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2023-2024学年江西省上饶市余干县九年级（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年江西省上饶市余干县九年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 绿色饮品B. 绿色食品
C. 有机食品D. 速冻食品
2.一元二次方程x2+5x+1=0根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
3.若点P(x,y)在第四象限内，且|x|=2，|y|=3，则点P关于原点对称的点为( )
A. (2,3)B. (−2,3)C. (2,−3)D. (−2,−3)
4.如图，正方形ABCD和正方形EFGO的边长都是1，正方形EFGO绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是( )
A. 14B. 12C. 13D. 不能确定
5.将抛物线y=−3x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为( )
A. y=−3(x+1)2+2B. y=−3(x−1)2+2
C. y=−3(x+1)2−2D. y=−3(x−1)2−2
6.在同一坐标系中，一次函数y=−mx+1与二次函数y=x2+m的图象可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.抛物线y=−(x+3)2的顶点坐标为______ ．
8.关于x的一元二次方程x2−2x+m=0的一个根为−1，则m的值为______．
9.若点P(m,1)关于原点的对称点Q(−2,n)，那么m+n= ______ ．
10.如图，点A的坐标为(0,1)，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC.若点C的坐标为(m,5)，则B点的坐标为______ ．
11.电影《长津湖》一上映，第一天票房2.05亿元，若每天票房的平均增长率相同，三天后累计票房收入达10.53亿元，平均增长率记作x，方程可以列为______ ．
12.将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起(其中∠A=60°，∠D=30°，∠E=∠B=45°)，若固定△ACD，改变△BCE的位置(其中点C位置始终不变)，且∠ACE<135°，点E在直线AC的上方.当△ACD的一边与△BCE的某一边平行时，则∠ACE所有可能的度数为：______ ．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
解方程：
(1)x2+4x−12=0．
(2)(x+4)2=5(x+4)．
14.(本小题6分)
如图，抛物线y=ax2−5x+4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5,4)．
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
(2)若抛物线平移后，顶点为原点，应怎么平移？并写出平移后抛物线的解析式．
15.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点，AB//CD，请仅用无刻度的直尺按要求画出图中抛物线的对称轴：
(1)如图1，点C，D在抛物线上；
(2)如图2，四边形ABCD为矩形．
16.(本小题6分)
如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60得到△AEF，点E落在BC边上，EF与AC交于点G．
(1)求证：△ABE是等边三角形；
(2)若∠ACB=28°，求∠FGC的度数．
17.(本小题6分)
某次数学活动时，数学兴趣小组成员小融拟研究函数y=−12(x−2)2+|x−2|+3的图象和性质．
(1)如表是该函数y与自变量x的几组对应值：
其中，m的值为______，n的值为______；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点，画出该函数图象；
(3)根据函数图象，写出该函数的一条性质：______．
18.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，AC=12 5cm ，动点P从点B开始沿边BA向点A以2cm/s的速度移动(不与点A重合)，动点Q从点C开始沿边CB向B以4cm/s的速度移动(不与B重合).如果P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为x(s)，四边形APQC的面积为y(cm2).
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求自变量x的取值范围；
(3)四边形APQC的面积能否等于172cm2？若能，求出运动时间；若不能，请说理由．
20.(本小题8分)
如图，菱形ABCD，∠D=120°，E为菱形内一点，连结EC、EB.再将EB绕着点B逆时针旋转120°到FB，连结FA、EF，且EF交AB于点G．
(1)求证：AF=CE；
(2)若∠EBC=45°，求∠AGE的大小．
21.(本小题9分)
网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝.已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数解析式．
(2)当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？
22.(本小题9分)
阅读下面材料，并解决问题：
(1)如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=______；
(2)基本运用
请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：
如图②，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2；
