2022年北京市丰台区中考数学二模试卷（含解析）

2022年北京市丰台区中考数学二模试卷

一．选择题（本题共8小题，共16分）

1. 如图，下列水平放置的几何体中，侧面展开图是扇形的是

A.  B.
C.  D.

2. 年我国原油产量约亿吨，连续年回升．将用科学记数法表示应为

A.  B.  C.  D.

3. 如图，，，，的度数为

A.
B.
C.
D.

4. 下列多边形中，内角和最大的是

A.  B.  C.  D.

5. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是

A.  B.  C.  D.

6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是

A.  B.  C.  D.

7. 若为整数，且，则的值是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，某容器的底面水平放置，匀速地向此容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度与时间的函数关系的图象大致是

A.
B.
C.
D.
 

二．填空题（本题共8小题，共16分）

9. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是          ．
10. 方程的解是______ ．
11. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．
12. 如图，，是的切线，，为切点，点在上，若，则______

13. 如图，在平行四边形中，，分别是，的中点，连接只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是______写出一个即可．

14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，若点，的横坐标分别为，，则______．
    
     

15. 甲、乙两台包装机同时包装糖果，分别从中随机抽取袋，测得它们的实际质量单位：如表所示：

那么______包装机包装的袋糖果的质量比较稳定填“甲”或“乙”．

16. 某超市现有个人在收银台排队等候结账．设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速度也是固定的．若同时开放个收银台，需要分钟可使排队等候人数为；若同时开放个收银台，需要分钟可使排队等候人数为为减少顾客等待结账的时间，需要分钟内使排队等候人数为，则需要至少同时开放______个收银台．

三．计算题（本题共1小题，共5分）

17. 计算：

四．解答题（本题共11小题，共63分）

18. 解不等式组：．
19. 已知，求代数式的值．
20. 已知：如图，射线．
    求作：，使得，．
    作法：与在射线上任取一点不与点重合；
    以点为圆心，长为半径画弧，交射线于，两点；
    以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
    连接，．
    就是所求作的三角形．
    使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明：
    证明：连接．
    在中，．
    在中，．
    ．
    是等边三角形．
    ．
    是的直径，
    ____________填推理的依据．
    ．
    ．

21. 如图，在中，，，垂足为，，．
    求证：四边形是矩形；
    若，，求的长．
    
    
    
     

22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到．
    求这个一次函数的解析式；
    一次函数的图象与轴的交点为，函数的图象与一次函数的图象的交点为，记线段，，围成的区域不含边界为横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若区域内恰有个整点，直接写出的取值范围．
23. 如图，是的直径，为延长线上一点，过点作的切线，切点为，过点作于点，连接，．
    求证：；
    如果，，求的长．

24. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为单位：，竖直高度为单位：，下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据：

下面是小明的探究过程，请补充完整：
为观察与之间的关系，建立坐标系，以为横坐标，为纵坐标，描出表中数据对应的个点，并用平滑的曲线连接它们；

观察发现，中的曲线可以看作是______的一部分填“抛物线”或“双曲线”，结合图象，可推断出水平距离约为______结果保留小数点后一位时，甲运动员起跳后达到最高点；
乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点______填写“高”或“低”约______结果保留小数点后一位．

25. 年是中国共产主义青年团建团周年．某校团委组织七、八年级学生开展主题为“成团百年，勇当先锋”的团史知识学习活动．为了解这两个年级学生团史知识的学习情况，从七、八年级的学生中，各随机抽取了名学生进行测试，获得了他们的成绩百分制，且成绩均为整数，并对数据成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
    该校七年级抽取的学生测试成绩的数据的频数分布直方图如下数据分为组：，，，，：
    该校七年级抽取的学生测试成绩的数据在这一组的是：，，，，，
    该校七、八年级抽取的学生的测试成绩的数据的平均数、中位数、众数如下：

根据以上信息，回答下列问题：
写出表中的值；
此次测试成绩分及分以上为优秀．
记该校七年级抽取的学生中成绩优秀的人数是，八年级抽取的学生中成绩优秀的人数为比较，的大小，并说明理由；
该校七、八年级各有名学生，假设该校七、八年级学生全部参加此次测试，请估计成绩优秀的学生总人数直接写出结果．

26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
    求该抛物线的对称轴用含的式子表示；
    ，为该抛物线上的两点，若，，且，求的取值范围．
27. 如图，在中，，，是中点，连接点在线段上不与点，重合，连接，点在的延长线上且，连接．
    比较与的大小，并证明；
    用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

