2023-2024学年重庆市七校联盟八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市七校联盟八年级（下）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 8B. 13C. 7D. −3
2.在下列四组数中，属于勾股数的是( )
A. 1，2，3B. 1， 2， 3C. 4，5，6D. 5，12，13
3.估计( 12+2 6)÷ 3的值应在( )
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
4.下列四个命题中，是假命题的是( )
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，若S1=5，S2=15，则S3的值是( )
A. 5
B. 8
C. 10
D. 16
6.如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1,3)，则CE的长是( )
A. 3B. 2 2C. 10D. 4
7.已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家.图中x表示张强离家的时间，y表示张强离家的距离，则下列结论正确的是( )
A. 张强从家到体育场用了30minB. 体育场离文具店1.5km
C. 张强在体育场锻炼了15minD. 张强从文具店回家的速度是30011m/min
8.如图函数解析式“y=−kx+b”，那么“y=2bx−k”的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，已知正方形ABCD的边长为3，点M在DC上，DM=1，点N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是( )
A. 3
B. 4
C. 13
D. 11
10.已知有序整式串：m−n，m，对其进行如下操作：
第1次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新的整式串：−n，m−n，m；
第2次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新的整式串：−m，−n，m−n，m；
依次进行操作.下列说法：
①第3次操作后得到的整式串为：−m+n，−m，−n，m−n，m；
②第11次操作得到的新整式与第22次得到的新整式相等；
③第2024次操作后得到的整式串各项之和为m−2n．
其中正确的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.在函数y= x−2中，自变量x的取值范围是 ．
12.已知点(−1,m)，(3,n)都在直线y=−2x+1上，则m ______n.(填“>”“<”或“=”)．
13.如图，一次函数y=−x+b与y=x+2的图象相交于点M(2,4)，则关于x的一元一次不等式−x+b>x+2的解集为______．
14.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，菱形ABCD的周长为20，AC=8，DE⊥BC于E，连接OE，则OE= ______．
15.如图，在▱ABCD中，∠C=120°，AB=2，AD=2AB，点H，G分别是边DC，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为______．
16.如图，正方形ABCD边长为6，点E为CD边的中点，连按BE，将△BCE沿BE翻折得到△BFE，延长BF交AD于点G，则AG长为______．
17.若一次函数y=(a+4)x+a+2与y轴交于负半轴，关于x的不等式组5x−a3−x≤33x<2x+1的解集为x<1，则符合条件的所有整数a的和为______．
18.若一个四位正整数abcd−的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“吉祥数”，那么最大的“吉祥数”为______；将一个“吉祥数”M的前两位数字组成的两位数ab−记为s，后两位数字组成的两位数cd−记为t，规定F(M)=s+t9，G(M)=s−t3，若F(M)、G(M)都是整数，则满足条件的M的最大值为______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1) 8+ 27÷ 3− 3× 6；
(2)( 7+ 5)( 7− 5)+( 3− 2)2．
20.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E是∠DAB的角平分线与BD的交点，小谷想在平行四边形ABCD里面再剪出一个以AE为边的平行四边形，小谷的思路是：做∠BCD的角平分线，将其转化为证明三角形全等，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形使问题得到解决，请根据小谷的思路完成下面的作图与填空：
(1)用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的角平分线与BD交于点F，连接AF，CE.(保留作图痕迹，不写作法，不下结论)
(2)根据(1)中作图，求证：四边形AECF为平行四边形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，① ______．
∴② ______．
∵AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD．
∴∠DAE=12∠DAB，∠BCF=12∠BCD．
∴③ ______．
∵在△AED与△CFB中，
∵∠DAE=∠BCFAD=BC∠ADE=∠CBF，
∴△AED≌△CFB(ASA)．
∴AE=CF，④ ______．
∴180°−∠AED=180°−∠CFB，即∠AEF=∠CFE，
∴⑤ ______．
∴四边形AECF为平行四边形．
21.(本小题10分)
如图，直线l1经过A(−3,2)，B(−2,0)．
(1)求直线l1的解析式；
(2)直线l2的解析式为y=13x−53与直线l1交于点D，与x轴交于点C，求△BDC的面积．
22.(本小题10分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE/​/AC，AE/​/BD，OE与AB交于点F．
(1)求证：四边形AEBO的为矩形；
(2)若OE=10，AC=16，求菱形ABCD的面积．
23.(本小题10分)
在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西54°方向上，港口与灯塔C的距离是80海里，港口B在灯塔C的南偏西36°方向上，港口与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时．
(1)货船从A港口航行到B港口需要多少时间；
(2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1.2小时才符合航行安全标准，这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？
