2023-2024学年重庆市开州初中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市开州初中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式成立的是( )
A. (−2)2=−2B. (−5)2=5C. x2=xD. (−2)2=±6
2.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 6，8，10B. 7，24，25C. 1.5，2，3D. 9，12，15
3.如图，下列四组条件中．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB=DC，AD=BCB. AB//DC，AD//BC
C. AB//DC，AD=BCD. AB//DC，AB=DC
4.下列算式：
(1) 2+ 5= 7 (2)5 x−2 x=3 x
(3) 8+ 502= 4+ 25=7 (4)3 3a+ 27a=6 3a
其中正确的是( )
A. (1)和(3)B. (2)和(4)C. (3)和(4)D. 1)和(4)
5.一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，则树顶端落在离树底部处．( )
A. 5mB. 7mC. 8mD. 10m
6.下列说法正确的是( )
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 一组邻边相等，对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 矩形对角线相等且平分一组对角
D. 正方形面积等于对角线乘积的一半
7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE/​/BD，DE/​/AC，若AC=4，则四边形CODE的周长为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
8.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 a2− b2− (a−b)2的结果是
( )
A. −2bB. −2aC. 2b−2aD. 0
9.在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=9，BD=8.则下列四个结论：①AE//BC；②∠ADE=∠BDC；③△BDE是等边三角形；④△AED的周长是17.其中正确的结论是( )
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④
10.已知a0= 5，将a0的整数部分加上a0的小数部分的倒数得到a1，再将a1的整数部分加上a1的小数部分的倒数得到a2，以此类推可得到a3，a4，…，an，如 5的整数部分为2，小数部分为 5−2.所以a1=2+1 5−2= 5+4.根据以上信息，下列说法正确的有( )
①a3= 5+12；
②a2025的小数部分为 5−2；
③a23−a22= 5+2；
④1(a2− 5)(a4− 5)+1(a4− 5)(a6− 5)+...+1(a98− 5)(a100− 5)=493200．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.已知 312.命题“在同一个三角形中，等边对等角”的逆命题是______，是______(填“真命题”或“假命题”)
13.(2 2)2−|−4|+3−1×6+20= ______．
14.如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N点，且AB=10，AC=16，则MN= ______．
15.如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF.若∠AOE=150°，DF= 3，则EF的长为______．
16.若关于x的不等式组x−m2>0x−3<3(x−3)的解集为x>3，且关于y的分式方程5−my−2=1−y2−y有非负整数解.则所有满足条件的整数m的值的和是______．
17.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=15，BC=8，CD边上有一点E，DE=4，将该纸片折叠，使点A与点E重合，折痕MN交AB于点M，交AD于点N，则线段MN的长是______．
18.若一个四位自然数A千位上的数字的2倍等于百位、十位、个位上的数字之和，则称A为“和数”，那么最小的“和数”为______，已知一个四位自然数B=1000a+100b+10c+3d(其中a，b，c，d均为整数，1≤a，b≤9且1≤c≤8，4≤d≤6)是“和数”，且能被6整除，将B的千位数字的4倍与百位数字的2倍的差记为Q(B)，个位数字的2倍与十位数字的和记为P(B)，则满足条件的Q(B)P(B)的最小值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.先化简，再求值：b2−a2a2−ab÷(a+2ab+b2a)⋅(1a+1b)，其中a= 2+ 3，b= 2− 3．
四、解答题：本题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
