北师大版七年级下册期末专题02 相交线与平行线（原卷+解析）

专题02  相交线与平行线

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．一个角的余角是60°，则这个角的补角等于（    ）

A．60° B．90° C．120° D．150°

【答案】D

【解析】解： 一个角的余角是60°， 这个角是

这个角的补角是 故选：

本题考查的是余角与补角的含义，掌握利用余角与补角的含义是解题的关键．

2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠BOD=70°，则∠DOE的度数是（    ）

A．70° B．35° C．120° D．145°

【答案】D

【解析】解：∵∠BOD＝70°，∴∠AOC＝∠BOD＝70°，

∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOC＝×70°＝35°，

∠DOE＝∠COD-∠COE＝145°故选：D．

3．已知直线a，b，c是同一平面内的三条不同直线，下面四个结论：

①若则；②若则；③若则；④若且与相交，则与相交，其中，结论正确的是（　）

A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④

【答案】A

【解析】①根据“同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”判定：若则；故说法正确；

②若则，故说法正确；

③根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”判定：若则；说法错误；

④若且与相交，则与不一定相交，故说法错误

故正确的有：①② 故选：A

4．如图，中，是的平分线，，则图中能用字母表示的相等的角的对数有（   ）

A．3对 B．4对 C．5对 D．6对

【答案】D

【解析】解：∵，∴，，，，

∵是的平分线，∴，∴，

能用字母表示的相等的角的对数有6对．，，，，，．

故选：．

5．下列说法：

①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线；

②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；

③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；

④同旁内角相等，两直线平行．

正确的个数有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题错误；

②过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故原命题错误；

③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，正确；

④同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误．故选：A

6．如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝(   )

A．∠1＋∠2 B．∠2－∠1

C．180°－∠1＋∠2 D．180°－∠2＋∠1

【答案】D

【解析】解：∵AB∥CD，∴∠BCD=∠1，∵CD∥EF，∴∠DCE=180°-∠2，∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=180°-∠2+∠1．故选D．

7．如图所示，，，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（   ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【解析】解：，，，

，，，，故选：．

8．①如图1,AB∥CD,则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2,AB∥CD,则∠E =∠A +∠C;③如图3,AB∥CD,则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C +∠P.以上结论正确的个数是(   )

A．、1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【详解】①如图1，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，

所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，

所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；

②如图2，过点E作EF∥AB，

因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，

所以∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，

所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC，则②正确；

③如图3，过点E作EF∥AB，

因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，

所以∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，所以∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°，则③正确；

④如图4，过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，

所以∠A=∠APF，∠C=∠CPF，所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；

故选C.

二、填空题

9．直线、交于，，，则_______．

【答案】150或30

【解析】∵∠AOC：∠BOC=2：1，且∠AOC+∠BOC=180，

∴∠BOC=60，∴∠AOD=60，

如图，当OE、OC在直线AB同侧时：∴∠EOD=90+60=150

如图，当OE、OC在直线AB异侧时：∠EOD=90-60=30．

故答案为：150或30．

10．如图，如果添加一个条件使得AD平行于BC ,那么这个条件可以是_______.

【答案】∠1=∠4

【解析】∵∠1=∠4，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故添加条件为∠1=∠4.

11．如图，一辆汽车在公路上由西向东行驶，经两次拐弯后驶上公路，驾驶员发现在公路和公路上行驶的方向都是正东方向，如果汽车第一次拐弯转过的角度，则第二次弯转过的角度________．