24.(本小题10分)
如图1，在Rt△ABC中，AB=BC=4，动点Q以1个单位长度每秒的速度从C点出发，沿C→B→A运动，到达A停止运动，设点Q的运动时间为x秒，△QAC的面积为y，请解答以下问题：
(1)求出y关于x的函数关系式并注明x的取值范围；
(2)在图2中画出y的函数图象；
(3)根据图象直接写出当△QAC面积等于6时对应x的值．
25.(本小题10分)
如图，一次函数y=−4x−8与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C在y轴正半轴上且OC=12OB，直线y=kx+b过A，C两点．
(1)求直线AC的解析式；
(2)直线AC上是否存在点M，使得S△BCM=8S△AOC，若存在，求出点M的坐标，若不存在说明理由；
(3)如图2，点D是x轴正半轴上一点且OD=OC，点N是y轴上的一点，使得直线DN与直线DB所成的夹角等于∠ABC与∠ACB的和，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
26.(本小题10分)
已知△ABC是等边三角形，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为边在直线AD右侧作等边△ADE．

(1)如图1，点D在线段BC上，连接CE，若AB=6，且CE=2，求线段AD的长；
(2)如图2，点D是BC延长线上一点，过点E作EF⊥AC于点F，求证：CF=AF+CD；
(3)如图3，若AB=8，点D在射线BC上运动，取AC中点G，连接EG，请直接写出EG的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 8=2 2被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 13= 33被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 7是最简二次根式，符合题意；
D、 −3不是二次根式，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的定义进行解题即可．
本题主要考查了最简二次根式的定义，满足被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、1+2=3，不能构成三角形，不符合题意；
B、 2， 3不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、42+52≠62，故不是勾股数，不符合题意；
D、52+122=132，故是勾股数，符合题意；
故选：D．
根据勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可．
本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：( 12+2 6)÷ 3=2+ 8，
∵2< 8<3，
∴4<2+ 8<5，
∴( 12+2 6)÷ 3的值应在4和5之间．
故选：B．
先计算二次根式的除法，再估算出 8的取值范围，从而得出答案．
本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，是真命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确，是真命题，不符合题意，
故选：B．
利用平行四边形及特殊的平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的性质，难度不大．
5.【答案】C
【解析】解：∵S1=5，S2=15，S1，S2，S3分别表示三个正方形的面积，
∴BC2=5，AB2=15，
∵∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∴AC2=15−5=10，
∴S3=AC2=10，
故选：C．
根据题意和题目中的图形，可以发现S1=BC2，S2=AB2，S3=AC2，再根据S1=5，S2=15以及AC2+BC2=AB2，即可得到S3的值．
本题主要考查了勾股定理，掌握勾股定理是关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
根据勾股定理求得OD= 10，然后根据矩形的性质得出CE=OD= 10．
【解答】
解：∵四边形COED是矩形，
∴CE=OD，
∵点D的坐标是(1,3)，
∴OD= 12+32= 10，
∴CE= 10，
故选：C．
7.【答案】C
【解析】解：由图可得：
张强从家到体育场用了15min，故A选项错误，不符合题意；
体育场离文具店2.5−1.5=1km，故B选项错误，不符合题意；
张强在体育场锻炼了30−15=15min，故C选项正确，符合题意；
张强从文具店回家的速度是1500÷(100−65)=150035=3007m/min，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
根据函数图象提供的信息，进行计算，逐项判断即可得解．
本题考查了从函数图象中获取信息，读懂函数图象，采用数形结合的思想是解此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵一次函数y=−kx+b的图象经过第一，二，四象限，
∴−k<0，b>0，
∴2b>0，
∴一次函数y=2bx−k的图象经过第一，三，四象限．
故选：B．
首选根据一次函数y=−kx+b的图象得−k<0，b>0，进而得2b>0，由此可得一次函数y=2bx−k的图象经过第一，三，四象限，据此即可得出答案．
此题所考查的知识点是一次函数的图象与系数之间的关系，一般情况下：一次函数y=kx+b(k≠0,b≠0)，①当k>0且b>0时，函数的图象经过第一、二、三象限；②当k>0且b<0时，函数的图象经过第一、三、四象限；③当k<0且b<0时，函数的图象经过第二、三、四象限；④当k<0且b>0时，函数的图象经过第一、二、四象限；反之亦成立．
9.【答案】C
【解析】解：连接BN，BM，
∵对角线AC所在直线是正方形ABCD的一条对称轴，
∴BN=DN，
∴DN+MN=BN+MN≥BM，
∴DN+MN的最小值为BM的长，
∵四边形ABCD是边长为3的正方形，DM=1，
∴BC=3，CM=CD−DM=3−1=2，
在Rt△BMC中，
BM= BC2+CM2= 32+22= 13，
∴DN+MN的最小值为 13，
故选：C．
连接BN，BM，先由对称性得出DN+MN的最小值为BM的长，再由勾股定理求出BM的长即可．
本题考查轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，用一条线段的长表示出两线段和的最小值是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：第3次操作后得到的整式串为：−m+n，−m，−n，m−n，m，故①正确；
第1次操作后得到的整式为：−n，
第2次操作后得到的整式为：−m，
第3次操作后得到的整式为：−m+n，
第4次操作后得到的整式为：n，
第5次操作后得到的整式为：m，
第6次操作后得到的整式为：m−n，
第7次操作后得到的整式为：−n，...