计算．
(1) 48− 54÷ 2+(3− 3)(3+ 3)；
(2)(1+2 3)2−( 75−3 7527)．
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，连接AD．
(1)尺规作图：在BC下方作射线BF，使得∠CBF=∠C，且射线BF交AD的延长线于点E(不要求写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)所作的图中，连接CE，若CE=AC，求证：四边形ABEC是菱形.(请补全下面的证明过程)
证明：∵点D为BC边上的中点，
∴DC=DB，在△ADC和△EDB中，
∠ACD=∠EBDDC=DB∠ADC=∠EDB
∴△ADC≌______(ASA)，
∴AC= ______，
∵∠CBF=∠ACB，
∴AC// ______．
∴四边形ABEC是______．
又∵ ______，
∴平行四边形ABEC是菱形．
22.(本小题10分)
如图，已知直线OP表示一艘轮船东西方向的航行路线，在O处的北偏东60°方向上有一灯塔A，灯塔A到O处的距离为200海里．(参考数据： 3≈1.732)
(1)求灯塔A到航线OP的距离；
(2)在航线OP上有一点B，且∠OAB=15°，已知一轮船的航速为50海里/时，求该轮船沿航行路线OP从O处航行到B处所用的时间．(结果保留小数点后一位)
23.(本小题10分)
如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AE=AF，∠DAE=∠BAF．
(1)求证：CE=CF；
(2)若∠ABC=120°，点G是线段AF的中点，连接DG，EG.求证：DG⊥GE．
24.(本小题10分)
阅读下列解题过程
例：若代数式 (a−1)2+ (a−3)2的值是2，求a的取值范围．
解：原式=|a−1|+|a−3|
当a<1时，原式=(1−a)+(3−a)=4−2a=2，解得a=1(舍去)；
当1≤a≤3时，原式=(a−1)+(3−a)=2=2，符合条件；
当a>3时，原式=(a−1)+(a−3)=2a−4=2，解得a=3(舍去)
所以，a的取值范围是1≤a≤3
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题
(1)当2x≤a≤3时，化简， (a−2)2+ (a−5)2= ______．
(2)若等式 (3−a)2+ (a−7)2=4成立，则n的取值范围是______．
(3)若 (a+1)2+ (a−5)2=8，求a的取值．
25.(本小题10分)
如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A−C−B−A运动，设运动时间为t秒(t>0)．
(1)若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；
(2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
(3)在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
26.(本小题10分)
在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC，点D是CB延长线上一动点，点E在线段AC上，连接DE与AB交于点F．
(1)如图1，若∠EDC=30°，EF=4，求AF的长．
(2)如图2，若BD=AE，求证： 2AF=AC+BD．
(3)如图3，移动点D，使得点F是线段AB的中点时，DB=72，AB=4 2，点P，Q分别是线段AC，BC上的动点，且AP=CQ，连接DP，FQ，请直接写出DP+FQ的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.∵ (−2)2=2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B.∵ (−5)2=5，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
C.∵ x2=|x|=x(x≥0)−x(x<0)，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D.∵ (−2)2=2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的性质对各个选项中的式子进行计算，然后分别判断即可．
本题主要考查了二次根式的化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质．
2.【答案】C
【解析】解：A、62+82=102，故是直角三角形，故此选项不合题意；
B、242+72=252，故是直角三角形，故此选项不合题意；
C、22+1.52≠32，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、92+122=152，故是直角三角形，故此选项不合题意．
故选C．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】C
【解析】解：A.根据两组对边相等的四边形为平行四边形可判断四边形为平行四边形，故A能判断；
B.根据两组对边平行的四边形为平行四边形可判断四边形为平行四边形，故B能判断；