(3)能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，求OA+OB+OC的值．
23.(本小题12分)
已知二次函数y=ax2−2ax．
(1)二次函数图象的对称轴是直线x=______；
(2)当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；
(3)若a<0，对于二次函数图象上的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形及中心对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．
2.【答案】A
【解析】解：一元二次方程x2+5x+1=0中的a=1，b=5，c=1，
则这个方程根的判别式为Δ=52−4×1×1=21>0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵P(x,y)在第四象限内，
∴y<0，x>0，
又∵|x|=2，|y|=3，
∴x=2，y=−3，
∴点P关于原点的对称点的坐标是(−2,3)．
故选：B．
根据P(x,y)在第四象限内可以判断x，y的符号，再根据|x|=2，|y|=3就可以确定点P的坐标，进而确定点P关于原点的对称点的坐标．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，由点所在的象限能判断出坐标的符号，同时考查了关于原点对称的点坐标之间的关系，难度一般．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形OMBN的面积等于三角形BOC的面积是解此题的关键．
根据正方形的性质得出OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOG=90°，推出∠BON=∠MOC，证出△OBN≌△OCM．
【解答】
解：
∵四边形ABCD和四边形OEFG都是正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOG=90°，
∴∠BON+∠BOM=∠MOC+∠BOM=90°
∴∠BON=∠MOC．
在△OBN与△OCM中，
∠OBN=∠OCMOB=OC∠BON=∠COM，
∴△OBN≌△OCM(ASA)，
∴S△OBN=S△OCM，
∴S四边形OMBN=S△OBC=14S正方形ABCD=14×1×1=14．
故选：A．
5.【答案】A
【解析】解：将抛物线y=−3x2向左平移1个单位所得直线解析式为：y=−3(x+1)2；
再向上平移2个单位为：y=−3(x+1)2+2，即y=−3(x+1)2+2．
故选：A．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
6.【答案】D
【解析】解：∵二次函数为y=x2+m，
∴a=1>0，
∴二次函数的开口方向向上，
∴排除C选项．
∵一次函数y=−mx+1，
∴b=1>0，
∵一次函数经过y轴正半轴，
∴排除A选项．
当m>0时，则−m<0，
一次函数经过一、二、四象限，
二次函数y=x2+m经过y轴正半轴，
∴排除B选项．
当m<0时，则−m>0
一次函数经过一、二、三象限，
二次函数y=x2+m经过y轴负半轴，
∴D选项符合题意．
故选：D．
根据一次函数的b=1和二次函数的a=1即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过y轴正半轴，从而排除A和C，分情况探讨m的情况，即可求出答案．
本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系．
7.【答案】(−3,0)
【解析】解：∵抛物线的解析式为y=−(x+3)2，
∴抛物线顶点坐标为(−3,0)，
故答案为：(−3,0)．
由二次函数的顶点式可得二次函数图象的顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是直线x=h，此题考查了学生的应用能力．
8.【答案】−3
【解析】【分析】
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
根据关于x的方程x2−2x+m=0的一个根是−1，将x=1代入可以得到m的值，本题得以解决．
【解答】
解：∵关于x的方程x2−2x+m=0的一个根是−1，
∴1+2+m=0，
解得m=−3，
故答案为：−3．
9.【答案】1
【解析】解：∵点P(m,1)关于原点的对称点是Q(−2,n)
∴m=2，n=−1，
∴m+n=2−1=1．
故答案为：1．
根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数，可得m、n的值，即可解答．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10.【答案】(4,0)
【解析】解：过C作CD⊥y轴于点D，如图：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CAD=∠ABO，
∵∠AOB=∠CDA=90°，AB=AC，
∴△AOB≌△CDA(AAS)，
∵OA=CD，OB=AD，
∵点A的坐标为(0,1)，点C的坐标为(m,5)，
∴OA=1，AD=5−1=4，
∴OB=4，
∴B(4,0)，
故答案为：(4,0)．
过C作CD⊥y轴于点D，通过证得△AOB≌△CDA(AAS)，得出OA=CD=1，OB=AD=4，可得点B的坐标，
本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
11.【答案】2.05+2.05(1+x)+2.05(1+x)2=10.53
【解析】解：由题意得，第一天票房2.05亿元，第二天票房2.05(1+x)亿元，第三天票房2.05(1+x)2亿元，则：
2.05+2.05(1+x)+2.05(1+x)2=10.53．
故答案为：2.05+2.05(1+x)+2.05(1+x)2=10.53．
求出第二天和第三天的票房，根据三天后累计票房收入达10.53亿元列方程即可．
