2024年北京市八一教育集团中考数学零模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年北京市八一教育集团中考数学零模试卷（含详细答案解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列立体图形中，主视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
2.2022年北京打造了一届绿色环保的冬奥会。张家口赛区按照“渗、滞、蓄、净、用、排”的原则，在古杨树场馆群修建了250000立方米雨水收集池，用于收集雨水和融雪水，最大限度减少水资源浪费。将250000用科学记数法表示应为( )
A. 0.25×105B. 2.5×105C. 2.5×104D. 25×104
3.如图，已知AB//CD，∠1=113∘，∠2=63∘，则∠C的度数是( )
A. 40∘
B. 45∘
C. 50∘
D. 60∘
4.−|−2021|的相反数为( )
A. −2021B. 2021C. −12021D. 12021
5.如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，BC=DC.若∠CBD=35∘，则∠ABD的度数为( )
A. 20∘
B. 35∘
C. 40∘
D. 70∘
6.一组数据：1，2，5，0，2，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
7.已知a，b均为正数，且 a2+b2， a2+4b2， 4a2+b2是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是( )
A. 32abB. abC. 12abD. 2ab
8.小明晚饭后出门散步，从家点O出发，最后回到家里，行走的路线如图所示．则小明离家的距离h与散步时间t之间的函数关系可能是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.如图所示的网格是正方形网格，△ABC是__________三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”)
10.因式分解mx2+2mx+m=______.
11.从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片(大小、形状完全相同)中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是______.
12.如图，在△ABC中，DE//BC，且BD=2AD，若DE=2，则BC边的长为_______.
13.某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：
根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为______双．
14.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC=2，DE=1，则S△ACD=__________.
15.如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD.添加一个适当的条件：当______时，四边形 ACBD为矩形.
16.某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如下表所示.若每台机器只完成一项工作，则完成五项工作的效益值总和的最大值为______.
三、解答题：本题共12小题，共91分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)|1− 3|−(4−π)0+2sin60∘+(14)−1；
(2)解不等式组：3x−2<2x2(1−2x)≤4x+10.
18.(本小题8分)
已知x2+2x−1=0，求代数式(x+1)2+x(x+4)+(x−3)(x+3)的值．
19.(本小题8分)
计算：
(1)(−12m2n)3⋅(−2mn)÷(2m3)；
(2)(a−2b)2−(a+3b)(a−3b).
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m(m+2)=0.
(1)试说明不论实数m取何值，方程总有实数根；
(2)如果当m=2时，α、β为方程的两个根，求α2−5α+β的值．
21.(本小题6分)
如图，已知：点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AB//DE，BE=CF.
(1)求证：AC=DF；
(2)求证：AC//DF.
22.(本小题5分)
某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图.
(1)则该班的总人数为______人，其中学生选 D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度；
(2)并补条形统计图；
(3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率.
23.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x与函数y=mx(x>0)的图象交于点A(1,2).
(1)求m的值；
(2)过点A作x轴的平行线l，直线y=2x+b与直线l交于点B，与函数y=mx(x>0)的图象交于点C，与x轴交于点D.
①当点C是线段BD的中点时，求b的值；
②当BC>BD时，直接写出b的取值范围．
24.(本小题8分)
某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
请解决以下问题：
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．
(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为______米(精确到0.1)；
(3)公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
25.(本小题8分)
如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC//AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD//AB，交AD于点D.连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD.
(1)判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=9，BC=6.求PC的长．
26.(本小题8分)
已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A(2,2).
(1)用含a的代数式表示b=______；
(2)若直线y=x与抛物线y=ax2+bx+2相交所得的线段长为3 22，求a的值；
(3)若抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于M(x1,0)和N(x2,0)两点(x10，直接写出a的取值范围.
27.(本小题8分)
如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC=2，点M为BC中点．点P为AB边上一动点，点D为BC边上一动点，连接DP，以点P为旋转中心，将线段PD逆时针旋转90∘，得到线段PE，连接EC.
(1)当点P与点A重合时，如图2.
①根据题意在图2中完成作图；
②判断EC与BC的位置关系并证明．
(2)连接EM，写出一个BP的值，使得对于任意的点D总有EM=EC，并证明．
28.(本小题8分)
对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR使得S△PQR=PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ的“等幂点”.
(1)已知A(2,0)，若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；
(2)已知点C的坐标为C(2,−1)，点D在直线y=x−3上，记图形M为以点T(1,0)为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分.若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形”△CDE为锐角三角形，直接写出点D的横坐标xD的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、C、D主视图是矩形，故A、C、D不符合题意；
B、主视图是三角形，故B正确；
故选：B.