C.不能判断四边形为平行四边形，如满足条件的四边形可以为等腰梯形，故C不能判断；
D.根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可判断四边形为平行四边形，故D能判断
故选：C．
平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
4.【答案】B
【解析】解：(1) 2与 5不是同类项，不能合并，故本小题错误；
(2)5 x−2 x=3 x，故本小题正确；
(3) 8+ 502=2 2+5 22=7 22≠7，故本小题错误；
(4)3 3a+ 27a=3 3a+3 3a=6 3a，故本小题正确．
故选B．
根据二次根式的加法法则对各小题进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：设树顶端落在离树底部x米，由题意得：
62+x2=(16−6)2，
解得：x=8．
故选：C．
首先设树顶端落在离树底部x米，根据勾股定理可得62+x2=(16−6)2，再解即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
6.【答案】D
【解析】解：A答案一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，所以A错误；
B答案如图所示，四边形ABCD中AB=AD，AC⊥BD，但四边形ABCD不是菱形，所以B错误；
C答案矩形(不是正方形)的对角线相等，但不平分一组对角，所以C错误；
D答案正方形是特殊的菱形，菱形面积公式(对角线乘积的一半)在正方形中同样适用，所以D正确．
故选：D．
A答案符合条件的四边形可以是梯形；
B答案通过画图可知符合条件的四边形不一定是菱形；
C答案的矩形对角线相等但不平分一组对角；
D答案可以从正方形是特殊的菱形角度考虑．
本题主要考查了正方形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定、矩形的性质，解决这类问题要从图形的形成过程入手，能结合条件画图去证明或举反例说明问题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．由CE/​/BD，DE/​/AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，则可求得答案．
【解答】
解：∵CE/​/BD，DE/​/AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC=OB=OD=12AC=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．
故选：C．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置关系得出1>b>0>a>−1是解题关键．
根据数轴上点的位置关系，可得1>b>0>a>−1，根据二次根式的性质，绝对值的性质，可得答案．
【解答】
解：由数轴上点的位置关系，得1>b>0>a>−1，
所以 a2− b2− (a−b)2
=−a−b−(b−a)
=−a−b−b+a
=−2b，
故选：A．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，平行线的判定，等边三角形的判定与性质．
根据等边三角形的性质得∠ABC=∠C=60°，AC=BC=9，再利用旋转的性质得∠BAE=∠C=60°，AE=CD，则∠BAE=∠ABC，于是根据平行线的判定可对①进行判断；由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到∠DBE=60°，BD=BE=8，则根据边三角形的判定方法得到△BDE为等边三角形，于是可对③进行判断；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，DE=DB=8，然后说明∠BDC>60°，则∠ADE<60°，于是可对②进行判断；最后利用AE=CD，DE=BD=8和三角形周长定义可对④进行判断．
【解答】
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AC=BC=9，
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠BAE=∠C=60°，AE=CD，
∴∠BAE=∠ABC，
∴AE/​/BC，
所以①正确；
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠DBE=60°，BD=BE=8，
∴△BDE为等边三角形，
所以③正确，
∴∠BDE=60°，DE=DB=8，
∵BC>BD，
∴∠BDC>∠C，即∠BDC>60°，
∴∠ADE<60°，
所以②错误；
∵AE=CD，DE=BD=8，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+CD+DB=AC+BD=9+8=17，
所以④正确．
10.【答案】B
【解析】解：由题意得．a1=2+1 5−2= 5+4，它的整数部分为6，小数部分为 5−2；
a2=6+1 5−2=6+ 5+2= 5+8，它的整数部分为10，小数部分为 5−2；
a3=10+1 5−2=10+ 5+2= 5+12，它的整数部分为14，小数部分为 5−2，
