2023-2024学年江西省吉安市九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省吉安市九年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中，是负数的是( )
A. 5B. 15C. 0D. −5
2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.在长春市“暖房子工程”实施过程中，某工程队做了面积为632000m2的外墙保暖．632000这个数用科学记数法表示为( )
A. 63.2×104B. 6.32×105C. 0.632×106D. 0.632×106
4.如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.若m2+2m−1=0，则2m2+4m−3的值是( )
A. −1B. −5C. 5D. −3
6.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点坐标为(1,0)，对称轴为直线x=−1，下列四个结论：
①abc<0；
②4a−2b+c<0；
③3a+c=0；
④当−3其中正确结论的个数为( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.分解因式：a2b−49b=______．
8.若(4x+y−4)2+|2x−y+1|=0，则xy的值是______．
9.已知x1，x2是一元二次方程2x2−3x−1=0的两个实数根，则x1+x2−x1x2的值是 ．
10.如图，DE为△ABC的中位线，且BF平分∠ABC交DE于点F.若AB=6，BC=10，则EF= ______．
11.如图，△ABC内接⊙O，∠BAC=45°，BC= 2，则BC的长是______．
12.如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y=12x2−1上运动，当⊙P与x轴相切时，请写出所有符合条件的点P的坐标为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)计算：(−3)2− 25+|−4|；
(2)如图，OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB.求证：AB=CD．
14.(本小题6分)
解不等式组4x−8≤01+x315.(本小题6分)
王强患有“红绿”色盲(分不清红色、绿色)，星期天下午，晾晒袜子的架上有王强的2只红色运动袜、2只绿色运动袜(运动袜除颜色外其余均相同)，王强要拿运动袜穿上去打篮球．
(1)王强从中任意拿一只运动袜是红色运动袜的事件是______事件(填“必然”、“不可能”或“随机”)；
(2)求王强从中任意拿两只运动袜穿上，是同一种颜色运动袜的概率．
16.(本小题6分)
如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点；圆O经过A，B，C三个格点，请只用无刻度的直尺按下列要求分别作图(不写作法，保留作图痕迹)．
(1)在图1中，作出圆心O；
(2)在图2中，在劣弧AC上找一点M，使∠ABM=∠CBM．
17.(本小题6分)
端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销.根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克.根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
18.(本小题8分)
如图矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2,3)，反比例函数y=mx(x>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，C．
(1)求反比例函数的表达式及点E的坐标．
(2)若点F是OC边上的一点，且△BCF为等腰三角形，求直线FB的表达式．
19.(本小题8分)
在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD=5cm，压柄与托板的长度相等．
(1)当托板与压柄夹角∠ABC=37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；
(2)当压柄BC从(1)中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC=127°，如图②.求这个过程中点E滑动的距离．(答案保留根号)(参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈°≈0.75)
20.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为EB的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若DE=1，DC=2，求⊙O的半径长．
21.(本小题9分)
学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表，学生借阅图书的次数统计表
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
(1)a= ______，b= ______．
(2)该调查统计数据的中位数是______，众数是______．
(3)请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数．
(4)若学校共有4000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．
22.(本小题9分)
如图，抛物线y=(x+1)2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的对称轴及k的值；
