北师大版七年级数学下册第2章相交线与平行线单元测试(基础过关卷)(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册第2章相交线与平行线单元测试(基础过关卷)(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了22°等内容，欢迎下载使用。
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋•射洪市期末）如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同位角B．∠2和∠3是同旁内角
C．∠1和∠4是内错角D．∠3和∠4是对顶角
2．（2023秋•上蔡县校级期末）如图所示，AB∥CD，若∠2是∠1的2倍，则∠2等于（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
3．（2023秋•中山市期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．如果∠α＝53°38′，那么∠α补角的度数为36.22°
C．一个锐角的补角比这个角的余角大90°
D．若∠AOC＝∠AOB，则OC是∠AOB的平分线
4．（2023秋•玉泉区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝1：2，则∠BOD等于（ ）
A．30°B．36°C．45°D．72°
5．（2023•邹城市校级开学）如图，在∠AOB内部作OC⊥OB，OD平分∠AOB．若∠AOB＝130°，则∠COD＝（ ）
A．65°B．25°C．35°D．20°
6．（2023•蓬江区校级开学）如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15°30'，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠2＝45°B．∠1＝∠3
C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75°30'
7．（2023秋•延庆区期末）如图，点P是直线l外一点，从点P向直线l引PA，PB，PC，PD四条线段，其中只有PC与l垂直，这四条线段中长度最短的是（ ）
A．PAB．PBC．PCD．PD
8．（2023秋•抚远市期末）如图，O是直线AC上的一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠DOE＝60°，．下列四个结论：①∠BOD＝30°；②射线OE平分∠AOC；③图中与∠BOE互余的角有2个；④图中互补的角有6对．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③④B．②④C．①②③D．①②③④
9．（2023•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
10．（2023•苏州模拟）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系是（ ）
A．β+γ﹣α＝90°B．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β＝α+γ
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023秋•九龙坡区期末）一个75°的角的补角是 °．
12．（2023秋•阳曲县期末）如图∠AOB＝∠COD＝90°．若∠BOD＝150°，则∠BOC＝ °．
13．（2023•东阳市校级开学）如图所示，图中用数字标出的角中，∠2的内错角是 ．
14．（2023秋•新兴区校级期末）如图，在图中标注的∠1、∠3、∠4、∠5中，当∠2＝∠ 时，AE∥BF．
15．（2023秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 ．
16．（2023秋•朝阳区校级期末）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 时，CD与AB平行．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023春•凌海市期中）看图填空：（请将不完整的解题过程及根据补充完整）
已知：如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝50°，求∠2的度数．
解：因为AB∥CD，∠1＝50°，
根据
所以∠ABC＝∠1＝50°．
又因为BC平分∠ABD，∠ABC＝50°
所以 ＝∠ABC＝50°．
根据“两直线平行，同旁内角互补”．
所以∠ABD+ ＝180°
所以∠CDB＝180°﹣∠ABD＝80°．
根据 ，
所以∠2＝∠CDB＝80°
18．（2023春•松江区校级期中）如图，AB∥DE，CM平分∠BCE，MC⊥NC，∠B＝70°，求∠BCN的度数．
19．（2023秋•天河区校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠BOE和∠DOF的度数．
20．（2023春•山阳县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠FAB＝∠BDC；
（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．
21．（2023春•岳麓区校级期末）如图，已知AB∥CD，点M是直线AB，CD内部一点，连接MB，MD．
（1）探究：①若∠B＝25°，∠D＝40°，则∠BMD＝ °；
②若∠B＝α，∠D＝β，则∠BMD＝ ；
（2）猜想：图中∠B，∠D与∠BMD之间的数量关系，并说明理由．
22．（2023春•龙岗区校级期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD，各活动小组探索∠APD与∠A，∠C之间数量关系时，有如下发现：