∴得到的整式每6次一循环，
11÷6=，22÷6=，
∴第11次操作得到的新整式与第22次得到的新整式不相等，故②错误；
第1次操作后得到的整式串各项之和为：2m−2n，
第2次操作后得到的整式串各项之和为：m−2n，
第3次操作后得到的整式串各项之和为：−n，
第4次操作后得到的整式串各项之和为：0，
第5次操作后得到的整式串各项之和为：m，
第6次操作后得到的整式串各项之和为：2m−n，
第7次操作后得到的整式串各项之和为：2m−2n，...
∴得到的整式串各项之和每6次一循环，
2024÷6=，
∴第2024次操作后得到的整式串各项之和为：m−2n，故③正确．
故选：C．
按照题中规律向后推算，找到其规律是每6次变化一循环，再求出相应的次数的结果即可解题．
本题考查了整式加减，找到题中整式的变化规律是解题关键．
11.【答案】x≥2
【解析】解：在函数y= x−2中，有x−2≥0，解得x≥2，
故其自变量x的取值范围是x≥2．
故答案为x≥2．
根据二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0即可求解．
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12.【答案】>
【解析】解：∵k=−2<0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点(−1,m)，(3,n)都在直线y=−2x+1上，且−1<3，
∴m>n．
故答案为：>．
由k=−2<0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合−1<3，即可得出m>n．
本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
13.【答案】x<2
【解析】解：由所给函数图象可知，
当x<2时，一次函数y=−x+b的图象在一次函数y=x+2图象的上方，即−x+b>x+2，
所以关于x的一元一次不等式−x+b>x+2的解集为：x<2．
故答案为：x<2．
利用数形结合的数学思想即可解决问题．
本题考查一次函数与一元一次不等式，数形结合数学思想的巧妙运用是解题的关键．
14.【答案】3
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，
∴AB=BC=CD=AD，OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，
∴菱形ABCD的周长为20，
∴AB=5，
∴根据勾股定理得，OB= AB2−OA2= 52−42=3，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴OE=12BD=OB=3．
故答案为：3．
由菱形的性质得AB=BC=CD=AD，OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，再由直角三角形斜边上的中线性质得OE=BD=OB=3．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出AB的长是解题的关键．
15.【答案】 32
【解析】解：如图，连接AG，过点A作AG′⊥BC于G′，
∵点E为AH的中点，点F为GH的中点，
∴EF是△AGH的中位线，
∴EF=12AG，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠B=60°，
∴∠BAG′=30°，
∴BG′=12AB=1，
由勾股定理得：AG′= AB2−G′B2= 3，
由垂线段最短可知，当点G在G′位置时，AG最小，
∴EF的最小值为 32，
故答案为： 32．
连接AG，过点A作AG′⊥BC于G′，根据三角形中位线定理得到EF=12AG，根据直角三角形的性质求出BG′，根据勾股定理求出AG′，进而求出EF的最小值．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、垂线段最短，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
16.【答案】92
【解析】解：如图，连接EG，
由折叠可得，∠C=∠BFE=90°，EF=CE，BC=BF，
∴∠EFG=∠D=90°，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
∴EF=DE，
又∵GE=GE，
∴Rt△DEG≌Rt△FEG(HL)，
∴DG=FG，
设DG为x，则FG=x，BG=6+x，AG=6−x，
由勾股定理得：BG2=AB2+AG2，
即(6+x)2=62+(6−x)2，
解得x=32．
∴DG=32，
∴AG=6−32=92．