(2)抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
(3)点M是抛物线上一动点，且在第三象限，过点M作PM⊥x轴交线段AC于点P，求出线段PM长度的最大值．
23.(本小题12分)
小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形ABCD，一条线段OP(OP(1)【探究发现】
如图1，①BE与CF的大小关系：______；
②BE与DG的大小和位置关系：______．
(2)【尝试证明】
如图2，将正方形AEFG绕圆心A转动，在旋转过程中，上述①②中的关系还存在吗？请说明理由．
(3)【思维拓展】
如图3，若AB=2OP=4，求：
①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，CF的值为______；
②在旋转过程中，CF的最大值是______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据小于零的数是负数，可得：
−5为负数，
5，15均为正数，
0既不是正数也不是负数，
故选：D．
根据小于零的数是负数，可得答案
本题考查了正数和负数，掌握负数的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形但是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与自身重合；由此问题可求解．
本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：632000=6.32×105，
故选：B．
用科学记数法表示，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】A
【解析】解：由题意知，俯视图如下：
故选：A．
根据从上往下看到的是俯视图判断作答即可．
本题考查了几何体的俯视图．熟练掌握从上往下看到的是俯视图是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：2m2+4m−3=2(m2+2m−1)−1=0−1=−1．
故选：A．
将2m2+4m−3化简，代入求值计算即可．
本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握整体代入思想．
6.【答案】D
【解析】解：①∵二次函数图象的开口向上，
∴a>0，
∵二次函数图象的顶点在第四象限，
∴−b2a<0，
∵a>0，
∴b>0，
∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c<0，
∴abc<0，故结论①正确；
②对于y=ax2+bx+c，当x=−2时，y=4a−2b+c，
∴点(−2,4a−2b+c)在二次函数的图象上，
又∵二次函数的对称轴为x=−1，与x轴的一个交点为(1,0)，
∴二次函数与x轴的另一个交点为(−3,0)，
∴点(−2,4a−2b+c)在x轴下方的抛物线上，
∴4a−2b+c<0，故结论②正确；
③∵二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为(1,0)，(−3,0)，
∴a+b+c=09a−3b+c=0，消去b得：3a+c=0，故结论③正确；
④∵二次函数图象的开口向上，与y轴的两个交点坐标分别为(1,0)，(−3,0)
∴当−3∴y<0，即：ax2+bx+c<0，故结论④正确．
综上所述：结论①②③④正确．
故选：D．
根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与y轴交点的位置可对a，b，c的符号进行判断，进而可对结论①进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点(−2,4a−2b+c)的位置进行判定，进而可对结论②进行判断；根据二次函数的图象与x轴的两个交点坐标可对结论③、结论④进行判断，据此可得出此题的答案．
此题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标．
7.【答案】b(a+7)(a−7)
【解析】解：a2b−49b
=b(a2−49)
=b(a+7)(a−7)，
故答案为：b(a+7)(a−7)．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
8.【答案】14
【解析】解：∵(4x+y−4)2+|2x−y+1|=0，
∴4x+y−4=02x−y+1=0，
解得：x=12y=2，
则xy=(12)2=14，
故答案为：14．
利用偶次幂及绝对值的非负性列得关于x，y的二元一次方程组，解得x，y的值后代入xy中计算即可．
本题考查偶次幂及绝对值的非负性，解二元一次方程组，结合已知条件列得关于x，y的二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】2
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程2x2−3x−1=0的两个实数根，
∴x1+x2=−ba=32，x1x2=ca=−12，
∴x1+x2−x1x2=32−(−12)=2．
故答案为：2．
直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca是解本题的关键．
10.【答案】2
【解析】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=10，
∴ED/​/BC，ED=12BC=5，
∴∠DFB=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC，
∴∠DBF=∠DFB，
∴BD=FD，
∵AB=6，ED是△ABC的中位线，
∴BD=12AB=3，
∴EF=DE−DF=DE−BD=5−3=2．
