在该抛物线上，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
点关于轴的对称点为，
，
解得；
【小问3详解】
解：如图，
点关于直线的对称点为，关于轴的对称点，与的交点为，与轴的交点为时，的周长最小，最小值为，
直线的解析式为，
当时，解得，
，；
【小问4详解】
解：、在抛物线上，
，，，
当、重合时，，解得，
当点与抛物线顶点重合时，，当点与抛物线顶点重合时，，解得，
①当时，最大值为3，最小值为，
，
解得或（舍；
②当时，最大值为，最小值为，
，
解得（舍或（舍；
③当时，最大值为，最小值为，
，
解得（舍或（舍；
④当时，最大值为3，最小值为，
，
解得或（舍；
⑤当时，最大值为3，最小值为，
，
此时方程无解；
综上所述：的值为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离是解题的关键．水平距离（米）
0
2
4
5
6
7
竖直高度（米）
2.25
5.25
6.25
6
5.25
4
等级
单项得分
中考得分
掷实心球（米）
优秀
100
8.0
96
95
7.6
9.3
90
7.2
9
良好
85
6.8
8.7
80
6.4
8.4
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七
91
95
八
91
93
碗的个数（个）
1
2
3
4
5
这摞碗的总高度（厘米）
5.5
7
8.5
10
11.5