故答案为：92．
先判定Rt△DEG≌Rt△FEG(HL)，即可得出DG=FG，设DG为x，则FG=x，BG=6+x，AG=6−x，由勾股定理得：BG2=AB2+AG2，解方程得出x的值，即可得到AG的长．
此题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
17.【答案】−25
【解析】解：∵一次函数y=(a+4)x+a+2与y轴交于负半轴，
∴a+2<0，
解得a<−2．
解不等式组5x−a3−x≤33x<2x+1得，
x≤a+92x<1．
又∵此不等式组的解集为x<1，
∴a+92≥1，
解得a≥−7，
∴a的取值范围是：−7≤a<−2．
∴符合条件的所有整数a的和为：−7−6−5−4−3=−25．
故答案为：−25．
根据一次函数与y轴交于负半轴，可得出a+2<0，再根据不等式组的解集为x<1，可得出关于a的不等式，最后求出a的取值范围即可解决问题．
本题考查一次函数与一元一次不等式及一元一次不等式组的整数解，熟知一次函数的图象和性质及一元一次不等式(组)的解法是解题的关键．
18.【答案】9871 6021
【解析】解：①abcd−为最大的“吉祥数”，而1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，
∵各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，
∴最大的完全平方数为25，
∴最大的“吉祥数”9bcd−，当b=8，c=7时，d=25−9−8−7=1，
∴最大的“吉祥数”为9871；
②s=10a+b，t=10c+d，则F(M)=s+t9=10(a+c)+b+d9，G(M)=s−t3=10(a−c)+b−d3，
∵F(M)、G(M)都是整数，
∴设10(a+c)+b+d9=k1，10(a−c)+b−d3=k2，k1，k2为正整数，
则10(a+c)+b+d=9k1，10(a−c)+b−d=3k2，
两式相加得：20a+2b=18a+2(a+b)=9k1+3k2=3(3k1+k2)，
两式相减得：20c+2d=18c+2(c+d)=9k1−3k2=3(3k1−k2)，
∴a+b，c+d都能被3整除，
∴a+b+c+d能被3整除，
∵1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，且a≠b≠c≠d，
∴5∵a+b+c+d为完全平方数，
∴a+b+c+d=9或16或25，
∵a+b+c+d能被3整除，
∴a+b+c+d=9
又∵a+b，c+d都能被3整除，
∴a+b=6，c+d=3时，M最大，
∴Mmax=6021．
故答案为：9871；6021．
①由a、b、c、d的取值范围，确定出最大的完全平方数为25，即可求解；
②确定a+b，c+d都能被3整除，a+b+c+d能被3整除，继而得到a+b+c+d=9，因此得到Mmax=6021，即可求解．
本题考查了代数式，整式的加减，整除的意义，理解新定义和掌握知识点是解决本题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=2 2+3−3 2
=3− 2；
(2)原式=7−5+3+2−2 6
=7−2 6．
【解析】(1)直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘除运算法则计算得出答案；
(2)直接利用平方差公式以及完全平方公式化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
20.【答案】∠DAB=∠BCD ∠ADE=∠CBF ∠DAE=∠BCF ∠DEA=∠BFC AE/​/CF
【解析】(1)解：作∠BCD的角平分线与BD交于点F，连接AF，CE.如图：
；
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，∠DAB=∠BCD，
∴∠ADE=∠CBF，
在△AED与△CFB中，
∠DAE=∠BCFAD=BC∠ADE=∠CBF，
∴△AED≌△CFB(ASA)．
∴AE=CF，∠DEA=∠BFC，
∴180°−∠AED=180°−∠CFB，即∠AEF=∠CFE，
∴④AE//CF．
∴四边形AECF为平行四边形．
故答案为：∠DAB=∠BCD；∠ADE=∠CBF；∠DAE=∠BCF；∠DEA=∠BFC；AE/​/CF．
(1)以C为圆心画弧，分别交CD、BC于点M，N，以M，N为圆心，大于12MN为半径作弧，交于点O，连接CO交BD于F；
(2)证明AE=CF，AE/​/CF即可．
本题考查作图−应用与设计作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)将A、B代入直线l1，
得−3k+b=2−2k+b=0，