故答案为：2．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得ED/​/BC，ED=12BC，再根据角平分线的性质以及平行线的性质求出∠DBF=∠DFB，根据等角对等边的性质可得BD=FD，然后代入数据进行计算即可得解．
本题考查了三角形的中位线定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及等角对等边的性质，熟记性质以及定理，求出BD=FD是解题的关键．
11.【答案】π2
【解析】解：如图，连接OB，OC，则OB=OC，
∵BC=BC，
∴∠BOC=2∠BAC=90°，
由勾股定理得，BC= OB2+OC2= 2OB= 2，
解得OB=1，
∴BC的长是90π⋅1180=π2，
故答案为：π2．
如图，连接OB，OC，则OB=OC，由BC=BC，可得∠BOC=2∠BAC=90°，由勾股定理得，BC= 2OB= 2，可求OB=1，根据BC的长是90π⋅1180，计算求解即可．
本题考查了圆周角定理，勾股定理，弧长．熟练掌握圆周角定理，勾股定理，弧长是解题的关键．
12.【答案】(−2,1)，(2,1)，(0,−1)
【解析】解：设点P的坐标为(m,n)，
∵点P在抛物线y=12x2−1上，
∴n=12m2−1，
∵⊙P的半径为1，
∴当⊙P与x轴相切时，n=1或n=−1，
当n=1时，则12m2−1=1，
解得m1=−2，m2=2；
当n=−1时，则12m2−1=−1，
解得m=0，
∴点P的坐标为(−2,1)或(2,1)或(0,−1)，
故答案为：(−2,1)，(2,1)，(0,−1)．
设点P的坐标为(m,n)，则n=12m2−1，由⊙P与x轴相切，得n=1或n=−1，则12m2−1=1或12m2−1=−1，解方程求出m的值即可．
此题重点考查二次函数的图象与性质、直线与圆的位置关系、一元二次方程的解法等知识与方法，正确理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径是解题的关键．
13.【答案】(1)解：(−3)2− 25+|−4|
=9−5+4
=8；
(2)证明：∵∠AOD=∠COB，
∴∠AOD−∠BOD=∠COB−∠BOD，即∠AOB=∠COD，
∵OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
∴AB=CD．
【解析】(1)先计算乘方、算术平方根，绝对值，然后进行加减运算即可；
(2)证明△AOB≌△COD(SAS)，进而结论得证．
本题考查了有理数的乘方，算术平方根，绝对值，全等三角形的判定与性质．熟练掌握有理数的乘方，算术平方根，绝对值，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
14.【答案】解：4x−8≤01+x3由4x−8≤0，
解得，x≤2，
由1+x3解得，x>−1，
∴不等式组的解集为−1解集在数轴上表示如下；

【解析】先分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，然后在数轴上表示解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．熟练掌握解一元一次不等式组，在数轴上表示解集是解题的关键．
15.【答案】随机
【解析】解：(1)王强从中任意拿一只运动袜是红色运动袜的事件是随机事件，
故答案为：随机；
(2)列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中是同一种颜色运动袜的有4种结果，
所以是同一种颜色运动袜的概率为13．
(1)根据随机事件的概念求解即可；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
16.【答案】解：(1)取格点E，F，G，H，作直线EF，GH交于O，如图：

点O即为所求；
理由：由图可知，四边形AECF，四边形BGCH都是正方形，
∴EF是线段AC的垂直平分线，GH是线段BC的垂直平分线，
∴O到A，C，B的距离相等，
∴O为经过A，B，C的圆的圆心；
(2)取格点E，F，连接EF交圆于M，连接BM，如图：

点M即为所求；
理由：∵四边形AECF是正方形，
∴EF是线段AC的垂直平分线，
∴M是AC的中点，即AM=CM，
∴∠ABM=∠CBM．
【解析】(1)取格点E，F，G，H，作直线EF，GH交于O，点O即为所求；
(2)取格点E，F，连接EF交圆于M，连接BM，点M即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握正方形性质和垂径定理推论的应用．
17.【答案】解：(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，
根据题意，得240x−4=240x+2，
解得x1=10，x2=−12(舍去)，
经检验，x1=10，x2=−12都是原分式方程的根，但x2=−12不合题意舍去，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
(2)设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，
根据题意，得(10+2)m+10(400−m)≤4600，
解得m≤300，
w=(20−12)m+(16−10)(400−m)=2m+2400，
∵2>0，
∴w随着m增大而增大，
当m=300时，w取得最大值，最大利润为2×300+2400=3000(元)，
答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
【解析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键．
(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列分式方程，求解即可；
