吉林省四平市伊通满族自治县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份吉林省四平市伊通满族自治县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列二次根式中，化简后能与合并的是
A．B．C．D．
2．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，7B．8，10，15C．6，8，10D．7，24，26
3．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ）
A．1B．C．3D．
4．将及按如图所示摆放，点H、G在边上，点F在边上，若，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
5．如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形的周长不变B．四边形的面积不变
C．D．
6．我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．计算： ．
8．如图，四边形的对角线，相交于点O，若，，想要判断四边形是菱形，则可以添加一个条件是 ．
9．如图，为估计池塘岸边A、B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA、OB的中点M、N，测得MN=40m，则A、B两点间的距离是 m.
10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，中点A、C的坐标分别为、，点B在第四象限，点D在y轴上，则点B的坐标为 ．
11．写一个实数，使运算的结果为有理数，可以是 （写出一个即可）．
12．如图，是的高，分别以线段为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为 ．
13．如图，四边形是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为和，求阴影部分的面积为 ．
14．如图，在正方形中，按以下步骤作图：连接相交于点；分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点；连接，交于点，连接，若，则的长为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．计算：．
16．计算：．
17．若的三边长a、b、c满足．求证，是直角三角形．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，所画图形不全等，不要求写出画法．
(1)在图①中以线段为边画一个正方形；
(2)在图②中以线段为边画一个菱形；
(3)在图③中以线段为边画一个平行四边形．
20．某医院为了方便病人进出，将门诊大厅的门改为自动感应门，感应门上方装有一个感应范围米的感应器．如图，一个身高米的病人走到离感应门米处时，感应门刚好自动打开，请求出感应器离地面的高度．
21．如图．已知点P、Q是对角线上的两点，且，连接、、、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若Q为的中点，的面积为2，则的面积为__________．
22．如图，地块的周长为，四边形为种植花卉区域，于点E，点F、G分别在边、上，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若E是的中点，，，求种植花卉区域四边形的面积．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示．具体要求如下：在四边形中，连接，，米，米，米，米．

(1)求线段的长；
(2)若该背景板制作成本为10元/平方米，制作这样一块背景板需花费多少元？
24．如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．【操作】如图①．矩形纸片中，．点P在上，点Q在上，，将纸片沿翻折，使顶点C落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点M，再将纸片的另一部分翻折，使顶点A落在直线上，对应点为，折痕为．猜想，之间的位置关系为__________；
【探究】如图②，将矩形纸片纸片任意翻折，折痕（P在上，Q在上），使顶点C落在矩形内，对应点为， 的延长线交直线于点M，再将纸片的另一部分翻折，使顶点A的对应点落在直线上，折痕为．