此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意是解题的关键．
12.【答案】30°或45°或120°
【解析】解：①当BC//AD时，
∵BC//AD，
∴∠BCD=∠D=30°，
∴∠ACB=90°+30°=120°，
∴∠ACE=∠ACB−∠BCE=120°−90°=30°；
②当BE//AC时，如图，
∵BE//AC，
∴∠ACE=∠E=45°；
③当AD//CE时，如图，
∵AD//CE，
∴∠DCE=∠D=30°，
∴∠ACE=90°+30°=120°；
④当BE//CD时，如图，
∵BE//CD，
∴∠DCE=∠E=45°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°，
综上所述：当∠ACE=30°或45°或120°时，有一组边互相平行．
故答案为：30°或45°或120°．
分4种情况进行讨论：①BC//AD；②BE//AC；③AD//CE；④BE//CD；结合平行线的判定与性质进行求解即可．
本题考查的是平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，注意利用两角互余的性质，角的和差进行计算．
13.【答案】解：(1)∵x2+4x−12=0，
∴(x−2)(x+6)=0，
则x−2=0或x+6=0，
解得x1=2，x2=−6；
(2)∵(x+4)2=5(x+4)，
∴(x+4)(x−1)=0，
则x+4=0或x−1=0，
解得x1=1，x2=−4．
【解析】利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
14.【答案】解：(1)把C(5,4)代入y=ax2−5x+4a，得：25a−25+4a=4，
解得：a=1，
∴y=x2−5x+4=(x−52)2−94，
∴顶点P的坐标为(52,−94)；
(2)∵顶点P的坐标为(52,−94)，
要使平移后，顶点为原点，
∴需要将抛物线向左平移52个单位，向上平移94个单位，
此时，y=x2．
【解析】(1)把C(5,4)代入y=ax2−5x+4a即可求得的值，利用配方法即可求得顶点坐标；
(2)根据顶点P的坐标为(52,−94)，平移后，顶点为原点，结合平移规律即可知需要将抛物线向左平移52个单位，向上平移94个单位，进而可确定解析式为y=x2．
本题考查了利用待定系数法求函数解析式及二次函数图象与函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解本题的关键．
15.【答案】解；(1)如图1，直线PQ为所作；
(2)如图2，直线PQ为所作．
【解析】(1)连接AC、BD，它们相交于P点，再画出DA和CB的延长线的交点，则利用抛物线的对称性可判断直线PQ为抛物线的对称轴；
(2)先作出BDD和AC的交点P，再作直线CD交抛物线于E、F，接着作出EA和FB的延长线的交点Q，则利用抛物线的对称性可判断直线PQ为抛物线的对称轴．
本题考查了抛物线与x轴的交点：抛物线与x轴的两交点为抛物线上的对称点．
16.【答案】(1)证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60得到△AEF，
∴AB=AE，∠BAE=60°，
∴△ABE是等边三角形．
(2)解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60得到△AEF，
∴∠BAE=∠CAF=60°，∠ACB=∠AFE=28°，
∵∠FGC是△AGF的外角，
∴∠FGC=∠CAF+∠AFE=88°．
【解析】(1)根据全等三角形的判定定理证明．
(2)根据旋转性质，结合三角形的外角定理计算．
本题考查旋转性质和等边三角形的判定，充分利用旋转性质是求解本题的关键．
17.【答案】3 3.5 图象关于直线x=2对称
【解析】解(1)当x=0时，y=−2+2+3=3，即m=3，
当x=3时，y=−0.5+1+3=3.5，即n=3.5
故答案为：3，3.5
(2)图象如图所示：
(3)观察图象可知，图象关于直线x=2对称，
故答案为图象关于直线x=2对称．
(1)把x=0，x=3分别代入函数表达式，即可得出m，n的值；
(2)把表格中7个点画在坐标系中，根据点的变化趋势，即可画出此函数的图象；
(3)结合图象，可得图象关于直线x=2对称或最大值为3.5等．
本题考查了的二次函数图象和性质，可以根据自变量的取值范围分别作出对应的函数图象即可得出整个函数的图象．解题时要注意数形结合思想的运用．
18.【答案】解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=(2k+1)2−4k2=4k+1>0，
解得：k>−14；
(2)当k=1时，方程为x2+3x+1=0，
∵x1+x2=−3，x1x2=1，
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=9−2=7．
【解析】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握方程的根的情况与判别式的值间的关系及韦达定理是解题的关键．
(1)由方程有两个不相等的实数根知Δ>0，列不等式求解可得；
(2)将k=1代入方程，由根与系数的关系得出x1+x2=−3，x1x2=1，代入到x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2可得．
19.【答案】解：(1)∵出发时间为x s，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为4cm/s，
∴PB=(12−2x)cm，BQ=4x cm，
∴y=12×12×24−12×(12−2x)×4x，
∴y=4x2−24x+144；
(2)由x>012−2x>0，解得0(3)不能．
理由：4x2−24x+144=172，
解得：x1=7，x2=−1(不合题意，舍去)，
因为0所以四边形APQC的面积不能等于172cm2．
【解析】(1)利用两个直角三角形的面积差求得答案即可；
(2)构建不等式组求解即可；
(3)利用(1)的函数建立方程求解判断即可．
本题属于四边形综合题，注意二次函数的实际运用，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠D=120°，