a4=14+1 5−2=14+ 5+2= 5+16，它的整数部分为18，小数部分为 5−2，
a5=18+1 5−2=18+ 5+2= 5+20，它的整数部分为22，小数部分为 5−2；
a6=22+1 5−2=22+ 5+2= 5+24，它的整数部分为26，小数部分为 5−2，
∴an= 5+4n，小数部分是 5−2．
∴①a3= 5+12，正确；
②a2025的小数部分为 5−2，正确；
③a23−a22=( 5+4×23)−( 5+4×22)=4，
错误；
④1(a2− 5)(a4− 5)+1(a4− 5)(a6− 5)+…+(a98− 5)(a100− 5)=18×16+116×24+⋯+1392×400=164(11×2+12×3+⋯+198×100)=164(1−12+12−13+⋯+198−1100)=164(1−12+12−13+⋯+198−1100)=164×(1−1100)=164×99100=996400，错误；
综上所述，正确的是①②，共2个；
故选：B．
根据定义找到an的规律，再逐个判断即可．
本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：∵3<4<6，
∴ 3<2< 6．
故答案为：2．
找到平方在3和6之间的整数即可．
本题考查了无理数的估算，在两数之间找到能开出的正整数是关键．
12.【答案】在同一个三角形中，等角对等边；真
【解析】解：“在同一个三角形中，等边对等角”的逆命题是：“在同一个三角形中”，等角对等边，是真命题；
故答案为：“在同一个三角形中，等角对等边；真．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析题设是否能推出结论，从而得出命题的真假．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13.【答案】7
【解析】解(2 2)2−|−4|+3−1×6+20
=8−4+13×6+1
=8−4+2+1
=7．
故答案为：7．
首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
14.【答案】3
【解析】解：如图，延长BN交AC于点D．
∵BN⊥AN，AN平分∠BAC，
∴∠ANB=∠AND=90°，∠NAB=∠NAD．
在△ABN与△ADN中，
∠ANB=∠ANDAN=AN∠NAB=∠NAD，
∴△ABN≌△ADN(ASA)，
∴AD=AB=10，BN=DN，
∴N是BD的中点．
∵M是BC的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴MN=12CD=12(AC−AD)=12×(16−10)=3．
故答案是：3．
延长BN交AC于点D，易得△ABN≌△ADN，利用全等三角形的性质可得AD=AB=10，N是BD的中点，则可得MN是△BCD的中位线，从而可求出MN的长．
本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线．
15.【答案】2 3
【解析】解：在正方形ABCD中，AC和BD为对角线，
∴∠AOB=∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，OB=OC，
∵∠AOE=150°，
∴∠BOE=60°；
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=∠BOC=90°，
∴∠BOE=∠COF=60°，
∴△BOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
∴△OEF是等腰直角三角形；
过点F作FG⊥OD于G，如图，
∴∠OGF=∠DGF=90°，
∵∠ODC=45°，
∴△DGF是等腰直角三角形，
∴GF=DG= 22DF= 62，
∵∠AOE=150°，
∴∠BOE=60°，
∴∠DOF=30°，
∴OF=2GF= 6，
∴EF= 2OF=2 3．
故答案为：2 3．
由题意证明△BOE≌△COF(ASA)，所以OE=OF，则△OEF是等腰直角三角形；过点F作FG⊥OD，解三角形OFD即可得出OF的长，进而可求出EF的长．
本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，含30°的直角三角形的三边关系等相关知识，解题关键是得出△OEF是等腰直角三角形．
16.【答案】−11
【解析】解：解不等式x−m2>0得x>m，
解不等式x−3<3(x−3)得x>3，
∵关于x的不等式组的解集为x>3，
∴m≤3，
关于y的分式方程5−my−2=1−y2−y，
去分母得：5(y−2)−m=y−1，
去括号得：5y−10−m=y−1，
解得：y=m+94，
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴m+94≥0且m+94≠2，
∴m≥−9且m≠−1，
∴−9≤m≤3且m≠−1，
∴符合题意的m的值可以为−9，−5，3；
−9+(−5)+3=−11，
故答案为：−11．
先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得到m≤3；再解分式方程，根据分式方程有非负整数解得到m≥−9且m≠−1，进而确定符合题意的m的值即可得到答案．