①若，求证：；
②当，，，时，直接写出的长．
26．如图，为正方形的对角线，．动点、分别从点、同时出发，均以每秒个单位长度的速度分别沿、向终点、运动．连接交于点，过点作交边于点．设点运动的时间为秒．
(1)当点运动到边的中点时，四边形的面积为__________；
(2)连接、，求证：四边形是平行四边形；
(3)求四边形的面积；
(4)当将四边形分成面积比为两部分时，直接写出的值．
1．B
【分析】根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答．
【详解】、，不能与合并，故本选项错误；
、，能与合并，故本选项正确；
、，不能与合并，故本选项错误；
、，不能与合并，故本选项错误．
故选．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
2．C
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、，不能够成三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C
3．B
【分析】根据平面直角坐标系中，两点间的距离公式，即可求解．
【详解】∵，原点坐标为，
∴点到原点的距离，
故选B．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，两点间的距离公式，掌握“若，则”，是解题的关键．
4．C
【分析】此题考查了平行四边形的性质和三角形外角的性质，根据平行四边形对角相等得到，再根据三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
5．D
【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，由矩形的性质可得，，则可满足四边形是平行四边形，得到，随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变，据此可得答案．
【详解】解：由矩形的性质可得，，
∴四边形是平行四边形，
∴，故D符合题意，
随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变，故A、B、C不符合题意，
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质．
过点作交延长线于E，先证明四边形是菱形，得，则，利用直角三角形的性质得求得，然后用正方形的面积减去菱形的面积即可．
【详解】解：过点作交延长线于E，如图，
∵正方形，
∴
∴
∴四边形是菱形，
∴
∴
∵
∴
∴
∴四边形的面积减少了，
故选：A．
7．15
【分析】本题考查的是算术平方根的含义，根据算术平方根的含义可得：，从而可得答案．
【详解】解：，
故答案为：
8．（答案不唯一）
【分析】根据菱形的判定方法进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
如果添加，可以通过有一组邻边相等的平行四边形是菱形，判断四边形为菱形；
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．
9．80
【分析】根据M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．
【详解】∵M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，
∴MN=AB，
∴AB=2MN=2×40=80(m)，
故答案为80．
【点睛】本题考查了三角形的中位线，熟练掌握三角形中位线定理的内容是解题的关键.
10．
【分析】本题考查了坐标与图形、平行四边形的性质，先根据四边形是平行四边形得出轴，结合点A、C的坐标分别为、，点B在第四象限，点D在y轴上，得出以及，所以，据此作答即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形．
∴轴，
∵点A为，
∴，
∵点B在第四象限，点D在y轴上, C的坐标为，
∴，
∴，
∴点B的坐标为．
故答案为：．
11．（答案不唯一）．
【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．根据平方差公式计算即可．
【详解】解：．
可以是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
12．2
【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理解题即可求解．
【详解】解：根据勾股定理可得：
，
∴，
故答案为：2．
13．
【分析】本题考查了菱形的性质、中心对称图形的性质、菱形的面积公式，熟知菱形的面积公式，利用菱形的性质判断出阴影的面积是菱形面积的一半是解答的关键．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，再根据菱形是中心对称图形判断出阴影的面积是菱形面积的一半即可解答．
【详解】解：如图所示：
菱形的两条对角线的长分别为和，
菱形的面积，
是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形，
，
阴影部分的面积，
故答案为∶．
14．
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，正方形的性质，勾股定理，由作图可知，垂直平分，利用正方形的性质和勾股定理可得，，再由勾股定理即可求出的长，由作图得出垂直平分是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，垂直平分，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先运算除法，再化简和运算加法，即可作答．
【详解】解： ．
16．
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式计算二次根式的除法和乘法即可．
【详解】解：
．
17．见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，，，则，，，再求出，即可证明是直角三角形．
【详解】证明：∵，
，，，
，，．
，
∴，
是直角三角形．
18．详见解析．
【分析】利用已知先证明AB∥DE，进而根据平行四边形的定义：两组对边平行的四边形是平行四边形，即可得出结论．
【详解】证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C．
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD＝BE．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用．
19．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】（1）如图①，取格点、，连接、、即可；
（2）如图②，取格点、，连接、、即可；
（3）如图③，取格点、，连接、、即可．
【详解】（1）解：如图①，取格点、，连接、、，取格点、，连接、、、，
∵如图是的正方形网格，小正方形的边长均为，
∴，，，，
，，，
∴，
∴四边形是菱形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
则正方形即为所作；
（2）如图②，取格点、，连接、、，
∵如图是的正方形网格，小正方形的边长均为，
∴，，，，
∴，
∴四边形是菱形，
则菱形即为所作；
（3）如图③，取格点、，连接、、，
∵如图是的正方形网格，小正方形的边长均为，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
则平行四边形即为所作（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
20．米．
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握运用辅助线构造直角三角形，运用勾股定理求线段长度的方法是解题的关键．过点作交于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：如图，过点作交于点，
则，，，
在中，，
则，
∴，
答：感应器离地面的高度为米．
21．(1)见解析
(2)12
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点并能够添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）连接交于点，由平行四边形的性质可得，，结合已知可得，即可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明．
（2）先证明，，再利用平行四边形的性质可得答案．
【详解】（1）证明：连接交于点，
∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵Q为的中点，，
∴，
∵的面积为2，
∴，，
∴的面积为．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质，熟记特殊四边形的判定方法是解本题的关键；
（1）先证明，结合，可得四边形是平行四边形．再证明，从而可得结论；
（2）先求解，再利用勾股定理求解，从而可得答案．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
∴，，
，，，
，
∵，
四边形是平行四边形．
∵于点E，
，
四边形是矩形．
（2）解：地块的周长为，，
，
．
，是的中点，
．
在中，，
由勾股定理，得，
，
种植花卉区域四边形的面积为．
23．(1)线段的长为5米；
(2)制作这样一块背景板需花费360元．
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理求出的长即可；
（2）由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，然后由三角形面积公式求出四边形的面积，即可解决问题．
【详解】（1）解：，米，米，
（米，
即线段的长为5米；
（2）解：，米，米，米，
，
是直角三角形，且，
（平方米），
（元，
答：制作这样一块背景板需花费360元．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟记判定方法是解本题的关键；
（1）先证明，可得，再证明四边形是平行四边形，即可得到结论；
（2）先证明，可得．证明，可得，可得，再进一步可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
．
平分，
，
∴，
．
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，且，
．
，，
，
．
，
，
∴，
，
，
．
．
25．操作；探究：①见解析；②4
【分析】操作：由矩形的性质可得，则，由折叠可知，，于是得到，进而得到，由内错角相等，两直线平行即可证明；
探究：①由矩形的性质可得，，则，由折叠可知， ，于是，可得即可证明；②当时，过点M作于点G，则，，，易得，于是可得，则．
【详解】解：操作：．
理由：∵四边形为矩形，
，
，
根据折叠的性质可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
探究：①∵四边形为矩形，
，，
，
由折叠的性质可得，
，，
，
∵，
∴；
∴；
②过点M作于点G，如图，

∵，，，
∴，，，
，
，，
在中，，
∴，
解得：，，
；
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，正确理解题意，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键．
26．(1)
(2)证明见解析
(3)
(4)秒或秒
【分析】（1）根据题意得，证明，得，证明四边形是矩形，得，，证明四边形是矩形，继而得解；
（2）根据题意得，再根据正方形的性质得，即可得证；
（3）连接，证明，得，则
，计算即可；
（4）根据和的两底边都在线段上，且高相等，得，继而得到，然后分两种情况：①当时；②当时，分别求出的值即可．
【详解】（1）解：∵在正方形中，，
∴，，，
∴，
∵动点、分别从点、同时出发，均以每秒个单位长度的速度分别沿、向终点、运动，当点运动到边的中点时，
∴，
∴动点、的运动时间为：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴四边形的面积为，
故答案为：；
（2）证明：如图，
∵动点、分别从点、同时出发，均以每秒个单位长度的速度分别沿、向终点、运动，点运动的时间为秒，
∴，，
∴，
∵，即，
∴四边形平行四边形；
（3）解：连接，
∵，，即点是的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∵为正方形的对角线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形的面积为；
（4）由（3）知：，，
∵和的两底边都在线段上，且高相等，
∴，
∴，
∴，
∵将四边形分成面积比为两部分，
①当时，
，
∴，
∴，
②当时，
，
∴，
∴，
综上所述，当将四边形分成面积比为两部分时，的值为秒或秒．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形三线合一性质，三角形的面积及等积变换等知识点．掌握特殊四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．