【答案】44°

【解析】解：∵经两次拐弯后在公路AB和公路CD上行驶的方向都是正东方向，

∴AB∥CD，∴α=β，∵α=44°，∴β=44°．∴第二次拐弯转过的角度β是44°，

故答案为：44°．

12．如图，，则___________．

【答案】35°

【解析】解：过P作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1=∠APE=55°，

∵∠APC=90°，∴∠CPE=90°-55°=35°，

∵EF∥CD，∴∠CPE=∠2=35°，故答案为：35°．

13．如果的两边分别平行于的两边，且比的2倍少，则________．

【答案】或

【解析】解：∵∠1比∠2的2倍少30°，∴∠1=2∠2-30°．

根据∠1的两边与∠2的两边分别平行，分两种情况：

如图①，根据平行可得，∠1=∠3，∠2=∠3，∴∠1=∠2，则

2∠2-30°=∠2，解得∠2=30°，∴∠1=30°；

如图②，根据平行可知，∠1=∠3，∠2+∠3=180°，∴∠1+∠2=180°，则

2∠2-30°+∠2=180°，解得∠2=70°，∴∠1=110°．
综上所述，∠1的度数为30°或110°．故答案为：30°或110°．

14．如图，∠AEM＝∠DFN＝a，∠EMN＝∠MNF＝b，∠PEM＝∠AEM，∠MNP＝∠FNP，∠BEP，∠NFD的角平分线交于点I，若∠I＝∠P，则a和b的数量关系为_____（用含a的式子表示b）．