根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图．
本题考查了简单几何体的三视图，圆锥的主视图是三角形．
2.【答案】B
【解析】解：250000=2.5×105.
故选：B.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查平行线的性质，三角形内角和，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
根据平行线的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】
解：∵AB//CD，
∴∠1=∠FGD=113∘，
∴∠FGC=180∘−113∘=67∘，
∴∠C=180∘−67∘−63∘=50∘，
故选：C.
4.【答案】B
【解析】解：∵−|−2021|=−2021，
∴−2021的相反数为2021.
故选：B.
根据绝对值的定义、相反数的定义解题即可．
本题考查绝对值的定义、相反数的定义．
5.【答案】A
【解析】解：如图，连接OC，OD，
∵∠CBD=35∘，
∴∠COD=2∠CBD=2×35∘=70∘，
∵BC=DC，
∴∠BOC=∠COD=70∘，
∴∠AOD=180∘−∠BOC−∠COD=180∘−70∘−70∘=40∘，
∴∠ABD=12∠AOD=20∘，
故选：A.
根据圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系易得∠BOC=∠COD=70∘，从而求得∠AOD的度数，再利用圆周角定理即可求得答案．
本题主要考查圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，利用其求得∠BOC，∠BOD的度数为解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A不符合题意；
B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B不符合题意符；
C、原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与不符合题意；
D、原来数据的方差S2=(1−2)2+2×(2−2)2+(5−2)25=2，
添加数字2后的方差S2=(1−2)2+3×(2−2)2+(5−2)26=53，故方差发生了变化，故D符合题意．
故选：D.
依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
本题主要考查的是统计量的选择，众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：如图：
在矩形ABCD中，E、F分别为AD、AB的中点，
设AD=2b，AB=2a，
∴EF= a2+b2，CE= 4a2+b2，CF= a2+4b2，
∴S△CEF=S矩形ABCD−S△AEF−S△BCF−S△CDE=(2a)⋅(2b)−12ab−12×2ba−12×2ba=32ab.
故选：A.
构造矩形ABCD，E、F分别为AD、AB的中点，设AD=2b，AB=2a，将所求三角形面积转化为S△CEF=S矩形ABCD−S△AEF−S△BCF−S△CDE即可求解．
本题考查二次根式的应用；能够通过构造矩形及直角三角形，将所求三角形的面积转化为矩形和直角三角形的面积是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：根据函数图象可知，小明距离家先逐渐远去，有一段时间离家距离不变说明他走的是一段弧线，之后逐渐离家越来越近直至回家，分析四个选项只有C符合题意．
故选：C.
根据小明的行走路线，判断小明离家的距离，由此再得出对应的函数图象即可．
本题主要考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息．
9.【答案】锐角
【解析】解：∵AB2=32+12=10，AC2=12+42=17，BC2=32+42=25，
∴AB2+AC2>BC2，
∴△ABC为锐角三角形，
故答案为：锐角．
根据三边的长可作判断．
本题考查了三边的关系，会利用三边关系确定三角形的形状：若三角形的三边分别为a、b、c，①当a2+b2>c2时，△ABC为锐角三角形；②当a2+b210.【答案】m(x+1)2
【解析】解：原式=m(x2+2x+1)
=m(x+1)2，
故答案为：m(x+1)2.
提公因式m后，再利用完全平方公式进行计算即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
11.【答案】15
【解析】【分析】
在“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中只有1张写有“加”字，利用概率公式计算可得．
本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：∵在“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中只有1张写有“加”字，
∴这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是15，
故答案为：15.
12.【答案】6
【解析】解：∵DE//BC，
∴ADAB=DEBC，
∵BD=2AD，
∴ADBD=12，
∴ADAB=13，
∴DEBC=13，
∵DE=2，
∴BC=6.
故答案为：6.
由DE//BC可知AD：AB=DE：BC，根据BD=2AD，DE=2，可求出BC的长．
本题主要考查平行线分线段成比例，根据平行找出线段之间的比例关系是解题关键．
13.【答案】120
【解析】解：根据统计表可得，39号的鞋卖的最多，
则估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为1240×400=120(双).
故答案为：120.
应用用样本估计总体的方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法进行求解是解决本题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=1，
∵AC=2，
∴S△ACD=12AC⋅DF
=12×2×1
=1，
故答案为：1.