∴∠ABC=120°，AB=CB．
又∵EB绕着点B逆时针旋转120°到FB，
∴EB=FB，
∴∠FBA+∠ABE=∠ABE+∠EBC=120°，
∴∠FBA=∠EBC，
在△AFB与△CEB中，
∵EB=FB∠EBC=∠FBABC=AB，
∴△AFB≌△CEB(SAS)，
∴AF=CE；
(2)∵∠ABC=120°，∠EBC=45°，
∴∠ABE=75°．
又∵∠EBF=120°，EB=FB，
∴∠GEB=180°−120°2=30°，
∴∠AGE=∠ABE+∠GEB=75°+30°=105°．
【解析】(1)先根据菱形的性质得出∠ABC=120°，AB=CB，再由图形旋转的性质得出EB=FB，根据SAS定理得出△AFB≌△CEB，由全等三角形的性质即可得出结论；
(2)先求出∠ABE的度数，再由等腰三角形的性质求出∠GEB的度数，再由∠AGE=∠ABE+∠GEB即可得出结论．
本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．
21.【答案】解：(1)设每日销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间满足如图所示的一次函数关系为y=kx+b，
∴8k+b=220014k+b=1600，
解得k=−100b=3000，
∴y与x的函数解析式为y=−100x+3000；
(2)设每千克荔枝的销售价格定为x元时，销售这种荔枝日获利为w元，
根据题意得，w=(x−6−2)(−100x+3000)=−100x2+3800x−24000=−100(x−19)2+12000，
∵a=−100<0，对称轴为x=19，
∴当x=19时，w有最大值为12000元，
∴当销售单价定为18时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12000元．
【解析】(1)由日获利=(销售单价−成本)×日销售量，可求解；
(2)由二次函数的性质求出的最大利润，即可求解．
本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，求出函数关系式是本题的关键．
22.【答案】解：(1)∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′=AP=3，CP′=BP=4，∠AP′C=∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′=60°，
∴△AP P′为等边三角形，
PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
易证△PP′C为直角三角形，且∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；
故答案为：150°；
(2)如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC−∠EAF=90°−45°=45°，
∴∠EAF=∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
AE=AE′∠EAF=∠E′AFAF=AF
∴△EAF≌△E′AF(SAS)，
∴E′F=EF，
∵∠CAB=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠E′CF=45°+45°=90°，
由勾股定理得，E′F2=CE′2+FC2，
即EF2=BE2+FC2．
(3)如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2，
∴BC= AB2−AC2= 3，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C= BC2+A′B2= ( 3)2+22= 7，
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C= 7．
【解析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
(1)根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
(2)把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′=AE，CE′=CE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，再求出∠E′AF=45°，从而得到∠EAF=∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F=EF，再利用勾股定理列式即可得证．
(3)将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC=A′C．
23.【答案】解：(1)1；
(2)当a>0时，
∵对称轴为x=1，
当x=1时，y有最小值为−a，当x=3时，y有最大值为3a，
∴3a−(−a)=4．
∴a=1，
∴二次函数的表达式为：y=x2−2x；
当a<0时，同理可得
y有最大值为−a；
y有最小值为3a，
∴−a−3a=4，
∴a=−1，
∴二次函数的表达式为：y=−x2+2x；
综上所述，二次函数的表达式为：y=x2−2x或y=−x2+2x；
(3)∵a<0，对称轴为x=1，
∴x≤1时，y随x的增大而增大，x>1时，y随x的增大而减小，x=−1和x=3时的函数值相等，
∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，
∴t≥−1，t+1≤3，
∴−1≤t≤2
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．
(1)由对称轴是直线x=−b2a，可求解；
(2)分a>0或a<0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；
(3)利用函数图象的性质可求解．
【解答】
解：(1)由题意可得：对称轴是直线x=−−2a2a=1，
故答案为：1；
(2)见答案；
