北师大版七年级数学下册同步精讲精练第二章相交线与平行线(A卷知识通关练)(原卷版+解析)

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考点1 点到直线的距离
【方法点拨】从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
（2022•南京模拟）如图，是直线外一点，，，三点在直线上，且于点，，则下列结论中正确的是
①线段的长度是点到直线的距离；②线段是点到直线的距离；③在，，三条线段中，最短；④线段的长度是点到直线的距离
A．①②③B．③④C．①③D．①②③④
（2022春•江源区期末）下列图形中，线段的长表示点到直线距离的是
A．B．
C．D．
（2022•顺德区二模）如图，点，，在直线上，，，，，点到直线的距离是 ．
如图，，若、、，则点到直线的距离为 ．
考点2 相交线的交点问题
【方法点拨】3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）个交点．
（2020春•桂林期末）同一平面内两条直线若相交．则公共点的个数为 个．
在同一平面内的n条直线两两相交，最多共有36个交点，则n＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，如图所示：两条直线相交，最多有一个交点；三条直线相交，最多有三个交点；四条直线相交，最多有6个交点，像这样，11条直线相交，最多交点的个数是（ ）
A．40个B．50个C．55个D．66个
考点3 同位角、内错角、同旁内角的判断
【方法点拨】直线AB，CD被第三条直线EF所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：
*同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；
*内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；
*同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；
（2022春•苍溪县期末）如图，直线，被所截，则与是
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
（2022春•孝南区月考）如图，与是同旁内角的是
A．B．C．D．
（2022春•乐安县期中）如图，与不是同旁内角的是
A．B．
C．D．
（2022春•承德县期末）如图，和是
A．同位角B．内错角C．对顶角D．同旁内角
（2022春•嘉兴期末）如图，直线，被直线所截，的同旁内角是 ．
（2022春•建湖县期中）如图所示，直线、被直线所截，交点分别为、，则的内错角是 ．
（2021春•贺兰县期中）如图，指出图中直线，被直线所截的同位角、内错角、同旁内角．
考点4 平行线公理及其推论
【方法点拨】平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。
（2022春•高邑县期末）如图，在平面内经过一点作已知直线的平行线，可作平行线的条数有
A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条
（2021春•饶平县校级期中）同一平面内如果两条直线不重合，那么它们
A．平行B．相交C．相交或垂直D．平行或相交
已知在同一平面内，有三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则直线a与直线c之间的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．垂直D．平行或相交
下列语句：
①不相交的两条直线叫平行线
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行
③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点5 利用平行线的性质求角
如图，，，，则
A．B．C．D．
（2022春•黔南州期末）如图．，，划的度数是
A．B．C．D．
（2022春•蜀山区期末）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数为
A．B．C．D．
（2022•东昌府区二模）如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则等于
A．B．C．D．
考点6 平行线的判定
【方法点拨】两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：
平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行
平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行
平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行
平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行
（2022春•麒麟区期末）下列说法正确的是
A．在同一平面内，，，是直线，且，，则
B．在同一平面内，，，是直线，且，，则
C．在同一平面内，，，是直线，且，，则
D．在同一平面内，，，是直线，且，，则
（2022春•博罗县期末）如图，点在的延长线上，则下列条件中，能判定的是
A．B．C．D．
（2022春•新洲区期末）如图，点在的延长线上，则下列条件中，能判定的是
A．B．C．D．
（2022春•康县期末）如图，平分，．填空：因为平分，所以 ，从而 ，因此 ．
考点7 垂线段在生活中的应用
如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．
（1）在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是 ．
（2）在直线MN上取一点D，使线段AD+BD最短．依据是 ．
如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．
考点8 利用平行线的判定及性质证明平行
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D．求证：AB∥CD．（在每步证明过程后面注明理由）
如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠1＝∠2，AB与DG平行吗？为什么？
考点9 利用平行线的判定及性质证明角相等
（2021秋•淇滨区期末）如图，且被直线所截，，则的度数是 ．
（2021秋•辉县市期末）如图，，分别交、于、，，平分，交于，则 ．
考点10 平行线中构造平行线
（2022春•绥江县期中）如图，，，，则的度数为 ．
已知：，，，求的度数．
班级 姓名 学号 分数
第二章 相交线与平行线（A卷·知识通关练）
考点1 点到直线的距离
【方法点拨】从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
（2022•南京模拟）如图，是直线外一点，，，三点在直线上，且于点，，则下列结论中正确的是
①线段的长度是点到直线的距离；②线段是点到直线的距离；③在，，三条线段中，最短；④线段的长度是点到直线的距离
A．①②③B．③④C．①③D．①②③④
【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条线段的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可得解．