本题考查分式方程、一元一次不等式组，熟练掌握分式方程、一元一次不等式组的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
17.【答案】5 5
【解析】解：如图，连接ME，NE，过M作MF⊥DC于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠D=90°，
∴四边形ADFM是矩形，
∴DF=AM，FM=AD=BC=8，
∵将纸片折叠，使A点与E点重合，折痕MN交AD于M点，
∴AM=ME，
设AM=x，则EM=DF=x，
∴EF=x−4，
在Rt△MEF中，ME2=EF2+MF2，
∴x2=(x−4)2+82，
解得：x=10，
∴AM=10，
设AN=a，则EN=a，
∴DN=8−a，
在Rt△DEN中，EN2=DE2+DN2，
∴a2=42+(8−a)2，
解得：a=5，
∴AN=5，
∴MN= AM2+AN2= 102+52=5 5，
故答案为：5 5．
过M作MF⊥DC于F，根据矩形的性质得到∠DAB=∠D=90°，推出四边形ADFM是矩形，得到DF=AM，FM=AD=8，根据折叠的性质得到AM=ME，设AM=x，则EM=DF=x，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
18.【答案】1002 109
【解析】解：根据“和数”的定义，得到最小“和数”百位、十位、个位上的数字之和最小且为2的正整数倍，
∴百位、十位、个位上的数字之和为2，
∴该自然数千位上的数字为1，
∴最小的“和数”为1002，
根据题意可得自然数B的千位数字为a，百位数字是b，十位数字是(c+l)，个位数字是(3d−10)，
∴Q(B)为(4a−2b)，P(B)为(6d+c−19)，
∴Q(B)P(B)=4a−2bc+6d−19，
根据“利数”定义得2a=b+c+1+3d−10，
∵该“利数”能被6整除，
∴该“和数”为偶数且各位上的数字之和为3的倍数，
∵4≤d≤6，(3d−10)为偶数，
∴d=4或6，
①当d=4时，2a=b+c+3，
∴Q(B)P(B)=4a−2bc+6d−19=2(b+c+3)−2bc+24−19c=2c+6c+5，
令t=c+5，则6s≤t≤13，原式=2(c+5)−4c+5=2−4t，
当t=6时，原式取到最小值为43，
②当d=6时，2a=b+c+9，
∴Q(B)P(B)=4a−2bc+6d−19=2(b+c+9)−2bc+36−19=2c+18c+17，
令t=c+17，则18s≤t≤25，原式=2(c+17)−16c+17=2−16t，
当t=18时，原式取到最小值为109，
综上所述，Q(B)P(B)的最小值为109，
故答案为：1002；109．
根据“和数”的定义，得到最小“和数”百位、十位、个位上的数字之和最小且为2的正整数倍，故可得百位、十位、个位上的数字之和为2，则该自然数千位上的数字为1，即可解答；
根据题意可得自然数B的千位数字为a，百位数字是b，十位数字是(c+l)，个位数字是(3d−10)，则Q(B)为(4a−2b)，P(B)=(c+6d−19)，再利用能被6整除的数的特征，即可解答．
本题考查因式分解的应用以及数的整除性，关键是理解题意灵活应用所学知识．
19.【答案】解：原式=−(a+b)(a−b)a(a−b)÷(a2a+2ab+b2a)⋅(bab+aab)
=−(a+b)a⋅a(a+b)2⋅a+bab
=−1ab，
当a= 2+ 3，b= 2− 3时，
原式=−1( 2+ 3)( 2− 3)
=−12−3
=1．
【解析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a、b的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】解：(1) 48− 54÷ 2+(3− 3)(3+ 3)
=4 3− 27+(9−3)
=4 3−3 3+6
= 3+6；
(2)(1+2 3)2−( 75−3 7527)
=1+12+4 3−(5 3−5)
=13+4 3−5 3+5
=18− 3．
【解析】(1)先算乘除，再算加减即可；
(2)先算完全平方公式，再去括号，合并同类二次根式即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
21.【答案】△EDB BE BE 平行四边形 CE=AC
【解析】(1)解：如图，射线BF即为所求；
(2)证明：∵点D为BC边上的中点，
∴DC=DB，
在△ADC和△EDB中，
∠ACD=∠EBDDC=DB∠ADC=∠EDB，
∴△ADC≌△EDB(ASA)，
∴AC=BE，
∵∠CBF=∠ACB，
∴AC/​/BE．
∴四边形ABEC是平行四边形．
又∵CE=AC，
∴平行四边形ABEC是菱形．
故答案为：△EDB，BE，BE，平行四边形，CE=AC．
(1)以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，BC于点M，N；再以B为圆心，相等的半径画弧，交BC于点P；以P为圆心MN的长为半径画弧，交以B为圆心的弧于点Q，连接BQ并延长，交AD的延长线于点E，连接BE并延长得到BF，即可得解；
(2)结合(1)根据菱形的判定即可完成证明．
本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
22.【答案】解：(1)过点A作AC⊥OP，垂足为C，