(3)见答案．x
……
−2
0
1
2
3
4
6
……
y
……
−1
m
3.5
3
n
3
−1
……
1.下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 绿色饮品B. 绿色食品
C. 有机食品D. 速冻食品
2.一元二次方程x2+5x+1=0根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
3.若点P(x,y)在第四象限内，且|x|=2，|y|=3，则点P关于原点对称的点为( )
A. (2,3)B. (−2,3)C. (2,−3)D. (−2,−3)
4.如图，正方形ABCD和正方形EFGO的边长都是1，正方形EFGO绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是( )
A. 14B. 12C. 13D. 不能确定
5.将抛物线y=−3x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为( )
A. y=−3(x+1)2+2B. y=−3(x−1)2+2
C. y=−3(x+1)2−2D. y=−3(x−1)2−2
6.在同一坐标系中，一次函数y=−mx+1与二次函数y=x2+m的图象可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.抛物线y=−(x+3)2的顶点坐标为______ ．
8.关于x的一元二次方程x2−2x+m=0的一个根为−1，则m的值为______．
9.若点P(m,1)关于原点的对称点Q(−2,n)，那么m+n= ______ ．
10.如图，点A的坐标为(0,1)，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC.若点C的坐标为(m,5)，则B点的坐标为______ ．
11.电影《长津湖》一上映，第一天票房2.05亿元，若每天票房的平均增长率相同，三天后累计票房收入达10.53亿元，平均增长率记作x，方程可以列为______ ．
12.将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起(其中∠A=60°，∠D=30°，∠E=∠B=45°)，若固定△ACD，改变△BCE的位置(其中点C位置始终不变)，且∠ACE<135°，点E在直线AC的上方.当△ACD的一边与△BCE的某一边平行时，则∠ACE所有可能的度数为：______ ．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
解方程：
(1)x2+4x−12=0．
(2)(x+4)2=5(x+4)．
14.(本小题6分)
如图，抛物线y=ax2−5x+4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5,4)．
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
(2)若抛物线平移后，顶点为原点，应怎么平移？并写出平移后抛物线的解析式．
15.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点，AB//CD，请仅用无刻度的直尺按要求画出图中抛物线的对称轴：
(1)如图1，点C，D在抛物线上；
(2)如图2，四边形ABCD为矩形．
16.(本小题6分)
如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60得到△AEF，点E落在BC边上，EF与AC交于点G．
(1)求证：△ABE是等边三角形；
(2)若∠ACB=28°，求∠FGC的度数．
17.(本小题6分)
某次数学活动时，数学兴趣小组成员小融拟研究函数y=−12(x−2)2+|x−2|+3的图象和性质．
(1)如表是该函数y与自变量x的几组对应值：
其中，m的值为______，n的值为______；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点，画出该函数图象；
(3)根据函数图象，写出该函数的一条性质：______．
18.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，AC=12 5cm ，动点P从点B开始沿边BA向点A以2cm/s的速度移动(不与点A重合)，动点Q从点C开始沿边CB向B以4cm/s的速度移动(不与B重合).如果P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为x(s)，四边形APQC的面积为y(cm2).
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求自变量x的取值范围；
(3)四边形APQC的面积能否等于172cm2？若能，求出运动时间；若不能，请说理由．
20.(本小题8分)
如图，菱形ABCD，∠D=120°，E为菱形内一点，连结EC、EB.再将EB绕着点B逆时针旋转120°到FB，连结FA、EF，且EF交AB于点G．
(1)求证：AF=CE；
(2)若∠EBC=45°，求∠AGE的大小．
21.(本小题9分)
网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝.已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数解析式．
(2)当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？
22.(本小题9分)
阅读下面材料，并解决问题：
(1)如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=______；
(2)基本运用
请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：
如图②，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2；
(3)能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，求OA+OB+OC的值．