【解答】解：于点，
线段的长度是点到直线的距离，故①正确，④错误；
，
线段的长度是点到直线的距离，故②错误；
根据垂线段最短，在，，三条线段中，最短，故③正确；
故选．
（2022春•江源区期末）下列图形中，线段的长表示点到直线距离的是
A．B．
C．D．
【分析】点到直线的距离是指垂线段的长度．
【解答】解：线段的长表示点到直线距离的是图，
故选：．
（2022•顺德区二模）如图，点，，在直线上，，，，，点到直线的距离是 ．
【分析】利用点到直线的距离的定义，判断即可．
【解答】解：点到直线的距离就是点到直线的垂线段的长度，
，，
点到直线的距离是5．
故答案为：5．
如图，，若、、，则点到直线的距离为 ．
【分析】根据点到直线的距离的定义解答即可．
【解答】解：点到直线的距离是线段的长度，，
点到直线的距离为．
故答案为：
考点2 相交线的交点问题
【方法点拨】3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）个交点．
（2020春•桂林期末）同一平面内两条直线若相交．则公共点的个数为 个．
【分析】根据相交线的定义可得答案．
【解答】解：同一平面内两条直线若相交．则公共点的个数为1个，
故答案为：1．
在同一平面内的n条直线两两相交，最多共有36个交点，则n＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】从简单情形考虑：分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答．
【答案】解：2条直线相交最多有1个交点；
3条直线相交最多有1+2个交点；
4条直线相交最多有1+2+3个交点；
5条直线相交最多有1+2+3+4个交点；
6条直线相交最多有1+2+3+4+5个交点；
…
所以n条直线相交最多有1+2+3+4+5+…+（n﹣1）＝个交点；
由题意得＝36，
解得n＝9．
故选：C．
观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，如图所示：两条直线相交，最多有一个交点；三条直线相交，最多有三个交点；四条直线相交，最多有6个交点，像这样，11条直线相交，最多交点的个数是（ ）
A．40个B．50个C．55个D．66个
【分析】根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）个交点．
【答案】解：∵10条直线两两相交：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，
5条直线相交最多有10个交点，而3＝×2×3，6＝×3×4，10＝1+2+3+4＝×4×5，
∴11条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）＝×11×10＝55．
故选：C．
考点3 同位角、内错角、同旁内角的判断
【方法点拨】直线AB，CD被第三条直线EF所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：
*同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；
*内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；
*同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；
（2022春•苍溪县期末）如图，直线，被所截，则与是
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行判断即可．
【解答】解：与是直线，被所截得的同位角，
故选：．
（2022春•孝南区月考）如图，与是同旁内角的是
A．B．C．D．
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个判断即可．
【解答】解：．与是内错角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；
．与是同一个角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；
．与是同旁内角，故本选项符合题意；
．与是同位角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；
故选：．
（2022春•乐安县期中）如图，与不是同旁内角的是
A．B．
C．D．
【分析】根据同旁内角的概念：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．可得答案．
【解答】解：选项、、中，与在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，是同旁内角；
选项中，与的两条边都不在同一条直线上，不是同旁内角．
故选：．
（2022春•承德县期末）如图，和是
A．同位角B．内错角C．对顶角D．同旁内角
【分析】利用同旁内角的定义解答．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【解答】解：和是同旁内角．
故选：．
（2022春•嘉兴期末）如图，直线，被直线所截，的同旁内角是 ．
【分析】根据同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行求解．
【解答】解：根据题意，的同旁内角是．
故答案为：．
（2022春•建湖县期中）如图所示，直线、被直线所截，交点分别为、，则的内错角是 ．
【分析】根据内错角的定义即可得到结论．
【解答】解：根据内错角的定义，观察上图可知，
的内错角是，
故答案为：．
（2021春•贺兰县期中）如图，指出图中直线，被直线所截的同位角、内错角、同旁内角．
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断求解即可．
【解答】解：直线、被直线所截，
与，与是同位角；
与，与是内错角；
与是同旁内角，与是同旁内角．
考点4 平行线公理及其推论
【方法点拨】平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。
（2022春•高邑县期末）如图，在平面内经过一点作已知直线的平行线，可作平行线的条数有
A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条
【分析】分情况讨论，分为点在直线上和直线外．
【解答】解：①当点在直线上时，这样的直线为0条；
②当点在直线外时，这样的直线有一条．
故选：．
（2021春•饶平县校级期中）同一平面内如果两条直线不重合，那么它们
A．平行B．相交C．相交或垂直D．平行或相交
【分析】根据在同一平面内两直线的位置关系进行解答即可．
【解答】解：同一平面内如果两条直线不重合，那么他们平行或相交；
故选：．
已知在同一平面内，有三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则直线a与直线c之间的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．垂直D．平行或相交
【分析】根据平行公理的推论直接判断直线c与直线a的位置关系即可．
【答案】解：∵在同一平面内，直线a∥b，直线b∥c，
∴直线c与直线a的位置关系是：a∥c．
故选：B．
下列语句：
①不相交的两条直线叫平行线
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行