由题意得：
∠AOP=90°−∠NOA=30°，
在Rt△AOP中，OA=200海里，
∴AC=12OA=100(海里)，
∴灯塔A到航线OP的距离为100海里；
(2)在Rt△AOP中，OA=200海里，∠AOC=30°，
∴OC=OA⋅cs30°=200× 32=100(海里)，
∵∠∠OAB=15°，
∴∠ABC=∠AOC+∠OAB=45°，
在Rt△ABC中，AC=100海里，
∴BC=ACtan45∘=100(海里)，
∴OB=CO−BC=(100 3−100)海里，
∴该轮船沿航行路线OP从O处航行到B处所用的时间=100 3−10050≈1.5(小时)，
∴该轮船沿航行路线OP从O处航行到B处所用的时间约为1.5小时．
【解析】(1)过点A作AC⊥OP，垂足为C，根据题意可得∠AOP=30°，然后在Rt△AOP中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，即可解答；
(2)在Rt△AOP中，利用锐角三角函数的定义求出OC的长，再利用三角形的外角求出∠ABC=45°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=DC=BC．
∵∠DAE=∠BAF，
∴∠BAE=∠DAF．
在△ABE与△ADF中，
AE=AF∠BAE=∠DAFAB=AD，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴BE=DF，
∴BC−BE=DC−DF，即CE=CF；
(2)如图，延长EG到点H，使HG=EG，连接HA、HD．
∵点G是AF的中点，
∴AG=FG，
在△HAG与△EFG中，
HG=EG∠HGA=∠EGFAG=FG，
∴△HAG≌△EFG(SAS)，
∴EF=AH，∠HAG=∠EFG，
∴AH/​/EF．
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=BC=AD．
∵由(1)知，BE=DF，且∠BAE=∠DAF，EC=FC．
∵∠ABC=120°，
∴∠C=60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴∠FEC=60°，
∴EC=FE．
由上述知，FE=HA，
∴EC=HA，∠HAG=∠HAD+∠DAF=∠EFG．
∵AF=AE，
∴∠AFE=∠AEF．
∵∠BAD=60°，
∴∠EAF=60°−∠BAE−∠DAF=60°−2∠DAF．
在△AEF中，∠EAF=180°−∠AEF−∠EFG=180°−2∠EFG=180°−2(∠HAD+∠DAF)，
∴∠HAD=60°．
在△HAD与△ECD中，
EC=HA∠FCE=∠HAD=60°DC=AD，
∴△HAD≌△ECD(SAS)，
∴DE=DH，
易证△DGH≌△DGE，
故∠DGH=∠DGE=90°，即DG⊥GE．
【解析】(1)欲证明CE=CF，只需证得BE=DF，所以利用全等三角形△ABE≌△ADF的性质来推知BE=DF即可；
(2)如图，延长EG到点H，使HG=EG，连接HA、HD.构建全等三角形△HAG≌△EFG、△HAD≌△ECD、△DGH≌△DGE，利用全等三角形的对应角相等来证明∠DGH=∠DGE=90°，即DG⊥GE．
本题考查了菱形的性质的运用，线段的中点的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用菱形的性质证明三角形全等是关键．
24.【答案】3 3≤a≤7
【解析】解：(1)∵2≤a≤3，
∴a−2≥0，a−5≤0，
∴原式=|a−2|+|a−5|
=a−2−(a−5)
=3，
故答案为：3；
(2)由题意可知：|3−a|+|a−7|=4，
当a≤3时，∴3−a≥0，a−7<0，
∴原方程化为：3−a−(a−7)=4，
∴a=3，符合题意；
当3∴3−a<0，a−7<0，
∴−(3−a)−(a−7)=4，
∴4=4，故3当a≥7时，
∴3−a<0，a−7≥0，
∴−(3−a)+(a−7)=4，
∴a=7，符合题意；
综上所述，3≤a≤7，
故答案为：3≤a≤7；
(3)原方程可化为：|a+11+|a−5|=8，
当a≤−1时，∴a+1≤0，a−5<0，
.原方程化为：−a−1−(a−5)=8，
∴a=−2，符合题意；
当−1∴a+1>0，a−5<0，
∴(a+1)−(a−5)=8，
.此方程无解，故−1当a≥5时，
∴a+1>0，a−5≥0，
∴a+1+a−5=8，
∴a=6，符合题意；
综上所述，a=−2 或a=6．
(1)根据二次根式的性质即可求出答案；
(2)先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
(3)先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
25.【答案】解：在Rt△ABC中，∵AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4cm，
(1)设存在点P，使得PA=PB，
此时PA=PB=2t，PC=4−2t，
在Rt△PCB中，PC2+CB2=PB2，
即：(4−2t)2+32=(2t)2，
解得：t=2516，
∴当t=2516时，PA=PB；
(2)当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP=7−2t，PE=PC=2t−4，BE=5−4=1，