23.(本小题12分)
已知二次函数y=ax2−2ax．
(1)二次函数图象的对称轴是直线x=______；
(2)当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；
(3)若a<0，对于二次函数图象上的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形及中心对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．
2.【答案】A
【解析】解：一元二次方程x2+5x+1=0中的a=1，b=5，c=1，
则这个方程根的判别式为Δ=52−4×1×1=21>0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵P(x,y)在第四象限内，
∴y<0，x>0，
又∵|x|=2，|y|=3，
∴x=2，y=−3，
∴点P关于原点的对称点的坐标是(−2,3)．
故选：B．
根据P(x,y)在第四象限内可以判断x，y的符号，再根据|x|=2，|y|=3就可以确定点P的坐标，进而确定点P关于原点的对称点的坐标．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，由点所在的象限能判断出坐标的符号，同时考查了关于原点对称的点坐标之间的关系，难度一般．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形OMBN的面积等于三角形BOC的面积是解此题的关键．
根据正方形的性质得出OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOG=90°，推出∠BON=∠MOC，证出△OBN≌△OCM．
【解答】
解：
∵四边形ABCD和四边形OEFG都是正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOG=90°，
∴∠BON+∠BOM=∠MOC+∠BOM=90°
∴∠BON=∠MOC．
在△OBN与△OCM中，
∠OBN=∠OCMOB=OC∠BON=∠COM，
∴△OBN≌△OCM(ASA)，
∴S△OBN=S△OCM，
∴S四边形OMBN=S△OBC=14S正方形ABCD=14×1×1=14．
故选：A．
5.【答案】A
【解析】解：将抛物线y=−3x2向左平移1个单位所得直线解析式为：y=−3(x+1)2；
再向上平移2个单位为：y=−3(x+1)2+2，即y=−3(x+1)2+2．
故选：A．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
6.【答案】D
【解析】解：∵二次函数为y=x2+m，
∴a=1>0，
∴二次函数的开口方向向上，
∴排除C选项．
∵一次函数y=−mx+1，
∴b=1>0，
∵一次函数经过y轴正半轴，
∴排除A选项．
当m>0时，则−m<0，
一次函数经过一、二、四象限，
二次函数y=x2+m经过y轴正半轴，
∴排除B选项．
当m<0时，则−m>0
一次函数经过一、二、三象限，
二次函数y=x2+m经过y轴负半轴，
∴D选项符合题意．
故选：D．
根据一次函数的b=1和二次函数的a=1即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过y轴正半轴，从而排除A和C，分情况探讨m的情况，即可求出答案．
本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系．
7.【答案】(−3,0)
【解析】解：∵抛物线的解析式为y=−(x+3)2，
∴抛物线顶点坐标为(−3,0)，
故答案为：(−3,0)．
由二次函数的顶点式可得二次函数图象的顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是直线x=h，此题考查了学生的应用能力．
8.【答案】−3
【解析】【分析】
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
根据关于x的方程x2−2x+m=0的一个根是−1，将x=1代入可以得到m的值，本题得以解决．
【解答】
解：∵关于x的方程x2−2x+m=0的一个根是−1，
∴1+2+m=0，
解得m=−3，
故答案为：−3．
9.【答案】1
【解析】解：∵点P(m,1)关于原点的对称点是Q(−2,n)
∴m=2，n=−1，
∴m+n=2−1=1．
故答案为：1．
根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数，可得m、n的值，即可解答．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10.【答案】(4,0)
【解析】解：过C作CD⊥y轴于点D，如图：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CAD=∠ABO，
∵∠AOB=∠CDA=90°，AB=AC，
∴△AOB≌△CDA(AAS)，
∵OA=CD，OB=AD，
∵点A的坐标为(0,1)，点C的坐标为(m,5)，
∴OA=1，AD=5−1=4，
∴OB=4，
∴B(4,0)，
故答案为：(4,0)．
过C作CD⊥y轴于点D，通过证得△AOB≌△CDA(AAS)，得出OA=CD=1，OB=AD=4，可得点B的坐标，
本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
11.【答案】2.05+2.05(1+x)+2.05(1+x)2=10.53
【解析】解：由题意得，第一天票房2.05亿元，第二天票房2.05(1+x)亿元，第三天票房2.05(1+x)2亿元，则：
2.05+2.05(1+x)+2.05(1+x)2=10.53．
故答案为：2.05+2.05(1+x)+2.05(1+x)2=10.53．
求出第二天和第三天的票房，根据三天后累计票房收入达10.53亿元列方程即可．
此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意是解题的关键．
12.【答案】30°或45°或120°
【解析】解：①当BC//AD时，