③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】直接利用平行公理以及其推论分析得出答案．
【答案】解：①不相交的两条直线叫平行线，必须是在同一平面内，故错误；
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，正确
③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行，错误；
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，正确；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行公理及推论，正确把握定义是解题关键．
考点5 利用平行线的性质求角
如图，，，，则
A．B．C．D．
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据，求出．
【解答】解：由三角形内角和定理可知，
，
，
，
故选：．
（2022春•黔南州期末）如图．，，划的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据，可知，再根据邻补角可求．
【解答】解：如图：
，
，
．
故选：．
（2022春•蜀山区期末）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】利用平行线的性质直接求解即可．
【解答】解：，
，
，
，
，
即选项正确，
故选：．
（2022•东昌府区二模）如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则等于
A．B．C．D．
【分析】先根据余角的定义求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：直角三角板的直角顶点在直线上，，
，
，
，
故选：．
考点6 平行线的判定
【方法点拨】两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：
平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行
平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行
平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行
平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行
（2022春•麒麟区期末）下列说法正确的是
A．在同一平面内，，，是直线，且，，则
B．在同一平面内，，，是直线，且，，则
C．在同一平面内，，，是直线，且，，则
D．在同一平面内，，，是直线，且，，则
【分析】根据题意画出图形，从而可做出判断．
【解答】解：先根据要求画出图形，图形如下图所示：
根据所画图形可知：正确．
故选：．
（2022春•博罗县期末）如图，点在的延长线上，则下列条件中，能判定的是
A．B．C．D．
【分析】依据平行线的判定方法进行判断，即可得出结论．
【解答】解：若，则，故选项不合题意；
若，则，故选项不合题意；
若，则，故选项符合题意；
若，则，故选项不合题意；
故选：．
（2022春•新洲区期末）如图，点在的延长线上，则下列条件中，能判定的是
A．B．C．D．
【分析】由平行线的判定方法判断即可．
【解答】解：（已知），
（内错角相等，两直线平行）．
故选：．
（2022春•康县期末）如图，平分，．填空：因为平分，所以 ，从而 ，因此 ．
【分析】由平分，，可得出，由内错角相等可以得出两直线平行．
【解答】解：平分，
，
又，
，
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：，，．
考点7 垂线段在生活中的应用
如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．
（1）在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是 ．
（2）在直线MN上取一点D，使线段AD+BD最短．依据是 ．
【分析】（1）过A作AC⊥MN，AC最短；
（2）连接AB交MN于D，这时线段AD+BD最短．
【答案】解：（1）过A作AC⊥MN，根据：垂线段最短．
（2）连接AB交MN于D，根据是：两点之间线段最短．
如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．
【分析】（1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置；
（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段．
【答案】解：（1）∵两点之间线段最短，
∴连接AD，BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．
（2）过H作HG⊥EF，垂足为G．
“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据．
考点8 利用平行线的判定及性质证明平行
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D．求证：AB∥CD．（在每步证明过程后面注明理由）
【分析】结合图形，利用平行线的性质及判定逐步分析解答．
【答案】证明：∵∠1与∠CGD是对顶角，
∴∠1＝∠CGD（对顶角相等），
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠CGD+∠2＝180°（等量代换），
∴AE∥FD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），
又∵∠A＝∠D（已知），
∴∠BFD＝∠D（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠1＝∠2，AB与DG平行吗？为什么？
【分析】结论：AB∥DG．只要证明∠BAD＝∠2即可．
【答案】解：结论：AB∥DG．
理由：∵AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，
∴AD∥EF，
∴∠1＝∠BAD，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠2，
∴AB∥DG．
考点9 利用平行线的判定及性质证明角相等
（2021秋•淇滨区期末）如图，且被直线所截，，则的度数是 ．
【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：，，
，
，
．
故答案为：．
（2021秋•辉县市期末）如图，，分别交、于、，，平分，交于，则 ．
【分析】首先根据邻补角的性质可得，再根据角平分线的性质可得，然后再根据两直线平行内错角相等可得答案．
【解答】解：，
．
平分，
，
，
．
故答案为：．
考点10 平行线中构造平行线
（2022春•绥江县期中）如图，，，，则的度数为 ．
【分析】过点作，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【解答】解：如图，过点作，
，
，
，，
，，
，，
，
故答案为：．
已知：，，，求的度数．
【分析】过点作，根据证得，根据平行线的性质证得，，根据得出即可解答．
【解答】解：如图，过点作，
，
，
，，
，
，，
．