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2023年北京市海淀区首都师大附中中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年北京市海淀区首都师大附中中考数学三模试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年北京市海淀区首都师大附中中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 某几何体的三视图如图，该几何体是( )
A. 长方体
B. 圆锥
C. 圆柱
D. 直三棱柱
2. 2021年2月24日6时29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道.将59000用科学记数法表示应为( )
A. 0.59×105 B. 5.9×105 C. 5.9×104 D. 5.9×103
3. 如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠5=∠1+∠3
C. ∠4=∠5
D. ∠5<∠2
4. 已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是( )
A. cb>ab B. ac>ab C. a+ba+b
5. 不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外四个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，不放回并摇匀，再从剩下的三个球中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是( )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 34
6. 若关于x的一元二次方程x2−4x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k≥4 B. k>4 C. k<4且k≠0 D. k<4
7. 下面四个图案中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
8. 植物研究者在研究某种植物1～5年内的植株高度时，将得到的数据用如图直观表示.现要根据这些数据选用函数模型来描述这种植物在1～5年内的生长规律.若选择y=ax2+bx+c，则a______0，b______0；若选择函数y=ax+b，则a______0，b______0.依次填入的不等号为( )
A. <，>，<，> B. <，>，>，<
C. >，<，<，> D. >，>，<，<
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 分式2x−3有意义的条件是______ ．
10. 因式分解：x3−6x2+9x=______．
11. 分式方程1x−3=2x的解为______．
12. 己知a、b为两个连续整数，且a< 7
14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD.若∠BOD=130°，则∠C的度数是______ ．
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F.若DF=6，则线段EF的长为______．
16. 为了迅速算出学生的学期总评成绩，一位同学创造了一张奇妙的算图.如图，y轴上动点M的纵坐标ym表示学生的期中考试成绩，直线x=10上动点N的纵坐标yn表示学生的期末考试成绩，线段MN与直线x=6的交点为P，则点P的纵坐标yp就是这名学生的学期总评成绩.有下面几种说法：①若某学生的期中考试成绩为70分，期末考试成绩为80分，则他的学期总评成绩为75分；②甲同学的期中考试成绩比乙同学高10分，但期末考试成绩比乙同学低10分，那么甲的学期总评成绩比乙同学低；③期中成绩占学期总评成绩的60%.结合这张算图进行判断，其中正确的说法是______ .(填写序号)
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
计算：|1− 2|−2cos45°+(π−1)0+ 12+(−13)−1．
18. (本小题5.0分)
解不等式组：2(x−1)
先化简，再求值：(a−2b)(a+2b)−(2a+b)2−2a(a−2b)，其中a=−1，b=2．
20. (本小题5.0分)
下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
定理：在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BD=AD，连接CD.求证：CD=12AB．
方法一
证明：如图，延长BC到点E，使得CE=BC，连接AE．
方法二
证明：如图，延长CD到点F，使得DF=CD，连接BF，AF．
21. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，过点D作AB的垂线交BC于点E，过点A作AF//BE交ED的延长线于点F，连结AE，BF．
(1)求证：四边形AEBF是菱形；
(2)若AE平分∠CED，AC=3，求EF的长．
22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(2,0)，(0,1)．
(1)求该函数的解析式；
(2)当x<−2，对于x的每一个值，函数y=mx−1(m≠0)的值都小于函数y=kx+b(k≠0)的值，请直接写出实数m的取值范围．
23. (本小题6.0分)
为进一步增强中小学生“知危险会避险“的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息．
a.这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图：
b.这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表：
参与奖
优秀奖
卓越奖
第一次竞赛
人数
10
10
10
平均分
82
87
95
第二次竞赛
人数
2
12
16
平均分
84
87
93
(规定：分数≥90，获卓越奖；85<分数<90，获优秀奖；分数<85，获参与奖)
c.第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：
90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98
d.两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均数
中位数
众数
第一次竞赛
m
87.5
88
第二次竞赛
90
n
91
根据以上信息，回答下列问题：
(1)小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点；
(2)直接写出m，n的值；
(3)哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高？请说明你的理由(至少两个方面)．
24. (本小题6.0分)
如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC，BC，延长OC交BP于点D．
(1)求证：2∠CBD+∠ODB=90°；
(2)连接OB，若AC//OB，⊙O的半径为3，CD=2，求AP的长．
25. (本小题5.0分)
天桥中幅是第一批被正式列入非遗名录的杂技艺术，2023年的春晚舞台上，中幅杂技表演《龙跃神州》成为一大亮点，其中有一个环节，若干个杂技演员等距排成一列，由第一个杂技演员将中幡向后高高抛出，最后一位杂技演员用头部接住中幡，中幡底部在空中运动的路线可以看作是抛物线的一部分.以第一位杂技演员的立足点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，中幡从抛出到被接住的过程中，中幡底部的竖直高度y(单位：m)和水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x−h)2+k(a<0)．
某次训练，中幡底部的水平距离x和竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
0.8
2
2.8
4
4.8
P
竖直高度y/m
2
2.96
3.8
3.96
3.6
2.96
2
根据上述数据，回答下列问题：
(1)表格中的p= ______ ．
(2)求满足条件的抛物线的解析式；
(3)若这次训练相邻两位演员的间距都为1m，最后一位演员身高为1.8m，当中幡底部位于距头部水平距离小于等于0.6米，距头部竖直距离小于等于0.3米，可以成功接到中幡，若此次训练成功，则舞台上至少______ 位演员．
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−6mx+n−8经过点(m,4m2−2)．
(1)求该抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示)；
(2)P(x0,y0)是抛物线上的点，m≤x0≤m+t(t>0)，
①当m=0，t=2时，求y0的取值范围；
②若无论m为何值，都有满足y0≥2的点P，求t的取值范围．
27. (本小题7.0分)
如图1，P是正方形ABCD边BC上一点，线段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F，连接CF．
(1)补全图形，求∠AFE的大小；