（1）在图②所示的图形中，若∠A＝30°，∠D＝35°，则∠APD＝ ；
（2）在图③中，若∠A＝150°，∠APD＝60°，则∠D＝ ；
（3）有同学在图②和图③的基础上，画出了图④所示的图形，其中AB∥CD，请判断∠α，∠β，∠γ之间的关系，并说明理由．
23．（2023秋•甘井子区校级期末）如图，∠AOB＝120°，射线OC在平面内．
（1）若∠AOC与∠BOC互补，则∠BOC ；
（2）射线OC在直线OA的上方时，射线OA的反向延长线与射线OC形成的夹角是α（0°＜α＜180°），OM平分∠AOC．
①若∠BOC＝90°，求∠MOB的度数为 ；
②是否存在α的值，使得∠MOC与∠BOC互余，若存在，求出α；若不存在，请说明理由．
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】
专题第2章相交线与平行线单元测试（基础过关卷）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋•射洪市期末）如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同位角B．∠2和∠3是同旁内角
C．∠1和∠4是内错角D．∠3和∠4是对顶角
分析：根据同位角，内错角，同旁内角以及对顶角的定义进行解答．
【解答】解：A、∠1和∠2是同旁内角，故本选项错误；
B、∠2和∠3是同旁内角，故本选项正确；
C、∠1和∠4是同位角，故本选项错误；
D、∠3和∠4是邻补角，故本选项错误；
故选：B．
2．（2023秋•上蔡县校级期末）如图所示，AB∥CD，若∠2是∠1的2倍，则∠2等于（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
分析：因为平行，所以有∠1＝∠3，又∠3和∠2为邻补角互补，且∠2＝2∠1＝2∠3，所以可求出∠2．
【解答】解：如图所示，∵AC∥BD，
∴∠3＝∠1，
∵∠2是∠1的2倍，
∴设∠1＝∠3＝x，则∠2＝2x，
又∵∠3与∠2互补，
∴∠3+∠2＝180°，
即x+2x＝180°，
∴x＝60°，
即∠2＝2x＝2×60°＝120°．
故选：C．
3．（2023秋•中山市期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．如果∠α＝53°38′，那么∠α补角的度数为36.22°
C．一个锐角的补角比这个角的余角大90°
D．若∠AOC＝∠AOB，则OC是∠AOB的平分线
分析：根据线段的性质，余角和补角的定义及角平分线的性质分别判断即可．
【解答】解：A．两点之间，线段最短，选项A错误；
B．如果∠α＝53°38′，那么∠α补角的度数为126.22°，选项B错误；
C．一个锐角的补角比这个角的余角大90°，选项C正确；
D．若射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝∠AOB，则OC是∠AOB的平分线，选项D错误；
故选：C．
4．（2023秋•玉泉区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝1：2，则∠BOD等于（ ）
A．30°B．36°C．45°D．72°
分析：根据邻补角的定义求出∠EOC，再根据角平分线的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．
【解答】解：∵∠EOC：∠EOD＝1：2，
∴∠EOC＝180°×＝60°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC＝∠EOC＝×60°＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°．
故选：A．
5．（2023•邹城市校级开学）如图，在∠AOB内部作OC⊥OB，OD平分∠AOB．若∠AOB＝130°，则∠COD＝（ ）
A．65°B．25°C．35°D．20°
分析：由角平分线的定义可求∠BOD，由垂直的定义得到∠BOC＝90°，即可求出∠COD．
【解答】解：∵OD平分∠AOB，
∴∠BOD＝∠AOB＝×130°＝65°，
∵OC⊥OB，
∴∠BOC＝90°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
6．（2023•蓬江区校级开学）如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15°30'，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠2＝45°B．∠1＝∠3
C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75°30'
分析：由余角，补角的定义，对顶角的性质，角平分线的定义，垂直的定义，即可判断．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠2＝∠AOE＝45°，
∵∠1和∠3是对顶角，
∴∠1＝∠3，
∵∠AOD与∠1是邻补角，
∴∠AOD与∠1互为补角，
∵∠1的余角等于90°﹣∠1，
∴∠1的余角等于90°﹣15°30′＝74°30′，
故选：D．
7．（2023秋•延庆区期末）如图，点P是直线l外一点，从点P向直线l引PA，PB，PC，PD四条线段，其中只有PC与l垂直，这四条线段中长度最短的是（ ）
A．PAB．PBC．PCD．PD
分析：由垂线的性质：垂线段最短，即可判断．
【解答】解：点P是直线l外一点，从点P向直线l引PA，PB，PC，PD四条线段，其中只有PC与l垂直，这四条线段中长度最短的是PC．
故选：C．