过点D作DF⊥AC，垂足为F，根据角平分线的性质可得DE=DF=1，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15.【答案】O是AB的中点
【解析】解：添加条件为：O是AB的中点，理由如下：
∵CD//MN，
∴∠OCB=∠CBM，
∵BC平分∠ABM，
∴∠OBC=∠CBM，
∴∠OCB=∠OBC，
∴OC=OB，
同理可证：OB=OD，
∴OB=OC=OD，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵CD=OC+OD，AB=OA+OB，
∴AB=CD，
∴平行四边形ACBD是矩形，
故答案为：O是AB的中点．
证∠OCB=∠OBC，则OC=OB，同理OD=OB，再由OA=OB，证出四边形ACBD是平行四边形，然后证AB=CD，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】79
【解析】解：由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取得；
要使总和最大，甲可以承担第二或四项工作，得效益值17；丙只能承担第三项工作，得效益值14，；丁则不可以承担第三项工作，所以丁承担第五项工作，得效益值11；
①乙若承担第二项工作，戊承担第一项工作，甲承担第四项工作，此时效益值总和为17+23+14+11+13=78；
②乙若不承担第二项工作，则承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，此时效益值总和为17+22+14+11+15=79，
∴甲承担第二项，乙承担第一项，丙承担第三项，丁承担第五项，戊承担第四项工作时，完成五项工作的效益值总和的最大值是79，
故答案为：79.
由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取得，再分类讨论，得出乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，效益值总和取最大．
本题考查简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)|1− 3|−(4−π)0+2sin60∘+(14)−1
= 3−1−1+2× 32+4
= 3−1−1+ 3+4
=2 3+2；
(2)3x−2<2x2(1−2x)≤4x+10，
解第一个不等式得x<2，
解第二个不等式得x≥−1.
故不等式组的解集为−1≤x<2.
【解析】(1)根据绝对值的性质，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂计算即可求解；
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
18.【答案】解：(x+1)2+x(x+4)+(x−3)(x+3)
=x2+2x+1+x2+4x+x2−9
=3x2+6x−8，
∵x2+2x−1=0，
∴x2+2x=1，
∴原式=3(x2+2x)−8
=3×1−8
=3−8
=−5.
【解析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式化简，再将已知变形代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算-化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．
19.【答案】解：(1)原式=(−18m6n3)⋅(−2mn)÷(2m3)
=18m4n4；
(2)原式=a2−4ab+4b2−a2+9b2
=−4ab+13b2.
【解析】(1)原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可求出值；
(2)原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算，去括号合并即可得到结果．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：
(1)∵x2−2(m+1)x+m(m+2)=0，
∴△=[−2(m+1)]2−4m(m+2)=4>0，
∴不论实数m取何值，方程总有实数根；
(2)当m=2时，其方程为x2−6x+8=0，
∵α、β为方程的两个根，
∴α2−6α=−8，α+β=5，
∴α2−5α+β=α2−6α+α+β=−8+5=−3.
【解析】(1)计算其判别式，判断出其符号即可；
(2)当m=2时，其方程为x2−6x+8=0，利用方程根的定义可求得α2−6α=−8，α+β=5，代入求值即可．
本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵AB//DE，
∴∠ABC=∠DEF，
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BC=EF，
∴在△ABC和△DEF中，
BC=EF∠ABC=∠DEFAB=DE，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴AC=DF；
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴AC//DF，
【解析】(1)根据平行线的性质得到∠ABC=∠DEF，再利用线段的数量关系线段相等，进而得到△ABC≌△DEF，最后根据全等三角形的性质即可解答；
(2)利用全等三角形的性质得到∠ACB=∠DFE，再利用平行线的判定即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】50 72
【解析】解：(1)该班的总人数为15÷30%=50(人)，
其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是360∘×1050=72∘，
故答案为：50，72；
(2)选B“足球”的人数为：50×12%=6(人)，
∴选E“乒乓球”的人数为：50−15−6−9−10=10(人)，
补全条形统计图如下：
(3)把该班班委4人中，2人选修篮球分别记为A、B，1人选修足球记为C，1人选修排球D，
画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种，即AC、BC、CA、CB，
∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为412=13.
(1)由选A“篮球”的人数除以所占百分比得出该班的总人数，即可解决问题；
(2)求出选B“足球”和选E“乒乓球”的人数，补全条形统计图即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：(1)把A(1,2)代入函数y=mx(x>0)中，
∴2=m1.
∴m=2；
(2)①过点C作x轴的垂线，交直线l于点E，交x轴于点F.
当点C是线段BD的中点时，
∴CE=CF=1.
∴点C的纵坐标为1，
把y=1代入函数y=2x中，
得x=2.
∴点C的坐标为(2,1)，
把C(2,1)代入函数y=2x+b中得：1=4+b，
得b=−3，
②当BC>BD时，b>3.