(2)设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，根据该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，列一元一次不等式，求出m的取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定如何进货才能获得最大利润，并求出最大利润即可．
18.【答案】解：(1)∵点B的坐标为(2,3)，点D是BC的中点，
∴D(1,3)，
∵点D在反比例函数y=mx(k>0)上，
∴3=m1，
解得：m=3，
∴反比例函数的解析式为y=3x．
∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为(2,3)，
∴当x=2时，y=32，
∴E点坐标为(2,32)；
(2)∵△BCF为等腰三角形，
∴BC=CF=2，
∵点B的坐标为(2,3)，
∴F(0,1)，
设直线BF的解析式为y=ax+b(a≠0)，
∴2a+b=3b=1，
解得：a=1b=1，
∴直线FB的解析式为y=x+1．
【解析】(1)先根据点B的坐标为(2,3)求出D点坐标，代入反比例函数y=mx(k>0)即可求出k的值，进而得出解析式，再把x=2代入求出y的值即可得出E点坐标；
(2)根据△BCF为等腰三角形得出CF的长，进而得出F点的坐标，利用待定系数法求出直线FB的解析式即可．
本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、矩形的性质、一次函数的性质等知识是解答此题的关键．
19.【答案】解：(1)如图①，作DH⊥BE于H，
在Rt△BDH中，∠DHB=90°，BD=5，∠ABC=37°，
∴DH5=sin37°，BH5=cs37°，
∴DH=5sin37°≈5×0.6=3(cm)，BH=5cs37°=5×0.8=4(cm)．
∵AB=BC=15cm，AE=2cm，
∴EH=AB−AE−BH=15−2−4=9(cm)，
∴DE= DH2+EH2= 32+92=3 10(cm)．
答：连接杆DE的长度为3 10cm．
(2)如图②，作DH⊥AB的延长线于点H，
∵∠ABC=127°，
∴∠DBH=53°，∠BDH=37°，
在Rt△DBH中，BHBD=BH5=sin37°=0.6，
∴BH=3cm，
∴DH=4cm，
在Rt△DEH中，EH2+DH2=DE2，
∴(EB+3)2+16=90，
∴EB=( 74−3)(cm)，
∴点E滑动的距离为：15−( 74−3)−2=(16− 74)(cm)．
答：这个过程中点E滑动的距离为(16− 74)cm．
【解析】(1)作DH⊥BE于H，在Rt△BDH中用三角函数算出DH和BH，再求出EH，在三角形DEH中用勾股定理即可求得DE；
(2)作DH⊥AB的延长线于点H，在Rt△DBH和Rt△DEH中，用三角函数分别求出BH，DH，EB的长，从而可求得点E滑动的距离．
本题属于解直角三角形的应用题，出题角度新颖，既贴近生活，又需要借助三角函数勾股定理等数学知识才能解决，难度中等偏大．
20.【答案】(1)证明：连接OC，

∵点C为EB的中点，
∴EC=BC，
∴∠EAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠EAC=∠OCA，
∴AE/​/OC，
∴∠ADC=∠OCF，
∵CD⊥AE，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCF=90°，
即OC⊥DF，
又OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：连接CE，BC，

由(1)知CD是⊙O的切线，
∴CD2=DE⋅AD，
∵DE=1，DC=2，
∴AD=4，
在Rt△ADC中，由勾股定理得AC= AD2+CD2= 42+22=2 5，
在Rt△DCE中，由勾股定理得CE= CD2+DE2= 22+12= 5，
∵点C是EB的中点，
∴EC=BC，
∴EC=BC= 5，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得AB= AC2+BC2= (2 5)2+( 5)2=5，
∴⊙O的半径长是2.5．
【解析】(1)连接OC，由等弧所对的圆周角相等得出∠EAC=∠BAC，根据同圆的半径相等得出∠BAC=∠OCA，于是有∠EAC=∠OCA，可得出AE/​/OC，再根据CD⊥AE，即可得出OC⊥DF，从而问题得证；
(2)连接CE，BC，先根据切割线定理求出AD的长，然后由勾股定理求出AC、CE的长，再根据等弧所对的弦相等得出BC=CE，在Rt△ACB中根据勾股定理求出AB的长，即可求出⊙O的半径．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理的推论，勾股定理，弧、弦之间的关系定理，熟练掌握这些定理是解题的关键．
21.【答案】17 20 2 2
【解析】解：(1)由题意知，总人数为1326%=50(人)，
∴a=50−7−13−10−3=17，b%=1050×100%=20%，
解得b=20，
故答案为：17，20；
(2)由题意知，中位数是第25、26位数的平均数，
∵7+13=20<25<26<37=7+13+17，
∴中位数为2+22=2，
由题意知，众数为2，
故答案为：2，2；
(3)由题意知，360°×20%=72°，
∴“3次”所对应扇形的圆心角的度数为72°；
(4)∵4000×350=240(人)，
∴估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为240人．
(1)由题意知，总人数为1326%=50人，根据a=50−7−13−10−3，b%=1050×100%，计算求解即可；
(2)由题意知，根据中位数是第25、26位数的平均数，众数的定义求解作答即可；
(3)根据360°×20%，计算求解即可；
(4)根据4000×350，计算求解即可．
本题考查了频数分布表，扇形统计图，中位数，众数，圆心角，用样本估计总体等知识．熟练掌握频数分布表，扇形统计图，中位数，众数，圆心角，用样本估计总体是解题的关键．
22.【答案】解：(1)将C(0,−3)代入y=(x+1)2+k得，−3=(0+1)2+k，