28. 在平面直角坐标系中，的半径为，为任意一点，为上任意一点．给出如下定义：记，两点间的距离的最小值为规定：点在上时，，最大值为，那么把的值称为点与的“关联距离”，记作．
    如图，点，，的横、纵坐标都是整数．
    ______；
    若点在线段上，求的取值范围；
    若点在直线上，直接写出的取值范围；
    正方形的边长为，若点在该正方形的边上运动时，满足的最小值为，最大值为，直接写出的最小值和最大值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、侧面展开图是三个长方形，故此选项不符合题意；
B、侧面展开图是四个长方形，故此选项不符合题意；
C、侧面展开图是一个长方形，故此选项不符合题意；
D、侧面展开图是扇形，故此选项符合题意．
故选：．
根据几何体的展开图：三棱柱的侧面展开图是三个长方形；四棱柱的侧面展开图是四个长方形；圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；可得答案．
本题考查了几何体的展开图，记住常用几何体的侧面展开图是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：，
故选：．
先确定的值是，再根据为整数位数减一确定，得到答案．
本题考查的是科学记数法表示较大的数，把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，科学记数法形式：，其中，为正整数．
 

3.【答案】

【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
根据“两直线平行，内错角相等”求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：三角形的内角和为；
B.四边形的内角和为；
C.五边形的内角和为：；
D.六边形的内角和为：；
故选：．
根据多边形的内角和公式求解即可．
此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：实数满足，
在数轴上，表示数的点应在表示数与数的两点之间，
在，，，中，只有符合题意，
故选：．
利用数轴上点位置可知，表示数的点应在表示数与数的两点之间，由此可求得结论．
本题主要考查了实数与数轴，正确理解实数与数轴上的点的一一对应关系是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：画树状图如图．

共有种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上的结果有种，
两枚硬币全部正面向上的概率为．
故选：．
列出所有等可能的结果，再根据概率公式求解即可．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
．
故选B．
根据算术平方根的性质估计．
本题考查无理数的估计，正确掌握算术平方根的性质是求解本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：因为根据图象可知，容器底部直径较大，上部直径较小，
故注水过程的水的高度是先慢后快，故选项C符合题意，
故选：．
根据图象可知，容器底部直径较大，上部直径较小，故注水过程的水的高度是先慢后快．
本题主要考查函数图象的知识，根据与的变化规律排除不合适的选项是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式进行计算即可求解．
本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

10.【答案】

【解析】解：，
，
，
检验：当时，，
原方程的解为．
故答案为：．
首先去掉分母，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．
此题主要考查了解分式方程，其中：
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；
解分式方程一定注意要验根．
 

11.【答案】

【解析】解：，，，
，
解得：．
故答案为．
关于的方程有两个不相等的实数根，即判别式即可得到关于的不等式，从而求得的范围．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

12.【答案】

【解析】解：，是的切线，，为切点，
，，
，
，
．
故答案为：．
先根据切线的性质得到，再利用四边形的内角和计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
 

13.【答案】答案不唯一

【解析】解：这个条件可以是，理由如下：，
四边形是平行四边形，
，
，分别是，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，
故答案为：答案不唯一．
先证四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：反比例函数与正比例函数都是关于原点成中心对称，
又直线与双曲线交于，两点，
，
，
故答案为：．
根据反比例函数与正比例函数的中心对称性可得，进一步计算即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的中心对称性是解题的关键．
 

15.【答案】甲

【解析】解：，
，
，
；
，
甲包装机包装袋糖果的质量比较稳定．
故答案为：甲．
根据平均数就是对每组数求和后除以数的个数；根据方差公式计算即可；方差大说明这组数据波动大，方差小则波动小，就比较稳定，依此判断即可．
本题主要考查了平均数、方差的计算以及它们的意义，正确记忆计算公式是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：设结账人数每分钟增加人，收银员每分钟给人结账，
依题意得：，
解得：．
设同时开放个收银台，
则，
解得：，
又为整数，
的最小值为．
故答案为：．
设结账人数每分钟增加人，收银员每分钟给人结账，根据“同时开放个收银台，需要分钟可使排队等候人数为；同时开放个收银台，需要分钟可使排队等候人数为”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可用含的代数式表示出，的值，设同时开放个收银台，根据需要分钟内使排队等候人数为，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式．

【解析】原式第一项利用绝对值的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项化为最简二次根式，第四项利用零指数幂法则计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为．

【解析】先分别求出两个不等式的解集，再写出不等式组的解集即可．
本题考查解不等式组，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小找不到无解．
 

