易错02 方程（组）与不等式（组）-备战2024年中考数学考试易错题（全国通用）

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易错点一：遇到括号易出错
解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
易错提醒：（1）分数线具有括号的作用，如果分子是一个多项式，应该把它看作一个整体，故去分母后，应该用括号括起来；（2）去括号时需乘多项式的每一项，若括号前面是负号，去括号时项的符号要改变．
例1．解方程．
(1)
(2)
例2．下列变形正确的是（ ）
A．由去分母，得
B．由去括号，得
C．由移项，得
D．由系数化为1，得
变式1．解方程：
(1)；
(2)．
变式2．已知关于x的方程的解是，求m的值．
变式3．（1）解方程：．
（2）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
任务
①第一步的依据是________；
②第________步开始出现错误，错误的原因是________；
③该方程的正确解为________．
变式4．下面是佳佳作业中一个问题的解答过程：
解：①
②
③
④
(1)第①步的变形为______（填去分母、去括号、移项或合并同类项）；
(2)解方程的过程中开始出现错误的步骤是第______步，请写出该方程正确的求解过程．
1．下列方程变形正确的是（ ）
A．由得B．由得
C．由得D．由得
2．小琪解关于x的方程，在进行“去分母”步骤时，等号右边的“2”忘记乘最简公分母，她求得的解为，则k的值为（ ）
A．B．2C．－1D．－3
3．佳佳同学解一元一次方程的过程如下：
解：去分母，得，第一步
去括号，得，第二步
移项，得，第三步
合并同类项，得，第四步
系数化为1，得．
前四个步骤中，开始出现错误的是（ ）
A．第一步B．第二步C．第三步D．第四步
4．下面是小友同学解方程的过程如下，请仔细阅读，并解答所提出的问题：
解：去分母，得，①
去括号，得，②
移项，得，③
合并同类项，得，④
系数化为1，得，⑤
(1)该同学的解答过程从第______步开始出错；
(2)写出正确的解答过程．
5．解方程
(1)；
(2)
6．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，如：．
(1)求的值；
(2)若，求a的值；
(3)若，（其中x为有理数），试比较与n的大小．
7．在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小乐同学的解题过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务一：填空：
①以上解题过程中，第一步的变形的依据是 ；第二步去括号时依据的运算律是 ；
②以上解题过程中从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
③请直接写出该方程的正确解： ；
任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议．
易错点二：①忽视二次项系数为0;②解方程易失根
一、一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项
二、求解方程过程中需满足等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
易错提醒：（1）不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件；（2）若用到两边同时除以一个多项式时，要考虑多项式为0和多项式不为0两种情况，不然会造成丢根
例3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
例4．关于方程的描述，下列说法错误的是（ ）
A．它是一元二次方程B．解方程时，方程两边先同时除以
C．它有两个不相等的实数根D．用因式分解法解此方程最适宜
变式1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A．B．且C．D．且
变式3．一元二次方程x（x－2）＝2－x的根是（ ）
A．－1B．0
C．1和2D．－1和2
变式4．选择适当的方法解方程；
(1)
(2)
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．方程的解是（ ）
A．B．C．或D．或
3．解一元二次方程时，小明得出方程的根是，则被漏掉的一个根是 ．
4．如果方程是关于x的一元二次方程，则P的值是( )
A．2B．C．D．3
5．一元二次方程有一个根为0，则的值为 ．
6．解方程：
(1)．
(2)．
7．已知关于的一元二次方程有两个实数根.
(1)求的取值范围；
(2)若方程两根之和为，求的值.
易错点三：运用根的判别式时代入错误
一、一元二次方程根的判别式:.
（1）当时,原方程有两个不等的实数根;
（2）当时,原方程有两个相等的实数根;
（3）当时,原方程没有实数根.
二、求根公式：当时,方程的根为
易错提醒：需要将方程化成一般形式后，而且要注意确定前面的性质符号．
例5．解方程：．
例6．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为 ．
变式1．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不等的实数根C．没有实数根D．有一个实数根
变式2．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)若时，求方程的根；
(2)求a的取值范围．
变式3．小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下：
解：，，，第一步
，第二步
，第三步
，．第四步
(1)问：小明的解答是从第______ 步开始出错的；
(2)请写出本题正确的解答．
变式4．求证：无论m为何值，关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根．
1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
2．已知，的半径为一元二次方程的根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
3．对于实数a，b定义运算“☆”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
4．已知关于x的方程有两个实数根，那么m ．
5．解方程：．
6．
(1)计算：
(2)解方程：
7．已知关于x的一元二次方程.