解得：k=−2，b=−4，
直线 l1的解析式为y=−2x−4；
(2)y=−2x−4y=13x−53，
解得：x=−1，y=−2，即D(−1,−2)，
对于y=13x−53，令 y=0，则x=5，即C(−5,0 )，
S△BDC=12(xc−xB)．|yC|=7．
【解析】(1)将A、B代入直线l1，解方程组可得直线l1的解析式；
(2)联立方程组求D点，对于y=13x−53，令 y=0，求C点，根据三角形面积公式可得△BDC的面积．
本题考查了两条直线交点与坐标轴交点围成三角形的面积，关键是联立方程组求解．
22.【答案】(1)证明：∵BE/​/AC，AE/​/BD，
∴四边形AEBO是平行四边形，
又∵菱形ABCD对角线交于点O，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴四边形AEBO为矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AC=16，
∴OA=12AC=8，OB=OD，AC⊥BD，
∵四边形AEBO是矩形，
∴AB=OE=10，
∴OB= AB2−OA2= 102−82=6，
∴BD=2OB=12，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×16×12=96．
【解析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
(1)先证四边形AEBO为平行四边形，再由菱形的性质得∠AOB=90°，即可得出结论；
(2)由勾股定理和菱形的面积公式解答即可．
23.【答案】解：(1)由已知得：∠BCA=36°+54°=90°，
AB= AC2+BC2=100海里，
t=10020=5(小时)，
答：货船从A港口到B港口需要5小时；
(2)这艘船在本次运输中是否符合航行安全标准，理由如下：
如图：过C作CD⊥AB交AB于D，

在AB上取两点M，N使得CM=CN=50海里，
∵SABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=80×60100=48(海里)，
∴DM= CM2−CD2=14海里，
∵CM=CN且CD⊥AB，
∴MN=2DM=28海里，
∴t1=MN20=1.4小时，
∵1.4>1.2，
∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准．
【解析】(1)先求出∠BCA=36°+54°=90°，然后根据勾股定理求出AB=100海里，再求出时间即可；
(2)过C作CD⊥AB交AB于D，在AB上取两点M，N使得CM=CN=50海里，根据等积法求出CD=AC⋅BCAB=80×60100=48海里，根据勾股定理求出DM= CM2−CD2=14海里，根据等腰三角形的性质得出MN=2DM=28海里，最后求出时间进行比较即可．
本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，准确计算．
24.【答案】解：(1)当点Q在BC上时，0根据题意可知：CQ=x，
∴△QAC的面积=y=12CQ⋅AB=2x；
当点Q在AB上时，4
根据题意可知：BQ=x−4，
∴△QAC的面积=y=△ABC的面积−△BCQ的面积=12AB⋅BC−12BQ⋅BC=12×4×4−12×(x−4)×4=−2x+16，
综上所述：y=2x(0(2)当x=0或x=8时，y=0，当x=4时，y=8，
函数的图象如图，

(3)由图象可知：当△QAC面积等于6时对应x的值为x=3或x=5．
【解析】(1)分两种情况讨论：当点Q在BC上时，0(2)结合(1)即可画出y的函数图象；
(3)由图象可得当△QAC面积等于6时对应x的值．
本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确地画出图象是解题的关键．
25.【答案】解：(1)令x=0，则y=−8，即B(0,−8)，
令y=0，则x=−2，即A(−2,0)，
∵OC=12OB=4，
∴C(0,4)，
将A、C两点代入直线y=kx+b，
得，b=4−2k+b=0，
解得：k=2，b=4，
直线AC的解析式为y=2x+4；
(2)S△AOC12×AO×CO=4，
∵S△BCM=8S△AOC，
∴S△BCM=32，
设M(m,2m+4)，
∴12⋅BC⋅|m|=32，
解得：m=±163，
m=163时，M(163,443)，
m=−163时，M(−163,−203)，
∴M的坐标坐标为(163,443)或(−163,−203)；
(3)∵点D是x轴正半轴上一点且OD=OC，
∴D(4,0)，
设N(0,n)，
①点N在y轴正半轴时，
，
∵∠AOC=∠BOD=90°，OAOD=OCOB=12，
∴△AOC∽△DOB，
∴∠ACO=∠DBO，