(2)用等式表示线段CF，BE之间的数量关系，并证明；
(3)连接CE，G是CE的中点，AB=2，若点P从点B运动到点C，直接写出DG的最大值．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，给定图形W和点P，若图形W上存在两个点M，N满足PM= 3PN且∠MPN=90°，则称点P是图形W的关联点．
已知点A(−2 3,0)，B(0,2)．
(1)在点P1(− 3,−1)，P2(− 3,3)，P3(−2 3,−2)中，______ 是线段AB的关联点；
(2)⊙T是以点T(t,0)为圆心，r为半径的圆．
①当t=0时，若线段AB上任一点均为⊙O的关联点，求r的取值范围；
②记线段AB与线段AO组成折线G，若存在t≥4，使折线G的关联点都是⊙T的关联点，直接写出r的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵几何体的主视图和左视图都是长方形，
∴该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个三角形，
∴该几何体是一个三棱柱．
故选：D．
根据一个空间几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体形状，得到答案．
本题考查的知识点是由三视图判断几何体，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
2.【答案】C
【解析】解：59000=5.9×104．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：A、∠1与∠2不一定相等，故A不符合题意；
B、∠5=∠1+∠D，∠5不一定等于∠1+∠3，故B不符合题意；
C、对顶角相等，因此∠4=∠5，故C符合题意；
D、∠5>∠2，故D不符合题意．
故选：C．
由对顶角的性质，三角形外角的性质，即可判断．
本题考查对顶角，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：设a=2，b=−1，c=−2，
则：A、cb=2，ab=−2，cb
D、c+b=−3，a+b=1，c+b
本题可设a、b、c分别为：2，−1，−2，然后把a、b、c的值分别代入选项中的式子，对比看是否符合不等号的方向．若不符合，则可以排除选项．
本题考查了数轴上数的表示，在0的左边的数小于0，在0的右边的数大于0.由0向两边递增，两边的数绝对值依次增加．即向右延伸，数越来越大，向左延伸，数越来越小．
5.【答案】A
【解析】解：画树状图如下：
所有等可能的情况有12种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有3 种情况，
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为312=14，
故选：A．
画树状图得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意得Δ=b2−4ac=16−4k>0，
解得k<4．
故选：D．
利用判别式的意义得到Δ=b2−4ac=16−4k>0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ<0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
7.【答案】A
【解析】解：B、C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
8.【答案】A
【解析】解：若选择y=ax2+bx+c，
由函数图象可知，此抛物线的开口向下，对称轴x=−b2a>0，∴a<0，b>0；
若选择函数y=ax+b，
由函数图象可知，将反比例函数y=ax(a<0)的图象从第四象限向上平移b个单位即可得到函数y=ax+b的图象，
∴a<0，b>0；
则依次填入的不等号为<，>，<，>，
故选：A．
根据二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质即可得．
本题考查了二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质是解题关键．
9.【答案】x≠3
【解析】解：分式2x−3有意义的条件是：x−3≠0，
解得：x≠3．
故答案为：x≠3．
直接利用分式有意义的条件，即分式的分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握分式的有意义的条件是解题关键．
10.【答案】x(x−3)2
【解析】解：原式=x(x2−6x+9)=x(x−3)2，
故答案为：x(x−3)2
原式提取x，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.【答案】x=6
【解析】解：1x−3=2x，
x=2(x−3)，
解得：x=6，
检验：当x=6时，x(x−3)≠0，
∴x=6是原方程的根，
故答案为：x=6．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
12.【答案】5
【解析】解：∵4<7<9，
∴2< 7<3．
∵a、b为两个连续整数，
∴a=2，b=3，
∴a+b=2+3=5．
故答案为：5．
先估算出 7的取值范围，得出a，b的值，进而可得出结论．
本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意求出a，b的值是解答此题的关键．
13.【答案】<
【解析】解：∵k>0，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
又∵(−1,y)，(−3,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，且−3<−1<0，
∴y1
根据反比例函数的增减性解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．
14.【答案】115°
【解析】解：∵∠BOD=2∠A，∠BOD=130°，
∴∠A=65°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠C=115°，
故答案为：115°．
根据圆周角定理求出∠A=65°，根据圆内接四边形的对角互补求解即可．
此题考查了圆内接四边形的性质，熟记“圆内接四边形的对角互补”是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD//BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴AFBE=ADAE=DFAB，
∵DF=6，
∴AF= AD2−DF2= 100−36=8，
∴8BE=10AE=63，
∴AE=5，
∴EF=AF−AE=8−5=3，
故答案为：3．
证明△AFD∽△EBA，得到AFBE=ADAE=DFAB，求出AF，即可求出AE，从而可得EF．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
16.【答案】②
【解析】解：如图所示：
①中，与x=6的交点大于75，故错误
②中，乙与x=6的交点大于甲与x=6的交点，所以期末总评成绩乙大于甲，正确
③中，由图象可知，期末总评成绩占60%，故错误
故答案为：②．
根据题意在坐标系中画出对应的图象即可．
此题主要考查点的坐标，画出相应的直线确定交点，即可解．
17.【答案】解：|1− 2|−2cos45°+(π−1)0+ 12+(−13)−1
= 2−1−2× 22+1+2 3+(−3)
= 2−1− 2+1+2 3−3
=2 3−3．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：2(x−1)
解不等式②，得：x>−4，
∴不等式组的解集为−4
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：原式=a2−4b2−(4a2+4ab+b2)−(2a2−4ab)
=a2−4b2−4a2−4ab−b2−2a2+4ab
=−5a2−5b2，
当a=−1，b=2时，原式=−5×(−1)2−5×22=−25．
【解析】根据平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把a、b的值代入计算，得到答案．
本题考查的是整式的化简求值，熟记平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：方法一：如图，延长BC到点E，使得CE=BC，连接AE，
∵BD=AD，
∴CD是△ABE的中位线，
∴CD=12AE，
∵∠ACB=90°，
∴AC是BE的垂直平分线，
∴AB=AE，
∴CD=12AB；
方法二：如图，延长CD到点F，使得DF=CD，连接BF，AF，
∵BD=AD，
∴四边形ACBF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBF是矩形，
∴AB=CF，
∵CD=DF=12CF，
∴CD=12AB．
【解析】方法一：延长BC到点E，使得CE=BC，连接AE，从而可得CD是△ABE的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得CD=12AE，再根据已知∠ACB=90°，可得AC是BE的垂直平分线，从而可得AB=AE，最后利用等量代换即可解答；
方法二：延长CD到点F，使得DF=CD，连接BF，AF，从而可得四边形ACBF是矩形，然后利用矩形的性质可得AB=CF，从而可得CD=12AB，即可解答．