【答案】．

【解析】分别过点P、I作ME∥PH，AB∥GI，

设∠AEM＝2x，∠PNF＝2y，则∠PEM＝x，∠MNP＝y，

∴∠DFN＝2x=a，∠MNF＝b=3y

∵PH∥ME，∴∠EPH＝x，∵EM∥FN，∴PH∥FN，∴∠HPN＝2y，∠EPN＝x+2y，

同理，，∵∠EPN＝∠EIF，∴＝x+2y，

∴，∴，故答案为：．

三、解答题

15．如图，已知三角形和射线，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）：

（1）在射线的上方，作；

（2）在射线上作线段，在射线上作线段，使得，；

（3）连接，观察并猜想：与的数量关系是______，填（“＞”、“＜”或“＝”）

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）＝

【解析】（1）如图所示：

作法：

①以点B为圆心任意长为半径画圆弧，交AB，BC于点G，H

②再以点E为圆心以①中的半径画圆弧，交EM于点P

③再以点P为圆心GH长为半径画圆弧，与②所画的圆弧交于点N，连接EN即可

（2）如图所示：

作法：

①用圆规取BC的长度，以点E为圆心BC长为半径画弧，交EM于点F，则EF=BC

②用圆规取AB的长度，以点E为圆心AB长为半径画弧，交EN的延长线于点D，则DE=AB

（3）根据EF=BC，DE=AB，可证，则DF=AC

16．如图，已知直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC分成两部分．

（1）写出图中∠AOC的对顶角　   　，∠COE的补角是　   　；

（2）已知∠AOC＝60°，且∠COE：∠AOE＝1：2，求∠DOE的度数．

【答案】（1）∠BOD，∠DOE；（2）160°

【解析】解：（1）由图形可知，∠AOC的对顶角是∠BOD，∠COE的补角是∠DOE；

（2）设∠COE＝x，则∠AOE＝2x，

∵∠AOC＝60°，∴x+2x＝60，解得x＝20，即∠COE＝20°，∠AOE＝40°，

∵∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠AOD＝120°，

∴∠DOE＝∠AOE+∠AOD＝40°+120°＝160°．

17．完成下面的证明．

已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°．

求证：AB∥EF．

证明：∵∠1+∠2＝180°，

∴AB∥　   　（　   　）．

∵∠3+∠4＝180°，

∴　   　∥　   　．

∴AB∥EF（　   　）．

【答案】CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行

【解析】证明：如图所示：

∵∠1+∠2＝180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），

∵∠3+∠4＝180°（已知），∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），

∴AB∥EF（若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行），

故答案为：CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三条直线，则这两条直线也相互平行．

18．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，．

（1）求证：；

（2）若，求的度数．

【答案】（1）见解析；（2）70°

【解析】（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，∴CEGF，∴∠C＝∠DGF，

又∵∠C＝∠EFG，∴∠DGF＝∠EFG，∴；

（2）解：∵∠CED＝∠GHD，∠GHD＝∠EHF＝80°，

∴∠CED＝80°，在CDE中，∠CED＝80°，∠D＝30°，∴∠C＝180°﹣80°﹣30°＝70°，

∵AB∥CD，∴∠BEM＝∠C＝70°，答：∠BEM的度数为70°．

19．如图，AB⊥AK，点A在直线MN上，AB、AK分别与直线EF交于点B、C，∠MAB+∠KCF=90°．

（1）求证：EF∥MN；

（2）如图2，∠NAB与∠ECK的角平分线交于点G，求∠G的度数；

（3）如图3，在∠MAB内作射线AQ，使∠MAQ=2∠QAB，以点C为端点作射线CP，交直线AQ于点T，当∠CTA=60°时，直接写出∠FCP与∠ACP的关系式．

【答案】（1）见解析；（2）∠CGA=45°；（3）∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．

【解析】解：（1）∵AB⊥AK∴∠BAC=90°∴∠MAB+∠KAN=90°

∵∠MAB+∠KCF=90°∴∠KAN=∠KCF∴EF∥MN

（2）设∠KAN=∠KCF=α，则∠BAN=∠BAC+∠KAN=90°＋α

∠KCB=180°－∠KCF=180°－α    

∵AG平分∠NAB，CG平分∠ECK

∴∠GAN=∠BAN=45°＋α，∠KCG=∠KCB=90°－α

∴∠FCG=∠KCG+∠KCF=90°＋α

过点G作GH∥EF∴∠HGC=∠FCG=90°＋α

又∵MN∥EF∴MN∥GH∴∠HGA=∠GAN=45°＋α

∴∠CGA=∠HGC－∠HGA=（90°＋α）－（45°＋α）=45°

（3）①当CP交射线AQ于点T

∵∴

又∵∴

由（1）可得：EF∥MN ∴

∵∴

∵，

∴

∴即∠FCP+2∠ACP=180°

②当CP交射线AQ的反向延长线于点T，延长BA交CP于点G

，由EF∥MN得

∴

又∵，，

∴

∵，

∴∴

∴

由①可得

∴

∴

20．已知点O为直线上一点，，射线平分．

（1）如图①所示，若，则_________．

（2）若将绕点O旋转至图②的位置，试判断和的数量关系，并说明理由．

（3）若将绕点O旋转至图③的位置，和的数量关系是否发生变化？只需写出结论，不需说明理由．

（4）若将绕点O旋转至图④的位置，继续探究和的数量关系，请直接写出和之间的数量关系：__________．

【答案】（1）40°；（2）∠BOD=2∠COE，利用见解析；（3）∠BOD=2∠COE；（4）∠BOD+2∠COE=360°．

【解析】解：（1）∠EOD=∠COD-∠COE=90°-20°=70°，

∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠EOD=2×70°=140°，

∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-140°=40°．故答案为：40°；

（2）∠BOD=2∠COE．理由如下：

∵∠COD=90°，∴∠DOE=90°-∠COE，

∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠DOE=90°-∠COE，

∴∠AOC=∠AOE-∠COE=90°-2∠COE，

∵A、O、B在同一直线上，∴∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=180°-90°-（90°-2∠COE）

=2∠COE，即：∠BOD=2∠COE；

（3）∠BOD=2∠COE，理由如下；

∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠EOD，

∵∠BOD+∠AOD=180°，∴∠BOD+2∠EOD=180°．

∵∠COD=90°，∴∠COE+∠EOD=90°，

∴2∠COE+2∠EOD=180°，∴∠BOD=2∠COE；

（4）∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COE-90°，

又∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠DOE=2∠COE-180°，∴∠BOD=180°-∠AOD

=180°-2∠COE+180°=360°-2∠COE，即：∠BOD+2∠COE=360°．

故答案为：∠BOD+2∠COE=360°．