【解析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例的解析式，求得C点的坐标是解题的关键．
(1)根据待定系数法求得即可；
(2)①根据题意求得C点的坐标，然后根据待定系数法即可求得b的值；
②当C在AB上方时，且BC=BD时，即点B是线段CD的中点时，同理可得C点纵坐标为4，
∴C点横坐标为12，即点C的坐标为(12,4)，
把C(12,4)代入函数y=2x+b中得：4=1+b，b=3，
∴当BC>BD时，b>3.
24.【答案】解：(1)如图所示：
(2)6.7
(3)当x=3−1.5=1.5时，y=−0.4×2.25+5.6=4.7>4.5，
答：游船没有被喷泉淋到的危险．
【解析】解：(1)见答案；
(2)由图象可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米；
根据图象设二次函数的解析式为y=a(x−3)2+5.6，
将(0,2)代入y=a(x−3)2+5.6得a=−0.4，
∴抛物线的解析式为y=−0.4(x−3)2+5.6，
当y=0时，0=−0.4(x−3)2+5.6，
解得x=3+ 14≈6.7或x=3− 14(舍去)，
所以喷泉的落水点距水枪的水平距离约为6.7米，
故答案为：6.7；
(3)见答案．
(1)建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；
(2)观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的坐标，设二次函数的顶点式，求解即可；
(3)把x=1.5代入关系式，计算出y的值与4.5比较即可．
本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型．
25.【答案】解：(1)PC与圆O相切，理由为：
过C点作直径CE，连接EB，如图，
∵CE为直径，
∴∠EBC=90∘，即∠E+∠BCE=90∘，
∵AB//DC，
∴∠ACD=∠BAC，
∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD.
∴∠E=∠BCP，
∴∠BCP+∠BCE=90∘，即∠PCE=90∘，
∴CE⊥PC，
∴PC与圆O相切；
(2)∵AD是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AD，
∵BC//AD，
∴AM⊥BC，
∴BM=CM=12BC=3，
∴AC=AB=9，
在Rt△AMC中，AM= AC2−CM2=6 2，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM−r=6 2−r，
在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，即32+(6 2−r)2=r2，解得r=27 28，
∴CE=2r=27 24，OM=6 2−27 28=21 28，
∴BE=2OM=21 24，
∵∠E=∠MCP，
∴Rt△PCM∽Rt△CEB，
∴PCCE=CMEB，
即PC27 24=321 24，
∴PC=277.
【解析】(1)过C点作直径CE，连接EB，由CE为直径得∠E+∠BCE=90∘，由AB//DC得∠ACD=∠BAC，而∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，于是∠BCP+∠BCE=90∘，然后根据切线的判断得到结论；
(2)根据切线的性质得到OA⊥AD，而BC//AD，则AM⊥BC，根据垂径定理有BM=CM=12BC=3，根据等腰三角形性质有AC=AB=9，在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM=6 2；
设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM−r=6 2−r，在Rt△OCM中，根据勾股定理计算出r=27 28，则CE=2r=27 24，OM=6 2−27 28=21 28，利用中位线性质得BE=2OM=21 24，然后判断Rt△PCM∽Rt△CEB，根据相似比可计算出PC.
本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质．
26.【答案】−2a
【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+2的图象经过点A(2,2)，
∴4a+2b+2=2，
∴b=−2a，
∴y=ax2−2ax+2，
故答案为：b=−2a；
(2)∵直线y=x与抛物线y=ax2+bx+2相交所得的线段长为3 22，
∴ax2−2ax+2=x，
∴ax2−(2a+1)x+2=0，
∴设两个交点为C(m,m)和D(n,n)，线段长为T，
∴m+n=2a+1a，mn=2a，
∴T2=2(m−n)2=2(m+n)2−8mn，
∴(2a+1a)2−8a=94，
∴a=2或者a=27，
答：a=2或者a=27；
(3)∵抛物线y=ax2+bx+2与x轴有两个交点，
∴当ax2−2ax+2=0时，Δ=4a2−8a>0，
∴a<0或a>2，
①当a>2时，
∵抛物线y=ax2+bx+2恒经过点A(2,2)和(0,2)，
∴x2>x1>0，
∴2x1+x2>0恒成立，
②当a<0时，
∵抛物线y=ax2−2ax+2与x轴交于M(x1,0)和N(x2,0)两点，
∴x1+x2=2，x1⋅x2=2a，
∵2x1+x2>0，
∴x1>−2，
∵当x=−2时，y=8a+2<0，
∴a<−14，
答：a的取值范围为a<−14或a>2.