本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握矩形的判定与性质，以及三角形的中位线定理是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵点D是AB的中点，
∴AD=DB，
∵AF//BC，
∴∠FAD=∠EBD，∠AFD=∠BED，
在△AFD和△BED中，
∠FAD=∠EBD∠AFD=∠BEDAD=BD，
∴△AFD≌△BED(AAS)，
∴AF=EB，
∵AF//BC，
∴四边形AEBF是平行四边形，
又∵EF⊥AB，
∴平行四边形AEBF是菱形；
(2)解：∵四边形AEBF是菱形，
∴∠BED=∠AED，
∵AE平分∠CED，
∴∠AEC=∠AED，
∴∠BED=∠AED=∠AEC=13×180°=60°，
∵∠ACB=90°，AC=3，
∴AE=ACsin60∘=2 3，
∵∠AEF=60°，AF=AE，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=2 3．
【解析】(1)根据全等三角形的判定和性质定理以及菱形的判定定理即可得到结论；
(2)根据菱形的性质得到∠BED=∠AED，根据角平分线的定义得到∠AEC=∠AED，求得∠BED=∠AED=∠AEC=13×180°=60°，根据等边三角形的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形 的判定和性质，等边三角形 的判定和性质，直角三角形性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)把点(2,0)，(0,1).分别代入y=kx+b得2k+b=0b=1，
解得k=−12b=1，
∴一次函数的解析式为y=−12x+1；
(2)∵当x<−2，对于x的每一个值，函数y=mx−1(m≠0)的值都小于函数y=kx+b(k≠0)的值，
∴m≥−12且m≠0．
【解析】(1)利用待定系数法即可求出函数解析式；
(2)根据图象即可得出m的取值范围．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图所示．
(2)m=82×10+87×10+95×1030=88，
∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98，
∴第一和第二个数是30名学生成绩中第15和第16个数，
∴n=12(90+90)=90，
∴m=88，n=90；
(3)可以推断出第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由是：第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛．
【解析】(1)根据这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得横坐标是89，纵坐标是90的点即代表小松同学的点；
(2)根据平均数和中位数的定义可得m和n的值；
(3)根据平均数，众数和中位数这几方面的意义解答可得．
本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图连接OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OBP=90°，
即∠OBC+∠CBD=90°，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OCB=∠CBD+CDB，
∴∠CBD+∠CBD+∠CDB=90°，
即2∠CBD+∠ODB=90°；
(2)解：延长AC交BP于点E，则AE⊥BP，过点C作CF⊥OB于点F，过点O作OG⊥AC于点G，
则AG=CG=OF，
在Rt△BOD中，OB=3，OD=OC+CD=5，
∴BD= OD2−OB2=4，
∵CF//BD，
∴△OFC∽△OBD，
∴OFOB=OCOD=FCBD，
即OF3=35=FC4，
∴OF=95，FC=125=BE，
∴DE=BD−BE=85，FB=CE=OB−OF=65，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠OAC+∠CAP=90°，∠CDE+∠DCE=90°，∠OCA=∠DCE，
∴∠CDE=∠CAP，
∵∠OBD=∠AEP=90°，
∴△BOD∽△EPA，
∴AEBD=PAOD，
即3+954=PA5，
∴PA=6．
【解析】(1)根据切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可；
(2)根据勾股定理、垂径定理以及相似三角形的判定和性质进行计算即可．
本题考查圆周角定理，切线的性质以及勾股定理、相似三角形的性质，掌握切线的性质，圆周角定理以及勾股定理、相似三角形的性质是正确解答的前提．
25.【答案】5.6 6
【解析】解：(1)根据表中数据知，当x=0.8和x=4.8时，函数值y相同，
∴抛物线对称轴为x=0.8+4.82=2.8，
∴p=5.6，
故答案为：5.6；
(2)由(1)可知，抛物线的顶点为(2.8,3.96)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−2.8)2+3.96，
把(0,2)代入解析式得：7.84a+3.96=2，
解得a=−0.25，
∴抛物线的解析式为y=−0.25(x−2.8)2+3.96；
(3)由(2)知，y=−0.25(x−2.8)2+3.96=−14(x−145)2+9925，
当y=1.8时，−14(x−145)2+9925=1.8，
解得x=±2 545+145，
∵最后一位演员在最右端，
∴x=2 54+145；
当y=1.8+0.3=2.1时，−14(x−145)2+9925=2.1，
解得x=± 186+145，x=− 186+145舍去，
∴x= 186+145，
∵中幡底部位于距头部水平距离小于等于0.6米以成功接到中幡，
∴2 54+145−0.6=2 54+115，2 54+145+0.6=2 54+175，
186+145+0.6= 186+175， 186+145−0.6= 186+115，
∴x的取值范围为： 186+115≤x≤2 54+175，
∵245< 186+115<5取不到整数，
315<2 54+175<7，
∴x=6，
∴舞台上至少有6名演员，
故答案为：6．
(1)根据表中书记先求出抛物线对称轴，再确定p的值；
(2)设出抛物线解析式的顶点式，再用待定系数法求解即可；
(3)分别把y=1.8和2.1代入解析式求出x的值，再根据当中幡底部位于距头部水平距离小于等于0.6米，距头部竖直距离小于等于0.3米，可以成功接到中幡求x的取值范围即可．
本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式，利用函数性质解答．
26.【答案】(1)解：将点(m,4m2−2)代入y=x2−6mx+n−2，
得m2−6m2+n−2=4m2−2，
解得n=9m3．
∴y=x2−6mx+9m2−2=(x−3m)2−2，
∴该抛物线的顶点坐标为(3m,−2)．
(2)解：①当m=0时，y=x2−2，
当m=0，t=2时，0≤x0≤2，
当x=0时，y=−2；
当x=2时，y=22−2=2，
在0≤x0≤2内，y随x的增大而增大，
∴−2≤y0≤2．
②将点P(x0,y0)代入函数y=(x−3m)2−2得y0=(x0−3m)2−2，
当y0≥2时，(x0−3m)2−2≥2，即(x0−3m)2−4≥0，
解方程(x0−3m)2−4=0，
得x0=3m−2或x0=3m+2．
画出函数s=(x0−3m)2−4的大致图象如下：
由函数图象可知，在m≤x0≤m+t(t>0)内，要使无论m为何值，都有满足y0≥2 (即s≥0)的点P，
则m+t−m≥3m+2−(3m−2)，
解得t≥4．
【解析】(1)将点(m,4m2−2)代入抛物线的解析式，再将抛物线的解析式化成顶点式即可求解；
(2)①先根据m=0可得抛物线的解析式，再利用二次函数的性质求解即可求解；
②先根据y0≥2可得(x0−3m)2−4≥0，再画出函数s=(x0−3m)2−4的大致图象，结合函数图象即可求解．
本题考查了二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键．
27.【答案】解：(1)补全图形如图1所示；
设∠BAP=x，
∴∠DAP=90°−x，
∵线段AE与AD关于直线AP对称，
∴∠DAP=∠EAP=90°−x，AD=AE，
∴∠BAE=90°−2x，AB=AE，
∴∠E=∠ABE=45°+x，
∴∠AFE=180°−(90°−x)−(45°+x)=45°；
(2)BE= 2CF；
证明：如图2，连接DF，DE，BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD= 2CD，∠CDB=45°，
∵线段AE与AD关于直线AP对称，
∴DF=EF，∠DFA=∠AFE=45°，
∴∠DFE=90°，
∴∠FDE=45°=∠CDB，DE= 2DF，
∴∠CDF=∠BDE，BDCD=DEDF= 2，
∴△CDF∽△BDE，
∴BECF=DEDF= 2，
∴BE= 2CF；
(3)如图3，连接AC，BD交于点O，连接OG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=CO，
又∵G是CE中点，
∴OG=12AE=12AD=1，
∴点G在以O为圆心，1为半径的圆上运动，
∴点P从点B运动到点C，点G的运动到BD上时DG的值最大，且DG的最大值为DO+OG，
∵OD= 22AD= 2，
∴DG的最大值为 2+1.