∵BC//AD，
∴∠BCD=∠D=30°，
∴∠ACB=90°+30°=120°，
∴∠ACE=∠ACB−∠BCE=120°−90°=30°；
②当BE//AC时，如图，
∵BE//AC，
∴∠ACE=∠E=45°；
③当AD//CE时，如图，
∵AD//CE，
∴∠DCE=∠D=30°，
∴∠ACE=90°+30°=120°；
④当BE//CD时，如图，
∵BE//CD，
∴∠DCE=∠E=45°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°，
综上所述：当∠ACE=30°或45°或120°时，有一组边互相平行．
故答案为：30°或45°或120°．
分4种情况进行讨论：①BC//AD；②BE//AC；③AD//CE；④BE//CD；结合平行线的判定与性质进行求解即可．
本题考查的是平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，注意利用两角互余的性质，角的和差进行计算．
13.【答案】解：(1)∵x2+4x−12=0，
∴(x−2)(x+6)=0，
则x−2=0或x+6=0，
解得x1=2，x2=−6；
(2)∵(x+4)2=5(x+4)，
∴(x+4)(x−1)=0，
则x+4=0或x−1=0，
解得x1=1，x2=−4．
【解析】利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
14.【答案】解：(1)把C(5,4)代入y=ax2−5x+4a，得：25a−25+4a=4，
解得：a=1，
∴y=x2−5x+4=(x−52)2−94，
∴顶点P的坐标为(52,−94)；
(2)∵顶点P的坐标为(52,−94)，
要使平移后，顶点为原点，
∴需要将抛物线向左平移52个单位，向上平移94个单位，
此时，y=x2．
【解析】(1)把C(5,4)代入y=ax2−5x+4a即可求得的值，利用配方法即可求得顶点坐标；
(2)根据顶点P的坐标为(52,−94)，平移后，顶点为原点，结合平移规律即可知需要将抛物线向左平移52个单位，向上平移94个单位，进而可确定解析式为y=x2．
本题考查了利用待定系数法求函数解析式及二次函数图象与函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解本题的关键．
15.【答案】解；(1)如图1，直线PQ为所作；
(2)如图2，直线PQ为所作．
【解析】(1)连接AC、BD，它们相交于P点，再画出DA和CB的延长线的交点，则利用抛物线的对称性可判断直线PQ为抛物线的对称轴；
(2)先作出BDD和AC的交点P，再作直线CD交抛物线于E、F，接着作出EA和FB的延长线的交点Q，则利用抛物线的对称性可判断直线PQ为抛物线的对称轴．
本题考查了抛物线与x轴的交点：抛物线与x轴的两交点为抛物线上的对称点．
16.【答案】(1)证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60得到△AEF，
∴AB=AE，∠BAE=60°，
∴△ABE是等边三角形．
(2)解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60得到△AEF，
∴∠BAE=∠CAF=60°，∠ACB=∠AFE=28°，
∵∠FGC是△AGF的外角，
∴∠FGC=∠CAF+∠AFE=88°．
【解析】(1)根据全等三角形的判定定理证明．
(2)根据旋转性质，结合三角形的外角定理计算．
本题考查旋转性质和等边三角形的判定，充分利用旋转性质是求解本题的关键．
17.【答案】3 3.5 图象关于直线x=2对称
【解析】解(1)当x=0时，y=−2+2+3=3，即m=3，
当x=3时，y=−0.5+1+3=3.5，即n=3.5
故答案为：3，3.5
(2)图象如图所示：
(3)观察图象可知，图象关于直线x=2对称，
故答案为图象关于直线x=2对称．
(1)把x=0，x=3分别代入函数表达式，即可得出m，n的值；
(2)把表格中7个点画在坐标系中，根据点的变化趋势，即可画出此函数的图象；
(3)结合图象，可得图象关于直线x=2对称或最大值为3.5等．
本题考查了的二次函数图象和性质，可以根据自变量的取值范围分别作出对应的函数图象即可得出整个函数的图象．解题时要注意数形结合思想的运用．
18.【答案】解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=(2k+1)2−4k2=4k+1>0，
解得：k>−14；
(2)当k=1时，方程为x2+3x+1=0，
∵x1+x2=−3，x1x2=1，
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=9−2=7．
【解析】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握方程的根的情况与判别式的值间的关系及韦达定理是解题的关键．
(1)由方程有两个不相等的实数根知Δ>0，列不等式求解可得；
(2)将k=1代入方程，由根与系数的关系得出x1+x2=−3，x1x2=1，代入到x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2可得．
19.【答案】解：(1)∵出发时间为x s，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为4cm/s，
∴PB=(12−2x)cm，BQ=4x cm，
∴y=12×12×24−12×(12−2x)×4x，
∴y=4x2−24x+144；
(2)由x>012−2x>0，解得0
理由：4x2−24x+144=172，
解得：x1=7，x2=−1(不合题意，舍去)，
因为0
【解析】(1)利用两个直角三角形的面积差求得答案即可；
(2)构建不等式组求解即可；
(3)利用(1)的函数建立方程求解判断即可．
本题属于四边形综合题，注意二次函数的实际运用，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠D=120°，
∴∠ABC=120°，AB=CB．
又∵EB绕着点B逆时针旋转120°到FB，
∴EB=FB，
∴∠FBA+∠ABE=∠ABE+∠EBC=120°，