19.【答案】解：，
，



．

【解析】利用已知方程，求得代数式的值是，整体代入后面化简后的式子即可．
本题考查了代数式的值，解题的关键是化简代数式，整体代入．
 

20.【答案】  直径所对的圆周角为直角

【解析】解：如图，为所求作；

完成下面的证明：
证明：连接，
在中，，
在中，，
，
是等边三角形，
，
是的直径，
直径所对的圆周角为直角，
，
．
故答案为：，直径所对的圆周角为直角．
根据几何语言画出对应的几何图形；
连接，先证明是等边三角形得到，再根据圆周角定理得到，然后利用互余计算得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
 

21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：，，，
，
，
，
，，
，
，
由可知，四边形是矩形，
，
即的长为．

【解析】先证四边形是平行四边形，再证，然后由矩形的判定即可得出结论；
由锐角三角函数定义得，，则，再由矩形的性质即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：函数的图象向下平移个单位长度得函数的图象，
一次函数的解析式为；
区域内恰有个整点，这两个整点为和，如图：

当函数的图象过时，，
当函数的图象过时，，
区域内不含边界，
由图可得区域内恰有个整点，的取值范围是．

【解析】由函数图象平移规律“上加下减，左加右减”直接得到一次函数的解析式；
画出图象，数形结合即可得到答案．
本题考查一次函数的综合应用，解题的关键是掌握函数图象的平移变换规律及数形结合思想的应用．
 

23.【答案】证明：如图，连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
解：设，则，
，
，
∽，
，
即，
，
是的直径，
，
，
，
，
∽，
，
即，
解得：负值已舍去，
即的长为．

【解析】连接，由切线的性质得，再证，得，然后由等腰三角形的性质得，即可得出结论；
设，则，，证∽，得，再由圆周角定理得，然后证∽，得，即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】抛物线    高 

【解析】解：如图所示：

由图象可知，曲线可看作抛物线的一部分，
设该抛物线的解析式为：，
将，，代入，得，
解得．
．
当时，最大，
当水平距离为时，取最高；
故答案为：抛物线；；
甲最高为，
，
故答案为：高；．
用光滑曲线将各个点连接起来即可；
观察图象可得出，曲线可看作抛物线的一部分，结合图象，可得出抛物线的解析式，即可得出甲运动员何时达到最高点；
在的基础上，可得出甲的最高点，再比较即可得出结论．
本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数的性质，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
 

25.【答案】解：七年级抽取了名学生，第，名学生的成绩为分，分，
分；
由七年级成绩可得，
八年级的中位数是，
，
；
人，
答：估计成绩优秀的学生总人数约为人．

【解析】根据七年级抽取了名学生，第，名学生的成绩为分，分，即可求出的值；
分别求出七、八两个年级的优秀学生人数，进而可得结论；
用样本的优秀率估计总体的优秀率，根据总人数和优秀率求得优秀人数．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
 

26.【答案】解：抛物线，
该抛物线的对称轴为直线；
当时，，
则，即；
当时，，
则，即；
当时，，
则，即，
综上，或．

【解析】根据抛物线对称轴公式：，即可得到答案；
分三种情况讨论，得到关于的不等式，解不等式即可．
本题考查二次函数的性质，二次函数上的点的特征，熟练掌握对称轴公式以及分类讨论思想的运用是解本题的关键；确定的范围是本题的难点．
 

27.【答案】解：，
理由如下：连接，

，是的中点，
垂直平分线段，，
即，
，
，
，
，，
，
；
．
证明：在线段上取一点，使得，连接，

，是的中点，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
．

【解析】连接，由等腰三角形的性质得出垂直平分线段，，证出，由等腰三角形的性质可得出结论；
在线段上取一点，使得，连接，证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
 

28.【答案】

【解析】解：到的距离的最小值，最大值，
，
故答案为：；
当在点处，，
当在点处，，
；
设，
，，
，
点在直线上，
设直线交轴于点，交轴于点，如图，
则时，，时，，
，，
，，
，
当时，最小，
，即，
，
无最大值，
；
如图，当正方形是的外切正方形时，的最小值是，

如图，有最大值，

则，
，
的最小值为，最大值为．
运用新定义“关联距离”，即可求得答案；
根据新定义“关联距离”，分别求出，，即可得出答案；
设，可得，，运用新定义“关联距离”，可得，再利用，即可求得答案；
分正方形与外切和一个顶点在上，对角线所在直线经过圆心两种情况，找出特殊位置，分别画出图形，即可得出答案．
此题考查考查了圆的性质和新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．