【解析】(1)由轴对称的性质可得∠DAP=∠EAP=70°，AD=AE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解；
(2)先求出∠AFE=45°，通过证明△CDF∽△BDE，可得BE= 2CF；
(3)先确定点G在以O为圆心，1为半径的圆上运动，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判断和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
28.【答案】P1，P2
【解析】解：(1)∵∠MPN=90°，
∴△MPN为直角三角形，
∴满足MN2=PM2+PN2，
根据勾股定理可得：AB2=(2 3)2+22=12+4=16，
P1A= ( 3)2+12=2，P1B= ( 3)2+32=2 3，
P1A2+P1B2=[( 3)2+12]+[( 3)2+32]=4+12=16；
P2A= ( 3)2+32=2 3，P2B= ( 3)2+12=2，
P2A2+P2B2=[( 3)2+32]+[( 3)2+12]=12+4=16；
P3A=2，P3B= (2 3)2+42=2 7，
P3A2+P3B2=22+[(2 3)2+42]=4+12+16=32，
∵P1B= 3P1A，且P1A2+P1B2=AB2，
∴P1(− 3,−1)是线段AB的关联点；
∵P2A= 3P2B，且P2A2+P2B2=AB2，
∴P2(− 3,3)是线段AB的关联点；
∵P3A= 7P3B，且P3A2+P3B2≠AB2，
∴∠BAO=30°，P3A⊥OA，
∴∠P3AB=90°+30°=120°，
∴对于线段AB上的任意两点M、N，
当P3M= 3P3N时，∠P3NM>90°，如图，则∠MPN必是锐角，不可能是直角，
∴P3(−2 3,−2)不是线段AB的关联点；
故答案为：P1，P2．
(2)①由(1)可得：∵∠MPN=90°，
∴△MPN为直角三角形，
∴MN2=PM2+PN2=4PN2，
即MN=2PN，
即三角形PMN为含30度角的直角三角形，如图：
则点P是以MN为斜边且含30度角的直角三角形的直角顶点．
在圆O上取点M，N，则对于任意位置的M和N，符合的关联点有2个，如图：
以点P为例，当点M在半径为r的⊙O上运动时，点N为圆上一定点，且MN=2PN，∠PNM=60°，
则点M的运动轨迹为圆，故点P的轨迹也为圆，令点P的轨迹为圆R，如图：
当M，O，N三点共线，P，R，N三点共线时，∠PNM=60°，
∴OR= 32r，RN=12r，
则点O到点P的最大距离为 3+12r，最小距离为 3−12r，
当点N也在⊙O上运动时，⊙R也随之运动，
则⊙R扫过的区域为 3+12r和 3−12r为半径围成的圆，
即⊙O的所有关联点在以O为圆心， 3+12r和 3−12r为半径的两个圆构成的圆环中，
∴当线段AB与半径为 3+12r交于点A时，r最小，如图：
则 3+12r=2 3，
解得r=6−2 3，
当线段AB与半径为 3−12r的圆相切时，r最大，过点O作OH⊥AB，如图：
则S△OAB=12×OA×OB=12×OH×AB，
即12×2 3×2=12×OH×4，
解得OH= 3，
则 3−12r= 3，
解得r=3+ 3，
∴6−2 3≤r≤3+ 3
②当关联点在线段AB上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：
当关联点在线段AO上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：
当关联点在不同线段上时，满足条件的关联点在点O和点B上的范围如图阴影部分：
综上，所有区域叠加一起为：
由①可知，满足T的所有关联点所在范围为圆环，
故若使得圆环能够完整“包住”关联点，圆环中外圆的必须经过点G1，
∵∠GBA=30°，∠G=90°，∠OBA=60°，∠O=90°，
∴四边形AOBG为矩形，
∴G(−2 3,2)，
则TG= (4+2 3)2+22，
即 3+12r= (4+2 3)2+22，
解得r=4 2(负值舍去)；
综上，r的最小值为4 2．
(1)根据关联点的定义，结合勾股定理进行判断即可；
(2)①根据题意推得三角形PMN为含30度角的直角三角形，根据瓜豆原理可得求得点O到点P的最大距离为 3+12r，最小距离为 3−12r，推得⊙O的所有关联点在以O为圆心， 3+12r和 3−12r为半径的两个圆构成的圆环中，结合图形求得半径r的取值范围；
②结合①中的结论，画出满足条件的关联点的范围，进行求解即可．
本题考查了圆的综合应用，勾股定理，圆的相关性质，借助三角形面积求高，解一元一次方程，解一元二次方程等，根据圆的相关性质推得满足条件关联点的范围是圆环，根据临界点求最值是解题的关键．
2023年北京市海淀区首都师大附中中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 某几何体的三视图如图，该几何体是( )
A. 长方体
B. 圆锥
C. 圆柱
D. 直三棱柱
2. 2021年2月24日6时29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道.将59000用科学记数法表示应为( )
A. 0.59×105 B. 5.9×105 C. 5.9×104 D. 5.9×103
3. 如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠5=∠1+∠3
C. ∠4=∠5
D. ∠5<∠2
4. 已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是( )
A. cb>ab B. ac>ab C. a+b
5. 不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外四个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，不放回并摇匀，再从剩下的三个球中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是( )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 34
6. 若关于x的一元二次方程x2−4x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k≥4 B. k>4 C. k<4且k≠0 D. k<4
7. 下面四个图案中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
8. 植物研究者在研究某种植物1～5年内的植株高度时，将得到的数据用如图直观表示.现要根据这些数据选用函数模型来描述这种植物在1～5年内的生长规律.若选择y=ax2+bx+c，则a______0，b______0；若选择函数y=ax+b，则a______0，b______0.依次填入的不等号为( )
A. <，>，<，> B. <，>，>，<
C. >，<，<，> D. >，>，<，<
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 分式2x−3有意义的条件是______ ．
10. 因式分解：x3−6x2+9x=______．
11. 分式方程1x−3=2x的解为______．
12. 己知a、b为两个连续整数，且a< 7
14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD.若∠BOD=130°，则∠C的度数是______ ．
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F.若DF=6，则线段EF的长为______．
16. 为了迅速算出学生的学期总评成绩，一位同学创造了一张奇妙的算图.如图，y轴上动点M的纵坐标ym表示学生的期中考试成绩，直线x=10上动点N的纵坐标yn表示学生的期末考试成绩，线段MN与直线x=6的交点为P，则点P的纵坐标yp就是这名学生的学期总评成绩.有下面几种说法：①若某学生的期中考试成绩为70分，期末考试成绩为80分，则他的学期总评成绩为75分；②甲同学的期中考试成绩比乙同学高10分，但期末考试成绩比乙同学低10分，那么甲的学期总评成绩比乙同学低；③期中成绩占学期总评成绩的60%.结合这张算图进行判断，其中正确的说法是______ .(填写序号)