8．（2023秋•抚远市期末）如图，O是直线AC上的一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠DOE＝60°，．下列四个结论：①∠BOD＝30°；②射线OE平分∠AOC；③图中与∠BOE互余的角有2个；④图中互补的角有6对．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③④B．②④C．①②③D．①②③④
分析：首先利用已知得出∠AOD的度数，再计算出∠AOE、∠EOC、∠BOE、∠BOD的度数，然后再分析即可．
【解答】解：∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵∠BOE＝∠EOC，
∴设∠BOE＝x，则∠COE＝3x，
∵∠DOE＝60°，
∴∠BOD＝∠AOD＝60°﹣x，
∴2（60°﹣x）+x+3x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠AOD＝∠BOD＝30°，故①正确；
∵∠BOD＝∠AOD＝30°，∠DOE＝60°，
∴∠AOD+∠DOE＝90°，则∠EOC＝∠AOE＝90°，
∴射线OE平分∠AOC，故②正确；
∵∠BOE＝30°，∠AOB＝60°，∠DOE＝60°，
∴∠AOB+∠BOE＝90°，∠BOE+∠DOE＝90°，
∴图中与∠BOE互余的角有2个，故③正确；
∵∠AOE＝∠EOC＝90°，
∴∠AOE+∠EOC＝180°，
∵∠EOC＝90°，∠DOB＝30°，∠BOE＝30°，∠AOD＝30°，
∴∠COD+∠AOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOE＝180°，∠COB+∠AOB＝180°，∠COB+∠DOE＝180°，
∴图中互补的角有6对，故④正确；
正确的有4个．
故选：D．
9．（2023•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
分析：过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF．
【解答】解：如图，过点F作FM∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FM，
∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，
∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．
∵CG∥EF，
∴∠EFA＝∠AGC＝80°．
∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．
∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．
故选：C．
10．（2023•苏州模拟）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系是（ ）
A．β+γ﹣α＝90°B．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β＝α+γ
分析：此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α，
∵∠β＝∠2+∠γ，
∴∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023秋•九龙坡区期末）一个75°的角的补角是 75 °．
分析：利用补角的定义进行运算即可．
【解答】解：一个75°的角的补角是：180°﹣75°＝105°．
故答案为：75．
12．（2023秋•阳曲县期末）如图∠AOB＝∠COD＝90°．若∠BOD＝150°，则∠BOC＝ 120 °．
分析：1周角＝360°，把∠BOD和∠COD的度数代入∠BOC＝360°﹣∠BOD﹣∠COD，即可求出答案．
【解答】解：∵∠BOD＝150°，∠DOC＝90°，
∴∠BOC＝360°﹣∠BOD﹣∠COD＝360°﹣150°﹣90°＝120°，
故答案为：120．
13．（2023•东阳市校级开学）如图所示，图中用数字标出的角中，∠2的内错角是 ∠6 ．
分析：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断．
【解答】解：图中用数字标出的角中，∠2的内错角是∠6．
故答案为：∠6．
14．（2023秋•新兴区校级期末）如图，在图中标注的∠1、∠3、∠4、∠5中，当∠2＝∠ 4 时，AE∥BF．
分析：根据同位角相等，两直线平行即可求解．
【解答】解：∵∠2＝∠4，
∴AE∥BF．
故答案为：4．
15．（2023秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 40°或140° ．
分析：①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；
②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．
【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1＝40°，
∴∠2＝40°；
②若∠1与∠2位置如图2所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2+∠1＝180°，
又∵∠1＝40°
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
综合所述：∠2的度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
16．（2023秋•朝阳区校级期末）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 4秒或40秒 时，CD与AB平行．
分析：分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【解答】解：分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝100°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF，