∴∠FBA=∠EBC，
在△AFB与△CEB中，
∵EB=FB∠EBC=∠FBABC=AB，
∴△AFB≌△CEB(SAS)，
∴AF=CE；
(2)∵∠ABC=120°，∠EBC=45°，
∴∠ABE=75°．
又∵∠EBF=120°，EB=FB，
∴∠GEB=180°−120°2=30°，
∴∠AGE=∠ABE+∠GEB=75°+30°=105°．
【解析】(1)先根据菱形的性质得出∠ABC=120°，AB=CB，再由图形旋转的性质得出EB=FB，根据SAS定理得出△AFB≌△CEB，由全等三角形的性质即可得出结论；
(2)先求出∠ABE的度数，再由等腰三角形的性质求出∠GEB的度数，再由∠AGE=∠ABE+∠GEB即可得出结论．
本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．
21.【答案】解：(1)设每日销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间满足如图所示的一次函数关系为y=kx+b，
∴8k+b=220014k+b=1600，
解得k=−100b=3000，
∴y与x的函数解析式为y=−100x+3000；
(2)设每千克荔枝的销售价格定为x元时，销售这种荔枝日获利为w元，
根据题意得，w=(x−6−2)(−100x+3000)=−100x2+3800x−24000=−100(x−19)2+12000，
∵a=−100<0，对称轴为x=19，
∴当x=19时，w有最大值为12000元，
∴当销售单价定为18时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12000元．
【解析】(1)由日获利=(销售单价−成本)×日销售量，可求解；
(2)由二次函数的性质求出的最大利润，即可求解．
本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，求出函数关系式是本题的关键．
22.【答案】解：(1)∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′=AP=3，CP′=BP=4，∠AP′C=∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′=60°，
∴△AP P′为等边三角形，
PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
易证△PP′C为直角三角形，且∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；
故答案为：150°；
(2)如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC−∠EAF=90°−45°=45°，
∴∠EAF=∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
AE=AE′∠EAF=∠E′AFAF=AF
∴△EAF≌△E′AF(SAS)，
∴E′F=EF，
∵∠CAB=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠E′CF=45°+45°=90°，
由勾股定理得，E′F2=CE′2+FC2，
即EF2=BE2+FC2．
(3)如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2，
∴BC= AB2−AC2= 3，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C= BC2+A′B2= ( 3)2+22= 7，
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C= 7．
【解析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
(1)根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
(2)把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′=AE，CE′=CE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，再求出∠E′AF=45°，从而得到∠EAF=∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F=EF，再利用勾股定理列式即可得证．
(3)将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC=A′C．
23.【答案】解：(1)1；
(2)当a>0时，
∵对称轴为x=1，
当x=1时，y有最小值为−a，当x=3时，y有最大值为3a，
∴3a−(−a)=4．
∴a=1，
∴二次函数的表达式为：y=x2−2x；
当a<0时，同理可得
y有最大值为−a；
y有最小值为3a，
∴−a−3a=4，
∴a=−1，
∴二次函数的表达式为：y=−x2+2x；
综上所述，二次函数的表达式为：y=x2−2x或y=−x2+2x；
(3)∵a<0，对称轴为x=1，
∴x≤1时，y随x的增大而增大，x>1时，y随x的增大而减小，x=−1和x=3时的函数值相等，
∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，
∴t≥−1，t+1≤3，
∴−1≤t≤2
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．
(1)由对称轴是直线x=−b2a，可求解；
(2)分a>0或a<0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；
(3)利用函数图象的性质可求解．
【解答】
解：(1)由题意可得：对称轴是直线x=−−2a2a=1，
故答案为：1；
(2)见答案；
(3)见答案．x
……
−2
0
1
2
3
4
6
……
y
……
−1
m
3.5
3
n
3
−1
……
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