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
计算：|1− 2|−2cos45°+(π−1)0+ 12+(−13)−1．
18. (本小题5.0分)
解不等式组：2(x−1)
先化简，再求值：(a−2b)(a+2b)−(2a+b)2−2a(a−2b)，其中a=−1，b=2．
20. (本小题5.0分)
下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
定理：在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BD=AD，连接CD.求证：CD=12AB．
方法一
证明：如图，延长BC到点E，使得CE=BC，连接AE．
方法二
证明：如图，延长CD到点F，使得DF=CD，连接BF，AF．
21. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，过点D作AB的垂线交BC于点E，过点A作AF//BE交ED的延长线于点F，连结AE，BF．
(1)求证：四边形AEBF是菱形；
(2)若AE平分∠CED，AC=3，求EF的长．
22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(2,0)，(0,1)．
(1)求该函数的解析式；
(2)当x<−2，对于x的每一个值，函数y=mx−1(m≠0)的值都小于函数y=kx+b(k≠0)的值，请直接写出实数m的取值范围．
23. (本小题6.0分)
为进一步增强中小学生“知危险会避险“的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息．
a.这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图：
b.这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表：
参与奖
优秀奖
卓越奖
第一次竞赛
人数
10
10
10
平均分
82
87
95
第二次竞赛
人数
2
12
16
平均分
84
87
93
(规定：分数≥90，获卓越奖；85<分数<90，获优秀奖；分数<85，获参与奖)
c.第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：
90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98
d.两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均数
中位数
众数
第一次竞赛
m
87.5
88
第二次竞赛
90
n
91
根据以上信息，回答下列问题：
(1)小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点；
(2)直接写出m，n的值；
(3)哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高？请说明你的理由(至少两个方面)．
24. (本小题6.0分)
如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC，BC，延长OC交BP于点D．
(1)求证：2∠CBD+∠ODB=90°；
(2)连接OB，若AC//OB，⊙O的半径为3，CD=2，求AP的长．
25. (本小题5.0分)
天桥中幅是第一批被正式列入非遗名录的杂技艺术，2023年的春晚舞台上，中幅杂技表演《龙跃神州》成为一大亮点，其中有一个环节，若干个杂技演员等距排成一列，由第一个杂技演员将中幡向后高高抛出，最后一位杂技演员用头部接住中幡，中幡底部在空中运动的路线可以看作是抛物线的一部分.以第一位杂技演员的立足点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，中幡从抛出到被接住的过程中，中幡底部的竖直高度y(单位：m)和水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x−h)2+k(a<0)．
某次训练，中幡底部的水平距离x和竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
0.8
2
2.8
4
4.8
P
竖直高度y/m
2
2.96
3.8
3.96
3.6
2.96
2
根据上述数据，回答下列问题：
(1)表格中的p= ______ ．
(2)求满足条件的抛物线的解析式；
(3)若这次训练相邻两位演员的间距都为1m，最后一位演员身高为1.8m，当中幡底部位于距头部水平距离小于等于0.6米，距头部竖直距离小于等于0.3米，可以成功接到中幡，若此次训练成功，则舞台上至少______ 位演员．
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−6mx+n−8经过点(m,4m2−2)．
(1)求该抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示)；
(2)P(x0,y0)是抛物线上的点，m≤x0≤m+t(t>0)，
①当m=0，t=2时，求y0的取值范围；
②若无论m为何值，都有满足y0≥2的点P，求t的取值范围．
27. (本小题7.0分)
如图1，P是正方形ABCD边BC上一点，线段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F，连接CF．
(1)补全图形，求∠AFE的大小；
(2)用等式表示线段CF，BE之间的数量关系，并证明；
(3)连接CE，G是CE的中点，AB=2，若点P从点B运动到点C，直接写出DG的最大值．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，给定图形W和点P，若图形W上存在两个点M，N满足PM= 3PN且∠MPN=90°，则称点P是图形W的关联点．
已知点A(−2 3,0)，B(0,2)．
(1)在点P1(− 3,−1)，P2(− 3,3)，P3(−2 3,−2)中，______ 是线段AB的关联点；
(2)⊙T是以点T(t,0)为圆心，r为半径的圆．
①当t=0时，若线段AB上任一点均为⊙O的关联点，求r的取值范围；
②记线段AB与线段AO组成折线G，若存在t≥4，使折线G的关联点都是⊙T的关联点，直接写出r的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵几何体的主视图和左视图都是长方形，
∴该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个三角形，
∴该几何体是一个三棱柱．
故选：D．
根据一个空间几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体形状，得到答案．
本题考查的知识点是由三视图判断几何体，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
2.【答案】C
【解析】解：59000=5.9×104．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：A、∠1与∠2不一定相等，故A不符合题意；
B、∠5=∠1+∠D，∠5不一定等于∠1+∠3，故B不符合题意；
C、对顶角相等，因此∠4=∠5，故C符合题意；
D、∠5>∠2，故D不符合题意．
故选：C．
由对顶角的性质，三角形外角的性质，即可判断．
本题考查对顶角，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：设a=2，b=−1，c=−2，
则：A、cb=2，ab=−2，cb
D、c+b=−3，a+b=1，c+b
本题可设a、b、c分别为：2，−1，−2，然后把a、b、c的值分别代入选项中的式子，对比看是否符合不等号的方向．若不符合，则可以排除选项．
本题考查了数轴上数的表示，在0的左边的数小于0，在0的右边的数大于0.由0向两边递增，两边的数绝对值依次增加．即向右延伸，数越来越大，向左延伸，数越来越小．
5.【答案】A
【解析】解：画树状图如下：
所有等可能的情况有12种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有3 种情况，