(1)求m的值；
(2)用公式法解这个方程．
易错点四：忽略检验根的存在
分式方程的解法：①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；
②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；
③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
易错提醒：要记得将求得的解代入原分式方程，使原方程成立，才可确定为该方程的解．
例7．分式方程的解为（ ）
A．B．C．D．无解
易错警示：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。
例8．已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
变式2．解分式方程：
(1)；
(2)．
变式3．a取下列何值时，方程的解是正数（ ）
A．3B．C．D．或
变式4．对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：．
(1)求的值；
(2)若，求a的值．
1．若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范固是 ．
2．解方程：．
3．解分式方程：．
4．解下列分式方程：
(1)；
(2)．
5．先化简，再求值：
，其中是方程的解．
6．以下是小明解方程的过程，请认真阅读，并完成相应任务．
解：去分母： … … … … ．第一步
去括号：…………． 第二步
移项，合并同类项得：…………． 第三步
系数化为1，得：…………． 第四步
检验：当时，，
所以：是原分式方程的解．
(1)填空：
①以上解题过程中，第一步去分母的依据 ；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
(2)请直接写出方程正确的解 ；
(3)在解分式方程的过程中，需要注意哪些事项，请你给其他同学提一条建议．
7．已知．
(1)化简A；
(2)当x满足时，A的值是多少？
易错点五：考虑不全面
一、增根：使最简公分母值为0的未知数的值，整根是整式方程的根，不是原分式方程的根；
二、无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等；
易错提醒：无解有两种情况，需考虑全面：①原方程化去分母后的整式方程无解；②原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而使原方程无解
例9．关于的方程无解，则的值是（ ）
A．B．1C．0D．2
例10．已知关于x的分式方程有增根，则方程的增根为 ．
变式1．若关于的分式方程有增根，则增根是 ，的值是 ．
变式2．若关于的分式方程无解，则 ．
变式3．（1）若方程有增根，则增根是__________；
（2）若方程有增根，求的值．
变式4．关于x的方程
(1)若，则解这个分式方程；
(2)若这个关于x的方程无解，直接写出a的值．
1．若分式方程无解，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．若方程有增根，则它的增根是（ ）
A．0B．1C．D．1和
3．若关于x的方程无解，则m的值为 ．
4．使分式方程产生增根，m的值为 ．
5．已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“△”看不清楚．
(1)若“△”表示的数为4，求分式方程的解；
(2)小颖说：“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“△”代表的数．
6．已知：，．
(1)求与的和；
(2)若，求的值；
(3)若关于的方程无解，实数，求的值．
7．若关于x的方程：
(1)有增根，求a的值；
(2)无解，求a的值．
易错点六：①忽略了变号；②端点取舍易错
一、不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变
二、不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解
易错提醒：（1）同乘或同除以一个负数时不要忽略变不等号的方向；（2）已知不等式组的解集情况求参数时，需要验证临界值是否符合条件，符合则可以取到否则舍弃
例11．不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A．B．
C．D．
例12．若的不等式组有两个整数解，则的取值范围是 ．
变式1．若关于x的一元一次不等式的解为，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式2．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
变式3．若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 .
变式4．已知关于x的不等式组有两个整数解，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
1．解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．
2．按要求解答下列各题
(1)解不等式，并把解集在数轴上表示出来；
(2)解不等式组，把解集在数轴上表示出来．
3．解不等式组．
4．若不等式组的解集为，则a的取值范围是 ．
5．若关于的不等式组有解，则实数的取值范围是 ．
6．若不等式组无解，则的取值范围是 ．
7．已知关于x的不等式组 的整数解共有4个，则a的取值范围是
易错点七：整体换元时忘代原字母
解二元一次方程组的方法：①代入消元法；②加减消元法。
易错提醒：（1）若用到在用整体换元时，求得换元后值的时候还要反代回去求原方程组字母的值，切不可把换元后的值当做原方程组的解；（2）不擅长用整体思想，以为字母相同，值就相同
例13．已知关于x的方程的解为，那么关于y的方程的解为（ ）
A．B．1C．2D．
例14．已知方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
变式1．关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（ ）
A．，B．，C．，D．，
变式2．在学习了二元一次方程组的解法后，课堂上老师又写出了一个题目：小华思考一会儿后写出了他的做法（不完整）如下：
解：设，，则原方程组可化为
解方程组，得即解得
(1)请你把小华的做法填写完整；
(2)请你根据小华的做法，解方程组：
变式3．阅读材料：善于思考的小军在解方程时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：，即，
把方程①代入③得：，
得，
将，代入①得，
方程组的解为，
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程；
(2)已知，满足方程组，求的值．
变式4．解方程：．
1．已知方程的解是，，则另一个方程的解是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知关于 x 的方程 的解是，那么关于的一元一次方程 的解是 ．
3．若关于的方程组的解为，则方程组的解为 ．
4．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ．
5．阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，设，则原方程可化为
①，解得．
当时，，∴，∴．
当y＝4时，，，∴．
故原方程的解为，，，．
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的．
(2)请利用以上知识解方程．
6．阅读下面材料：解方程：，
解：设，则原方程可变形为，解得：
所以，解得：，
以上这种解一元一次方程的方法叫做换元法，请用上述方法解方程：
7．为了解方程，
我们可以将看作一个整体，然后设，则，那么原方程可化为，解得
当时，．
当时，．
故原方程的解为．
请借鉴上面的方法解方程．
解：去分母，得．…………………………………第一步
去括号，得．……………………………………………第二步
移项，得．………………………………………………第三步
合并同类项，得．……………………………………………………第四步
解：………………第一步
…………………第二步
………………第三步
……………………………第四步
……………………………第五步
的取值
分式的值
无解