即120°﹣（6t）°＝100°﹣t°，
解得t＝4；
此时（180°﹣60°）÷6＝20，
∴0＜t＜20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝100°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（6t）°＝100°﹣t°，
解得t＝40，
此时（360°﹣60°）÷6＝50，
∴20＜t＜50；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∵∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣100°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即（6t）°﹣300°＝t°﹣100°，
解得t＝40，
此时t＞50，
∵40＜50，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，CD与AB平行．
故答案为：4秒或40秒．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023春•凌海市期中）看图填空：（请将不完整的解题过程及根据补充完整）
已知：如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝50°，求∠2的度数．
解：因为AB∥CD，∠1＝50°，
根据 两直线平行，同位角相等
所以∠ABC＝∠1＝50°．
又因为BC平分∠ABD，∠ABC＝50°
所以 ∠CBD ＝∠ABC＝50°．
根据“两直线平行，同旁内角互补”．
所以∠ABD+ ∠CDB ＝180°
所以∠CDB＝180°﹣∠ABD＝80°．
根据 对顶角相等 ，
所以∠2＝∠CDB＝80°
分析：根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可．
【解答】解：因为AB∥CD，∠1＝50°，
所以∠ABC＝∠1＝50°（两直线平行，同位角相等），
又因为BC平分∠ABD，∠ABC＝50°，
所以∠CBD＝∠ABC＝50°（角平分线的定义），
又因为AB∥CD，
所以∠ABD+∠CDB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
所以∠CDB＝180°﹣∠ABD＝80°，
所以∠2＝∠CDB＝80°（对顶角相等）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；∠CBD，∠CDB；对顶角相等．
18．（2023春•松江区校级期中）如图，AB∥DE，CM平分∠BCE，MC⊥NC，∠B＝70°，求∠BCN的度数．
分析：由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得∴∠B+∠BCE＝180°，即可算出∠BCE的度数，根据角平分线的定义可得，∠BCM＝，再由垂线的性质可得∠MCN＝90°，根据∠BCN＝∠MCN﹣∠BCM计算即可得出答案．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B+∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣70°＝110°，
∵CM平分∠BCE，
∴∠BCM＝＝＝55°，
∵MC⊥NC，
∴∠MCN＝90°，
∴∠BCN＝∠MCN﹣∠BCM＝90°﹣55°＝35°．
19．（2023秋•天河区校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠BOE和∠DOF的度数．
分析：设∠BOC＝x°，则∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，由邻补角的性质，求出x的值，再根据角平分线，计算出∠COE的度数，计算即可．
【解答】解：设∠BOC＝x°，则∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，由题意得：
x+4x＝180，
解得：x＝36，
∴∠BOC＝36°，∠DOF＝72°，∠AOC＝144°，
∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠BOE＝∠COE＝∠BOC＝36°＝18°．
20．（2023春•山阳县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠FAB＝∠BDC；
（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．
分析：（1）根据AC∥EF，证得∠1+∠FAC＝180°，已知∠1+∠2＝180°，等量代换∠2＝∠FAC，从而证得FA∥CD，得出∠FAB＝∠BDC；
（2）根据角平分线的定义得∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC，得出∠FAD＝2∠2，根据已知求出∠2的度数，根据EF⊥BE，AC∥EF，证得AC⊥BE，得出∠ACB＝90°，进一步求出∠BCD的度数．
【解答】（1）证明：∵AC∥EF，
∴∠1+∠FAC＝180°，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠FAC，
∴FA∥CD，
∴∠FAB＝∠BDC；
（2）解：∵AC平分∠FAD，
∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC，
由（1）知∠2＝∠FAC，
∴∠FAD＝2∠2，
∴∠2＝∠FAD，
∵∠FAD＝80°，
∴∠2＝×80°＝40°，