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为312=14，
故选：A．
画树状图得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意得Δ=b2−4ac=16−4k>0，
解得k<4．
故选：D．
利用判别式的意义得到Δ=b2−4ac=16−4k>0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ<0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
7.【答案】A
【解析】解：B、C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
8.【答案】A
【解析】解：若选择y=ax2+bx+c，
由函数图象可知，此抛物线的开口向下，对称轴x=−b2a>0，∴a<0，b>0；
若选择函数y=ax+b，
由函数图象可知，将反比例函数y=ax(a<0)的图象从第四象限向上平移b个单位即可得到函数y=ax+b的图象，
∴a<0，b>0；
则依次填入的不等号为<，>，<，>，
故选：A．
根据二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质即可得．
本题考查了二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质是解题关键．
9.【答案】x≠3
【解析】解：分式2x−3有意义的条件是：x−3≠0，
解得：x≠3．
故答案为：x≠3．
直接利用分式有意义的条件，即分式的分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握分式的有意义的条件是解题关键．
10.【答案】x(x−3)2
【解析】解：原式=x(x2−6x+9)=x(x−3)2，
故答案为：x(x−3)2
原式提取x，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.【答案】x=6
【解析】解：1x−3=2x，
x=2(x−3)，
解得：x=6，
检验：当x=6时，x(x−3)≠0，
∴x=6是原方程的根，
故答案为：x=6．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
12.【答案】5
【解析】解：∵4<7<9，
∴2< 7<3．
∵a、b为两个连续整数，
∴a=2，b=3，
∴a+b=2+3=5．
故答案为：5．
先估算出 7的取值范围，得出a，b的值，进而可得出结论．
本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意求出a，b的值是解答此题的关键．
13.【答案】<
【解析】解：∵k>0，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
又∵(−1,y)，(−3,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，且−3<−1<0，
∴y1
根据反比例函数的增减性解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．
14.【答案】115°
【解析】解：∵∠BOD=2∠A，∠BOD=130°，
∴∠A=65°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠C=115°，
故答案为：115°．
根据圆周角定理求出∠A=65°，根据圆内接四边形的对角互补求解即可．
此题考查了圆内接四边形的性质，熟记“圆内接四边形的对角互补”是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD//BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴AFBE=ADAE=DFAB，
∵DF=6，
∴AF= AD2−DF2= 100−36=8，
∴8BE=10AE=63，
∴AE=5，
∴EF=AF−AE=8−5=3，
故答案为：3．
证明△AFD∽△EBA，得到AFBE=ADAE=DFAB，求出AF，即可求出AE，从而可得EF．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
16.【答案】②
【解析】解：如图所示：
①中，与x=6的交点大于75，故错误
②中，乙与x=6的交点大于甲与x=6的交点，所以期末总评成绩乙大于甲，正确
③中，由图象可知，期末总评成绩占60%，故错误
故答案为：②．
根据题意在坐标系中画出对应的图象即可．
此题主要考查点的坐标，画出相应的直线确定交点，即可解．
17.【答案】解：|1− 2|−2cos45°+(π−1)0+ 12+(−13)−1
= 2−1−2× 22+1+2 3+(−3)
= 2−1− 2+1+2 3−3
=2 3−3．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：2(x−1)
解不等式②，得：x>−4，
∴不等式组的解集为−4
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：原式=a2−4b2−(4a2+4ab+b2)−(2a2−4ab)
=a2−4b2−4a2−4ab−b2−2a2+4ab
=−5a2−5b2，
当a=−1，b=2时，原式=−5×(−1)2−5×22=−25．
【解析】根据平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把a、b的值代入计算，得到答案．
本题考查的是整式的化简求值，熟记平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：方法一：如图，延长BC到点E，使得CE=BC，连接AE，
∵BD=AD，
∴CD是△ABE的中位线，
∴CD=12AE，
∵∠ACB=90°，
∴AC是BE的垂直平分线，
∴AB=AE，
∴CD=12AB；
方法二：如图，延长CD到点F，使得DF=CD，连接BF，AF，
∵BD=AD，
∴四边形ACBF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBF是矩形，
∴AB=CF，
∵CD=DF=12CF，
∴CD=12AB．
【解析】方法一：延长BC到点E，使得CE=BC，连接AE，从而可得CD是△ABE的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得CD=12AE，再根据已知∠ACB=90°，可得AC是BE的垂直平分线，从而可得AB=AE，最后利用等量代换即可解答；
方法二：延长CD到点F，使得DF=CD，连接BF，AF，从而可得四边形ACBF是矩形，然后利用矩形的性质可得AB=CF，从而可得CD=12AB，即可解答．
本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握矩形的判定与性质，以及三角形的中位线定理是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵点D是AB的中点，
∴AD=DB，
∵AF//BC，
∴∠FAD=∠EBD，∠AFD=∠BED，
在△AFD和△BED中，
∠FAD=∠EBD∠AFD=∠BEDAD=BD，
∴△AFD≌△BED(AAS)，
∴AF=EB，
∵AF//BC，
∴四边形AEBF是平行四边形，
又∵EF⊥AB，
∴平行四边形AEBF是菱形；
(2)解：∵四边形AEBF是菱形，
∴∠BED=∠AED，
∵AE平分∠CED，
∴∠AEC=∠AED，
∴∠BED=∠AED=∠AEC=13×180°=60°，
∵∠ACB=90°，AC=3，
∴AE=ACsin60∘=2 3，
∵∠AEF=60°，AF=AE，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=2 3．
【解析】(1)根据全等三角形的判定和性质定理以及菱形的判定定理即可得到结论；