(1)将点A(2,2)代入抛物线y=ax2+bx+2，可以推导出系数a，b直接的关系；
(2)因为直线与抛物线有两个交点，所以利用两点之间的距离公式和韦达定理可以求出a的值；
(3)抛物线与x轴有两个交点，所以首先利用根的判定公式可以推导出a的范围，在分类讨论a在不同取值范围内是否符合要求；
本题考查的重点是用待定系数法求二次函数的解析式，利用根与系数之间的关系解题．
27.【答案】解：(1)①图形如图2中所示：
②结论：EC⊥BC.
理由：∵AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠B=∠ACB=45∘，
∵∠EAD=∠BAD=90∘，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠B=∠ACE=45∘，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90∘，
∴EC⊥BC.
(2)当BP=23时，总有EM=EC.
理由：如图3中，作PS⊥BC于S，作PN⊥PS，并使得PN=PS，连接NE，延长NE交BC于Q，连接EM，EC.
∵PD=PE，∠DPE=∠SPN=90∘，
∴∠DPS=∠EPN，
∵∠PSD=∠N=90∘，
∴△DPS≌△EPN(AAS)，
∴PH=PS，∠PSD=∠N=90∘，
∵∠PEQ=//PSQ=∠SPN=90∘，
∴四边形PNQS是矩形，
∵PS=PN，
∴四边形PNQS是正方形，
∵BP=23，∠B=45∘，AB=2，
∴BS=PS=3 24，BC=2 2，
∴BQ=2BS=3 22，QC= 22，
∵M是BC的中点，
∴MC= 2，
∴MQ=QC= 22，
∵EQ⊥CM，
∴NQ是CM的垂直平分线，
∴EM=EC.
【解析】(1)①根据要求画出图形即可．
②结论：EC⊥BC.证明△BAD≌△CAE，推出∠ACE=∠B=45∘即可解决问题．
(2)当BP=23时，总有EM=EC.如图3中，作PS⊥BC于S，作PN⊥PS，并使得PN=PS，连接NE，延长NE交BC于Q，连接EM，EC.通过计算证明QM=QC，利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28.【答案】解：(1)如图，
∵△OAB是线段 OA 的“等幂三角形”，
∴S△OAB=OA2，
∵点A(2,0)，
设△OAB中OA边上的高为h，
S△OAB=12×OA×h=12×2×h=4，
∴h=4，
∴点B 在直线y=4或y=−4上，
又∵△OAB是等腰三角形，
∴点B在半径为2的⊙O上，或在半径为2的⊙A上，或线段OA的垂直平分线上，
综上，点B的坐标为(1,4)或(1,−4)；
(2)如图，
第一个临界点，当点E1和E2在⊙T上，等幂三角形刚好是直角三角形，E1(1,2)，E2(−1,0)，
∴E1E2平行于直线y=x−3，过点E1，E2作直线的垂线D1D2，设CD1=a，D1E1=2a，
在Rt△E1D1C中，CD12+D1E12=CE12，
即a2+(2a)2=( 10)2，
解得a= 2，则CD1= 2，
根据对称性可知CD2= 2，
作CM//x轴，D1M//y轴，则∠D1CM=45∘，
∴CM= 22CD1=1，
∴xD1=xM=3，
同理可得xD2=1，
如图，
第二个临界点，E3E4平行于直线y=x−3，与相切于点E5，等幂三角形刚好是直角三角形，CE5=2+ 2，
则E3E5=12CE5=2+ 22，
∴CE3=E3E5=2+ 22，
则xD3=xC+ 22CD1= 2+52，
同理可得xD4=3− 22，
结合图象可知：3− 22【解析】(1)设△OAB中OA边上的高为h，根据“等幂三角形”的定义知，h=4，从而得出点B的坐标；
(2)找出△CDE为直角三角形的第一个临界点，当点E1和E2在⊙T上，等幂三角形刚好是直角三角形，E1(1,2)，E2(−1,0)，第二个临界点，E3E4平行于直线y=x−3，与相切于点E5，等幂三角形刚好是直角三角形，CE5=2+ 2，分别画出图形，从而解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了“等幂三角形”的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆的相关性质等知识，读懂定义，找到△△CDE为直角三角形时点D的坐标是解决问题(2)的关键．鞋号
35
36
37
38
39
40
41
42
43
销售量/双
2
4
5
5
12
6
3
2
1
工作
效益
机器
一
二
三
四
五
甲
15
17
14
17
15
乙
22
23
21
20
20
丙
9
13
14
12
10
丁
7
9
11
9
11
戊
13
15
14
15
11
d(米)
0
1
2
3
4
…
h(米)
2.0
4.0
5.2
5.6
5.2
…