解得，k=−4，
∴y=(x+1)2−4，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1；
(2)如图1，连接AC，与对称轴交点为P，由两点之间线段最短，可知点P即为所求，
当y=0时，0=(x+1)2−4，
解得，x=−3或x=1，
∴A(−3,0)，
设直线AC的解析式为y=mx+n，
将A(−3,0)，C(0,−3)代入得，−3m+n=0n=−3，
解得，m=−1n=−3，
∴直线AC的解析式为y=−x−3，
当x=−1时，y=−(−1)−3=−2，
∴P(−1,−2)；
(3)如图2，

设M(a,(a+1)2−4)，则P(a,−a−3)，
∴PM=−a−3−(a+1)2+4=−a2−3a=−(a+32)2+94，
∵−1<0，
∴当a=−32时，PM有最大值94．
【解析】(1)将C(0,−3)代入y=(x+1)2+k，可求k=−4，则y=(x+1)2−4，然后作答即可；
(2)如图1，连接AC，与对称轴交点为P，由两点之间线段最短，可知点P即为所求，当y=0时，0=(x+1)2−4，可求x=−3或x=1，则A(−3,0)，待定系数法求
直线AC的解析式为y=−x−3，当x=−1时，y=−(−1)−3=−2，进而可得P(−1,−2)；
(3)如图2，设M(a,(a+1)2−4)，则P(a,−a−3)，MP=−(a+32)2+94，然后根据二次函数的性质求最值即可．
本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，一次函数解析式，二次函数与线段综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，一次函数解析式，二次函数与线段综合是解题的关键．
23.【答案】CF= 2BE BE=DG，BE⊥DG 2 10 6 2
【解析】解：(1)①连接AF，AC，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴∠BAD=∠EAG=90°，AF平分∠EAG，AC平分∠BAD，
∴∠EAF=45°，∠CAB=45°，AC= 2AB，AF= 2AE，
∴∠CAB=∠EAF，
∴A，F，C三点在一条直线上，
∴CF=AC−AF= 2AB− 2AE= 2(AB−AE)= 2BE；
故答案为：CF= 2BE；
②∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=90°，
∴AB−AE=AD−AG，BE⊥DG，
∴BE=DG，
故答案为：BE=DG，BE⊥DG．
(2)①②中的关系存在．
证明：①如图2，连接AF，AC．
∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴ACAB= 2,AFAE= 2，
∴ACAB=AFAE= 2，
∵∠BAC=∠EAF=45°，
∴∠BAC−∠EAC=∠EAF−∠EAC，
∴∠BAE=∠CAF，
∴△ABE∽△ACF．
∴CFBE=AFAE= 2，
∴CF= 2BE．
②如图3，延长BE交DG于点M，交AD于点N．
∵∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAD−∠EAD=∠EAG−∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG．
在△BAE和△DAG中，
AB=AD,∠BAE=∠DAG,AE=AG,
∴△BAE≌△DAG(SAS)，
∴BE=DG，∠ABE=∠ADG．
在△ABN和△MDN中，
∵∠ABN=∠MDN，∠ANB=∠DNM，
∴∠DMN=∠BAN=90°，
∴BE⊥DG．
即BE=DG且BE⊥DG．
(3)①延长GF，DC交于点Q，
∵∠QGF=∠GBC=∠BCQ=90°，
∴四边形BCQD是矩形，
∴∠CQG=90°，QG=BC=4，
∵∠DAG=∠AGQ=∠GQD=90°，
∴四边形AGQD是矩形，
∴DQ=AG=2，
∵QF=QG−FG=4−2=2，QC=QD+CD=2+4=6，
∴CF= CQ2+FQ2= 62+22=2 10．
故答案为：2 10；
②在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB=4，AE=2，
∴AC= 42+42=4 2，AF= 22+22=2 2，
∵F的运动轨迹是以A为圆心，2 2为半径的圆，
∴当C，A，F三点共线时，CF=CA+AF，CF有最大值，
此时CF=AC+AF=4 2+2 2=6 2．
故答案为：6 2．
(1)①连接AF，AC，由正方形的性质得出∠BAD=∠EAG=90°，AF平分∠EAG，AC平分∠BAD，证出∠EAF=45°，∠CAB=45°，AC= 2AB，AF= 2AE，则可得出结论；
②由正方形的性质得出AB=AD，AE=AG，∠BAD=90°，则可得出结论；
(2)①如图2，连接AF，AC.证明△ABE∽△ACF，由相似三角形的性质得出CFBE=AFAE= 2，则可得出结论；
②延长BE交DG于点M，交AD于点N.证明△BAE≌△DAG(SAS)，由全等三角形的性质得出BE=DG，∠ABE=∠ADG.则可得出结论；
(3)①延长GF，DC交于点Q，证明四边形BCQD是矩形，得出∠CQG=90°，QG=BC=4，证出四边形AGQD是矩形，由矩形的性质得出DQ=AG=2，由勾股定理可求出答案；
②求出AC和AF的长，证出F的运动轨迹是以A为圆心，2 2为半径的圆，当C，A，F三点共线时，CF=CA+AF，CF有最大值，则可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等，熟练掌握正方形的性质是解题关键．借阅图书的次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
a
10
3
红
红
绿
绿
红
(红，红)
(绿，红)
(绿，红)
红
(红，红)
(绿，红)
(绿，红)
绿
(红，绿)
(红，绿)
(绿，绿)
绿
(红，绿)
(红，绿)
(绿，绿)