(2)根据菱形的性质得到∠BED=∠AED，根据角平分线的定义得到∠AEC=∠AED，求得∠BED=∠AED=∠AEC=13×180°=60°，根据等边三角形的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形 的判定和性质，等边三角形 的判定和性质，直角三角形性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)把点(2,0)，(0,1).分别代入y=kx+b得2k+b=0b=1，
解得k=−12b=1，
∴一次函数的解析式为y=−12x+1；
(2)∵当x<−2，对于x的每一个值，函数y=mx−1(m≠0)的值都小于函数y=kx+b(k≠0)的值，
∴m≥−12且m≠0．
【解析】(1)利用待定系数法即可求出函数解析式；
(2)根据图象即可得出m的取值范围．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图所示．
(2)m=82×10+87×10+95×1030=88，
∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98，
∴第一和第二个数是30名学生成绩中第15和第16个数，
∴n=12(90+90)=90，
∴m=88，n=90；
(3)可以推断出第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由是：第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛．
【解析】(1)根据这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得横坐标是89，纵坐标是90的点即代表小松同学的点；
(2)根据平均数和中位数的定义可得m和n的值；
(3)根据平均数，众数和中位数这几方面的意义解答可得．
本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图连接OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OBP=90°，
即∠OBC+∠CBD=90°，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OCB=∠CBD+CDB，
∴∠CBD+∠CBD+∠CDB=90°，
即2∠CBD+∠ODB=90°；
(2)解：延长AC交BP于点E，则AE⊥BP，过点C作CF⊥OB于点F，过点O作OG⊥AC于点G，
则AG=CG=OF，
在Rt△BOD中，OB=3，OD=OC+CD=5，
∴BD= OD2−OB2=4，
∵CF//BD，
∴△OFC∽△OBD，
∴OFOB=OCOD=FCBD，
即OF3=35=FC4，
∴OF=95，FC=125=BE，
∴DE=BD−BE=85，FB=CE=OB−OF=65，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠OAC+∠CAP=90°，∠CDE+∠DCE=90°，∠OCA=∠DCE，
∴∠CDE=∠CAP，
∵∠OBD=∠AEP=90°，
∴△BOD∽△EPA，
∴AEBD=PAOD，
即3+954=PA5，
∴PA=6．
【解析】(1)根据切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可；
(2)根据勾股定理、垂径定理以及相似三角形的判定和性质进行计算即可．
本题考查圆周角定理，切线的性质以及勾股定理、相似三角形的性质，掌握切线的性质，圆周角定理以及勾股定理、相似三角形的性质是正确解答的前提．
25.【答案】5.6 6
【解析】解：(1)根据表中数据知，当x=0.8和x=4.8时，函数值y相同，
∴抛物线对称轴为x=0.8+4.82=2.8，
∴p=5.6，
故答案为：5.6；
(2)由(1)可知，抛物线的顶点为(2.8,3.96)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−2.8)2+3.96，
把(0,2)代入解析式得：7.84a+3.96=2，
解得a=−0.25，
∴抛物线的解析式为y=−0.25(x−2.8)2+3.96；
(3)由(2)知，y=−0.25(x−2.8)2+3.96=−14(x−145)2+9925，
当y=1.8时，−14(x−145)2+9925=1.8，
解得x=±2 545+145，
∵最后一位演员在最右端，
∴x=2 54+145；
当y=1.8+0.3=2.1时，−14(x−145)2+9925=2.1，
解得x=± 186+145，x=− 186+145舍去，
∴x= 186+145，
∵中幡底部位于距头部水平距离小于等于0.6米以成功接到中幡，
∴2 54+145−0.6=2 54+115，2 54+145+0.6=2 54+175，
186+145+0.6= 186+175， 186+145−0.6= 186+115，
∴x的取值范围为： 186+115≤x≤2 54+175，
∵245< 186+115<5取不到整数，
315<2 54+175<7，
∴x=6，
∴舞台上至少有6名演员，
故答案为：6．
(1)根据表中书记先求出抛物线对称轴，再确定p的值；
(2)设出抛物线解析式的顶点式，再用待定系数法求解即可；
(3)分别把y=1.8和2.1代入解析式求出x的值，再根据当中幡底部位于距头部水平距离小于等于0.6米，距头部竖直距离小于等于0.3米，可以成功接到中幡求x的取值范围即可．
本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式，利用函数性质解答．
26.【答案】(1)解：将点(m,4m2−2)代入y=x2−6mx+n−2，
得m2−6m2+n−2=4m2−2，
解得n=9m3．
∴y=x2−6mx+9m2−2=(x−3m)2−2，
∴该抛物线的顶点坐标为(3m,−2)．
(2)解：①当m=0时，y=x2−2，
当m=0，t=2时，0≤x0≤2，
当x=0时，y=−2；
当x=2时，y=22−2=2，
在0≤x0≤2内，y随x的增大而增大，
∴−2≤y0≤2．
②将点P(x0,y0)代入函数y=(x−3m)2−2得y0=(x0−3m)2−2，
当y0≥2时，(x0−3m)2−2≥2，即(x0−3m)2−4≥0，
解方程(x0−3m)2−4=0，
得x0=3m−2或x0=3m+2．
画出函数s=(x0−3m)2−4的大致图象如下：
由函数图象可知，在m≤x0≤m+t(t>0)内，要使无论m为何值，都有满足y0≥2 (即s≥0)的点P，
则m+t−m≥3m+2−(3m−2)，
解得t≥4．
【解析】(1)将点(m,4m2−2)代入抛物线的解析式，再将抛物线的解析式化成顶点式即可求解；
(2)①先根据m=0可得抛物线的解析式，再利用二次函数的性质求解即可求解；
②先根据y0≥2可得(x0−3m)2−4≥0，再画出函数s=(x0−3m)2−4的大致图象，结合函数图象即可求解．
本题考查了二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键．
27.【答案】解：(1)补全图形如图1所示；
设∠BAP=x，
∴∠DAP=90°−x，
∵线段AE与AD关于直线AP对称，
∴∠DAP=∠EAP=90°−x，AD=AE，
∴∠BAE=90°−2x，AB=AE，
∴∠E=∠ABE=45°+x，
∴∠AFE=180°−(90°−x)−(45°+x)=45°；
(2)BE= 2CF；
证明：如图2，连接DF，DE，BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD= 2CD，∠CDB=45°，
∵线段AE与AD关于直线AP对称，
∴DF=EF，∠DFA=∠AFE=45°，
∴∠DFE=90°，
∴∠FDE=45°=∠CDB，DE= 2DF，
∴∠CDF=∠BDE，BDCD=DEDF= 2，
∴△CDF∽△BDE，
∴BECF=DEDF= 2，
∴BE= 2CF；
(3)如图3，连接AC，BD交于点O，连接OG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=CO，
又∵G是CE中点，
∴OG=12AE=12AD=1，
∴点G在以O为圆心，1为半径的圆上运动，
∴点P从点B运动到点C，点G的运动到BD上时DG的值最大，且DG的最大值为DO+OG，
∵OD= 22AD= 2，
∴DG的最大值为 2+1.