∵EF⊥BE，AC∥EF，
∴AC⊥BE，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°．
21．（2023春•岳麓区校级期末）如图，已知AB∥CD，点M是直线AB，CD内部一点，连接MB，MD．
（1）探究：①若∠B＝25°，∠D＝40°，则∠BMD＝ 65 °；
②若∠B＝α，∠D＝β，则∠BMD＝ α+β ；
（2）猜想：图中∠B，∠D与∠BMD之间的数量关系，并说明理由．
分析：（1）过M点作MN∥AB即可．得到∠BMD＝∠B+∠D．
（2）运用（1）的结论．
（3）运用（1）的结论．
【解答】解：（1）如图，过M点作MN∥AB，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠BMN＝∠B，∠DMN＝∠D，
∴∠BMD＝∠BMN+∠DMN＝∠B+∠D＝25°+40°＝65°，
故答案为：65．
（2）同理，∠B＝α，∠D＝β，
∴∠BMD＝∠B+∠D＝α+β，
故答案为：α+β．
（3）同理，∠BMD＝∠B+∠D．
22．（2023春•龙岗区校级期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD，各活动小组探索∠APD与∠A，∠C之间数量关系时，有如下发现：
（1）在图②所示的图形中，若∠A＝30°，∠D＝35°，则∠APD＝ 65° ；
（2）在图③中，若∠A＝150°，∠APD＝60°，则∠D＝ 150° ；
（3）有同学在图②和图③的基础上，画出了图④所示的图形，其中AB∥CD，请判断∠α，∠β，∠γ之间的关系，并说明理由．
分析：（1）过点P作PQ∥AB，根据AB∥CD，证得PQ∥AB∥CD，进而根据平行线的性质得到∠APD＝∠A+∠D即可解答；
（2）过点P作PQ∥AB，根据AB∥CD，证得PQ∥AB∥CD，进而得到∠A+∠APQ＝180°，∠D+∠DPQ＝180°，求出∠DPQ＝30°，进一步求出∠D即可；
（3）过点P作PQ∥AB，根据AB∥CD，证得PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质得到α+∠BPQ＝180°，γ＝∠DPQ，进而得出β＝∠BPQ+γ，进一步求出α+β﹣γ＝180°．
【解答】解：（1）过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠A＝∠APQ，∠D＝∠DPQ，
∵∠A＝30°，∠D＝35°，
∴∠APD＝∠APQ+∠DPQ＝∠A+∠D＝30°+35°＝65°．
故答案为：65°；
（2）过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠A+∠APQ＝180°，∠D+∠DPQ＝180°，
∵∠A＝150°，
∴∠APQ＝30°，
∵∠APD＝60°，
∴∠DPQ＝30°，
∴∠D＝180°﹣∠DPQ＝180°﹣30°＝150°．
故答案为：150°；
（3）过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴α+∠BPQ＝180°，γ＝∠DPQ，
∴∠BPQ＝180°﹣α，
∵β＝∠BPQ+∠DPQ，
∴β＝∠BPQ+γ，
∴β＝180°﹣α+γ，
即α+β﹣γ＝180°．
23．（2023秋•甘井子区校级期末）如图，∠AOB＝120°，射线OC在平面内．
（1）若∠AOC与∠BOC互补，则∠BOC 30°或150° ；
（2）射线OC在直线OA的上方时，射线OA的反向延长线与射线OC形成的夹角是α（0°＜α＜180°），OM平分∠AOC．
①若∠BOC＝90°，求∠MOB的度数为 105° ；
②是否存在α的值，使得∠MOC与∠BOC互余，若存在，求出α；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据题意可知OC的位置有两种情况，分情况讨论计算∠BOC 的值；
（2）①读懂题意，确定OC，OM 的位置，根据角平分线定义，角的和差，计算∠MOB的度数；
②读懂题意，根据OC的两种位置，分情况计算α的值．
【解答】解：（1）
如图，∵∠AOB＝120°，∠AOC与∠BOC互补，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOB+∠BOC+∠BOC＝180°，
∴120°+2∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝30°；
如图，∵∠AOB＝120°，∠AOC与∠BOC互补，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC﹣∠AOB+∠BOC＝180°，
∴2∠BOC﹣∠AOB＝180°，
∴2∠BOC﹣120＝180°
∴∠BOC＝150°；
∴∠BOC的值为 30°或150°；
故答案为：30°或150°；
（2）①
∵∠AOB＝120°，∠BOC＝90°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，
∴∠AOC＝30°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM＝∠AOC＝×30°＝15°，
∴∠MOB＝∠COM+∠BOC＝15°+90°＝105°，
故答案为：105°；
②存在，理由如下：
∵∠MOC与∠BOC互余，
∴∠MOC+∠BOC＝90°，
∵∠MOC＝（180°﹣α），
∠BOC＝180°﹣120°﹣α，
∴（180°﹣α）+180°﹣120°﹣α＝90°，
∴α＝40°；
∵∠MOC与∠BOC互余，
∴∠MOC+∠BOC＝90°，
∵∠MOC＝（180°﹣α），
∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝∠AOB﹣2∠MOC＝120°﹣2×（180°﹣α）＝α﹣60°，
∴（180°﹣α）+α﹣60°＝90°，
∴α＝120°，
∴α的值为40°或120°．