∴AC/​/BD，
∵直线DN与直线DB所成的夹角等于∠ABC与∠ACB的和，即∠NDF=∠ABC+∠ACB，
∵∠ABD=∠ABC+∠CBD=∠ABC+∠ACB，
∴∠NDF=∠ABD，
∴ND//AB，
∴四边形ABDN是平行四边形，
∴AG=BD= 42+82=4 5，
∴CG=AG−AC=4 5− 22+42=2 5，
∵AC/​/BD，
∴∠NCG=∠NBD，∠NGC=∠NDB，
∴△NGC∽△NDB，
∴NCNB=CGBD=12，即2NC=NC+12，
解得：NC=12，
∴NO=NC+CO=16，即N(0,16)，
②点N在y轴负半轴时，
，
∵∠AOC=∠BOD=90°，OAOD=OCOB=12，
∴△AOC∽△DOB，
∴∠ACO=∠DBO，
∴AC/​/BD，
∴∠GDB=∠CGD，∠ABD=∠GAB，∠GCB=∠CBD，
∵直线DN与直线DB所成的夹角等于∠ABC与∠ACB的和，即∠NDB=∠ABC+∠ACB，
∵∠FAB=∠ABC+∠CBD=∠ABC+∠ACB，
∴∠NDB=∠FAB，
∴∠CGD=∠GAB=∠GDB=∠ABD，即AF=GF，DF=BF，
∴DG=AB= 22+82= 68，
∵∠AFD=∠GFB，
∴△AFD≌△GFB(SAS)，
∴GB=AD=6，
过G作GE⊥BD，交BD于点E，
由勾股定理得，GE2=GB2−BE2，GE2=GD2−DE2，
∴62−BE2=( 68)2−(4 5−BE)2，
解得：BE=6 55，
∴GE= GB2−BE2=12 55，
∵∠MEB=∠DOB=90°，∠EBM=∠OBD，
∴△BEM∽△BOD，
∴BEBO=BMBD，
∴BM=3，CM=BC−BM=9，
∵AC/​/BD，
∴∠CGE=∠GEB=90°，
∵∠EMB=∠CMG，
∴△BME∽△CMG，
∴BECG=BMCM=13，
∴CG=18 55，
∵∠GDB=∠CGD，∠GCO=∠DBC，
∴△NGC∽△NDB，
∴CNBN=CGBD=910，即10NC=9(12−CN)，
解得：NC=10819，
∴NO=NC−CO=3219，即N(0,−3219)，
综上，N的坐标(0,16)或(0,−3219)．
【解析】(1)分别令x=0、y=0，求A、B两点坐标，因为OC=12OB，可得C点坐标，将A、C两点代入直线y=kx+b，解得k、b得值，可得直线AC的解析式；
(2)先求△AOC的面积，因为S△BCM=8S△AOC，可得△BCM的面积，设M(m,2m+4)，已知BC的长，可求得m的值，即得点M的坐标；
(3)分两种情况讨论．
本题考查了一次函数综合题，关键是注意分类讨论．
26.【答案】(1)解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE=2，
如图1，过D作DM⊥AB于M，

∴BM=12BD=1，
∴MD= BD2−BM2= 3，
∴AM=AB−BM=6−1=5，
∴AD= AM2+DM2= 25+3=2 7；
(2)证明：如图2，延长过FA到点N，使得AN=DC，

∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，
AD=DE=ED，∠ADE=∠DEA=∠EAD=60°．
∴∠BAD=60°−∠DAC=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
BA=CA∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE=60°，∠BDA=∠CEA，
∴60°+∠BDA=60°+∠CEA，
∴∠ADE+∠BDA=∠ACE+∠CEA，
∴∠CDE=∠NAE，
在△NAE和△CDE中，
AE=DE∠NAE=∠CDEAN=DC，
∴△NAE≌△CDE(SAS)，
∴EN=EC，
∵EF⊥AC，
∴FN=CF，
∴CF=AF+AN=AF+CD；
(3)由(1)得△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=∠ACB=∠QCE=60°．
∴CE是∠ACQ的角平分线，

如图3，当GE⊥CE时，EG最短，
∵AB=8，AC中点G，
∴GC=12AC=12AB=4，
∴CE=12CG=2,EG= CG2−CE2=2 3，
故EG的最小值为2 3．
【解析】(1)根据等边三角形的性质证明△BAD≌△CAE，过D作DM⊥AB于M，利用含30度角的直角三角形和勾股定理即可解决问题；
(2)延长过FA到点N，使得AN=DC，证明△ABD≌△ACE(SAS)，△NAE≌△CDE(SAS)，进而可以解决问题；
(3)当GE⊥CE时，EG最短，结合(1)即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解决本题的关键是得到△BAD≌△CAE．