在Rt△BEP中，PE2+BE2=BP2，
即：(2t−4)2+12=(7−2t)2，
解得：t=83，
∴当t=83时，P在△ABC的角平分线上；
(3)
根据题意得：AP=2t，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，
∴PC=BC，即4−2t=3，
∴t=12，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
①CP=PB，点P在BC的垂直平分线上，
如图2，过P作PE⊥BC于E，
∴BE=12BC=32，
∴PB=12AB，即2t−3−4=52，解得：t=194，
②PB=BC，即2t−3−4=3，
解得：t=5，
③PC=BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，
∴BF=12BP，
∵∠ACB=90°，
由射影定理得；BC2=BF⋅AB，
即32=2t−3−42×5，
解得：t=5310，
∴当t=12,5,5310或194时，△BCP为等腰三角形．

【解析】(1)设存在点P，使得PA=PB，此时PA=PB=2t，PC=4−2t，根据勾股定理列方程即可得到结论；
(2)当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP=7−2t，PE=PC=2t−4，BE=5−4=1，根据勾股定理列方程即可得到结论；
(3)在Rt△ABC中，根据勾股定理得到AC=4cm，根据题意得：AP=2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，得到PC=BC，即4−2t=3，求得t=12，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，若CP=PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，求得t=194，若PB=BC，即2t−3−4=3，解得t=5，③PC=BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，由射影定理得；BC2=BF⋅AB，列方程32=2t−3−42×5，即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解(3)题的关键．
26.【答案】解：(1)过点F作FG⊥AC于点G，如图，

∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵∠ECD=90°，∠EDC=30°，
∴∠DEG=60°．
∵FG⊥AC，EF=4，
∴EG=12EF=2，
∴FG= EF2−EG2=2 3．
∵FG⊥AC，∠A=45°，
∴AG=FG=2 3，
∴AF= 2AG=2 6．
(2)过点E作EH⊥AC交AB于点H，过点H作HM⊥BC于点M，如图，

∵EH⊥AC，∠A=45°，
∴AE=EH，AH= 2AE．
∵BD=AE，
∴EH=BD．
∵EH⊥AC，DC⊥AC，
∴HE//CD，
∴∠HEF=∠D．
在△HEF和△DBF中，
∠HEF=∠D∠HFE=∠BFDEH=DB
∴△HEF≌△DBF(AAS)．
∴HF=BF=12BH．
∵∠HEC=∠ACB=∠HMC=90°，
∴四边形HECM为矩形，
∴CM=HE，HM=EC．
∵HM⊥BC，∠ABC=45°，
∴EC=HM= 22BH，
∴AF=AH+HF= 2AE+12BH．
∴ 2AF=2AE+ 22BH，
即： 2AF=AE+AE+EC=AE+AC．
∴ 2AF=AC+BD．
(3)∵AB=4 2，
∴AF=FB=FC=2 2，AC=BC=4．
∵F是线段AB的中点，△ABC是等腰直角三角形，
∴AF=FC，∠FCQ=∠A=45°．
在△APF和△CQF中，
AP=CQ∠A=∠FCQAF=FC，
∴△APF≌△CQF(SAS)．
∴PF=FQ．
∴DP+FQ=DP+PF．
过点F作FM⊥AC于点M，延长FM至F′使F′M=FM，则F′与F关于AC对称，
连接DF′交AC于点P，如图，则此时DP+FP=DF′，取得最小值，
过点F′作F′N⊥BC，交BC的延长线于点N，

∵∠AFC=90°，FM⊥AC，∠A=45°，
∴AM=MC=12AC=2，FM=12AC=2．
∴F′M=FM=2．
∵∠F′MC=∠MCN=∠N=90°，
∴四边形MF′NC为矩形．
∴CN=F′M=2，F′N=MC=2．
∴DN=BD+BC+CN=72+4+2=192．
∴DF′= F′N2+DN2= 22+(192)2= 3772．
∴DP+FQ的最小值为 3772．
【解析】(1))过点F作FG⊥AC于点G，在Rt△EFG中利用勾股定理求得GF的长，在等腰直角三角形AFG中即可求得AF的长；
(2)过点E作EH⊥AC交AB于点H，过点H作HM⊥BC于点M，通过证明△HEF≌△DBF，利用全等三角形的性质与等腰直角三角形的性质即可得出结论；
(3)过点F作FM⊥AC于点M，延长FM至F′使F′M=FM，则F′与F关于AC对称，过点F′作F′N⊥BC，交BC的延长线于点N，证明△APF≌△CQF，利用轴对称解决路径最短问题即可求得结论．
本题是一道三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质，利用轴对称解决路径最短问题是解题的关键．