【解析】(1)由轴对称的性质可得∠DAP=∠EAP=70°，AD=AE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解；
(2)先求出∠AFE=45°，通过证明△CDF∽△BDE，可得BE= 2CF；
(3)先确定点G在以O为圆心，1为半径的圆上运动，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判断和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
28.【答案】P1，P2
【解析】解：(1)∵∠MPN=90°，
∴△MPN为直角三角形，
∴满足MN2=PM2+PN2，
根据勾股定理可得：AB2=(2 3)2+22=12+4=16，
P1A= ( 3)2+12=2，P1B= ( 3)2+32=2 3，
P1A2+P1B2=[( 3)2+12]+[( 3)2+32]=4+12=16；
P2A= ( 3)2+32=2 3，P2B= ( 3)2+12=2，
P2A2+P2B2=[( 3)2+32]+[( 3)2+12]=12+4=16；
P3A=2，P3B= (2 3)2+42=2 7，
P3A2+P3B2=22+[(2 3)2+42]=4+12+16=32，
∵P1B= 3P1A，且P1A2+P1B2=AB2，
∴P1(− 3,−1)是线段AB的关联点；
∵P2A= 3P2B，且P2A2+P2B2=AB2，
∴P2(− 3,3)是线段AB的关联点；
∵P3A= 7P3B，且P3A2+P3B2≠AB2，
∴∠BAO=30°，P3A⊥OA，
∴∠P3AB=90°+30°=120°，
∴对于线段AB上的任意两点M、N，
当P3M= 3P3N时，∠P3NM>90°，如图，则∠MPN必是锐角，不可能是直角，
∴P3(−2 3,−2)不是线段AB的关联点；
故答案为：P1，P2．
(2)①由(1)可得：∵∠MPN=90°，
∴△MPN为直角三角形，
∴MN2=PM2+PN2=4PN2，
即MN=2PN，
即三角形PMN为含30度角的直角三角形，如图：
则点P是以MN为斜边且含30度角的直角三角形的直角顶点．
在圆O上取点M，N，则对于任意位置的M和N，符合的关联点有2个，如图：
以点P为例，当点M在半径为r的⊙O上运动时，点N为圆上一定点，且MN=2PN，∠PNM=60°，
则点M的运动轨迹为圆，故点P的轨迹也为圆，令点P的轨迹为圆R，如图：
当M，O，N三点共线，P，R，N三点共线时，∠PNM=60°，
∴OR= 32r，RN=12r，
则点O到点P的最大距离为 3+12r，最小距离为 3−12r，
当点N也在⊙O上运动时，⊙R也随之运动，
则⊙R扫过的区域为 3+12r和 3−12r为半径围成的圆，
即⊙O的所有关联点在以O为圆心， 3+12r和 3−12r为半径的两个圆构成的圆环中，
∴当线段AB与半径为 3+12r交于点A时，r最小，如图：
则 3+12r=2 3，
解得r=6−2 3，
当线段AB与半径为 3−12r的圆相切时，r最大，过点O作OH⊥AB，如图：
则S△OAB=12×OA×OB=12×OH×AB，
即12×2 3×2=12×OH×4，
解得OH= 3，
则 3−12r= 3，
解得r=3+ 3，
∴6−2 3≤r≤3+ 3
②当关联点在线段AB上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：
当关联点在线段AO上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：
当关联点在不同线段上时，满足条件的关联点在点O和点B上的范围如图阴影部分：
综上，所有区域叠加一起为：
由①可知，满足T的所有关联点所在范围为圆环，
故若使得圆环能够完整“包住”关联点，圆环中外圆的必须经过点G1，
∵∠GBA=30°，∠G=90°，∠OBA=60°，∠O=90°，
∴四边形AOBG为矩形，
∴G(−2 3,2)，
则TG= (4+2 3)2+22，
即 3+12r= (4+2 3)2+22，
解得r=4 2(负值舍去)；
综上，r的最小值为4 2．
(1)根据关联点的定义，结合勾股定理进行判断即可；
(2)①根据题意推得三角形PMN为含30度角的直角三角形，根据瓜豆原理可得求得点O到点P的最大距离为 3+12r，最小距离为 3−12r，推得⊙O的所有关联点在以O为圆心， 3+12r和 3−12r为半径的两个圆构成的圆环中，结合图形求得半径r的取值范围；
②结合①中的结论，画出满足条件的关联点的范围，进行求解即可．
本题考查了圆的综合应用，勾股定理，圆的相关性质，借助三角形面积求高，解一元一次方程，解一元二次方程等，根据圆的相关性质推得满足条件关联点的范围是圆环，根据临界点求最值是解题的关键．
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